云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期5月期中 数学试题（含答案）

楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第5节.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若点在直线上，直线在平面内，则下列关系表示正确的是（ ）
A. B. C. D.（ ）
2.已知复数，则（ ）
A.的虚部为 B.
C. D.
3.已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，若，且与异面，则（ ）
A.至多与中的一条相交 B.与均相交
C.与均平行 D.至少与中的一条相交
5.已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A.7 B. C. D.3
6.在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A. B.CHBD
C.与共面 D.与异面
8.中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ）
A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B.任何一个几何体都必须有顶点 棱和面
C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.一个棱柱至少有5个面
10.已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B.若，则
C.若，则为锐角三角形
D.若，则的形状能唯一确定
11.已知均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则是实数
C.若，则是纯虚数D.若，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为__________.
13.已知向量在向量上的投影向量，则__________.
14.如图，正方体的棱长为2，为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知复数为虚数单位）.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16.（本小题满分15分）
如图所示，为四边形的直观图，其中.
（1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
（2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成几何体的体积及表面积.
17.（本小题满分15分）
在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记.
（1）用向量表示向量；
（2）求的值.
18.（本小题满分17分）
在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若点是线段上的一点，且，求的值.
19.（本小题满分17分）
如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四点共面；
（2）求证：平面；
（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值.
楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷 数学
参考答案 提示及评分细则
1.C 由点 线 面关系的表示方式知A B D错误，C正确.故选C.
2.C 的虚部为，虚部不为0的复数不能比较大小.故选C.
3.B 因为，所以，解得.故选B.
4.D 由题意知与平行或相交，与平行或相交，但直线与不能同时平行，若直线与同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾，所以与中的一条相交或与都相交.故选D.
5.B 因为是关于的方程的一个根，所以，即，所以且，解得，所以.故选B.
6.A 因为，所以，由正弦定理得，所以.故选A.
7.C 根据题意，画出该正方体的直观图，易得与所成的角为错误；与异面，B错误；直线与相交，所以直线与共面，C正确；，直线与共面，D错误.故选C.
8.D 由题易知圆台体积，如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，则，解得.过点作，垂足为，母线.故选D.
9.ABC 底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥才是正四棱锥，A错误；球没有顶点和棱，B错误；将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
但是这样的多面体不是棱台，C错误；棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确.故选ABC.
10.AB 因为，所以，故A正确；因为，则，故B正确；由余弦定理，可知为锐角，但是无法判断角和角是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故C错误；由正弦定理可得，即，又因为，所以，所以或，故D错误.故选AB.
11.ABC 因为，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，所以是纯虚数，C正确；若，则满足，而，D错误.故选ABC.
12. 因为复数对应的向量分别是，则，则向量对应的复数为.
13.10
14. 如图，取的中点的中点，连接，因为分别为的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面，同理平面，又平面，所以平面平面，即四边形为截正方体所得截面图形.由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形，对角线，面积.
15.解：（1）
，
因为复数为纯虚数，所以
解得.
（2）
，
由在复平面内所对应的点位于第四象限，
得解得，
所以的取值范围为.
16.解：（1）在直观图中，
则在平面图形中，
于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，
所以面积为.
（2）直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
17.解：（1）如图所示，连接，
则四边形为平行四边形，所以，
因为点在上，且，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
由在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为，
则，
所以，
由题意知，且，
18.解：（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
又，所以.
（2）设，又，所以，
在中，由正弦定理得，又，
所以，即，
所以，整理得，
所以，即.
19.（1）证明：连接，如图所示，因为点分别为棱的中点，所以，
又在正方体中，，
所以，所以四点共面.
（2）证明：连接分别交于点，连接，
如图所示.
在正方体中，，
所以，所以，
同理可得，
在中，，所以，
又平面平面，所以平面.
（3）解：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
又，所以，又，所以.