湘教版（2025)数学七年级下册第四章 平面内的两条直线 单元测试（基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定
2．（2024七下·临湘期末）下列图形中，与是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·长沙月考）下列大学校徽中哪一个可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的？（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·长沙月考）如图，将向右平移得到，已知A，D两点的距离为1，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2025七下·长沙期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·长沙期中）如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·长沙期中）长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角互补
C．同旁内角相等 D．对顶角相等
8．（2025七下·长沙月考）如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023七下·澧县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
10．（2020七下·隆回期末）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：2.2 探索直线平行的条件）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
12．（2019七下·永州期末）如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠1的内错角是 .
13．（2024七下·娄底月考）如图，和重叠在一起，将沿点到点的方向平移到如图位置，已知.图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 .
14．（2025七下·衡阳开学考）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则 ．
15．（2024七下·益阳期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°17'，则∠2= ．
16．（2024七下·桑植期末）如图，下列条件中：
；
；
；
；
．
则一定能判定的条件有 填写所有正确的序号．
17．（2025七下·长沙月考）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
18．（2020七下·张家界期末）如图，已知 ， ， ，且 ， 垂足分别为E，F．则AD与BC间的距离是 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2023七下·宁乡市期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
（1）画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
（2）完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是 ▲ ，数量关系是 ▲ ．
20．（2025七下·长沙期中）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
21．（2024七上·长沙期末） 如图，直线与交于点，平分交直线于点，平分交直线于点，且．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）若：：，求的度数．
22．（2024七上·衡阳期末）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
23．（2024七下·娄底月考）已知直线，点在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点.
（1）如图1，当点在直线MN上，点在直线MN上方时，CB交PQ于点，求证：；
（2）如图2，当点在直线MN上且在点左侧，点在直线MN与PQ之间的，过点作交直线PQ于点，请猜测与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点在直线MN上，且在点左侧，点在直线PQ下方时，过点作交直线PQ于点，作的平分线交直线MN于点，当时，求出的度数.
24．（2024七下·西宁期末）【阅读理解】
（1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽．
如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整）
小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ．
【类比应用】
（2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？
【拓展延伸】
（3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示）
25．（2024七下·朝阳开学考）问题解决：
（1）如图1，ACBD，点P在AC与BD之间，过P作PEAC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
26．（2024七下·永定期末）
（1）如图1，已知，，可得 度；
（2）如图2，在（1）的条件下，如果平分，求度数；
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，如果，求的度数；
（4）尝试解决下面问题：如图4，，，是的平分线，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交．故选C．
【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可．
2．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，
B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角，
C选项中，与是对顶角．
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”逐项判断解题．
3．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都是轴对称图形，不符合题意；C选项图形可以看成是由图案自身一部分经平移后得到，符合题意.故答案为C.
【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的定义： 平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将向右平移得到，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查利用平移的性质解决问题，平移的性质.将向右平移得到，可得图形中每一点都沿平移方向平移了相同的距离，据此可得，再根据，利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据题意，有，整理得.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，γ实际上是两条入射光线的折射角之和，结合条件入射角与折射角的比例关系以及平行性质，可得到 夹角与，的数学关系式.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ，且∠ACB=60°，
∴∠AHE=∠ACB=60°.
∴∠DHA=180°-∠AHE=180°-60°=120°.
故答案为：B.
【分析】先根据平行得出∠AHE=60°，然后利用∠AHE与∠DHA互为补角的关系计算得到∠DHA.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，故A正确；
B、内错角互补，不能判定两直线平行，故B错误；
C、同旁内角相等，不能判定两直线平行，故C错误；
D、对顶角相等，不能判定两直线平行，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补均可判定两直线平行，而对顶角相等与平行无关.
8．【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，则（内错角相等，两直线平行），故能判定平行，不符合题意；
B、，则（内错角相等，两直线平行），故能判定平行，不符合题意；
C、，则（同位角相等，两直线平行），故不能判定，符合题意；
D、，则（同旁内角互补，两直线平行），故能判定平行，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可对A、B作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对C作出判断；利用同旁内角互补，两直线平行，可对D作出判断.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知建在点C处，汽车站离村庄最近，
故选：C．
【分析】本题考查了垂线的性质，其中经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此定义，结合图形，即可得到答案.
10．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AB=2，AC=6，
∴BC=6 2=4，
即直线b与直线c之间的距离为4.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，据此求解.
11．【答案】a∥c
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解．
12．【答案】∠3
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义可得∠3，
故答案为∠3.
【分析】运用内错角的定义判定．
13．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移可得DE=AB=9，DE∥AB，S△ABC=S△DEF，
∴EH=9-3=6，S阴影DHCF=S梯形ABEH=15，
∴（EH+AB）·BE=15，
∴×（6+9）·BE=15，
∴BE=2.
即平移的距离为2.
故答案为：2
【分析】根据平移的性质可知AB=DE，由此可求出EH的长.由S△ABC=S△DEF，可得S△ABC-S△CHE=S△DEF-S△CHE，即S阴影DHCF=S梯形ABEH，结合梯形的面积公式即可求出BE的长度，即为平移的距离。
14．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，
∴∠2=∠ABC，
又∵∠1=30°，∠1+∠ABC=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠2=∠ABC=60°；
故答案为：．
【分析】 根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠ABC，由直角三角板两锐角互余求得∠ABC，进而可求解.
15．【答案】57°43'
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠1+∠4=90°，
∴ ∠4=90°-∠1，
∵ 直尺的上下边平行，
∴ ∠3=∠4，
∵ ∠2=∠3，
∴ ∠2=∠4=90°-∠1=57°43'.
故答案为：57°43'.
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等，即可求得.
16．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①若，根据同旁内角互补，两直线平行可得，符合题意；
②若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
③若，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；
④若，根据同位角相等，两直线平行可得，符合题意；
⑤若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断．
17．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
18．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：AD与BC间的距离就是CE的长度，
∴AD与BC间的距离是5，
故答案为：5．
【分析】AD与BC间的距离就是CE的长度，从而可得出答案．
19．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）平行；相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质作图即可。
（2）利用平移的性质即可求出答案。
20．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴.
∴
（2）解：∵，
∴.
∵，且，
∴.
∵平分，
∴.
∴
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行条件得到内错角相等，即，然后结合条件可得到（相等的传递性），再根据内错角相等，两直线平行可证明；
（2）根据垂直条件 以及（1）过程、 、先计算并得到，然后根据角平分条件“平分”，得到，最后在内计算可得度数.
21．【答案】（1）解：，分别平分和，
，，
，
，
的度数为；
（2）证明：由得：，
，
，
，
；
（3）解：平分，
，
：：，
：：，
，
，
，
平分，
，
，
的度数为．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可；
（3）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可.
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）解：不变，．
，
，，
平分，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角的运算求出即可；
（3）利用平行线的性质可得 ，， 再利用角平分线的定义可得，最后求出即可.
23．【答案】（1）解：，
，
（2）解：，理由如下：
过点B作，
，
，
，
.
（3）解：过点B作，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可得出结论；
（2）过点B作BF∥MN，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等以及角度的计算即可得出结论；
（3）过点B作GH∥MN，利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义即可求解.
24．【答案】解：（1）；2
（2）设小路宽为
根据题意得
解得：
则小路的宽不能超过2米；
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；平移的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可列方程为
解得：，
故答案为：，2.
（3）则花坛的总面积为：
，
故答案为：
【分析】（1）利用长方形的面积公式列出方程，再求解即可；
（2）设小路宽为，根据“ 栽种花草的面积不少于 ”列出不等式，再求解即可；
（3）利用长方形的面积公式及割补法列出算式求解即可.
25．【答案】(1)
(2)解：．理由如下：
如图，过P作PFAC，
∵ PFAC，
∴，
∵ PFAC，ACBD，
∴PF BD，
∴，
∴，
即；
（3）
解：．理由如下：
过Q作QGAC，如图，
∵ QGAC，
∴，
∵QGAC，ACBD，
∴QGBD，
∴，
∴，
即，
∵ AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴，，
∴，
由（2）得，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵ PEAC，
∴，
∵ PEAC，ACBD，
∴PE BD，
∴，
∴，
即；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，PE BD，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过P作PFAC，根据直线平行性质可得，PF BD，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）过Q作QGAC，根据直线平行性质可得，QGBD，则，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
26．【答案】（1）45
（2）解：平分，
，
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
，
是的平分线，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，
；
故答案为：45.
【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，进而根据补角即可求出∠ECM的度数；
（3）先根据垂直得到∠NCM的度数，进而进行角的运算即可求解；
（4）先根据垂直结合题意求出∠BCN的度数，从而根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，再根据平行线的性质即可求解。
1 / 1湘教版（2025)数学七年级下册第四章 平面内的两条直线 单元测试（基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交．故选C．
【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可．
2．（2024七下·临湘期末）下列图形中，与是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，
B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角，
C选项中，与是对顶角．
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”逐项判断解题．
3．（2023七下·长沙月考）下列大学校徽中哪一个可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都是轴对称图形，不符合题意；C选项图形可以看成是由图案自身一部分经平移后得到，符合题意.故答案为C.
【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的定义： 平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，即可得到答案.
4．（2024七下·长沙月考）如图，将向右平移得到，已知A，D两点的距离为1，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将向右平移得到，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查利用平移的性质解决问题，平移的性质.将向右平移得到，可得图形中每一点都沿平移方向平移了相同的距离，据此可得，再根据，利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
5．（2025七下·长沙期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据题意，有，整理得.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，γ实际上是两条入射光线的折射角之和，结合条件入射角与折射角的比例关系以及平行性质，可得到 夹角与，的数学关系式.
6．（2025七下·长沙期中）如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ，且∠ACB=60°，
∴∠AHE=∠ACB=60°.
∴∠DHA=180°-∠AHE=180°-60°=120°.
故答案为：B.
【分析】先根据平行得出∠AHE=60°，然后利用∠AHE与∠DHA互为补角的关系计算得到∠DHA.
7．（2025七下·长沙期中）长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角互补
C．同旁内角相等 D．对顶角相等
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，故A正确；
B、内错角互补，不能判定两直线平行，故B错误；
C、同旁内角相等，不能判定两直线平行，故C错误；
D、对顶角相等，不能判定两直线平行，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补均可判定两直线平行，而对顶角相等与平行无关.
8．（2025七下·长沙月考）如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，则（内错角相等，两直线平行），故能判定平行，不符合题意；
B、，则（内错角相等，两直线平行），故能判定平行，不符合题意；
C、，则（同位角相等，两直线平行），故不能判定，符合题意；
D、，则（同旁内角互补，两直线平行），故能判定平行，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可对A、B作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对C作出判断；利用同旁内角互补，两直线平行，可对D作出判断.
9．（2023七下·澧县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知建在点C处，汽车站离村庄最近，
故选：C．
【分析】本题考查了垂线的性质，其中经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此定义，结合图形，即可得到答案.
10．（2020七下·隆回期末）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AB=2，AC=6，
∴BC=6 2=4，
即直线b与直线c之间的距离为4.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，据此求解.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：2.2 探索直线平行的条件）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
【答案】a∥c
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解．
12．（2019七下·永州期末）如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠1的内错角是 .
【答案】∠3
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义可得∠3，
故答案为∠3.
【分析】运用内错角的定义判定．
13．（2024七下·娄底月考）如图，和重叠在一起，将沿点到点的方向平移到如图位置，已知.图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 .
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移可得DE=AB=9，DE∥AB，S△ABC=S△DEF，
∴EH=9-3=6，S阴影DHCF=S梯形ABEH=15，
∴（EH+AB）·BE=15，
∴×（6+9）·BE=15，
∴BE=2.
即平移的距离为2.
故答案为：2
【分析】根据平移的性质可知AB=DE，由此可求出EH的长.由S△ABC=S△DEF，可得S△ABC-S△CHE=S△DEF-S△CHE，即S阴影DHCF=S梯形ABEH，结合梯形的面积公式即可求出BE的长度，即为平移的距离。
14．（2025七下·衡阳开学考）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，
∴∠2=∠ABC，
又∵∠1=30°，∠1+∠ABC=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠2=∠ABC=60°；
故答案为：．
【分析】 根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠ABC，由直角三角板两锐角互余求得∠ABC，进而可求解.
15．（2024七下·益阳期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°17'，则∠2= ．
【答案】57°43'
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠1+∠4=90°，
∴ ∠4=90°-∠1，
∵ 直尺的上下边平行，
∴ ∠3=∠4，
∵ ∠2=∠3，
∴ ∠2=∠4=90°-∠1=57°43'.
故答案为：57°43'.
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等，即可求得.
16．（2024七下·桑植期末）如图，下列条件中：
；
；
；
；
．
则一定能判定的条件有 填写所有正确的序号．
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①若，根据同旁内角互补，两直线平行可得，符合题意；
②若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
③若，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；
④若，根据同位角相等，两直线平行可得，符合题意；
⑤若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断．
17．（2025七下·长沙月考）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
18．（2020七下·张家界期末）如图，已知 ， ， ，且 ， 垂足分别为E，F．则AD与BC间的距离是 ．
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：AD与BC间的距离就是CE的长度，
∴AD与BC间的距离是5，
故答案为：5．
【分析】AD与BC间的距离就是CE的长度，从而可得出答案．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2023七下·宁乡市期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
（1）画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
（2）完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是 ▲ ，数量关系是 ▲ ．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）平行；相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质作图即可。
（2）利用平移的性质即可求出答案。
20．（2025七下·长沙期中）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴.
∴
（2）解：∵，
∴.
∵，且，
∴.
∵平分，
∴.
∴
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行条件得到内错角相等，即，然后结合条件可得到（相等的传递性），再根据内错角相等，两直线平行可证明；
（2）根据垂直条件 以及（1）过程、 、先计算并得到，然后根据角平分条件“平分”，得到，最后在内计算可得度数.
21．（2024七上·长沙期末） 如图，直线与交于点，平分交直线于点，平分交直线于点，且．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）若：：，求的度数．
【答案】（1）解：，分别平分和，
，，
，
，
的度数为；
（2）证明：由得：，
，
，
，
；
（3）解：平分，
，
：：，
：：，
，
，
，
平分，
，
，
的度数为．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可；
（3）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可.
22．（2024七上·衡阳期末）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）解：不变，．
，
，，
平分，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角的运算求出即可；
（3）利用平行线的性质可得 ，， 再利用角平分线的定义可得，最后求出即可.
23．（2024七下·娄底月考）已知直线，点在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点.
（1）如图1，当点在直线MN上，点在直线MN上方时，CB交PQ于点，求证：；
（2）如图2，当点在直线MN上且在点左侧，点在直线MN与PQ之间的，过点作交直线PQ于点，请猜测与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点在直线MN上，且在点左侧，点在直线PQ下方时，过点作交直线PQ于点，作的平分线交直线MN于点，当时，求出的度数.
【答案】（1）解：，
，
（2）解：，理由如下：
过点B作，
，
，
，
.
（3）解：过点B作，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可得出结论；
（2）过点B作BF∥MN，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等以及角度的计算即可得出结论；
（3）过点B作GH∥MN，利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义即可求解.
24．（2024七下·西宁期末）【阅读理解】
（1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽．
如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整）
小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ．
【类比应用】
（2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？
【拓展延伸】
（3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示）
【答案】解：（1）；2
（2）设小路宽为
根据题意得
解得：
则小路的宽不能超过2米；
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；平移的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可列方程为
解得：，
故答案为：，2.
（3）则花坛的总面积为：
，
故答案为：
【分析】（1）利用长方形的面积公式列出方程，再求解即可；
（2）设小路宽为，根据“ 栽种花草的面积不少于 ”列出不等式，再求解即可；
（3）利用长方形的面积公式及割补法列出算式求解即可.
25．（2024七下·朝阳开学考）问题解决：
（1）如图1，ACBD，点P在AC与BD之间，过P作PEAC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
【答案】(1)
(2)解：．理由如下：
如图，过P作PFAC，
∵ PFAC，
∴，
∵ PFAC，ACBD，
∴PF BD，
∴，
∴，
即；
（3）
解：．理由如下：
过Q作QGAC，如图，
∵ QGAC，
∴，
∵QGAC，ACBD，
∴QGBD，
∴，
∴，
即，
∵ AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴，，
∴，
由（2）得，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵ PEAC，
∴，
∵ PEAC，ACBD，
∴PE BD，
∴，
∴，
即；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，PE BD，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过P作PFAC，根据直线平行性质可得，PF BD，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）过Q作QGAC，根据直线平行性质可得，QGBD，则，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
26．（2024七下·永定期末）
（1）如图1，已知，，可得 度；
（2）如图2，在（1）的条件下，如果平分，求度数；
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，如果，求的度数；
（4）尝试解决下面问题：如图4，，，是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）45
（2）解：平分，
，
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
，
是的平分线，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，
；
故答案为：45.
【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，进而根据补角即可求出∠ECM的度数；
（3）先根据垂直得到∠NCM的度数，进而进行角的运算即可求解；
（4）先根据垂直结合题意求出∠BCN的度数，从而根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，再根据平行线的性质即可求解。
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