课时跟踪检测（八） 二项式系数的性质
1.11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第6项 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
解析：选D 由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
2．在n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )
A．32 B．－32
C．0 D．1
解析：选D 由题意得2n＝32，得n＝5.令x＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.
3．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( )
A．40 B．41
C．－40 D．－41
解析：选B 依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
4．若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．－1
解析：选D (1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020，令x＝，则2 020＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
解析：选D 因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.
6．(2024·上海高考)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________．
解析：由题意得2n＝32，所以n＝5，则(x＋1)5的通项Tr＋1＝Cx5－r1r，令5－r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为C＝10.
答案：10
7．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________．
解析：由题知，展开式通项为Tr＋1＝C10－rxr,0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r＝8.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5.
答案：5
8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
解析：展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
答案：－121
9．(1＋3x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(3x)5，T7＝C(3x)6，
依题意有C·35＝C·36 n＝7，
∴(1＋3x)7的展开式中，二项式系数最大的项为
T4＝C·(3x)3＝945x3，
T5＝C·(3x)4＝2 835x4.
设第r＋1项系数最大，则有
5≤r≤6.
∵r∈{0,1,2，…，7}，
∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝5 103x5，T7＝5 103x6.
10．在(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
将两式相加除以2可得：a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即为所有奇数项系数之和．
(4)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|
＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
1．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为( )
A．5 B．10
C．20 D．40
解析：选B 因为n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以5的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.
2．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A a＝C＝70，设b＝C2r，
则得5≤r≤6，
所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.
3．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
解析：由C＝C可知n＝4，令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.
答案：81
4．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．
解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.
5．已知n展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．
解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，
则Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r.
令8－2r＝0，得r＝4，则Cm4＝，
解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．
则
化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
21世织纪教痘
2订世看
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对称性
{与首末等距的两个二项式系数
,即C=CRk
档n
时，二项式系数是
性
增减性
当k>n+
2
时，二项式系数是
与最大值
质
当n为偶数时，中间
的二项式系数最大
当n为奇数时，中间
的二项式系数相等且最大！
二项式
C9+C以+…+C%++C=
系数的和
C9+C2+C4+…=C+Ca+C5+…=
