课时跟踪检测 （三） 向量的减法运算
层级(一) “四基”落实练
1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 ( )
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
解析：选ABD 结合图形可知，A、B、D显然正确．由于－＝，故C项错．
2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 ( )
A．|a|＋|b|＝|a－b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b|
解析：选A 如图，作＝a，＝－b，易知选A.
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A ＝＋＋＝－＋＝a－b＋c.
4．(多选)下列结果为零向量的是 ( )
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
解析：选BCD A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项， ＋＋－＝＋＝0.故选B，C，D.
5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－ －＋＋＝________.
解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝.
答案：
7．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是____________.
解析：∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
答案：[3,13]
8.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作法：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.作向量＝a，则＝a－b＋a.
层级(二) 能力提升练
1．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋，n＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选C.
2．已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝2，设＝x，＝y，若|－|＝，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：选C ∵|－|＝＝＝2，∴x2＋y2＝4.∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋y≤2，即x＋y的最大值为2，故选C.
3．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________．
解析：如图，设＝a，＝b，则a－b＝.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||.所以△OAB是等边三角形，∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．因为＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
答案：30°
4.如图，已知点B是 ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试 用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c；＝－＝b－a；
＝－＝c－a；＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c.
5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，求||.
解：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB.
由向量的加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，
所以||＝||.又||＝4，M是线段BC的中点，
所以M是对角线BC，AD的交点，
所以||＝||＝||＝2.
层级(三) 素养培优练
1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________.
解析：连接A6A3，A1A4，A7A2且A6A3∩A1A4＝B，在A1A4上取一点C，使得＝，则四边形A1CA6A7为平行四边形，＝.设||＝m，则| |＝||＝m＋m＋m＝(2＋)m，由图可知，－＝＋ ＝＋＝2＝2×＝·.
答案：
2．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速直线运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD为菱形，
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
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6．2.2 向量的减法运算
明确目标 发展素养
1.理解向量减法的概念以及向量 减法的几何意义．
2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律. 1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养.
相等
相反
答案：A
×
√
2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 ( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
知识点二 向量的减法运算
(一)教材梳理填空
向量差
相反向量
终点
终点
[微思考] 移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？
提示：成立，移项法则对向量等式适用．
答案：C
√
√
√
×
[方法技巧]
求作两个向量差向量的2种思路
(1)直接用向量加法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
(2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
[方法技巧]
向量减法运算的常用方法
