南昌二中2024-2025学年度下学期高二年级第二次阶段性考试
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C C B D A D ABD BCD ACD
12、， 13、-29， 14、
8．D【详解】作出的图象如图，
由题，，，
所以，
令（），则当时，；当时，.
，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，且，所以的取值范围为.
14． 【详解】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.令函数，则，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
15．【详解】由题可得的定义域为，且，
当时，成立，所以在上单调递增；
当时，由，可得，所以在上为增函数；
由，可得，所以在上为减函数.
综上，时，函数在上为增函数；
时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.
16．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，
即，于是，由平面，平面，得，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，则，由是的中点，
得，于是，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
17．(1)证明见解析(2)猜想切线方程为，其中，证明见解析
【详解】（1）由已知条件得，，，设，得，所以，
因为成等比数列，所以，即，即，
则直线的方程为，将直线的方程代入椭圆，
整理为，，
所以直线与椭圆相切，利用对称性可知，直线也为椭圆的切线.
（2）由（1）可知，,所以在轴上取点，连结，则直线为点处的切线，猜想其方程为，其中，以下证明，
把代入，整理得：，
，①
因为点在椭圆上，所以，②
，③，
将②③代入①得，，所以直线为所求的切线.
18．（1）证明见解析，；（2）证明见解析，；（3）.
【详解】（1）当时，有，即，；
当时，由，可得，将上述两式相减得，
，，且，
所以，数列是以，以为公比的等比数列，；
（2）由（1）知，
，由等差数列的定义得，
且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
因此，；
（3）由（2）知，，，
由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，
由，得，得在时恒成立，
由于数列在时单调递减，则，此时，；
由，得，得在时恒成立，
由于数列在时单调递减，则，此时，.
综上所述：实数的取值范围是.
19．(1)(2)
【详解】（1）当时，，所以，因为，所以，
设曲线上的切点为，则切线方程为，
设曲线上的切点为，则切线方程为，
由两条切线重合得，解得，
所以曲线与的公切线的方程为，
（2）由题意可知，，所以，
因为有两个极值点和，所以有两个零点和，
所以，即，令，则，解得，
设则 ，又令，则，
所以在上单调递减，所以，所以
所以在上单调递减，所以，易知所以，
令，则，当时，，所以在上单调递增，
又 所以，
故实数的取值范围为.南昌二中2024-2025学年度下学期高二年级第二次阶段性考试
数学试题
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图象有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
4．已知数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C．和 D．和
7．已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则
A． B．
C． D．
8．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)
9．下面说法不正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处没有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何 ”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ）
A．
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
11．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B．
C．函数的值域为
D．
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 .
13．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于 .
14．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．已知函数.讨论的单调性；
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知椭圆的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点.
(1)设，在OM的延长线上求一点N，使得，，成等比数列，试证明直线PN，QN都是C的切线；
(2)通过解答（1），先猜想求过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明.
18．已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.
（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．
19．已知函数，．
(1)当时，求曲线与的公切线的方程；
(2)若有两个极值点和，且，求实数的取值围．
