课时跟踪检测（三）排列与排列数
1．下列问题中，是排列问题的是( )
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出对象即可，与对象的排列顺序无关．
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4
C．8 D．10
解析：选B 列树状图如下：
3．若A＝132，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 因为A＝132，所以n(n－1)＝132，n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．
4．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
解析：选C lg a－lg b＝lg，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有A＝20种，其中lg＝lg，lg＝lg，故共可得到18种结果．
5．[多选]下列等式成立的是( )
A．A＝nA B．A＝mA
C.A＝A D．A＋mA＝A
解析：选ACD A＝＝＝nA，A正确；A＝，而mA＝m·＝，B错误；A＝·＝＝A，C正确；A＋mA＝＋＝＝＝A， D正确．
6．计算：＝__________.
解析：因为A＝7×6×A，A＝6×A，
所以原式＝＝36.
答案：36
7．学号分别为1,2,3,4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则所有不同的排列为________．
解析：先排学号1,2的同学，有2种方法，此时1,2之间必须插入4，有1种方法，3必须选择与1相邻的另一侧，故所有不同的排列为3142,2413.
答案：3142,2413
8．8人围桌而坐，共有________种坐法．
解析：围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有(8－1)！＝7！＝5 040种坐法．
答案：5 040
9．(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个对象中任取3个对象的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343种．
10．(1)解关于x的方程：＝89；
(2)解不等式：A>6A.
解：(1)∵A＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·A，
∴＝89.
∵A>0，∴(x－5)(x－6)＝90.
故x＝－4(舍去)或x＝15.
(2)原不等式可化为>，
由排列数定义知
∴2≤x≤9，x∈N*.
化简得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，
即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.
又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*.
故解集为{x|2,3,4,5,6,7}．
1．一个数阵有m行5列，第一行中的数为1,2,3,4,5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的最大值为( )
A．5 B．25
C．120 D．3 125
解析：选C 第一行的数为1,2,3,4,5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成，由于5个不同元素的全排列共有5！个，所以由5个不同的数值可以以不同顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同，为使每一行都不重复，m可以取的最大值是5！＝120.
2．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式，得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案：10
3．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，∴A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.
∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31.
∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，
∴解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．
4．规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求A的值．
(2)排列数的两个性质①A＝nA，②A＋mA＝A(n，m是正整数，且m≤n)是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由．
解：(1)A＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.
(2)证明：性质①，②均可推广，推广的形式分别是，
①A＝xA，②A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)．证明如下：
在①中，当m＝1时，左边＝A＝x，右边＝xA＝x，等式成立；
当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＝x{(x－1)(x－2)…[(x－1)－(m－1)＋1]}＝xA＝右边．因此A＝xA(x∈R，m是正整数)成立．
在②中，当m＝1时，左边＝A＋A＝x＋1＝A＝右边，等式成立；
当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m]
＝(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1]＝A＝右边．
因此A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)成立．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
一定的顺序
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
变换元素的位置
有序
有
结果
无
有无变化
无序
排列
非排列
问题
问题
2
3
2
230302
130301
120201
2
2
3
0
0
3
2
1
