课时跟踪检测（十） 全概率公式
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%. 从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
解析：选C 本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B.
由题意P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
P()＝＝，P(B|)＝＝，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×＝.
*3.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P(|)＝0.95. 现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)约为( )
A．0.25 B．0.092
C．0.087 D．0.4
解析：选C P(A|)＝1－P(|)＝1－0.95＝0.05. 被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，因此P(B|A)＝≈0.087. 故选C.
4．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为( )
A．0.62 B．0.48
C．0.5 D．0.4
解析：选A 设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.
5．(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3个题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000 道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是________．
解析：A题库占所有题的＝，
B题库占所有题的＝，
C题库占所有题的＝，则所求概率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85.
答案：0.85
6．小王要约小李3 h后见面，但是只用某种方式告知一次．设小王用电子邮件通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3 h内查看电子邮件的概率是0.8，看到短信的概率是0.9.
(1)计算小李收到通知的概率；
(2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率．
解：(1)设B＝“小李收到通知”，A1＝“小王通过电子邮件通知”，A2＝“小王用短信通知”，
则P(B)＝0.3×0.8＋0.7×0.9＝0.87.
(2)设D＝“小王不能按时见到小李”，
①未收到通知P1＝1－P(B)＝0.13，
②收到通知但未去：P＝0.87×0.05＝0.043 5.
故P(D)＝0.13＋0.043 5＝0.173 5.
1．[多选]假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一N95口罩，用A1，A2，A3分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，用P(A)表示事件A发生的概率，则下列结论正确的是( )
A．P(A1)＝40% B．P(BA2)＝27%
C．P(B)＝81% D．P(A2|B)＝
解析：选BCD ∵甲品牌市场占有率为50%，∴P(A1)＝50%，故A错误；P(BA2)＝P(A2)P(B|A2)＝30%×90%＝27%，故B正确；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×80%＋30%×90%＋20%×70%＝81%，故C正确；P(A2|B)＝＝＝，故D正确．
2．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
解析：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝；设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝×＋×＋×＝.
答案：
3．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
(2)依次不放回地取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
(3)依次不放回地取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
解：(1)设事件A＝“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件B＝“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则A与B为互斥事件．
∵P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴2个盲盒为同一种笔的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)设事件Ai＝“第i次取到的是钢笔盲盒”，i＝1,2.
∵P(A1)＝＝，P(A1)＝＝，
∴P(A1A2)＝P(A1)P(A1)＝×＝，
即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为.
(3)设事件Bi＝“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i＝1,2.
∵P(B1)＝＝，P(B2|B1)＝＝，P(B2|A1)＝＝，
∴由全概率公式，可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)＝P(B1)P(B2|B1)＋P(A1)P(B2|A1)＝×＋×＝.
4．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为pn.
(1)求p2的值；
(2)若n∈N，n≥2，试用pn－1表示pn.
解：(1)设A1＝“第1次出现红球”，A2＝“第1次出现绿球”，B＝“第2次出现红球”，
则P(A1)＝P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式得p2＝P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
(2)设C1＝“第n－1次出现红球”，C2＝“第n－1次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，则P(C1)＝pn－1，P(C2)＝1－pn－1，P(D|C1)＝，P(D|C2)＝.
由全概率公式得pn＝P(D)＝P(C1)·P(D|C1)＋P(C2)P(D|C2)＝pn－1×＋(1－pn－1)×＝－·pn－1＋(n∈N，n≥2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．
(1)求取到的是次品的概率；
*(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．
二、应用性——强调学以致用
2．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为 ( )
A．0.785 B．0.845
C．0.765 D．0.215
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
