第2节 力的合成和分解
[学习目标] 1．会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2．能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
3．知道“活结”与“死结”“动杆”与“定杆”的区别。
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果____，这一个力就叫作那几个力的____，那几个力叫作这一个力的____。
②关系：合力与分力是________关系。
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的____的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的________为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表____的大小和方向。如图甲所示，F1、 F2为分力，F为合力。
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的________为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力。
2．力的分解
(1)定义：求一个力的____的过程。力的分解是力的合成的______。
(2)遵循的原则
①__________定则；②三角形定则。
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面____，二是使物体____斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝______________，G2＝______________。
②正交分解法：将已知力按互相____的两个方向进行分解的方法。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有____，相加时遵从__________定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有____，相加时遵从____法则的物理量，如路程、速率等。
1．易错易混辨析
人教版必修第一册P72情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 ( )
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 ( )
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 ( )
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 ( )
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 ( )
2．(人教版必修第一册改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是( )
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
3．(人教版必修第一册改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是( )
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法的应用：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法应用的几种特例
F＝ F＝2F1cos F＝F1＝F2
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合力
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
[典例1] (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
[听课记录]
[典例2] (一题多法)杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208 m 主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧有32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么该对钢索对塔柱形成的合力有多大(结果保留两位有效数字)？方向如何？
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[听课记录]
力的分解
1．常用方法对比
正交分解法 效果分解法
分解方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例分析 x轴方向上的分力 Fx＝F cos θ y轴方向上的分力 Fy＝F sin θ F1＝ F2＝G tan θ
2．方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
[典例3] 2024年夏季，我国南方部分地区遭受洪涝灾害造成路面塌陷、桥梁垮塌，一汽车行驶中不慎陷入泥潭，碰巧在车前方30 m处有一棵大树，如图甲所示，司机拿出后备箱里的绳索一端系在车上，一端系在树上，他在绳索中点垂直绳子施加F＝100 N的水平恒力，将绳索中点拉离原位置x＝30 cm，如图乙所示，结果就把车拉了出来，则车被拉出时绳子对车的拉力约为(θ角很小时，sin θ≈tan θ)( )
A．500 N B．1 000 N
C．2 500 N D．5 000 N
[听课记录]
[典例4] 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑。
(1)求两次的推力之比；
(2)如果斜面不固定，但由于摩擦，斜面不动，求两次地面对斜面的摩擦力之比。
[听课记录]
力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两分力不平行) 有唯一解
已知合力与两个分力的大小(两分力不平行) 在同一平面内有两解或无解(当－F2|或F>F1＋F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向 有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 在0<θ<90°时有三种情况：(1)当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解；(2)当F1F时有一组解，其余情况无解
[典例5] (多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A． B．F
C． D．F
[听课记录]
“死结”与“活结”“动杆”与“定杆”问题
1．“死结”与“活结”
“活结”模型 “死结”模型
图例
特点 “活结”两侧轻绳的张力大小相等 “死结”两侧轻绳的张力大小不一定相等
2．“动杆”与“定杆”
“动杆”模型 “定杆”模型
图例
特点 处于平衡状态时杆的弹力方向一定沿杆 杆的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
[典例6] 如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC绳与竖直方向的夹角为α＝70°。OA绳与竖直方向的夹角为β(未知)。若甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为( )
A．16 N B．23 N
C．31 N D．41 N
[听课记录]
[典例7] 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，不计摩擦，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
[听课记录]
1．(2023·重庆卷)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为( )
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
2．(2023·浙江6月选考)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为( )
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
3．(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为( )
A．f B．f
C．2f D．3f
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为( )
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
第2节 力的合成和分解
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(1)相同 合力 分力 等效替代 (3)合力
有向线段 合力 有向线段
2．(1)分力 逆运算 (2)平行四边形 (3)下滑 压紧 G sin θ G cos θ 垂直
3．(1)方向 平行四边形 (2)方向 算术
激活·基本技能
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．A [两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故8 N≤F≤12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力，6 N 没在范围之内是不可能的合力，故选A。]
3．BD [由力的合成可知，两力合力的范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两分力相等，故A错误；若F1与F2大小不变，θ越小，则合力F越大，故B正确；如果θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F可能减小，也可能增大，故C错误；合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同，故D正确。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 ABC [两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。]
典例2 解析：解法一 作图法
如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N
则OA和OB的长度都是3个单位长度，量得对角线OC长约为5.2个单位长度
所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N，方向竖直向下。
解法二 计算法
如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AD＝DB，OD＝OC
对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°
则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N，方向竖直向下。
答案：5.2×104 N 方向竖直向下
考点2
典例3 C [
如图所示，将作用在绳索中点的水平恒力F分解到沿AO方向的拉力F1和沿BO方向的拉力F2，因F1＝F2，则有＝F1sin θ， 由于x d，则sin θ≈tan θ，因此F1≈，代入数值得F1≈2 500 N，故选C。]
典例4 解析：(1)物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图1、2所示。
将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mg sin θ＋Ff1，FN1＝mg cos θ，Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mg sin θ＋Ff2
FN2＝mg cos θ＋F2sin θ
Ff2＝μFN2
解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ
F2＝
故＝cos θ－μsin θ。
(2)因为物体是匀速上滑，与斜面一样都是平衡状态，可选整体为研究对象，将推力F1沿水平方向分解，其分力为F1cos θ，因此两次地面对斜面的摩擦力之比为＝cos2θ－μsinθcos θ。
答案：(1)cos θ－μsin θ
(2)cos2θ－μsinθcos θ
考点3
典例5 AC [如图所示，因F2＝F＞F sin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，则F1的大小分别为F cos 30°－ΔF和F cos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。]
微点突破
典例6 B [甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg, 则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20 N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等，方向相反。由几何关系可知OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°大小均为20 N的两个力的合力大小为20 N，所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力略比20 N大。由于OA绳的拉力大小等于OC绳与OB绳拉力的合力大小，所以可推理出OA绳的拉力约为23 N，故B正确。]
典例7 D [
题图甲中，C点可视为“活结”，两段细绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，因此合力大小是m1g，根据共点力平衡，BC对滑轮的作用力大小也是m1g(方向与竖直方向成60°角，斜向右上方)，故A错误；题图乙中，G点可视为“死结”，以G为研究对象，分析受力情况，如图所示，由平衡条件得FHGtan 30°＝m2g，得FHG＝m2g，则HG杆受到细绳的作用力为 m2g，故B错误；题图甲中细绳AC段的拉力FAC＝m1g，题图乙中由于FEGsin 30°＝m2g，则FEG＝2m2g，＝，故C错误，D正确。]
即时检验·感悟高考
1．B [根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。]
2．D [根据题意，对圆柱体进行受力分析，如图甲所示，把Fa、Fb、G三个力经过平移得到矢量三角形，如图乙所示，根据直角三角形知识可知Fa＝G sin 37°＝0.6G，Fb＝G cos 37°＝0.8G，D正确。
]
3. B [ ]
4．D [由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝1 N，设细线b与水平方向夹角为α，分别对A、B分析有 Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。]
10 / 10(共82张PPT)
第二章 相互作用——力
第2节 力的合成和分解
[学习目标] 1．会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2．能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
3．知道“活结”与“死结”“动杆”与“定杆”的区别。
链接教材·夯基固本
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果____，这一个力就叫作那几个力的____，那几个力叫作这一个力的____。
②关系：合力与分力是________关系。
相同
合力
分力
等效替代
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的____的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的________为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表____的大小和方向。如图甲所示，F1、 F 2为分力，
F为合力。
合力
有向线段
合力
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的________为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力。
有向线段
2．力的分解
(1)定义：求一个力的____的过程。力的分解是力的合成的______。
(2)遵循的原则
①__________定则；②三角形定则。
分力
逆运算
平行四边形
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面____，二是使物体____斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝________，G2＝_______。
②正交分解法：将已知力按互相____的两个
方向进行分解的方法。
下滑
压紧
G sin θ
G cos θ
垂直
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有____，相加时遵从__________定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有____，相加时遵从____法则的物理量，如路程、速率等。
方向
平行四边形
方向
算术
1．易错易混辨析
人教版必修第一册P72情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 ( )
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 ( )
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 ( )
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 ( )
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 ( )
√
√
×
×
√
2．(人教版必修第一册习题改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是( )
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
√
A [两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故8 N≤F≤
12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力，6 N 没在范围之内是不可能的合力，故选A。]
3．(人教版必修第一册习题改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是( )
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
√
√
BD [由力的合成可知，两力合力的范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两分力相等，故A错误；若F1与F2大小不变，θ越小，则合力F越大，故B正确；如果θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F可能减小，也可能增大，故C错误；合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同，故D正确。]
细研考点·突破题型
考点1 力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法的应用：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合
力的大小，量出对角线与某一力的夹角确
定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法应用的几种特例
F＝ F＝2F1cos F＝F1＝F2
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合力
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
[典例1] (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
√
√
√
ABC [两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。]
[典例2] (一题多法)杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208 m 主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧有32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么该对钢索对塔柱形成的合力有多大(结果保留两位有效数字)？
方向如何？
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[解析] 解法一 作图法
如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N
则OA和OB的长度都是3个单位长度，量得对角线OC长约为5.2个单位长度
所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝
5.2×104 N，方向竖直向下。
解法二 计算法
如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AD＝DB，OD＝OC
对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°
则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈
5.2×104 N，方向竖直向下。
[答案] 5.2×104 N 方向竖直向下
考点2 力的分解
1．常用方法对比
正交分解法 效果分解法
分解方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
正交分解法 效果分解法
实例分析 x轴方向上的分力 Fx＝F cos θ y轴方向上的分力 Fy＝F sin θ
F1＝
F2＝G tan θ
2．方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
[典例3] 2024年夏季，我国南方部分地区遭受洪涝灾害造成路面塌陷、桥梁垮塌，一汽车行驶中不慎陷入泥潭，碰巧在车前方30 m处有一棵大树，如图甲所示，司机拿出后备箱里的绳索一端系在车上，一端系在树上，他在绳索中点垂直绳子施加F＝100 N的水平恒力，将绳索中点拉离原位置x＝30 cm，如图乙所示，结果就把车拉了出来，则车被拉出时绳子对车的拉力约为(θ角很小时，sin θ≈tan θ)( )
A．500 N B．1 000 N
C．2 500 N D．5 000 N
√
C [如图所示，将作用在绳索中点的水平恒力F分解到沿AO方向的拉力F1和沿BO方向的拉力F2，因F1＝F2，则有＝F1sin θ， 由于x d，则sin θ≈tan θ，因此F1≈，代入数值得F1≈2 500 N，故选C。]
[典例4] 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑。
(1)求两次的推力之比；
(2)如果斜面不固定，但由于摩擦，
斜面不动，求两次地面对斜面的摩擦力之比。
[解析] (1)物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图1、2所示。
将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mg sin θ＋Ff1，FN1＝mg cos θ，Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mg sin θ＋Ff2
FN2＝mg cos θ＋F2sin θ
Ff2＝μFN2
解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ
F2＝
故＝cos θ－μsin θ。
(2)因为物体是匀速上滑，与斜面一样都是平衡状态，可选整体为研究对象，将推力F1沿水平方向分解，其分力为F1cos θ，因此两次地面对斜面的摩擦力之比为＝cos2θ－μsinθcos θ。
[答案] (1)cos θ－μsin θ (2)cos2θ－μsinθcos θ
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两分力不平行)
有唯一解
考点3 力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的大小(两分力不平行)
在同一平面内有两解或无解(当－F2|或F>F1＋F2时无解)
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与一个分力的大小和方向
有唯一解
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 在0<θ<90°时有三种情况：(1)当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解；(2)当F1F时有一组解，其余情况无解
[典例5] (多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A． B．F
C． D．F
√
√
AC [如图所示，因F2＝F＞F sin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，则F1的大小分别为F cos 30°－ΔF和F cos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。]
“活结”模型 “死结”模型
图例
特点 “活结”两侧轻绳的张力大小相等 “死结”两侧轻绳的张力大小不一定相等
微点突破 “死结”与“活结”“动杆”与“定杆”问题
1．“死结”与“活结”
“动杆”模型 “定杆”模型
图例
特点 处于平衡状态时杆的弹力方向一定沿杆 杆的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
2．“动杆”与“定杆”
[典例6] 如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC绳与竖直方向的夹角为α＝70°。OA绳与竖直方向的夹角为β(未知)。若甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为( )
A．16 N B．23 N
C．31 N D．41 N
√
B [甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20 N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等，方向相反。由几何关系可知OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°大小均为20 N的两个力的合力大小为 20 N, 所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力略比20 N大。由于OA绳的拉力大小等于OC绳与OB绳拉力的合力大小，所以可推理出OA绳的拉力约为23 N，故B正确。]
[典例7] 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，不计摩擦，
则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
√
D [题图甲中，C点可视为“活结”，两段细绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，因此合力大小是m1g，根据共点力平衡，BC对滑轮的作用力大小也是m1g(方向与竖直方向成60°角，斜向右上方)，故A错误；题图乙中，G点可视为“死结”，以G为研究对象，分析受力情况，如图所示，由平衡条件得FHGtan 30°＝m2g，得FHG＝m2g，则HG杆受到细绳的作用力为 m2g，故B错误；题图甲中
细绳AC段的拉力FAC＝m1g，题图乙中由于FEGsin 30°＝m2g，则FEG＝2m2g，＝，故C错误，D正确。]
即时检验·感悟高考
1．(2023·重庆卷)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为( )
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
√
B [根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。]
2．(2023·浙江6月选考)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为( )
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
√
D [根据题意，对圆柱体进行受力分析，如图甲所示，把Fa、Fb、G三个力经过平移得到矢量三角形，如图乙所示，根据直角三角形知识可知Fa＝G sin 37°＝0.6G，Fb＝G cos 37°＝0.8G，D正确。]
3．(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为( )
A．f B．f
C．2f D．3f
√
B [ ]
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为( )
A．2 N，1 N
B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N
D．1 N，0.5 N
√
D [由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝
1 N，设细线b与水平方向夹角为α，分别对A、B分析有 Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。]
课时数智作业(四)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
12
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C [三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时 ，这三个力的合力才可能为零，选项A错误；合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项B错误；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝8F，F1、F2的合力范围为3F≤F′≤9F，F3在这个范围内，所以只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零，选项C正确；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝2F，F1、F2的合力范围为3F≤F′≤9F，F3不在这个范围内，三个力的合力一定不为零，选项D错误。故选C。]
12
2．(多选)如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则( )
A．当F1>F sin α时，一定有两解
B．当F1＝F sin α时，有唯一解
C．当F1D．当F sin α题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
√
BCD [将一个力分解为两个分力，由三角形定则知分力与合力可构成封闭三角形，当F1＜F sin α时，三个力不能构成封闭三角形，故不可能分解为这样的一对分力F1和F2，选项C正确；当F1＝F sin α时，可构成唯一一个直角三角形，选项B正确；当F sin α＜F1＜F时，F1、F2与F可构成两个矢量三角形，即有两解，选项D正确；对于选项A，由于不能确定F1是否小于F，结合前面的分析知，选项A错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为30°，则该力在水平方向的分力大小为( )
A．2F B．F
C．F D．F
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
D [沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力
分解，则该力在水平方向的分力大小为F cos 30°＝F，故选D。]
4．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则( )
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
D [对结点O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y＝，F2y＝，因为α>β，故F1y题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2023·广东卷)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直于壁面。下列关系式正确的是( )
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C [如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，沿斜面方向，由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直斜面方向，由平衡条件得F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．如图所示，一轻质细绳一端固定于竖直墙壁上的O点，另一端跨过光滑且大小可忽略的定滑轮P悬挂物块B，OP段的绳子水平，长度为L。现将一带光滑挂钩的物块A挂到OP段的绳子上，当物块A、B平衡时，物块B上升的高度为L。则物块A、
B的质量之比为( )
A． B．2
C． D．1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A [对B由平衡条件知，绳子拉力T＝mBg，对A受力分析如图所示，根据平衡条件有2T cos θ＝mAg，由几何关系可知sin θ＝＝，解得θ＝30°，＝，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多选)(2025·广东广州质检)耙在中国已有1 500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B＝60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．两根耙索的合力大小为F
B．两根耙索的合力大小为F
C．地对耙的水平阻力大小为
D．地对耙的水平阻力大小为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BC [两根耙索的合力大小为F′＝2F cos 30°＝F, A错误，B正确；由平衡条件得，地对耙的水平阻力大小为Ff＝F′cos 30°＝F，C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．如图所示为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是( )
A．Fa＝Fb
B．Fa>Fb
C．FaD．大小不确定
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A [对题图中的A点受力分析，设轻杆OA的弹力大小分别为F′a，F′b，则由图甲可得Fa＝F′a＝2mg cos 30°＝mg，由图乙可得
tan 30°＝，则Fb＝F′b＝mg，故Fa＝Fb，A正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(2024·河北一模)飞艇常常用于执行扫雷、空中预警、电子干扰等多项作战任务。如图所示为飞艇拖拽扫雷具扫除水雷的模拟图。当飞艇匀速飞行时，绳子与竖直方向恒成θ角。已知扫雷具质量为m，重力加速度为g，扫雷具所受浮力不能忽略，
下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．扫雷具受3个力作用
B．绳子拉力大小为
C．海水对扫雷具作用力的水平分力小于绳子拉力
D．绳子拉力一定大于mg
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C [对扫雷具进行受力分析，受到重力、浮力、拉力和水的水平方向的阻力四个力的作用，如图所示，故A错误；根据平衡条件，竖直方向F浮＋T cos θ＝mg，水平方向f＝T sin θ，计算得出T＝，因此绳子的拉力不一定大于重力，故B、D错误；
扫雷具受到海水的作用力在水平方向的分力等于
海水对扫雷具水平方向的阻力，等于拉力的水平
分力，即小于绳子的拉力，故C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．如图所示，质量均为m的小球A和B分别用轻质细线a、b悬于O点，A、B用轻质细线c连接。给B施加水平向右的拉力F，静止时，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b与竖直方向的夹角为60°，细线c刚好水平，重力加速度为g，则拉力F的大小为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C [根据题意，分别对A、B受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有Fa cos 30°＝mg，水平方向有Fa sin 30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fb cos 60°＝mg，水平方向有FcB＋Fb sin 60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝mg，故C正确。 ]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m, b＝0.05 m，F＝400 N, B与左侧竖直墙壁接触，接触面光滑，铰链和杆受到的重力不计，求：
(1)扩张机AB杆的弹力大小(用含α的三角函数表示)；
(2)D受到向上顶的力的大小。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析] (1)将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，且F1＝F2
则有2F1cos α＝F
则扩张机AB杆的弹力大小为
F1＝＝ N。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)再将F1按作用效果分解为FN和F′N，如图乙所示
则有FN＝F1sin α，联立得FN＝
根据几何知识可知tan α＝＝10
则FN＝5F＝2 000 N。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案] (1) N (2)2 000 N
12．重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为37° 的斜面上，如图所示。sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析] (1)(2)对结点P受力分析如图甲所示，由平衡条件可得FA cos 37°＝G1
FA sin 37°＝FB
解得FB＝6 N
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对木块受力分析，如图乙所示
由平衡条件可得
Ff＝G2sin 37°＋F′B cos 37°
FN＋F′B sin 37°＝G2cos 37°
又F′B＝FB
解得Ff＝64.8 N，FN＝76.4 N。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案] (1)64.8 N (2)76.4 N
谢 谢 ！课时分层作业(四) 力的合成和分解
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
2．(多选)如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则( )
A．当F1>F sin α时，一定有两解
B．当F1＝F sin α时，有唯一解
C．当F1D．当F sin α3．如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为30°，则该力在水平方向的分力大小为( )
A．2F B．F
C．F D．F
4．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则( )
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
5．(2023·广东卷)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直于壁面。下列关系式正确的是( )
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
6．如图所示，一轻质细绳一端固定于竖直墙壁上的O点，另一端跨过光滑且大小可忽略的定滑轮P悬挂物块B，OP段的绳子水平，长度为L。现将一带光滑挂钩的物块A挂到OP段的绳子上，当物块A、B平衡时，物块B上升的高度为L。则物块A、B的质量之比为( )
A． B．2
C． D．1
7．(多选)(2025·广东广州质检)耙在中国已有1 500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B＝60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是( )
A．两根耙索的合力大小为F
B．两根耙索的合力大小为F
C．地对耙的水平阻力大小为
D．地对耙的水平阻力大小为
8．如图所示为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是( )
A．Fa＝Fb B．Fa>Fb
C．Fa9．(2024·河北一模)飞艇常常用于执行扫雷、空中预警、电子干扰等多项作战任务。如图所示为飞艇拖拽扫雷具扫除水雷的模拟图。当飞艇匀速飞行时，绳子与竖直方向恒成θ角。已知扫雷具质量为m，重力加速度为g，扫雷具所受浮力不能忽略，下列说法正确的是( )
A．扫雷具受3个力作用
B．绳子拉力大小为
C．海水对扫雷具作用力的水平分力小于绳子拉力
D．绳子拉力一定大于mg
10．如图所示，质量均为m的小球A和B分别用轻质细线a、b悬于O点，A、B用轻质细线c连接。给B施加水平向右的拉力F，静止时，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b与竖直方向的夹角为60°，细线c刚好水平，重力加速度为g，则拉力F的大小为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
11．如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m, b＝0.05 m，F＝400 N, B与左侧竖直墙壁接触，接触面光滑，铰链和杆受到的重力不计，求：
(1)扩张机AB杆的弹力大小(用含α的三角函数表示)；
(2)D受到向上顶的力的大小。
12．重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为37° 的斜面上，如图所示。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
课时分层作业(四)
1．C [三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时 ，这三个力的合力才可能为零，选项A错误；合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项B错误；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝8F，F1、F2的合力范围为3F≤F′≤9F，F3在这个范围内，所以只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零，选项C正确；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝2F，F1、F2的合力范围为3F≤F′≤9F，F3不在这个范围内，三个力的合力一定不为零，选项D错误。故选C。]
2．BCD [将一个力分解为两个分力，由三角形定则知分力与合力可构成封闭三角形，当F1＜F sin α时，三个力不能构成封闭三角形，故不可能分解为这样的一对分力F1和F2，选项C正确；当F1＝F sin α时，可构成唯一一个直角三角形，选项B正确；当F sin α＜F1＜F时，F1、F2与F可构成两个矢量三角形，即有两解，选项D正确；对于选项A，由于不能确定F1是否小于F，结合前面的分析知，选项A错误。]
3．D [沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解，则该力在水平方向的分力大小为F cos 30°＝F，故选D。]
4．D [对结点O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y＝，F2y＝，因为α>β，故F1y5．C [如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，沿斜面方向，由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直斜面方向，由平衡条件得F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。]
6．A [对B由平衡条件知，绳子拉力T＝mBg，对A受力分析如图所示，根据平衡条件有2T cos θ＝mAg，由几何关系可知sin θ＝＝，解得θ＝30°，＝，故选A。]
7．BC [两根耙索的合力大小为F′＝2F cos 30°＝F, A错误，B正确；由平衡条件得，地对耙的水平阻力大小为Ff＝F′cos 30°＝F，C正确，D错误。]
8．A [对题图中的A点受力分析，设轻杆OA的弹力大小分别为F′a，F′b，则由图甲可得Fa＝F′a＝2mg cos 30°＝mg，由图乙可得tan 30°＝，则Fb＝F′b＝mg，故Fa＝Fb，A正确。
]
9．C [对扫雷具进行受力分析，受到重力、浮力、拉力和水的水平方向的阻力四个力的作用，如图所示，故A错误；根据平衡条件，竖直方向F浮＋T cos θ＝mg，水平方向f＝T sin θ，计算得出T＝，因此绳子的拉力不一定大于重力，故B、D错误；扫雷具受到海水的作用力在水平方向的分力等于海水对扫雷具水平方向的阻力，等于拉力的水平分力，即小于绳子的拉力，故C正确。]
10．C [根据题意，分别对A、B受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有Fa cos 30°＝mg，水平方向有Fa sin 30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fb cos 60°＝mg，水平方向有FcB＋Fb sin 60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝mg，故C正确。 ]
11．解析：(1)将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，且F1＝F2
则有2F1cos α＝F
则扩张机AB杆的弹力大小为
F1＝＝ N。
(2)再将F1按作用效果分解为FN和F′N，如图乙所示
则有FN＝F1sin α，联立得FN＝
根据几何知识可知tan α＝＝10
则FN＝5F＝2 000 N。
答案：(1) N (2)2 000 N
12．解析：(1)(2)对结点P受力分析如图甲所示，由平衡条件可得FA cos 37°＝G1
FA sin 37°＝FB
解得FB＝6 N
对木块受力分析，如图乙所示
由平衡条件可得
Ff＝G2sin 37°＋F′B cos 37°
FN＋F′B sin 37°＝G2cos 37°
又F′B＝FB
解得Ff＝64.8 N，FN＝76.4 N。
答案：(1)64.8 N (2)76.4 N
5 / 5
