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21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的方差
1．[多选]已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
则下列结论正确的是( )
A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
解析：选ACD E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(X＋4)＝，故A正确，B错误．D(X)＝2×＋2×＋2×＝，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确．
2．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.故X的分布列为
X 0 1
P
所以E(X)＝，故D(X)＝×＝.
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k 8 9 10
P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5
P(η＝k) 0.2 0.4 0.4
A.甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
解析：选B E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，
D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.564．[多选]甲、乙两位同学玩纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别)，他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X，Y张，则( )
A．P(X＝2)＝ B．P(X＝3)＝
C．E(X)＝E(Y) D．D(X)＝D(Y)
解析：选AD 甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝，
X的可能取值为1,2,3，且Y＝3－X，
则P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＋×＝，P(X＝3)＝×＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，
D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)，
故正确的有A，D.故选A，D.
5．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
解析：X的分布列为
X 1 3 5
P
则E(X)＝1×＋3×＋5×＝，D(X)＝.
答案：
6．随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________.
解析：由题意设P(X＝1)＝p，
则X的分布列如下：
X 0 1 2
P p －p
由E(X)＝1，可得p＝，
所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝.
答案：
7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(X)＝E(Y)，D(X)1．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A. B.
C．3 D.
解析：选C 由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以
解得x1＝1，x2＝2，
所以x1＋x2＝3，故选C.
2．设10≤x1A．D(ξ1)>D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
解析：选A 由题意可知E(ξ1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，
E(ξ2)＝＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都设为m，
∴D(ξ1)＝[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]，
D(ξ2)＝，
∵10≤x1∴D(ξ1)>D(ξ2)．故选A.
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P －p p
则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．
解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，又p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.
答案： 1
4．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)因为f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.
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