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分课时教学设计
第十二课时《第10章 二元一次方程组 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节的教学内容主要对学习过的第十章二元一次方程组的内容进行复习，主要包括二元一次方程（组）及其解的概念，用代入法和加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组分析与解决实际同题，简单的三元一次方程组的解法等。通过对本章内容的复习，有助于学生体会其中蕴含的消元思想，发展抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识。
学习者分析 通过对本章的学习，学生已掌握了二元一次方程（组）的相关概念及解法，并能运用方程组解决实际问题。但在本章整体知识建构上尚有欠缺，因此，通过整体知识上的复习及强化练习反馈，可以有效地让学生对本章所学知识有整体上的认识，以完成知识建构并培养学生的数学应用意识和能力。
教学目标 1．理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。 2．体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的结构特征选择合适的解法。 3．了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4．能够根据具体问题中的数量关系，列出二（三）元一次方程组，解决实际问题。
教学重点 会选择合适的方法解二元一次方程组，能利用二元一次方程组解决实际问题．
教学难点 解复杂的二元一次方程组，用二元一次方程组解决复杂的实际问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。 2．体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的结构特征选择合适的解法。 3．了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4．能够根据具体问题中的数量关系，列出二（三）元一次方程组，解决实际问题。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．什么是二元一次方程的解？什么是二（三）元一次方程组？什么是二（三）元一次方程组的解？ 预设：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 一般地，三元一次方程组的三个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解． 2．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加减”的目的是什么？ 预设：代入法解二元一次方程组： 变形 代入 求值 回代 写解 加减法解二元一次方程组： 变形 加减 求值 回代 写解 消元，化二元一次方程组为一元一次方程 3．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？ 预设： 联系： 核心思想一致：均基于“消元法”或“代入法”，通过减少未知数个数，将复杂问题转化为简单问题。 基本步骤相似：运用代入法或加减法消去某一未知数，最终目标均为将多元方程组转化为一元一次方程。 应用化归思想：通过逐步消元（三元→二元→一元），体现数学中将未知问题转化为已知问题的思想。 区别： 方程数量不同：二元一次方程组：2个方程，解2个未知数；三元方程组：3个方程，解3个未知数。 解题步骤更复杂：三元方程组需经历两次消元（先消为二元，再消为一元），步骤更多，计算量更大。 策略选择更灵活：三元方程组中，选择消去哪个未知数会影响计算量（如优先消去系数简单的未知数）。 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 4．提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它．你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？ 学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：二元一次方程与二元一次方程组 归纳：识别二元一次方程看两点： 一看原方程是不是整式方程，且只含有两个未知数； 二看化简为一般形式后的方程是否符合两个未知数的系数都不为 0，且含未知数的项的次数都是 1． 识别二元一次方程组“先化再看”： 先将方程组化简为最简形式，再判断． 一看方程组中的方程是否都是整式方程； 二看方程组中是不是只含有两个未知数； 三看含有未知数的项的次数是不是都为 1． 例1：方程 2x－＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0， x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x 中，二元一次方程的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 例2：下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）． A． B． C． D． 答案：D 考点二：二元一次方程与二元一次方程组 归纳：已知二元一次方程（组）的解求字母参数的值的方法 （1）将方程（组）的解代入方程（组）中，得到一个关于待求字母参数的新方程（组），注意当方程中未知数较多时，要先弄清是关于哪些未知数的方程； （2）求解这个新方程（组），得出待求字母参数的值． 例3：如果是方程x－3y＝－3的一组解，那么5－a＋3b＝______． 答案：8 例4：若关于x，y的二元一次方程组的解是则 a＝______，b＝______． 答案：2，3 考点三：二（三）元一次方程组的解法 归纳：两种消元法的比较 例5：解三元一次方程组 解：由②，得 x＝y＋1． ④ 把④代入①，得 2y＋z＝25．⑤ 把④代入③，得 y＋z＝16． ⑥ ⑤与⑥组成方程组 解这个方程组，得 把 y＝9代入④，得 x＝10． 因此，原方程组的解是 考点四：二（三）元一次方程组的实际应用 归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可简记为审、设、列、解、验、答，其关键是确定相等关系，可通过画示意图或列表的方法理解和揭示数量之间的相等关系．当所给的量的单位不统一时，应先统一单位． 例6：甲、乙、丙三个工程队要完成 A，B 两项工程．B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 25％，甲、乙、丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20 天、24 天、30 天．为了完成这两项工程，先派甲队做 A 工程，乙、丙两队做 B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．问乙、丙两队合作了多少天？ 分析：可设 A 工程的工作量为 1，进而可得 B 工程的工作量． 两个相等关系为: 甲独做的工作量＋甲、丙合作的工作量＝ 1, 乙、丙合作的工作量＋乙独做的工作量＝B 工程的工作量， 把相关数值代入求解即可． 解：设乙、丙两队合作了 x 天，甲、丙两队合作了 y 天． 将 A 工程的工作量视为 1，则 B 工程的工作量为1＋1×25％＝ ． 由题意可列方程组，得 整理，得 解这个方程组，得 答：乙、丙两队合作了15天．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用对顶角、邻补角、垂线、平移、综合运用平行线的判定与性质进行证明和计算、添加辅助线等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第10章 二元一次方程组 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.二元一次方程与二元一次方程组 2.二元一次方程与二元一次方程组 3.二（三）元一次方程组的解法 4.二（三）元一次方程组的实际应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．解方程组：（1）（用代入消元法）；（2）（用加减消元法） 答案：（1）；（2）. 解：（1）， 由①得：x＝4+y，③， 把③代入②得：4（4+y）+2y＝﹣1， 解得：y＝； 把y＝代入①得：x＝， ∴二元一次方程组的解为； （2）， 由①×2﹣②得：15x＝30， 解得：x＝2， 把x＝2代入②得：3×2+4y＝10， 解得：y＝1， ∴二元一次方程组的解为. 选做题： 4．若，则的倒数是（ ） A．2 B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 答案：A 解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得： ， ∴， ∵，且x、y都为正整数， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴购买方案有5种； 故选A．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．方程组的解为，则☆，O分别为（ ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 答案：C 2．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 答案：4 5 3．（1）用代入消元法解方程组： （2）用加减消元法解方程组： 答案：（1）；（2） 解：（1）令 由①得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 （2）方程组整理，得 ，得，解得． 把代入①，得， ∴原方程组的解为 选做题： 4．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以．
教学反思 在教学过程中，采用思维导图和问题串的方式帮助学生梳理知识框架，效果显著。通过典型例题的探究和课堂练习，大部分学生对基础知识的掌握较好，能够运用所学定理解决简单的几何证明和计算问题，在小组讨论探究中也激发了学生的学习积极性，促进了学生之间的思维碰撞。
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同步探究学案
课题 第10章 二元一次方程组 章末复习 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。 2．体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的结构特征选择合适的解法。 3．了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4．能够根据具体问题中的数量关系，列出二（三）元一次方程组，解决实际问题。
重点 会选择合适的方法解二元一次方程组，能利用二元一次方程组解决实际问题．
难点 解复杂的二元一次方程组，用二元一次方程组解决复杂的实际问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．什么是二元一次方程的解？什么是二（三）元一次方程组？什么是二（三）元一次方程组的解？ 2．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加减”的目的是什么？ 3．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？ 4．提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它．你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？ 考点梳理： 考点一：二元一次方程与二元一次方程组 例1：方程 2x－＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0， x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x 中，二元一次方程的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 例2：下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）． A． B． C． D． 考点二：二元一次方程与二元一次方程组 例3：如果是方程x－3y＝－3的一组解，那么5－a＋3b＝______． 例4：若关于x，y的二元一次方程组的解是则 a＝______，b＝______． 考点三：二（三）元一次方程组的解法 例5：解三元一次方程组 考点四：二（三）元一次方程组的实际应用 例6：甲、乙、丙三个工程队要完成 A，B 两项工程．B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 25％，甲、乙、丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20 天、24 天、30 天．为了完成这两项工程，先派甲队做 A 工程，乙、丙两队做 B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．问乙、丙两队合作了多少天？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（ ） A． B． C． D． 2．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 3．解方程组：（1）（用代入消元法）；（2）（用加减消元法） 选做题： 4．若，则的倒数是（ ） A．2 B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．方程组的解为，则☆，O分别为（ ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 2．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 3．（1）用代入消元法解方程组： （2）用加减消元法解方程组： 选做题： 4．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【综合拓展类作业】 5．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
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第十章 二元一次方程组
第10章 二元一次方程组
章末复习
1．理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
2．体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的结构特征选择合适的解法。
3．了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
4．能够根据具体问题中的数量关系，列出二（三）元一次方程组，解决实际问题。
数学问题
(二元或三元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元或三元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
（消元）
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．什么是二元一次方程的解？什么是二（三）元一次方程组？什么是二（三）元一次方程组的解？
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．什么是二元一次方程的解？什么是二 （三）元一次方程组？什么是二 （三）元一次方程组的解？
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．什么是二元一次方程的解？什么是二 （三）元一次方程组？什么是二 （三）元一次方程组的解？
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
一般地，三元一次方程组的三个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加减”的目的是什么？
代入法解二元一次方程组：
_____ _____ _____ _____ _____
变形 代入 求值 回代 写解
加减法解二元一次方程组：
_____ _____ _____ _____ _____
变形 加减 求值 回代 写解
二元一次方程组
一元一次方程
消元
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
联系：
核心思想一致：均基于“消元法”或“代入法”，通过减少未知数个数，将复杂问题转化为简单问题。
基本步骤相似：运用代入法或加减法消去某一未知数，最终目标均为将多元方程组转化为一元一次方程。
应用化归思想：通过逐步消元（三元→二元→一元），体现数学中将未知问题转化为已知问题的思想。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
区别：
方程数量不同：二元一次方程组：2个方程，解2个未知数；三元方程组：3个方程，解3个未知数。
解题步骤更复杂：三元方程组需经历两次消元（先消为二元，再消为一元），步骤更多，计算量更大。
策略选择更灵活：三元方程组中，选择消去哪个未知数会影响计算量（如优先消去系数简单的未知数）。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
三元一次方程组
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它．你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
数学问题
(二元或三元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元或三元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
（消元）
考点一：二元一次方程与二元一次方程组
识别二元一次方程看两点：
一看原方程是不是整式方程，且只含有两个未知数；
二看化简为一般形式后的方程是否符合两个未知数的系数都不为 0，且含未知数的项的次数都是 1．
识别二元一次方程组“先化再看”：
先将方程组化简为最简形式，再判断．
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含有两个未知数；
三看含有未知数的项的次数是不是都为 1．
考点一：二元一次方程与二元一次方程组
例1：方程 2x－＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0，
x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x 中，二元一次方程的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
D
考点一：二元一次方程与二元一次方程组
例2：下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
D
考点二：二元一次方程与二元一次方程组
已知二元一次方程（组）的解求字母参数的值的方法
（1）将方程（组）的解代入方程（组）中，得到一个关于待求字母参数的新方程（组），注意当方程中未知数较多时，要先弄清是关于哪些未知数的方程；
（2）求解这个新方程（组），得出待求字母参数的值．
考点二：二元一次方程与二元一次方程组的解
例3：如果是方程x－3y＝－3的一组解，那么5－a＋3b＝______．
8
考点二：二元一次方程与二元一次方程组的解
例4：若关于x，y的二元一次方程组的解是则 a＝______，b＝______．
2
3
考点三：二（三）元一次方程组的解法
两种消元法的比较
思路 方法 特点 消元过程
消元 代入法 未知数的系数为±1 把系数为±1的未知数用另一个未知数表示 代入另一方程得到一元一次方程
加减法 同一未知数的系数 相等 两个方程相减 得到一元一次方程
相反 两个方程相加
考点三：二（三）元一次方程组的解法
例5：解三元一次方程组
解：由②，得 x＝y＋1． ④
把④代入①，得 2y＋z＝25．⑤
把④代入③，得 y＋z＝16． ⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组，得
把 y＝9代入④，得 x＝10．
因此，原方程组的解是
考点四：二（三）元一次方程组的实际应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可简记为审、设、列、解、验、答，其关键是确定相等关系，可通过画示意图或列表的方法理解和揭示数量之间的相等关系．当所给的量的单位不统一时，应先统一单位．
考点四：二（三）元一次方程组的实际应用
例6：甲、乙、丙三个工程队要完成 A，B 两项工程．B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 25％，甲、乙、丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20 天、24 天、30 天．为了完成这两项工程，先派甲队做 A 工程，乙、丙两队做 B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．问乙、丙两队合作了多少天？
分析：可设 A 工程的工作量为 1，进而可得 B 工程的工作量．
两个相等关系为:
甲独做的工作量＋甲、丙合作的工作量＝ 1,
乙、丙合作的工作量＋乙独做的工作量＝B 工程的工作量，
把相关数值代入求解即可．
考点四：二（三）元一次方程组的实际应用
解：设乙、丙两队合作了 x 天，甲、丙两队合作了 y 天．
将 A 工程的工作量视为 1，则 B 工程的工作量为1＋1×25％＝ ．
由题意可列方程组，得
整理，得
解这个方程组，得
答：乙、丙两队合作了15天．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
