习题课（二） 随机变量及其分布
一、选择题
1．已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)＝P(B)，则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为P(AB)＝P(A)＝P(B)，
所以P(A|B)＝＝.
2．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为( )
A．0.5分 B．－0.5分
C．1分 D．5分
解析：选B E(X)＝10×＋(－11)×＝－0.5.
3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则数学期望E(ξ)等于( )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
解析：选D 由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3，
所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
解析：选A 因为D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6.
5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为.
6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝
(例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5，
P(X＝1)＝C×4×0＝，
P(X＝2)＝C×3×1＝，
P(X＝3)＝C×2×2＝，
P(X＝4)＝C×1×3＝，
P(X＝5)＝C×0×4＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，
设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，
因此Y～B，所以E(Y)＝4×＝，
从而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝＋1＝.
二、填空题
7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
解析：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
答案：
8．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________．
解析：根据随机变量的概率分布的性质，
可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，
故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
答案：0.3
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，
每粒种子发芽与否相互独立，
故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，
∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200.
答案： 200
三、解答题
10．某一射手射击所得环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 m 0.29 0.22
(1)求m的值；
(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．
解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
11．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名．
(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差．
解：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数n＝C＝20，
设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”，
A1表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名数学老师”，
A1，A2互斥，且A＝A1∪A2，P(A1)＝＝＝，P(A2)＝＝，
∴选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为p＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)由于从6名老师中任选3名的结果为C，
从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为CC(m＝0,1,2)，那么6名中任选3人，
恰有m名数学老师的概率为P(X＝m)＝，
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
12．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．
(1)求样本容量及x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，
频率为0.008×10＝0.08，
所以样本容量n＝＝25，
x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.
(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，
所以ξ的所有可能取值为0,1,2，
因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
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高频考点二 离散型随机变量的分布列及期望方差
[例2] 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．
[解] (1)由题意，X的取值分别为0,20,100，
则P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
设先回答B类问题累计得分为Y，Y的取值可能为0,80,100，
则P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为E(Y)＞E(X)，所以应选择先回答B类问题．
[方法技巧]
求解离散型随机变量均值、方差的步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)利用E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值，利用D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差．
[集训冲关]
为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X，Y的分布列；
(2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
解：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴X，Y的分布列分别为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得
E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；
E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；
D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；
又因为D(X)所以甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．
2．已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格．若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少？
高频考点四 正态分布问题
[例4] (1)某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩在550～600分的人数．
(2)生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：
①X的密度函数；
②生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．
[方法技巧]
(1)注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”的问题．
(3)由于涉及连续型随机变量的密度曲线，我们在解题时应与曲线的图象巧妙结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．
2．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，
故P(58.5答案：683
