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[方法技巧]
多项式展开问题的求解方法
(1)若多项式恰好能转化为两项的完全平方的形式，则多项式展开问题即可转化为二项式的展开问题，利用相关方法求解即可，如典例(1)．
(2)若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常有以下两种方法：
①利用项与项的结合转化为二项式展开问题，这时往往要利用两次展开式的二项式通项进行求解，其中项与项结合时要注意合理性与简捷性．
②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成法，求二项展开式的特定项．
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,27G2@P课时跟踪检测（七） 二项式定理
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝( )
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选A 因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.
3．[多选]对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的是( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有含x的项
D．存在n∈N*，展开式中有含x的项
解析：选AD 二项式n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(x3)r＝Cx4r－n，不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则r＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确．故选A，D.
4．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6
C．12 D．－12
解析：选A (x－)4的展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－(r＝0,1,2,3,4)．由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6.
5．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
解析：选B ∵x3＝[(x－2)＋2]3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
6．(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．
解析：∵T4＝Cx2y3，∴含x2y3的项的系数是C＝10.
答案：10
7．(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
解析：(x＋y)8展开式的通项Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
答案：－28
8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1.
答案：1
9．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.
10．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．
解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，
本题求x10的系数，只需求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．由Tr＋1＝Cx10－r·2r，
取r＝2得x8的系数为C×22＝180，
又x10的系数为C＝1，因此所求系数为180－1＝179.
1．若(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B 由(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，解得n＝6，x＝，故选B.
2．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3 C．0 D．3
解析：选A ∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.
3．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
解析：∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
4．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解：(1)由(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C，得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝Cx·x＝C·x，
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项是：
r＝0，T1＝Cx7＝x7；
r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Cx5＝91x5.
5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，
此时x7的系数为C＋C＝156.
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