课时跟踪检测（六） 组合的综合应用
1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有( )
A．27种 B．24种
C．21种 D．18种
解析：选C 分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．
2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84
C．52 D．48
解析：选C 间接法：C－C＝52种．
3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：选C 按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C种，5局时有2C种，故共有2＋2C＋2C＝20种．
4.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A．320 B．160
C．96 D．60
解析：选A 按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
5．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
解析：选D 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．
6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．
解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36种保送方案．
答案：36
7．将9名教师分到3所中学任教，一所2名，一所3名，一所4名，则有________种不同的分法．
解析：CCCA＝7 560(种)．
答案：7 560
8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)
解析：从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．所以共有2C＝240种方法．
答案：240
9．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？
解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法共有C＝126(种)．
(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法．所以共有C·C＝70种取法．
10．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰有两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理可知，选取种数为N＝C×24＝3 360.
(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N＝CC×22＝1 440.
1.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
解析：选C 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200，故选C.
2．某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为( )
A．2,6 B．3,5
C．5,3 D．6,2
解析：选B 设男生人数为n，则女生人数为8－n，其中(13．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58个．
答案：58
4．从1到6这6个数中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？
(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．
解：(1)易知四位数共有CCA＝216(个)．
(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个)．
(3)由(1)(2)知，两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．
5．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
解：(1)所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．
故最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
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第二课时 组合的综合应用
题型一 有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例1] 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[方法技巧]
解决有限制条件的组合应用题的策略
(1)“含”与“不含”问题：
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
(2)几何中的计算问题：
在处理几何问题中的组合应用题时，应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
[对点练清]
1．[变设问]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
2．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
题型二 几何中的组合问题
[学透用活]
[典例2] 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
[方法技巧]
解答几何组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.
(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[对点练清]
1．8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有 ( )
A．55个 B．112个
C．156个 D．120个
2．四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？
题型三 分组分配问题
[学透用活]
[典例3] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．
[方法技巧]
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的对象个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
[对点练清]
1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
2．教育部为了发展某地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教，现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
题型四 排列与组合的综合问题
[学透用活]
[典例4] 用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？
[方法技巧]
解答排列、组合综合问题的思路及注意点
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的对象都选出来，再对对象或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
①对象是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
[对点练清]
1．某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，求共有多少种不同的分配方法．
2．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？
二、应用性——强调学以致用
2．在某种信息传递过程中，用4个数字的排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同信息的个数．
