2025年中考数学真题考点过关练--第5关 一次方程(组)（含答案）

第5关 一次方程(组)
基础练
考点 1 一元一次方程及其应用
1.[2024甘肃张掖三模]已知a=b、则下列变形错误的是 ( )
A.2+a=2+b B. a-b=0
C.-2a=-2b
2.[2024 甘肃武威校级模拟 下列方程中是一元一次方程的是 ( )
A. x+y=3
C.2x-x=0 D.2x-x
3.[2024 广东惠州二模]若x=2是关于x的方程kx-1=3的解,则k-2的值是 ( )
A.-1 B.2 C.1 D.0
4.[2024四川绵竹模拟]解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等.将一元一次方程 去分母，得 ( )
A.3(x+1)-6=2x
B.3(x+1)-1=2x
C.3x+1-1=2x
D.2(x+1)-6=3x
5.[2024广东广州]某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为 ( )
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D. x-1 100=35 060×1.2
6.[2024 新疆]解方程:
2(x-1)-3=x.
7.[2024陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
考点 2 二元一次方程(组)及其解法
8.[2024甘肃武威三模]下列方程中，是二元一次方程的是 ( )
A.3x+y=0 B. xy-y=0
x-2y=z
9.[2024江西景德镇三模]已知 是二元一次方程 ax-3y=0的解,则点(a,3-a)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.[2024 江苏无锡二模]若x,y 满足方程组 则x+y= .
11.[2024江苏苏州]解方程组:
考点 3 二元一次方程(组)的实际应用
12.[2024山西太原校级模拟]化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子.化学方程式表明了反应物、生成物和反应条件，同时，化学计量数代表了各反应物、生成物的物质的量的关系，例如 就表示两份H (氢气)与一份O (氧气)点燃生成两份 H O(水).依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边，同一元素原子的个数一定相同.已知 由此可列出关于x，y的二元一次方程为 ( )
A. x+y=6x+3x B. x+y=6x+3x·2
C.2y=6x+3x D.2y=6x·2+3x
13.[2024四川南充]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人γ人，则可列方程组为 ( )
14.[2024黑龙江齐齐哈尔]校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有 ( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
15.[2024江西]如图,书架宽84 cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm,每本语文书厚1.2cm .
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本
提升练：
16.[2024湖南二模]若实数a,b,c满足2a+b=3c,则下列结论不正确的是 ( )
A.若a=b,则a=c B.若c=2a,则b=2c
C.若a>b,则a>c D.若a>c,则b>c
17.[2024广东佛山三横]小明做作业时发现方程已被墨水污染： 老师后得知，方程的解是x=1且被墨水污染的是一个常数，则该常数是 ( )
A. C.
18.[2024甘肃武威二模]若方程( 是关于x、y的二元一次方程、则a的值为 ( )
A.-1 B.±1 C.0 D.1
19.[2024 贵州贵阳一模]幻方是古老的数字问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等.如图为一个三阶幻方(不完整)、则图中右上角空格中c的值为 ( )
a b c
10 d
< -2
A.-2 B.0 C.2 D.4
20.[2024 广西]〈九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩 设出租的田有x亩，可列方程为( )
C.3x+4x+5x=1D.3x+4x+5x=100
21.[2024湖北]我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何 ”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两.牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少 ”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是( )
22.[2024 福建校级模拟]已知任意两个非零实数a,b满足a+b=2c,小玲说可以得到a=b.
下面为小玲给出的证明过程：
∵a+b=2c, 第一步
∴(a+b)(a-b)=2c(a-b), ……………第二步
即 …第三步
第四步
即 第五步
两边开平方,得a-c=b-c,…………… 第六步
∴a=b.
以上证明过程中，开始出现错误的是第 步.
23.[2024广东佛山一模]中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算.《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为”，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与常数项，即可表示方程x+4y=23,则‘表示的方程是 .
24.[2024重庆永川区校级模拟]已知关于x，y的方程组 以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程x-2y=-4的解；②存在实数k,使得x+y=0;③不论k取什么实数,x+3y的值始终不变;④若3x+2y=6,则k=1.其中正确结论的序号是 .
25.[2024 广东广州]定义新运算:a b = 例如： -2+3=1.若 则x的值为 .
26.[2024湖南长沙一模]经探究可得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z=8的正整数解有 组.
27.[2024上海]解方程组:
28.[2024北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求 A 类物质排放量不超过35 mg/km,A,B 两类物质排放量之和不超过50 mg/ km.
已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的 A 类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
29.[2024 山西]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
30.[2024河南]为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品
第5关 一次方程(组)
1. D 解析:A.∵a=b,
∴2+a=2+b,故本选项不符合题意;
B.∵a=b,
∴a-b=b-b,
即a-b=0，故本选项不符合题意；
C.∵a=b,
∴-2a=-2b,故本选项不符合题意;
D.当c=0时,由a=b不能推出 故本选项符合题意.
故选D.
2. C 解析:A.方程x+y=3是二元一次方程，不是一元一次方程，不符合题意；
B.方程 是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
C.方程2x-x=0是一元一次方程，符合题意；
D.2x-x是代数式，不是方程，不符合题意.
故选 C.
3. D 解析:将x=2代入方程kx-1=3,得2k-1=3,解得k=2,则k-2=2-2=0.
4. A 5. A
6.解:2(x-1)-3=x,
2x-2-3=x,
2x-x=2+3,
x=5.
7.解：设这次小峰打扫了 xh，则爸爸打扫了(3-x)h,
根据题意得
解得x=2.
答：这次小峰打扫了2h.
8. A 解析:A.方程3x+y=0是二元一次方程，选项A 符合题意；
B.方程 xy-y=0是二元二次方程,选项 B不符合题意；
C.方程x-2y=z是三元一次方程，选项C不符合题意；
D.方程 是分式方程，选项D不符合题意.
故选A.
9. B 解析:把 代入方程ax-3y=0,得2a+9=0,
解得a=-4.5,
所以3-a=3-(-4.5)=3+4.5=7.5,
所以点(a，3-a)所在的象限是第二象限.
10.1
解析：
①+②得,5x+5y=5,
∴x+y=1,故答案为1.
11.解:
①-②得,4y=4,解得y=1,
将y=1代入①得x=3,
∴方程组的解是
12. D
13. D 解析：根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住得7x+7=y,根据每一间客房住9人，那么就空出一间客房得9(x-1)=y,所以选项 D中方程组符合题意.
14. B 解析：设购买单价为8元的笔记本
x本，单价为10元的笔记本y本，
依题意得8x+10y=200,
整理得
∵x、y均为正整数，
或 或 或
∴购买方案有4种.
15.解：(1)设该书架上有数学书x本，则有语文书(90-x)本,
依题意,得0.8x+1.2(90-x)=84,
解得x=60,
90-60=30.
答：该书架上有数学书60本，语文书30本.
(2)设在该书架上还可以摆数学书y本,
依题意，得0.8y+1.2×10≤84,解得y≤90.
答：数学书最多还可以摆90本.
16. D 解析:若a=b,则2a+b=3a,即3a=3c,
∴a=c,故A不符合题意,
若c=2a,则2a+b=c+b,即c+b=3c,
∴b=2c,故B不符合题意,
若a>b,则2a+b<3a,即3c<3a,
∴a>c,故C不符合题意,
若a>c,则2a+b>2c+b,即3c>2c+b,
∴c>b,故 D 符合题意.
17. A 解析：设被墨水污染的常数是a，
∵方程的解是x=1，
解得
18. D 解析:∵方程 是关于x，y的二元一次方程，
∴a+1≠0且|a|=1,
即a≠-1且a=±1,
∴a=1.
19. D 解析：根据题意得 ∴(e+10)-(c+e)=(b+c)-(b-2),∴c=4.
20. B 解析:根据题意得, 整理得
21. A
22.六
解析：由 可得a-c=±(b-c),，所以从第六步开始出错.
23. x+2y=32
24.①②③
解析：①当k=0时，原方程组可整理得 解得
把 代入x-2y得x-2y=-2-2=-4,即①正确;
下式-上式得.x+y=2k-1,
若x+y=0,则2k-1=0,
解得
∴存在实数k，使得x+y=0,
即②正确；
③解方程组 得
∴x+3y=3k-2+3(1-k)=1,
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，
故③正确；
④若3x+2y=6,
则3(3k-2)+2(1-k)=6,
故④错误.
所以正确的序号是①②③.
或
解析:①当x≤0时,
解得 或 (舍);
②当x>0时, 解得x
综上所述，x的值是 或-
26.21
解析：设x+y=t(t≥2),
则易知t+z=8的正整数解有6组，
其中t=x+y=2的正整数解有1组;
t=x+y=3的正整数解有2组;
t=x+y=4的正整数解有3组;
……;
t=x+y=7的正整数解有6组.
∴x+y+z=8的正整数解的组数为1+2+
3+4+5+6=21.
27.解:
由①得(x-4y)(x+y)=0,
∴x-4y=0或x+y=0,
∴x=4y或x=-y,
把x=4y代入②,得4y+2y=6,
解得y=1,∴x=4×1=4;
把x=-y代入②,得-y+2y=6,
解得y=6,∴x=-6.
∴方程组的解是 或
28.符合；理由见解析
解析：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则B 类物质排放量为(40-x) mg/ km,
由题意得
解得：x=34,
∵34<35,
∴这次技术改进后该汽车的A 类物质排放量符合“标准”.
29.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克.
根据题意，得
解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
组解：(1)设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得
解得
答：选用A 种食品4包，B种食品2包.
(2)设选用A种食品a包，则选用B种食品(7-a)包,根据题意,得10a+15(7-a)≥90.∴a≤3.
设总热量为wkJ，则
v=700a+900(7-a)=-200a+6300.
∵-200<0,
∴10随a的增大而减小.
∴当a=3时,w最小.
∴7-a=7-3=4.
答：选用A种食品3包，B种食品4包.解后反思
解一次函数的应用题首先根据题意求出自变量的范围，其次列出表达式，最后根据系数的正负确定何时取得最值.