2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件2.2课时4 二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质

(共31张PPT)
第二章 二次函数
2.2二次函数的图像和性质
课时4 二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象（重点）
2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质
3.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象的平移关系
（重点、难点）
学习目标
新课导入
y＝ax2
k＞0 上移
y＝ax2＋k
y＝ax2
y＝a(x－h)2
k＜0 下移
顶点在y轴上
左加
右减
顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
新课讲解
画出函数 的图像
新课讲解
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
…
解: 先列表
再描点、连线
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
新课讲解
例
对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；
③ 顶点坐标为（-1，3）；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小.
其中正确结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
C
新课讲解
分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④ x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C.
新课讲解
练一练
1.抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　)
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(3，－4) D．(2，4)
A
2.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象
限，则m的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
新课讲解
观察图象得到：抛物线的开口向下，
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
抛物线 的开口方向、对称轴、顶点
新课讲解
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
抛物线 与
有什么关系
新课讲解
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象有什么关系
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新课讲解
练一练
例
将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系式为(　　)
A．y＝3(x＋2)2＋3　　 B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
分析：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3x2＋3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3(x＋2)2＋3.
A
课堂小结
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点：
(1)当a>0时， 开口向上；
当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h；
(3)顶点是(h，k) .
当堂小练
1.二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
当堂小练
2.将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝2x2＋1
B．y＝2x2－3
C．y＝2(x－8)2＋1
D．y＝2(x－8)2－3
A
拓展与延伸
二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为(　　)
A. B．2 C. D.
D
分析：结合二次函数的增减性及图象的开口方向，对称轴进行解答即可．
1.
已知抛物线y＝2(x－3)2，则：
(1)开口向　 　；
(2)对称轴是　 　；
(3)顶点坐标是　 　；
(4)当x＝　 　时，y的最　 　值是　 　；
(5)当x　 　时，y随x的增大而增大.
　＞3　
　0　
　小　
　3　
　(3，0)　
　直线x＝3　
　上　
课后练习
2.（2024上海一模)将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式是( )
A.y＝3x2－2 B.y＝3x2＋2
C.y＝3(x－2)2 D.y＝3(x＋2)2
D
3.
已知抛物线y＝－2(x－3)2－5，则：
(1)开口向　 　；
(2)对称轴是　 　；
(3)顶点坐标是　 　；
(4)当x＝　 　时，y的最　 　值是　 　；
(5)当x　 　时，y随x的增大而减小.
　＞3　
　－5　
　大　
　3　
　(3，－5)　
　直线x＝3　
　下　
4.(2024广西)将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A.y＝(x＋3)2－4
B.y＝(x＋3)2＋4
C.y＝(x－3)2＋4
D.y＝(x－3)2－4
C
x
y＝－x2
y＝－(x－1)2
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－(x－1)2
y轴
(1，0)
(0，0)
直线x＝1
向下
向下
5. (北师9下P38改编、人教9上P35改编)在同一个平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2与y＝－(x－1)2的图象.
观察图象填空：
(填表画图略)
6.【例2】抛物线y＝3(x－h)2向右平移3个单位长度后，得到抛物线y＝3(x＋2)2，则h＝　 　.
　－5　
7.如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形，求a的值.
解：平移后的抛物线的表达式为y＝(x－a)2＝x2－2ax＋a2，∴顶点A的坐标为(a，0).
令x＝0，则y＝a2，∴B(0，a2).
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a＝a2.解得a1＝1，a2＝0(舍去).
故a的值为1.
小结：用字母表示出关键点的坐标，列方程求解.
8.(2024杭州模拟)将抛物线y＝2(x＋3)2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是( )
A.(5，－2) B.(1，－2)
C.(－1，4) D.(－5，－2)
D
小结：左右平移的规律——左“+”右“-”；
上下平移的规律——上“+”下“-”.
9.【例5】(2024广东)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为
　 　.
　y＝2(x＋1)2－2　
10.【例6】已知点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线y＝(x－h)2＋k上，则：
(1)若x1＜x2＜h，则y1，y2，k的大小关系是　 　(用“＜”连接)；
(2)当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围为
　 　.
　h≤3　
　k＜y2＜y1　
11.抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝－4(x－4)2，则m＝　 　，n＝　 　.
　－6　
　－4　
★12. 0.50 (创新题)已知抛物线y＝2(x－1)2的顶点为A，且与y轴交于点B.
(1)A的坐标为　 　，B的坐标为　 　；
(2)点P在抛物线上且在第一象限，S△PAB＝2，求点P的坐标.
　(0，2)　
　(1，0)　
解：(2)∵y＝2(x－1)2＝2x2－4x＋2，
∴设点P(a，2a2－4a＋2)，
如图，过点P作PC⊥x轴于点C，则S△PAB＝S梯形PBOC－S△ABO－S△PAC＝(2＋2a2－4a＋2)·a－1×2－(2a2－4a＋2)×(a－1)＝a2－a，∵S△PAB＝2，∴a2－a＝2.解得a1＝－1(舍)，a2＝2.
∴点P的坐标为(2，2).
答案图
★13. 0.55 (创新题)(2023惠州月考)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A.3或6　 B.1或6
C.1或3　 D.4或6
B
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布置作业
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