(共49张PPT)
[对点练清]
关于x与y有以下数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
题型三 非线性经验回归模型的应用
[学透用活]
[典例3] 近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势．一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用；另一方面，也成为环境污染、空气污染、土壤污染的重要来源之一．如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题，研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提．某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x(单位：千克)，粮食亩产量为y(单位：百千克)．
[方法技巧]
解决非线性经验回归问题的方法及步骤
[对点练清]
1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110
体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
解：(1)根据表中的数据画出散点图，如下：
作出散点图，如下：
二、应用性——强调学以致用
2．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能．某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业2023年1—4月份接到的订单数量.
月份t 1 2 3 4
订单数量y/万件 5.2 5.3 5.7 5.8
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱(0.75≤|r|≤1，则认为y与t的线性相关性较强，|r|<0.75，则认为y与t的线性相关性较弱)．(结果保留两位小数)
(2)建立y关于t的回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量．课时跟踪检测（十九） 一元线性回归模型及其应用
1．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的经验回归方程＝x＋必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D 经验回归方程＝x＋必过样本中心(，)，＝＝1.5，＝＝4.
2．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
解析：选B 选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.
3．已知x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝( )
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A．2.2 B．2.6
C．2.8 D．2.9
解析：选B 从所给的数据可以得到＝＝2，＝＝4.5，所以这组数据的样本中心点是(2,4.5)，所以4.5＝0.95×2＋a，解得＝2.6.故选B.
4．已知经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
解析：选C 当x＝2时，＝5；当x＝3时，＝7；当x＝4时，＝9，∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，3＝9.1－9＝0.1.∴＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.
5．根据如表所示的样本数据：
x 1 2 3 4 5
y a－1 －1 0.5 b＋1 2.5
得到的回归方程为＝x＋.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位时，y近似( )
A．增加0.8个单位 B．减少0.8个单位
C．增加2.3个单位 D．减少2.3个单位
解析：选A 由题得＝0.1，所以a＋b＝－1.5.因为0.1＝3＋，所以解方程组得＝－2.3，＝0.8.所以＝0.8x－2.3，所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．故选A.
6．已知具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y关于x的经验回归方程为＝3x－1.5，则m的值等于________.
x 0 1 2 3
y －1 1 m 8
解析：由于经验回归直线一定过点(，)，则点一定在经验回归直线上，所以代入方程可得m＝4.
答案：4
7．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系：
x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为________．(结果精确到0.1)
解析：由已知可得
＝×(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4，
＝×(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9.
设经验回归方程为＝3.53x＋，把(，)代入，
得74.9＝3.53×17.4＋，解得≈13.5，
则经验回归直线在y轴上的截距为13.5.
答案：13.5
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得经验回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出约为________万元．
解析：由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：11.8
9．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料：
日期 第一年 第二年 第三年 第四年
优惠金额x/千元 10 11 13 12
销售量y/辆 22 24 31 27
(1)求出y关于x的经验回归方程＝x＋；
(2)若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值．
参考公式：＝，＝－.
解：(1)由题中数据可得＝11.5，＝26，xiyi＝1 211，
x＝534，
∴＝＝＝＝3，
故＝－＝26－3×11.5＝－8.5，
∴y关于x的经验回归方程为＝3x－8.5.
(2)由(1)得，当x＝8.5时，＝17，
∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．
1．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表：
平均气温x/℃ －2 －3 －5 －6
销售额y/万元 20 23 27 30
根据以上数据，用经验回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的经验回归方程＝＋x的系数＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元
解析：选A 由已知得＝＝－4，＝＝25，所以＝－＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即经验回归方程为＝15.4－2.4x，当x＝－8时，＝34.6.
2．甲、乙、丙、丁4位学生各自对A，B两变量进行经验回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
学生 甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
哪位学生的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
3．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性经验回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
解析：由题意知＝≈－1.818 2，
＝71－(－1.818 2)×≈77.36，＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．
答案：1.818 2
4．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血液加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献．某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销量与销售价值有关，其统计数据如表：
每台红外线治疗仪的销售价格x/元 140 150 160 170 180
红外线治疗仪的月销售量y/台 64 55 45 35 26
(1)根据表中数据求y关于x的经验回归方程；
(2)①每台红外线治疗仪的价格为165元时，预测红外线治疗仪的月销售量；(四舍五入为整数)
②若该红外线治疗仪的成本为120元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用(1)中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？(四舍五入，精确到1元)
参考公式：经验回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
解：(1)＝＝160，
＝＝45，
(xi－)2＝(140－160)2＋(150－160)2＋(160－160)2＋(170－160)2＋(180－160)2＝1 000，
(xi－)(yi－)＝－20×19－10×10＋0×0－10×10－20×19＝－960，
∴＝＝＝－0.96，
∴＝－＝45＋0.96×160＝198.6，
∴y关于x的经验回归方程为＝－0.96x＋198.6.
(2)①由(1)知，当x＝165时，＝－0.96×165＋198.6＝40.2≈40，
即每台红外线治疗仪的价格为165元时，红外线治疗仪的月销售量约为40台．
②药店每月获得的纯收益Q(x)＝(－0.96x＋198.6)·(x－120)＝－0.96x2＋313.8x－23 832，
∴当x＝≈163时，Q(x)取得最大值，
即药店为使每月获得最大的纯收益，每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为163元．
5．为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
(1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断y＝bx＋a(a，b为常数)与y＝c1ec2x(c1，c2为常数，且c1>0，c2≠0)哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)对于非线性回归方程y＝c1ec2x(c1，c2为常数，且c1>0，c2≠0)，令z＝ln y，可以得到一些统计量的值.
(xi－)2 (xi－)(yi－) (xi－)(zi－)
3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09
①证明：繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系(即＝x＋，，为常数)；
②根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数保留2位小数)．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1) 作出散点图如图所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，故选择y＝c1ec2x为回归方程较适宜．
(2)①证明：由已知，z＝ln y＝ln(c1ec2x)＝ln c1＋ln ec2x＝ln c1＋c2x，则α＝ln c1，β＝c2，即＝x＋.所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系．
②由①知繁殖个数的对数z关于天数x可以用经验回归方程来拟合．
由表中数据可得＝＝≈0.69，＝－＝3.53－0.69×3.5≈1.12，
则z关于x的经验回归方程为＝0.69x＋1.12.
又z＝ln y，因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性回归方程为＝e0.69x＋1.12.
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