湘教版（2025)数学七年级下册4.5垂线 同步分层练习
一、基础夯实
1．（2024七下·红古期中）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·庐江期中） 过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·青秀月考）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线
4．（2025七下·杭州月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点A，B表示两脚的后脚跟，C，D分别在长方形踏板的边缘线上。若AC与BD均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（ ）
A．线段AC的长度 B．线段AD的长度
C．线段BC的长度 D．线段BD的长度
5．（2024七下·魏都期中）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七上·吉林期末）如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线AB的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
7．（2025七下·龙泉驿月考）如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·三水期中）如图，直线相交于点比大，则 °．
9．（2025七下·长沙月考）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
10．（2025七下·泸县月考）如图，，垂足为，为过点的一条直线，若，则 ．
11．（2024七下·诸暨期中）如图，已知，，垂足分别为，F，，试说明．
将下面的解答过程补充完整．
证明：，（已知）
又
．
12．如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂 H 的位置，使之与四个小区的距离之和最小.
（2）另外，计划把河流EF 中的水引入水厂H 中，使之到水厂H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由.
二、能力提升
13．（2025七下·长沙月考）如图，平分平分，且．有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2024七上·义乌期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
15．（2025七下·杭州月考）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则角的度数为 .
16．（2023七下·金乡县月考）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点B到直线的最短路径；
（2）过C点画出的平行线，交于点E；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系 ．
17．（2025七下·金华月考）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出、的数量关系；
（2）如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
三、拓展创新
18．（2024七下·温州期中）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ．
19．（2024七下·金州月考）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）【简单应用】
如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为 ．
（2）【类比拓展】
如图3，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：．
（3）【尝试探究】
两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？（用含的式子表示）（三角形内角和）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故A不合题意；
B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故B不合题意；
C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故C不合题意；
D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；即可判断得到答案．
2．【答案】C
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解： 过点作的垂线， 下列选项中，三角板的方法正确的是：，
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：他的这一选择用到的数学知识是垂线段最短，
故答案为：．
【分析】利用垂线段最短的性质分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段AC的长度，
故答案为：A.
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离．
故选：A．
【分析】本题考查了点到到直线的距离的定义，把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，结合选项，据此定义作答，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，，
∴点C到直线的距离是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，把直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此定义得到点C到直线的距离即垂线段的长，即可解答．
7．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用垂直的概念，可证得， 然后根据，代入计算求出∠COE的度数.
8．【答案】15
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵比大，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
10．【答案】
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了对顶角相等的性质和垂线的定义。根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，最后列式计算即可求出答案。
11．【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换
【知识点】垂线的概念；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：，（已知），
（垂直定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
，
，
（等量代换）．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换．
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
12．【答案】（1）解：如解图， 连结AC 和BD， 线段AC 和BD 的交点H就是水厂的位置，
（2）解：如解图，线段 HM 即为所求.
理由如下：垂线段最短.
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）根据两点间线段最短，连接AC和BD交于点H，点H即为所作；
（2）根据垂线段最短，过点H作HM⊥EF于点M，则EM即为所作.
13．【答案】D
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；故①正确，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③正确；
∵，
∴；故④正确；
综上：正确的有①②③④；
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的概念，可证得，再利用两直线平行，内错角相等，可推出，利用垂直的定义可证得∠DBC=90°，利用余角的性质可证得∠ABC=∠CBE，可对①作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；同时可证得∠CBE+∠CDB=90°，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
14．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为平分，，
所以．
当时，
即，
所以，
即．
故①正确；
当时，可得，
即．
因为，
即，
所以．
故②正确；
当时，，
不能确定的大小．
所以③不正确；
因为平分时，
所以．
因为，
所以，
即，
所以．
则④正确；
所以正确的结论是．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线定义得到，即可得到判断①；然后利用垂直定义得到，即可得到判断②；的度数不能确定的度数判断③；然后利用平角定义可得，然后根据角平分线的定义判断④ 解题．
15．【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵重力G的方向竖直向下，
∵摩擦力. 的方向与斜面平行，
故答案为：
【分析】由垂直的定义得到 ，由平行线的性质推出 ，由三角形的外角性质得到 求出即可.
16．【答案】（1）解：点B到直线的最短路径，即过点B作直线的垂线，
如图所示，过点B作延长线，交于点D，
∴垂线段是点B到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）
【知识点】点到直线的距离；作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（4），理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 过点B作延长线，交于点D， 则垂线段的长是点B到直线的最短路径；
（2）如图，取格点E，画直线CE，则CE即为所求；
（3）根据平移的性质分别确定点A、B、C向左平移格，再向下平移格后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可.
17．【答案】（1）解：由题意得：∠AOB=90°，
∵∠1+∠AOB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°.
（2）解：∠1=∠OBD，∠2=∠OAC，理由如下：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO=∠BDO=90°.
∴∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°.
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OBD，∠2=∠OAC.
（3）60°
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）解：由题意得：∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°－30°－90°=60°.
∵平分，
∴∠OAC=∠CAB=30°.
当AC//l 时，如图：
则∠OAC=∠AOD=30°，
∴∠BOE=90°－30°=60°.
即与直线所成锐角的度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）由题意得：∠AOB=90°，再根据平角的定义即可得到结论；
（2）由AC⊥l，BD⊥l，可得∠ACO=∠BDO=90°.再由直角三角形的两锐角互余可得∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°，结合（1）的结论即可得到答案.
（3）根据题意和角平分的性质求得∠OAC的度数，再结合（1）的结论即可得到答案.
18．【答案】；53
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：分别作出两个定日镜的法线，如图所示：
由题意得：AC⊥MN，BD⊥MN，GA//HB，
∵镜面与立杆的夹角，
∴
∵反射光线与水平线的夹角是，即∠OAN=25°，，
∴
∴
∵光线是平行的，即GA//HB，
∴
∵反射光线与水平线的夹角是，
∴
∵，入射角=反射角，
∴
∴，
∵
∴
故答案为：65；53.
【分析】根据定日镜定义内容作出法线，由题意得AC⊥MN，BD⊥MN，GA//HB，计算出∠NAE度度数，进而根据入射角=反射角计算得∠GAQ和∠OAQ的度数，再利用角的运算即可得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值计算出∠OBH，得到反射角的度数，进而可得∠NBF的度数，即可作答．
19．【答案】（1）65°
（2）解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
（3）解：如图4，在△OBC中，
∵∠MON＝α，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，由光的反射定律可得∠1=∠2，
∵ 射线 ，
，
∴，
∴；
【分析】（1）根据由光的反射定律可得∠1=∠2，再由垂直的定义和平角的定义求出∠1的度数即可得到答案；
（2）由垂线的定义得到∠CON＝90°，再由光的反射定律可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，则可得∠DCB+∠ABC＝180°，据此可证明结论；
（3）由平角的定义得到∠2+∠3＝180°﹣α，则∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，再根据∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD进行求解即可
1 / 1湘教版（2025)数学七年级下册4.5垂线 同步分层练习
一、基础夯实
1．（2024七下·红古期中）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故A不合题意；
B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故B不合题意；
C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故C不合题意；
D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；即可判断得到答案．
2．（2024七下·庐江期中） 过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解： 过点作的垂线， 下列选项中，三角板的方法正确的是：，
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3．（2025七下·青秀月考）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：他的这一选择用到的数学知识是垂线段最短，
故答案为：．
【分析】利用垂线段最短的性质分析求解即可.
4．（2025七下·杭州月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点A，B表示两脚的后脚跟，C，D分别在长方形踏板的边缘线上。若AC与BD均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（ ）
A．线段AC的长度 B．线段AD的长度
C．线段BC的长度 D．线段BD的长度
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段AC的长度，
故答案为：A.
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可.
5．（2024七下·魏都期中）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离．
故选：A．
【分析】本题考查了点到到直线的距离的定义，把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，结合选项，据此定义作答，即可得到答案.
6．（2025七上·吉林期末）如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线AB的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，，
∴点C到直线的距离是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，把直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此定义得到点C到直线的距离即垂线段的长，即可解答．
7．（2025七下·龙泉驿月考）如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用垂直的概念，可证得， 然后根据，代入计算求出∠COE的度数.
8．（2025七下·三水期中）如图，直线相交于点比大，则 °．
【答案】15
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵比大，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
9．（2025七下·长沙月考）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
10．（2025七下·泸县月考）如图，，垂足为，为过点的一条直线，若，则 ．
【答案】
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了对顶角相等的性质和垂线的定义。根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，最后列式计算即可求出答案。
11．（2024七下·诸暨期中）如图，已知，，垂足分别为，F，，试说明．
将下面的解答过程补充完整．
证明：，（已知）
又
．
【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换
【知识点】垂线的概念；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：，（已知），
（垂直定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
，
，
（等量代换）．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换．
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
12．如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂 H 的位置，使之与四个小区的距离之和最小.
（2）另外，计划把河流EF 中的水引入水厂H 中，使之到水厂H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由.
【答案】（1）解：如解图， 连结AC 和BD， 线段AC 和BD 的交点H就是水厂的位置，
（2）解：如解图，线段 HM 即为所求.
理由如下：垂线段最短.
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）根据两点间线段最短，连接AC和BD交于点H，点H即为所作；
（2）根据垂线段最短，过点H作HM⊥EF于点M，则EM即为所作.
二、能力提升
13．（2025七下·长沙月考）如图，平分平分，且．有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；故①正确，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③正确；
∵，
∴；故④正确；
综上：正确的有①②③④；
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的概念，可证得，再利用两直线平行，内错角相等，可推出，利用垂直的定义可证得∠DBC=90°，利用余角的性质可证得∠ABC=∠CBE，可对①作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；同时可证得∠CBE+∠CDB=90°，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
14．（2024七上·义乌期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为平分，，
所以．
当时，
即，
所以，
即．
故①正确；
当时，可得，
即．
因为，
即，
所以．
故②正确；
当时，，
不能确定的大小．
所以③不正确；
因为平分时，
所以．
因为，
所以，
即，
所以．
则④正确；
所以正确的结论是．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线定义得到，即可得到判断①；然后利用垂直定义得到，即可得到判断②；的度数不能确定的度数判断③；然后利用平角定义可得，然后根据角平分线的定义判断④ 解题．
15．（2025七下·杭州月考）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则角的度数为 .
【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵重力G的方向竖直向下，
∵摩擦力. 的方向与斜面平行，
故答案为：
【分析】由垂直的定义得到 ，由平行线的性质推出 ，由三角形的外角性质得到 求出即可.
16．（2023七下·金乡县月考）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点B到直线的最短路径；
（2）过C点画出的平行线，交于点E；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系 ．
【答案】（1）解：点B到直线的最短路径，即过点B作直线的垂线，
如图所示，过点B作延长线，交于点D，
∴垂线段是点B到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）
【知识点】点到直线的距离；作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（4），理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 过点B作延长线，交于点D， 则垂线段的长是点B到直线的最短路径；
（2）如图，取格点E，画直线CE，则CE即为所求；
（3）根据平移的性质分别确定点A、B、C向左平移格，再向下平移格后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可.
17．（2025七下·金华月考）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出、的数量关系；
（2）如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
【答案】（1）解：由题意得：∠AOB=90°，
∵∠1+∠AOB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°.
（2）解：∠1=∠OBD，∠2=∠OAC，理由如下：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO=∠BDO=90°.
∴∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°.
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OBD，∠2=∠OAC.
（3）60°
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）解：由题意得：∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°－30°－90°=60°.
∵平分，
∴∠OAC=∠CAB=30°.
当AC//l 时，如图：
则∠OAC=∠AOD=30°，
∴∠BOE=90°－30°=60°.
即与直线所成锐角的度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）由题意得：∠AOB=90°，再根据平角的定义即可得到结论；
（2）由AC⊥l，BD⊥l，可得∠ACO=∠BDO=90°.再由直角三角形的两锐角互余可得∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°，结合（1）的结论即可得到答案.
（3）根据题意和角平分的性质求得∠OAC的度数，再结合（1）的结论即可得到答案.
三、拓展创新
18．（2024七下·温州期中）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ．
【答案】；53
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：分别作出两个定日镜的法线，如图所示：
由题意得：AC⊥MN，BD⊥MN，GA//HB，
∵镜面与立杆的夹角，
∴
∵反射光线与水平线的夹角是，即∠OAN=25°，，
∴
∴
∵光线是平行的，即GA//HB，
∴
∵反射光线与水平线的夹角是，
∴
∵，入射角=反射角，
∴
∴，
∵
∴
故答案为：65；53.
【分析】根据定日镜定义内容作出法线，由题意得AC⊥MN，BD⊥MN，GA//HB，计算出∠NAE度度数，进而根据入射角=反射角计算得∠GAQ和∠OAQ的度数，再利用角的运算即可得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值计算出∠OBH，得到反射角的度数，进而可得∠NBF的度数，即可作答．
19．（2024七下·金州月考）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）【简单应用】
如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为 ．
（2）【类比拓展】
如图3，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：．
（3）【尝试探究】
两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？（用含的式子表示）（三角形内角和）
【答案】（1）65°
（2）解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
（3）解：如图4，在△OBC中，
∵∠MON＝α，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，由光的反射定律可得∠1=∠2，
∵ 射线 ，
，
∴，
∴；
【分析】（1）根据由光的反射定律可得∠1=∠2，再由垂直的定义和平角的定义求出∠1的度数即可得到答案；
（2）由垂线的定义得到∠CON＝90°，再由光的反射定律可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，则可得∠DCB+∠ABC＝180°，据此可证明结论；
（3）由平角的定义得到∠2+∠3＝180°﹣α，则∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，再根据∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD进行求解即可
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