函数综合探究—中考数学核心考点大综合专题
一、填空题
1．（2025九下·东莞开学考）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
【答案】5或
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数经过(1，0)，（x1，0)，
∴a+b+c=0，
又∵-5则当a>0时，b>0，
且
将b=-a-c代入方程组
解得
∴
∵一次函数y=|a|x+C经过（x2，0)，
∴ax2+c=0
则
∴4∵m∴m=4
将a=-b-c代入不等式组，
解得：
∴
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=1.
∴m+n＝4+1=5.
当a<0时，b<0，且
将b=-a-c代入不等式组
解得
∵一次函数y=|a|x+c经过(x2，0)。
∴-ax2+c=0
∴-5∵m∴m=-5
将a=-b-c代入不等式组，
解得
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴-bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=-2
∴m+n=-5+(-2)=-7
综上所述：m+n的值为5或-7.
故答案为：5或-7
【分析】将点(1，0)，（x1，0)代入二次函数解析式可得a+b+c=0，分情况讨论：则当a>0时，b>0，当a<0时，b<0，根据题意方程组，将b=-a-c，a=-b-c，分别代入方程组，再根据一次函数的性质可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
二、解答题
2．（2024九下·浙江模拟）已知二次函数和一次函数．
（1）若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：；
②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．
【答案】（1）解：∵二次函数过，
∴，解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）①证明：∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴过，
∴
∵，
∴，解得：．
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图像的交点坐标，然后再代入一次函数，即可求解；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
3．（2024九下·剑阁月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
，解得，
，．
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：关于x的不等式的解集为或．
（3）解：由（1）可知．
设点D的坐标为，则点，
，
，
当时，的最大值为4，
此时点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法及已知点B先求出反比例函数关系式，从而计算出A点坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图形关系及交点A、B坐标分析得出不等式的解集即可；
（3）设点表示目标三角形的面积，进而利用配方法得出其最值即可。
4．（2024九上·盘龙期末）如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数解析式；
（2）若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，
时，，
，
，
，
二次函数解析式为；
（2）解：存在；，
点是二次函数图象的顶点，
，
，
联立两个函数表达式得，
解得或，
即点、的坐标分别为、，
由点，，的坐标，
得，，，
是斜边，
，
解得，
；
（3）点，，
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设点，则点，
由（2）知，点、的坐标分别为、，
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由题意得：，解得：，
所以直线的表达式为，
当时，，故点，，
面积，
，故面积有最大值，此时，
故点，，
当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，
故点，
则的最大值．
【分析】（1）根据抛物线对称轴可得a=-1，将x=0代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据顶点坐标可得，联立抛物线与一次函数解析式可得点、的坐标分别为、，再根据勾股定理可得AB2，AC2，BC2，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式可得直线的表达式为，当时，，故点，，再根据三角形面积，结合二次函数性质可得，，当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，故点，则的最大值，即可求出答案.
（1）抛物线的对称轴为直线，
，
，
二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，
时，，
，
，
，
二次函数解析式为；
（2）存在；，
点是二次函数图象的顶点，
，
，
联立两个函数表达式得，
解得或，
即点、的坐标分别为、，
由点，，的坐标，
得，，，
是斜边，
，
解得，
；
（3）设点，则点，
由（2）知，点、的坐标分别为、，
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由题意得：，解得：，
所以直线的表达式为，
当时，，故点，，
面积，
，故面积有最大值，此时，
故点，，
当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，
故点，
则的最大值．
5．（2024·南山模拟）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
【答案】（1）解：将，，代入得，
，解得，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得 ，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：
（2）或
（3）解：把代入得 ，
，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
（4）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；（4）解：由题意知，分三种情况求解：
①当过点时，即，
解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
②当过点时，即，
解得舍去；
③当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或．
【分析】（1）点A，B坐标代入二次函数解析式可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析可得一次函数的表达式为，根据描点法画出图象即可求出答案.
（2）当一次函数图象在二次函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，结合函数图象即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当过点时，②当过点时，③当与直线只有一个交点时，结合函数图象，二次方程判别式即可求出答案.
三、新定义型
6．（2024九下·楚雄模拟）定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数．
（1）若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
（2）已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，得二次函数的牵引函数为，联立，
得．
∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，
∴
解得或．
（2）解：由题意可知原函数的解析式为，
∴当时，；当时，．
，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
∴，
当时，，
∴．
①如答图①，当点M在点A的左侧，
即，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得或（舍去）．
②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意；
③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大，
∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得（舍去）或．
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性．（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，再联立两函数解析式消可得一元二次方程，根据只有一个交点可得：，据此可列出方程，解方程可求出a的值；
（2）先求出一次函数的原函数，进而可求出两点的坐标，根据二次函数的性质可求出对称轴为直线，顶点坐标为．据此可得：，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，进而可得：，解不等式可求出；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得，进而可求出m的取值范围．
7．（2025·长沙模拟）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
（1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】（1）解：与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：，或
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
，
解得：；
，
，
是整数，
；
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或
【知识点】二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)联立y=2x-1与 并整理得： 求出x值即可求解；
(2)根据“共享函数”的定义求出6 (3)分为①m≤-4，-48．（2024九下·连云港月考）我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】（1）解：假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，
设“幸福点”坐标为，则，
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为，；
（2）解：∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
（3）解：∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）设“幸福点”坐标为，则，分别代入解析式，得到m、n的方程组求出m、n的值，解题即可；
（2）根据题意可得一次函数与反比例函数只有一个交点，联立方程组得到关于的一元二次方程，令，求出的值解题即可；
（3）根据提议的的哦啊则、关于轴对称的点、一定在上，根据“向光函数”的定义得到，，求出四边形的面积，然后得到，根据a的取值范围解答即可．
9．（2025·茂南模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
【答案】【尝试】 ：（1）（，-）．
（2）∵将x＝1代入y=2x2 7x+5，得 y＝0，
∴点A（1，0）在抛物线l上．
（3）将x＝2代入抛物线 y=2x2 7x+5的解析式中，得：
n＝-1．
【发现】 ：（1，0）、（2，-1）．
【应用】 ：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝2代入，计算得：y＝ 6≠-1，
即可得抛物线不经过点B，
二次函数不是二次函数和一次函数y＝ x＋1的一个“再生二次函数”．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：【尝试】（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x2 7x+5＝2（x ）2 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．
【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：
＝t（x 1）（x-3） （x-1）+t(x-1)= t（x 1）（x-2） （x-1）
∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．
【分析】【尝试】：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用】：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．
10．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
11．（2024·长沙模拟） 我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，理由如下：
设“幸福点”P的坐标为（m，n），
P、Q两点关于y轴对称，
点Q的坐标为（-m，n），
将点P、点Q的坐标分别代入y＝x+2和，
得n=m+2，，
整理得，
解得m1=1，m2=-3，
一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，“幸福点”P的坐标为（1，3）或（-3，1）.
（2）解：一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
联立，
整理得，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
，
解得：k1=-1，k2=7，
“幸福函数”的解析式为y=x2+2x+1或y=x2-6x+9.
（3）解：一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），
A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b 上，
联立，
整理得，
其“幸福函数”y＝ax2+bx+c，
与“幸福函数”y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
xA-xB=xA'-xB'，
“幸福函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），且a+b+c=0，“幸福函数”经过点（-3，4），，
D（1，0），，
，
，
又，
，
解得，
又与“幸福函数”关于y轴对称，
，
，，
，，
，，
又D（1，0），
，，
S四边形，
，
，
，
，
，
的取值范围是：.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）假设一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（-m，n），根据“幸福函数”的定义列出方程，求出m的值即可得到“幸福点”的坐标；
（2）由一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”得出y＝x﹣k+1与只有一个交点，联立得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点得到，求出k的值即可得到“幸福函数”的解析式；
（3）一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b 上，联立y＝-ax+b ，整理得到ax2+bx+c=0，根据“幸福函数”y＝ax2+bx+c 满足的条件得出b=2a-1，c=1-3a，联立a>b>0得出a的取值范围，进而求出点A、B的坐标，然后表示出四边形ABCD的面积，即可求出的取值范围．
四、综合与探究
12．（2024·吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，
当x＞0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2），
如图：
∴当t＝2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0，
∴将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，
得：﹣2k+3＝1，
解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，
当x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，
∴①当如图：
由题意得：，
∴1≤m≤2；
②当，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤m≤0，
综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【分析】（1）将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，可求出k的值；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值；
（2）I：由（1）中所求的k、a、b的值可得出一次函数与二次函数的解析式，再根据一次函数与二次函数的增减性即可求解；
Ⅱ：此题可转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，而抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），且经过点（4，11），从而结合图象即可分析得出答案；
Ⅲ：根据题意可得点P、Q关于直线对称，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2；然后分①当与②当两种情况，结合图象分析分别列出关于字母m的不等式组，求解即可.
13．（2024九下·霞山模拟）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，便得，若存在，求出点M的横坐标．
【答案】证明：（1）如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）①如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．
将代入得：，
∴，，．
同（1）可得，
∴，，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴；
（3）存在；
如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．
∵，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
令，得，，
∴，又，
∴，
∴，
设为，则
解得：，
∴
令，得，(舍去)，
当时，，
∴；
如图，当M点位于x轴下方，且，
同理可得，为．
由，得，(舍去)
∴当时，，
∴．
综上：M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D，将点A坐标代入反比例函数解析式可得，，，同（1）可得，根据全等三角形性质可得，，则，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E，根据等角对等边可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据y轴上点的坐标特征可得，则，设为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案；当M点位于x轴下方，且，同理可得，为，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C （填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为 ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
15．（2024九下·南宁模拟）综合与实践
【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：
（1）k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________；
【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位．
设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点，
【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究．
（2）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式；
（3）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值．
【答案】解：(1)；.
（2）设反比例函数上的任意一点，
将函数图象按平移后，M的对应点为
则，
，
M在反比例函数上，代入得
即N在函数上
平移后的函数解析式为.
（3）由题可知，抛物线的顶点，
按平移以后的抛物线顶点坐标为，
设平移后的解析式为，与其直线的两个交点分别为，，
联立①②得
整理得：
则：，
由勾股定理得：
，
代入上式，再两边平方，整理得
将③代入，整理得：
设平移后的路径长为l，由已知可得
将代入上式得，
，
当时，最小，即l最小
此时
当平移路径最短时，，.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】（1）解：向下平移2个单位长度，
向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度
平移后
故答案为：；．
【分析】（1）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可；（2）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用待定系数法求出函数解析式即可；（3）先求出平移后的解析式为，再求出，， 结合AB=4，求出，设平移后的路径长为l， 再求出， 最后利用二次函数的性质分析求解即可.
1 / 1函数综合探究—中考数学核心考点大综合专题
一、填空题
1．（2025九下·东莞开学考）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
二、解答题
2．（2024九下·浙江模拟）已知二次函数和一次函数．
（1）若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：；
②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．
3．（2024九下·剑阁月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
4．（2024九上·盘龙期末）如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数解析式；
（2）若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．
5．（2024·南山模拟）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
三、新定义型
6．（2024九下·楚雄模拟）定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数．
（1）若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
（2）已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围．
7．（2025·长沙模拟）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
（1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
8．（2024九下·连云港月考）我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
9．（2025·茂南模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
10．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
11．（2024·长沙模拟） 我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
四、综合与探究
12．（2024·吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
13．（2024九下·霞山模拟）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，便得，若存在，求出点M的横坐标．
14．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C （填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为 ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
15．（2024九下·南宁模拟）综合与实践
【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：
（1）k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________；
【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位．
设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点，
【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究．
（2）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式；
（3）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值．
答案解析部分
1．【答案】5或
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数经过(1，0)，（x1，0)，
∴a+b+c=0，
又∵-5则当a>0时，b>0，
且
将b=-a-c代入方程组
解得
∴
∵一次函数y=|a|x+C经过（x2，0)，
∴ax2+c=0
则
∴4∵m∴m=4
将a=-b-c代入不等式组，
解得：
∴
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=1.
∴m+n＝4+1=5.
当a<0时，b<0，且
将b=-a-c代入不等式组
解得
∵一次函数y=|a|x+c经过(x2，0)。
∴-ax2+c=0
∴-5∵m∴m=-5
将a=-b-c代入不等式组，
解得
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴-bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=-2
∴m+n=-5+(-2)=-7
综上所述：m+n的值为5或-7.
故答案为：5或-7
【分析】将点(1，0)，（x1，0)代入二次函数解析式可得a+b+c=0，分情况讨论：则当a>0时，b>0，当a<0时，b<0，根据题意方程组，将b=-a-c，a=-b-c，分别代入方程组，再根据一次函数的性质可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
2．【答案】（1）解：∵二次函数过，
∴，解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）①证明：∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴过，
∴
∵，
∴，解得：．
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图像的交点坐标，然后再代入一次函数，即可求解；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
3．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
，解得，
，．
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：关于x的不等式的解集为或．
（3）解：由（1）可知．
设点D的坐标为，则点，
，
，
当时，的最大值为4，
此时点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法及已知点B先求出反比例函数关系式，从而计算出A点坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图形关系及交点A、B坐标分析得出不等式的解集即可；
（3）设点表示目标三角形的面积，进而利用配方法得出其最值即可。
4．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，
时，，
，
，
，
二次函数解析式为；
（2）解：存在；，
点是二次函数图象的顶点，
，
，
联立两个函数表达式得，
解得或，
即点、的坐标分别为、，
由点，，的坐标，
得，，，
是斜边，
，
解得，
；
（3）点，，
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设点，则点，
由（2）知，点、的坐标分别为、，
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由题意得：，解得：，
所以直线的表达式为，
当时，，故点，，
面积，
，故面积有最大值，此时，
故点，，
当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，
故点，
则的最大值．
【分析】（1）根据抛物线对称轴可得a=-1，将x=0代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据顶点坐标可得，联立抛物线与一次函数解析式可得点、的坐标分别为、，再根据勾股定理可得AB2，AC2，BC2，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式可得直线的表达式为，当时，，故点，，再根据三角形面积，结合二次函数性质可得，，当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，故点，则的最大值，即可求出答案.
（1）抛物线的对称轴为直线，
，
，
二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，
时，，
，
，
，
二次函数解析式为；
（2）存在；，
点是二次函数图象的顶点，
，
，
联立两个函数表达式得，
解得或，
即点、的坐标分别为、，
由点，，的坐标，
得，，，
是斜边，
，
解得，
；
（3）设点，则点，
由（2）知，点、的坐标分别为、，
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由题意得：，解得：，
所以直线的表达式为，
当时，，故点，，
面积，
，故面积有最大值，此时，
故点，，
当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，
故点，
则的最大值．
5．【答案】（1）解：将，，代入得，
，解得，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得 ，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：
（2）或
（3）解：把代入得 ，
，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
（4）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；（4）解：由题意知，分三种情况求解：
①当过点时，即，
解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
②当过点时，即，
解得舍去；
③当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或．
【分析】（1）点A，B坐标代入二次函数解析式可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析可得一次函数的表达式为，根据描点法画出图象即可求出答案.
（2）当一次函数图象在二次函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，结合函数图象即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当过点时，②当过点时，③当与直线只有一个交点时，结合函数图象，二次方程判别式即可求出答案.
6．【答案】（1）解：由题意，得二次函数的牵引函数为，联立，
得．
∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，
∴
解得或．
（2）解：由题意可知原函数的解析式为，
∴当时，；当时，．
，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
∴，
当时，，
∴．
①如答图①，当点M在点A的左侧，
即，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得或（舍去）．
②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意；
③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大，
∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得（舍去）或．
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性．（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，再联立两函数解析式消可得一元二次方程，根据只有一个交点可得：，据此可列出方程，解方程可求出a的值；
（2）先求出一次函数的原函数，进而可求出两点的坐标，根据二次函数的性质可求出对称轴为直线，顶点坐标为．据此可得：，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，进而可得：，解不等式可求出；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得，进而可求出m的取值范围．
7．【答案】（1）解：与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：，或
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
，
解得：；
，
，
是整数，
；
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或
【知识点】二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)联立y=2x-1与 并整理得： 求出x值即可求解；
(2)根据“共享函数”的定义求出6 (3)分为①m≤-4，-48．【答案】（1）解：假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，
设“幸福点”坐标为，则，
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为，；
（2）解：∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
（3）解：∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）设“幸福点”坐标为，则，分别代入解析式，得到m、n的方程组求出m、n的值，解题即可；
（2）根据题意可得一次函数与反比例函数只有一个交点，联立方程组得到关于的一元二次方程，令，求出的值解题即可；
（3）根据提议的的哦啊则、关于轴对称的点、一定在上，根据“向光函数”的定义得到，，求出四边形的面积，然后得到，根据a的取值范围解答即可．
9．【答案】【尝试】 ：（1）（，-）．
（2）∵将x＝1代入y=2x2 7x+5，得 y＝0，
∴点A（1，0）在抛物线l上．
（3）将x＝2代入抛物线 y=2x2 7x+5的解析式中，得：
n＝-1．
【发现】 ：（1，0）、（2，-1）．
【应用】 ：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝2代入，计算得：y＝ 6≠-1，
即可得抛物线不经过点B，
二次函数不是二次函数和一次函数y＝ x＋1的一个“再生二次函数”．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：【尝试】（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x2 7x+5＝2（x ）2 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．
【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：
＝t（x 1）（x-3） （x-1）+t(x-1)= t（x 1）（x-2） （x-1）
∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．
【分析】【尝试】：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用】：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．
10．【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
11．【答案】（1）解：一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，理由如下：
设“幸福点”P的坐标为（m，n），
P、Q两点关于y轴对称，
点Q的坐标为（-m，n），
将点P、点Q的坐标分别代入y＝x+2和，
得n=m+2，，
整理得，
解得m1=1，m2=-3，
一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，“幸福点”P的坐标为（1，3）或（-3，1）.
（2）解：一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
联立，
整理得，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
，
解得：k1=-1，k2=7，
“幸福函数”的解析式为y=x2+2x+1或y=x2-6x+9.
（3）解：一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），
A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b 上，
联立，
整理得，
其“幸福函数”y＝ax2+bx+c，
与“幸福函数”y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
xA-xB=xA'-xB'，
“幸福函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），且a+b+c=0，“幸福函数”经过点（-3，4），，
D（1，0），，
，
，
又，
，
解得，
又与“幸福函数”关于y轴对称，
，
，，
，，
，，
又D（1，0），
，，
S四边形，
，
，
，
，
，
的取值范围是：.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）假设一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（-m，n），根据“幸福函数”的定义列出方程，求出m的值即可得到“幸福点”的坐标；
（2）由一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”得出y＝x﹣k+1与只有一个交点，联立得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点得到，求出k的值即可得到“幸福函数”的解析式；
（3）一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b 上，联立y＝-ax+b ，整理得到ax2+bx+c=0，根据“幸福函数”y＝ax2+bx+c 满足的条件得出b=2a-1，c=1-3a，联立a>b>0得出a的取值范围，进而求出点A、B的坐标，然后表示出四边形ABCD的面积，即可求出的取值范围．
12．【答案】（1）解：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，
当x＞0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2），
如图：
∴当t＝2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0，
∴将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，
得：﹣2k+3＝1，
解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，
当x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，
∴①当如图：
由题意得：，
∴1≤m≤2；
②当，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤m≤0，
综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【分析】（1）将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，可求出k的值；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值；
（2）I：由（1）中所求的k、a、b的值可得出一次函数与二次函数的解析式，再根据一次函数与二次函数的增减性即可求解；
Ⅱ：此题可转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，而抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），且经过点（4，11），从而结合图象即可分析得出答案；
Ⅲ：根据题意可得点P、Q关于直线对称，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2；然后分①当与②当两种情况，结合图象分析分别列出关于字母m的不等式组，求解即可.
13．【答案】证明：（1）如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）①如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．
将代入得：，
∴，，．
同（1）可得，
∴，，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴；
（3）存在；
如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．
∵，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
令，得，，
∴，又，
∴，
∴，
设为，则
解得：，
∴
令，得，(舍去)，
当时，，
∴；
如图，当M点位于x轴下方，且，
同理可得，为．
由，得，(舍去)
∴当时，，
∴．
综上：M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D，将点A坐标代入反比例函数解析式可得，，，同（1）可得，根据全等三角形性质可得，，则，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E，根据等角对等边可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据y轴上点的坐标特征可得，则，设为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案；当M点位于x轴下方，且，同理可得，为，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案.
14．【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
15．【答案】解：(1)；.
（2）设反比例函数上的任意一点，
将函数图象按平移后，M的对应点为
则，
，
M在反比例函数上，代入得
即N在函数上
平移后的函数解析式为.
（3）由题可知，抛物线的顶点，
按平移以后的抛物线顶点坐标为，
设平移后的解析式为，与其直线的两个交点分别为，，
联立①②得
整理得：
则：，
由勾股定理得：
，
代入上式，再两边平方，整理得
将③代入，整理得：
设平移后的路径长为l，由已知可得
将代入上式得，
，
当时，最小，即l最小
此时
当平移路径最短时，，.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】（1）解：向下平移2个单位长度，
向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度
平移后
故答案为：；．
【分析】（1）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可；（2）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用待定系数法求出函数解析式即可；（3）先求出平移后的解析式为，再求出，， 结合AB=4，求出，设平移后的路径长为l， 再求出， 最后利用二次函数的性质分析求解即可.
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