广东省广州市庆丰实验学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
1．（2025高二下·广州期中）若函数在处切线斜率为1，则（ ）
A． B．0.5 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数在处切线斜率为1，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的定义和函数极限的关系，再变形得出的值．
2．（2025高二下·广州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
3．（2025高二下·广州期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，因为对函数求导得：，当时，，
所以函数的单调递增区间是．
故选：C
【分析】求出函数的导数，利用导数正负与函数单调性的关系得到不等式，求解即可得出答案．
4．（2025高二下·广州期中）一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，
则成等比数列，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等比数列前项和的性质，从而得出等比数列前项的和.
5．（2025高二下·广州期中）将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．60种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；
然后连同其余三人，看成四个元素，
将四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案.
故答案为：A.
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，再利用组合数公式、排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而得出不同的分配方案种数.
6．（2025高二下·广州期中）已知数列是递增数列，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为数列是递增数列，且，
所以，则，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据数列的单调性，从而列式得出关于t的不等式组，再解不等式组得出实数t的取值范围.
7．（2025高二下·广州期中）若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，
则，
因为，可得，
所以，函数单调递减，
又因为为偶函数，可得函数关于对称，
因为，所以，则，
所以不等式，可化为，
则，所以，
则不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】设函数，利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，再结合偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，从而得出不等式的解集.
8．（2025高二下·广州期中）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选D.
【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围.
9．（2025高二下·广州期中）已知m，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为m，且.
对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确；
对于选项B：因为，
整理得，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C：
因为
，
所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可知，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据阶乘的定义分析判断出选项A；根据组合数公式列式求解判断出选项B；根据组合数公式分析证明判断出选项C；举反例说明判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．（2025高二下·广州期中）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．（2025高二下·广州期中）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：对于A，由，可得，
则、、，、，
将上式累加得，
因为，则，故A正确；
对于B，由，可得、、、，
将上式累加得，
又因为，则，故B错误；
对于C，因为成立，用数学归纳法证明如下：
①当时，，满足规律，
②假设当时满足成立，
当时，
则
成立，满足规律，
故，令，
则成立，故C正确；
对于D，由，可得，
所以
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由可得，利用累加法可判断出选项A；由结合累加法可判断选项B；利用数学归纳法可判断选项C；由可得，再结合裂项相消法可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高二下·广州期中）已知等差数列的前项和为，若，则
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，，
因为，根据等差数列的求和公式，
则，
故.
故答案为：.
【分析】利用等差数列下标和的性质和等差数列前项和公式，从而得出的值.
13．（2025高二下·广州期中）的展开式中，的系数为 .
【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为15 .
故答案为：15
【分析】首先由已知条件求出二项展开式的通项公式，再由已知条件代入数值计算出满足题意的r的值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
14．（2025高二下·广州期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
15．（2025高二下·广州期中）高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一（1）班36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 20 20 20 8 3 0 9
女生 16 6 6 16 4 10 6
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：
（1）求从20名男生中随机选出2名有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率等于
（2）已知16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.
【答案】（1）解：从20名男生中随机选出2名有种情况，
2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，
用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”，
则.
故答案为：；；.
（2）解：由题意知，选取的16名女生中，6人选“物理、化学、生物”，
4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”，
用B表示事件“2人选科方案不同”，
则，
所以.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，从而得出从20名男生中随机选出2名的情况种数；再结合分步乘法计数原理得出2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合情况的种数；由题意结合古典概率公式得出2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率.
（2）先根据题意，分别求出选“物理、化学、生物”， “生物、政治、历史”，“生物、历史、地理”的人数，然后求出2人选科方案相同的概率，再利用对立事件的概率公式，从而得出2人选科方案不同的概率.
（1）从20名男生中随机选出2名有种情况；，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，
用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”，
则.
故答案为：；；.
（2）由题意知选取的16名女生中，有6人选“物理、化学、生物”，
4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”..
用B表示事件“2人选科方案不同”，
则，
所以.
16．（2025高二下·广州期中）已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间.
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）因为，
则，，
当和时，，则函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）因为，则，
设，，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件求导得到，再利用导数判断函数的单调性，从而得到函数的单调递增区间.
（2）利用已知条件，将变换得到，设，利用求导判断函数的单调性，从而得到函数的单调区间，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
17．（2025高二下·广州期中） 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明：．
【答案】（1）证明：由，可得，
则，
即数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）解：根据（1），可得，则；
（3）证明：由（2）可得：，
令，，
因为在上单调递增，且
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得证.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即可；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性证明即可.
18．（2025高二下·广州期中）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）
（Ⅰ）设 ，则当 时， ；当 时， .
所以f（x）在 单调递减，在 单调递增.
（Ⅱ）设 ，由 得x=1或x=ln（-2a）.
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则ln（-2a）＜1，故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
③若 ，则 ，故当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，取b满足b＜0且 ，
则 ，所以 有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则 ，所以 只有一个零点.
（iii）设a＜0，若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递增.
又当 时， ＜0，故 不存在两个零点；若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.又当 时 ＜0，故 不存在两个零点.
综上，a的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）先求得 再根据1，0，2a的大小进行分类确定 的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论，通过分类讨论函数的单调性，确定零点个数，从而可得a的取值范围为 .
19．（2025高二下·广州期中）数列满足，
（1）求的值；
（2）求数列前项和；
（3）令，，证明：数列的前项和满足．
【答案】（1）解：依题意，得：，
.
（2）解：依题意，当时，
，
又因为也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
故.
（3）证明：，
，
，
，
猜想：①，
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，则.
所以
，
故①成立；
先证不等式②，
令，
则，
，则②成立，
在②中，令，得到③，
当时，；
当时，由①和③得：
，证毕.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3，从而依次算出的值.
(2)用作差法和检验法求出数列的通项公式，再结合等比数列的定义和等比数列前n项和公式得出数列前项和.
(3)由（2）结合已知条件得出数列的通项公式，利用数列求和公式求出的值，则根据归纳推理的方法猜想，再用数学归纳法证明，则用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩证出成立.
（1）依题，
；
（2）依题当时，，
，又也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，故；
（3），，
，
，
，
猜想：①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，即.
从而
.
故①成立.
先证不等式②
令，
则.
，即②成立.
在②中令，得到③
当时，；
当时，由①及③得：
.
证明完毕.
1 / 1广东省广州市庆丰实验学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
1．（2025高二下·广州期中）若函数在处切线斜率为1，则（ ）
A． B．0.5 C．1 D．2
2．（2025高二下·广州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2025高二下·广州期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·广州期中）一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
5．（2025高二下·广州期中）将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．60种
6．（2025高二下·广州期中）已知数列是递增数列，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·广州期中）若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·广州期中）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二下·广州期中）已知m，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．（2025高二下·广州期中）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
11．（2025高二下·广州期中）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025高二下·广州期中）已知等差数列的前项和为，若，则
13．（2025高二下·广州期中）的展开式中，的系数为 .
14．（2025高二下·广州期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
15．（2025高二下·广州期中）高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一（1）班36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 20 20 20 8 3 0 9
女生 16 6 6 16 4 10 6
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：
（1）求从20名男生中随机选出2名有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率等于
（2）已知16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.
16．（2025高二下·广州期中）已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间.
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
17．（2025高二下·广州期中） 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明：．
18．（2025高二下·广州期中）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
19．（2025高二下·广州期中）数列满足，
（1）求的值；
（2）求数列前项和；
（3）令，，证明：数列的前项和满足．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数在处切线斜率为1，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的定义和函数极限的关系，再变形得出的值．
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
3．【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，因为对函数求导得：，当时，，
所以函数的单调递增区间是．
故选：C
【分析】求出函数的导数，利用导数正负与函数单调性的关系得到不等式，求解即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，
则成等比数列，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等比数列前项和的性质，从而得出等比数列前项的和.
5．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；
然后连同其余三人，看成四个元素，
将四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案.
故答案为：A.
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，再利用组合数公式、排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而得出不同的分配方案种数.
6．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为数列是递增数列，且，
所以，则，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据数列的单调性，从而列式得出关于t的不等式组，再解不等式组得出实数t的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，
则，
因为，可得，
所以，函数单调递减，
又因为为偶函数，可得函数关于对称，
因为，所以，则，
所以不等式，可化为，
则，所以，
则不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】设函数，利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，再结合偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，从而得出不等式的解集.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选D.
【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为m，且.
对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确；
对于选项B：因为，
整理得，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C：
因为
，
所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可知，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据阶乘的定义分析判断出选项A；根据组合数公式列式求解判断出选项B；根据组合数公式分析证明判断出选项C；举反例说明判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：对于A，由，可得，
则、、，、，
将上式累加得，
因为，则，故A正确；
对于B，由，可得、、、，
将上式累加得，
又因为，则，故B错误；
对于C，因为成立，用数学归纳法证明如下：
①当时，，满足规律，
②假设当时满足成立，
当时，
则
成立，满足规律，
故，令，
则成立，故C正确；
对于D，由，可得，
所以
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由可得，利用累加法可判断出选项A；由结合累加法可判断选项B；利用数学归纳法可判断选项C；由可得，再结合裂项相消法可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，，
因为，根据等差数列的求和公式，
则，
故.
故答案为：.
【分析】利用等差数列下标和的性质和等差数列前项和公式，从而得出的值.
13．【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为15 .
故答案为：15
【分析】首先由已知条件求出二项展开式的通项公式，再由已知条件代入数值计算出满足题意的r的值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
14．【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
15．【答案】（1）解：从20名男生中随机选出2名有种情况，
2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，
用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”，
则.
故答案为：；；.
（2）解：由题意知，选取的16名女生中，6人选“物理、化学、生物”，
4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”，
用B表示事件“2人选科方案不同”，
则，
所以.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，从而得出从20名男生中随机选出2名的情况种数；再结合分步乘法计数原理得出2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合情况的种数；由题意结合古典概率公式得出2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率.
（2）先根据题意，分别求出选“物理、化学、生物”， “生物、政治、历史”，“生物、历史、地理”的人数，然后求出2人选科方案相同的概率，再利用对立事件的概率公式，从而得出2人选科方案不同的概率.
（1）从20名男生中随机选出2名有种情况；，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，
用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”，
则.
故答案为：；；.
（2）由题意知选取的16名女生中，有6人选“物理、化学、生物”，
4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”..
用B表示事件“2人选科方案不同”，
则，
所以.
16．【答案】解：（1）因为，
则，，
当和时，，则函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）因为，则，
设，，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件求导得到，再利用导数判断函数的单调性，从而得到函数的单调递增区间.
（2）利用已知条件，将变换得到，设，利用求导判断函数的单调性，从而得到函数的单调区间，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
17．【答案】（1）证明：由，可得，
则，
即数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）解：根据（1），可得，则；
（3）证明：由（2）可得：，
令，，
因为在上单调递增，且
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得证.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即可；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性证明即可.
18．【答案】解：（Ⅰ）
（Ⅰ）设 ，则当 时， ；当 时， .
所以f（x）在 单调递减，在 单调递增.
（Ⅱ）设 ，由 得x=1或x=ln（-2a）.
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则ln（-2a）＜1，故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
③若 ，则 ，故当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，取b满足b＜0且 ，
则 ，所以 有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则 ，所以 只有一个零点.
（iii）设a＜0，若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递增.
又当 时， ＜0，故 不存在两个零点；若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.又当 时 ＜0，故 不存在两个零点.
综上，a的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）先求得 再根据1，0，2a的大小进行分类确定 的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论，通过分类讨论函数的单调性，确定零点个数，从而可得a的取值范围为 .
19．【答案】（1）解：依题意，得：，
.
（2）解：依题意，当时，
，
又因为也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
故.
（3）证明：，
，
，
，
猜想：①，
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，则.
所以
，
故①成立；
先证不等式②，
令，
则，
，则②成立，
在②中，令，得到③，
当时，；
当时，由①和③得：
，证毕.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3，从而依次算出的值.
(2)用作差法和检验法求出数列的通项公式，再结合等比数列的定义和等比数列前n项和公式得出数列前项和.
(3)由（2）结合已知条件得出数列的通项公式，利用数列求和公式求出的值，则根据归纳推理的方法猜想，再用数学归纳法证明，则用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩证出成立.
（1）依题，
；
（2）依题当时，，
，又也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，故；
（3），，
，
，
，
猜想：①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，即.
从而
.
故①成立.
先证不等式②
令，
则.
，即②成立.
在②中令，得到③
当时，；
当时，由①及③得：
.
证明完毕.
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