人教A版高中数学选择性必修第三册综合检测含答案（教师用）

全册综合检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．A＝(　　)
A．30 B．24
C．20 D．15
解析：选A　因为A＝6×5＝30，故选A.
2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
解析：选A　由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.
3．方程C＝C的解集为(　　)
A．{4} B．{14}
C．{4,6} D．{14,2}
解析：选C　由C＝C得x＝2x－4或x＋2x－4＝14，解得x＝4或x＝6.经检验知x＝4或x＝6符合题意．
4．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为(　　)
A．0.24 B．0.26
C．0.288 D．0.292
解析：选C　因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，
所以P＝0.4×0.6×0.4＋0.4×0.4×0.6＋0.6×0.4×0.4＝0.288，故选C.
5．已知随机变量X～N(2,1)，则P(0(参考数据：若X～N(μ，σ)，P(μ－σA．0.014 8 B．0.135 5
C．0.157 0 D．0.314 0
解析：选B　因为X～N，即μ＝2，σ＝1，
所以P(μ－σP(μ－2σ所以P(06．根据下表样本数据
x 6 8 9 10 12
y 6 5 4 3 2
用最小二乘法求得经验回归方程为＝x＋10.3则当x＝4时，y的估计值为(　　)
A．6.5 B．7
C．7.5 D．8
解析：选C　因为＝＝9，
＝＝4，
所以4＝9＋10.3，即＝－0.7，
所以回归直线方程为＝－0.7x＋10.3，
代入x＝4，得y＝7.5，故选C.
7．掷一枚硬币，记事件A＝“出现正面”，B＝“出现反面”，则有(　　)
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与B不相互独立 D．P(AB)＝
解析：选C　由于事件A和事件B是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A与B为互斥事件．
∵P(AB)＝0≠P(A)·P(B)＝，
∴A与B不相互独立．
8．用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是(　　)
A．24 B．32
C．36 D．48
解析：选A　先排5,6，方法有A＝2种；
将1,2捆绑在一起，方法有A＝2种；
将1,2这个整体和3以及4全排列，方法有A＝6种，
所以六位数的个数为AAA＝24，故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙、丙三人必须参加，有36种选法
B．甲、乙、丙三人不能参加，有126种选法
C．甲、乙、丙三人只能有一人参加，有630种选法
D．甲、乙、丙三人至少有一人参加，有666种选法
解析：选ABD　A中，甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
B中，甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
C中，甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC＝378种不同的选法．
D中，法一：(直接法)可分为三类：
第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种不同的选法；
第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种不同的选法；
第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有CC种不同的选法．
共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法．
法二：(间接法)12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人不能参加的有C种，所以共有C－C＝666种不同的选法．
10．下列说法中，正确的是(　　)
A．回归直线＝x＋至少过一个样本点
B．根据列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而P(χ2≥6.635)≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
C．χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两个变量不相关
D．某项测量结果ξ服从正态分布N(1，a2)，则P(ξ≤5)＝0.81，则P(ξ≤－3)＝0.19
解析：选BD　回归直线＝x＋恒过点(，)，但不一定要过样本点，故A错误；
由χ2≥6.635，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故B正确；
χ2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故C错误；
∵P(ξ≤5)＝0.81，
∴P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝1－0.81＝0.19，故D正确．
11．若f(x)，g(x)的图象如图所示，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)(σ1>0，σ2>0)，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，则下列结论正确的是(　　)
附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
A．P(X>1)＝P
B．σ1<σ2
C．P(X>2)＝0.158 65
D．P(0.7解析：选AC　因为μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，所以P(X>1)＝P＝0.5，故A正确；σ1>σ2，故B错误；因为μ1＝1，σ1＝1，所以P(02)＝[1－P(0三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝________，D(X)＝________.
解析：由题意得，X～B，
所以E(X)＝，D(X)＝.
答案：　
13．端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件A＝“取到的两个馅不同”，事件B＝“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则P(B|A)＝________.
解析：根据题意，事件A的所有可能有：
C·C＋C·C＋C·C＝26种；
事件B的所有可能有：C·C＝8种．
故P(B|A)＝＝.
答案：
14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
解析：∵甲队以4∶1获胜，即甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.
∴甲队以4∶1获胜的概率P＝0.072＋0.108＝0.18.
答案：0.18
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知二项式n展开式中的第7项是常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中有理项的个数．
解：(1)二项式展开式通项为
Tr＋1＝C()n－rr＝(－1)r·2r·Cx，
∵第7项为常数项，∴2n－5×6＝0，∴n＝15.
(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)r·2r·C·x，
若Tr＋1为有理项，则＝5－r为整数，
∴r为6的倍数，
∵0≤r≤15，∴r＝0,6,12，共三个数，
∴展开式中有理项共有3项．
16．(15分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
分数段 60分以下 61～70分 71～80分 81～90分 91～100分
甲班/人 3 6 11 18 12
乙班/人 4 8 13 15 10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面列联表，并试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率是否有帮助．
单位：人
班级 优秀 合计
优秀人数(Y＝0) 非优秀人数(Y＝1)
甲班(X＝0)
乙班(X＝1)
合计
解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30，优秀率为＝60%，
乙班优秀人数为25，优秀率为＝50%，
所以甲、乙两班优秀率分别为60%和50%.
(2)列联表补充如下：
单位：人
班级 优秀 合计
优秀人数(Y＝0) 非优秀人数(Y＝1)
甲班(X＝0) 30 20 50
乙班(X＝1) 25 25 50
合计 55 45 100
零假设为
H0：加强“语言阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助．
因为χ2＝≈1.010<3.841＝x0.05，
所以根据小概率α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助．
17．(15分)近年来，随着互联网的发展，各种类型的网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省的调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1,2,3,4,5)，数据如下表所示.
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标数x 2 4 5 6 8
B指标数y 3 4 4 4 5
经计算得：＝2，＝，＝2.
(1)试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)建立y关于x的经验回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；
(3)若城市的网约车A指标数x落在区间(－3s，＋3s)的右侧，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间(－3s，＋3s)之内．现已知目前该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由．
附：样本相关系数r＝，
＝，＝－ .
≈0.55，≈0.95.
解：(1)由已知数据得＝＝5，
＝＝4，
(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
所以样本相关系数r＝
＝＝≈0.95.
因为r>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合．
(2)由(1)可知＝＝＝0.3，
＝－ ＝4－0.3×5＝2.5，
所以y关于x的经验回归方程为＝0.3x＋2.5.
当x＝7时，＝0.3×7＋2.5＝4.6.
(3)(－3s，＋3s)＝(－1,11)，而13>11，故目前该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门要介入进行治理．
18．(17分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．
(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所得奖金的期望；
(2)要使所得奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？
解：(1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P＝＝.
顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．
此时中奖次数服从二项分布B.
设所得奖金为w1元，则Ew1＝3××30＝9.
即顾客A所得奖金的期望为9元．
(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝＝.
若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，
则方案a中奖的次数服从二项分布B1，
方案b中奖的次数服从二项分布B2，
设所得奖金为w2元，
则Ew2＝2××30＋1××15＝10.5.
若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3.
设所得奖金为w3元，则Ew3＝2××15＝9.
结合(1)可知，Ew1＝Ew3所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．
19．(17分)(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0＜p＜q.
①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，
故比赛成绩不少于5分的概率P＝[1－(1－p)3]×[1－(1－q)3]＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.
(2)①若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为p1＝[1－(1－p)3]q3，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为p2＝[1－(1－q)3]·p3，
∵0＜p＜q＜1，
∴p1－p2＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)·[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)·(1－q)－1]＞0，
∴p1＞p2，应该由甲参加第一阶段比赛．
②若甲参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·Cq(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·Cq2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15q(p3－3p2＋3p)．
若乙参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15，
同理E(Y)＝15p(q3－3q2＋3q)，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵0＜p＜q＜1，
∴p－q＜0，p＋q－3＜1＋1－3＜0，
∴pq(p－q)(p＋q－3)＞0，
∴应该由甲参加第一阶段比赛，才能使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大．
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