2024-2025学年北师大版九年级数学下册 2.2 课时2 二次函数y=x2+k的图像与性质 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图像和性质
课时2 二次函数y=x2+k的图像与性质
1.能够画出二次函数y=ax2+k的图象.
2.通过观察图象，掌握y=ax2+k的图象特征和性质. （重点）
学习目标
新课导入
1. 二次函数 y = ax2 的图象与性质　　
x
y
O
x
y
O
图象
位置与开口
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于轴对称，对称轴是直线
顶点是原点（0，0）
当时，
当时，
在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
2.一次函数与的图象的位置关系是怎样的？
平行
新课讲解
做一做
1.画二次函数y= x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行
交流.
2.二次函数y=x2+1的图象与二次函数y=x2 的图象有什么关
系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐
标分别是什么？
二次函数y = x2-1的图象呢？
新课讲解
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 列表；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2+1
y=x2-1
… 10 5 2 1 2 5 10 …
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
描点；
连线.
y=x2－1
虚线为y＝x2
的图象
新课讲解
例
分析：根据题意，ab>0，即a，b 同号.
当a>0 时，b>0，y=ax2 的图象开口向上，过原点，y=ax+b 的图象过一、二、三象限，此时，没有选项符合.当a<0 时，b<0，y=ax2 的图象开口向下，过原点，y=ax+b 的图象过二、三、四象限，此时，D 选项符合.
当ab>0 时，y=ax2 与y=ax+b 的图象大致是下图 中的（ ）
D
新课讲解
1 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取
值范围是____________．
a＜2且a≠0
2 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交
点的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
B
新课讲解
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
函数 y＝ax2＋k(a＞0) y＝ax2＋k(a＜0)
图象 k＞0
k＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，k) (0，k)
新课讲解
函数 y＝ax2＋k(a＞0) y＝ax2＋k(a＜0)
对称轴 y轴(或直线x＝0) y轴(或直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随
x的增大而减小
最值 当x＝0时，y最小值＝k 当x＝0时，y最大值＝k
续表：
课堂小结
y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
向上
向下
(0 ,k)
(0 ,k)
y轴
y轴
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
二次函数y=ax2+k的图象与性质
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象与性质
y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0
极值
续表
x=0时，y最小= k
x=0时，y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|k|个单位得到.
拓展与延伸
能否通过上下平移二次函数y＝ x2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．
拓展与延伸
能．设平移后的图象对应的二次函数表达式为
y＝ x2＋b, 将点(3，－3)的坐标代入表达式，
得b＝－6.
所以平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度．
解：
1.二次函数y＝4x2的图象如图所示，则：
(1)开口向　 　；
(2)对称轴是　 　；
(3)顶点坐标是　 　；
(4)当x＝　 　时，y的最小值是　 　；
(5)当x＞0时，y随x的增大而　 　.
　增大　
　0　
　0　
　(0，0)　
　y轴　
　上　
课后练习
2.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是　 　(用“＞”连接).
　a＞b＞c　
3.已知抛物线y＝－3x2＋2，则：
(1)开口向　 　；
(2)对称轴是　 　；
(3)顶点坐标是　 　；
(4)当x＝　 　时，y的最　 　值是　 　；
(5)当x　 　时，y随x的增大而增大.
　＜0　
　2　
　大　
　0　
　(0，2)　
　y轴　
　下　
4.(1)抛物线y＝－3x2向　 　平移　 　个单位长度可得到抛物线y＝－3x2＋2；
(2)二次函数y＝－4x2＋1的图象与二次函数y＝－4x2的图象的不同之处在于( )
A.对称轴　 B.开口方向　
C.顶点　 D.形状
(3)(2024中山期末)将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是　 .
C
　2　
　上　
y＝2x2－3 　
5.【例1】(北师9下P35改编、人教9上P30改编)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝x2的图象.　
填表画图略
x
y＝2x2
y＝x2
小结：（1）这里画y=ax2（a>0）的图象时，x轴可以靠下方网格一些，自变量x的值一般取关于原点对称的正负整数值，含0在内至少取5个点；（2）越大，抛物线的开口越小.
小结：用数形结合法解题，会更快捷形象.
6.【例2】(北师9下P36改编、人教9上P32)已知点(x1，y1)与(x2，y2)在抛物线y＝－2x2上，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2.
　＜　
7.【例3】(2024山东模拟)已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，如图，其中A(－1，－1)，G为一次函数与y轴的交点，求△OAB的面积.
解：∵点A(－1，－1)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，也在直线y＝kx－2上，
∴－1＝a·(－1)2，－1＝k·(－1)－2.解得a＝－1，k＝－1.
∴两个函数的表达式分别为y＝－x2，y＝－x－2.
联立解得 ∴点B的坐标为(2，－4).
∵在y＝－x－2中，当x＝0时，y＝－2，∴G(0，－2).
∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝2×1＋2×2＝3.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2＋1
y＝x2－1
(0，－1)
(0，1)
(0，0)
y轴
y轴
y轴
向上
向上
向上
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝x2＋1 … …
y＝x2－1 … …
观察图象填空：
8.【例4】(北师9下P35改编、人教9上P32改编)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝x2－1的图象.
(填表画图略)
归纳：(1)抛物线y＝x2向　 　平移 　 　个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；
(2)抛物线y＝x2向　 　平移　 　个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.
上
1
下
1
9.已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2，－3)和点(1，6).
(1)求这个函数的表达式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)把点(－2，－3)和点(1，6)代入y＝ax2＋c得
，解得∴这个函数的表达式为y＝－3x2＋9.
(2)∵抛物线y＝－3x2＋9的对称轴为y轴，且开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
即当x＜0时，y随x的增大而增大.
★10. 0.55 已知抛物线y＝2x2＋n与直线
y＝2x－1相交于点(m，3).
(1)求m和n的值；
(2)y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，说明理由.
解：(1)∵抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1相交于点(m，3)，
∴将点(m，3)代入y＝2x－1，得2m－1＝3，解得m＝2.
将(2，3)代入y＝2x2＋n，得8＋n＝3，解得n＝－5.
(2)由(1)，得抛物线为y＝2x2－5，
将y＝2x－1与y＝2x2－5组成方程组，得
解得
故y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象还有其他交点，为(－1，－3).
(2)y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，说明理由.
请完成课本本节对应习题
布置作业
感谢大家欣赏