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2025年中考数学5月模拟押题卷（广西卷）01
(考试时间：120分钟，满分：120分)
班级：__________ 姓名：__________ 分数：__________
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．已知某物品的保存温度要求为－1 ℃～4 ℃，则下列温度中符合要求的是（A）
A．0 ℃ B．－1.1 ℃
C．4.1 ℃ D．5 ℃
2．下列标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（D）
3．地球到月球的平均距离是384 400 km，把384 400这个数用科学记数法表示为（D）
A．3 844×102 B．0.384 4×104
C．3.844×108 D．3.844×105
4．如图所示的三棱柱的主视图是（B）
5．下列计算中正确的是（D）
A．a2·a3＝a6 B．(－a3b)2＝－a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3＝a6
6．桌上倒扣着大小和背面图案完全相同的8张扑克牌，其中5张红桃，3张黑桃，从中随机抽取1张，则抽取的是黑桃的概率为（C）
A. B. C. D.
7．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为（A）
A．(2，2) B．(2，3)
C．(3，2) D．(3，3)
8．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝
40°，则∠2的度数是（B）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图①所示，小明用x个这样的积木，按照如图②所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为（A）
A．y＝6x＋4 B．y＝5x＋4
C．y＝5x D．y＝6x＋10
10．对于反比例函数y＝－的图象，下列说法中不正确的是（C）
A．经过点(－1，4) B．在第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．图象是轴对称图形
11．《九章算术》中有这样一个问题：今有垣(墙)高九尺(1尺＝10寸)，瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠(葫芦)生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢．设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为（B）
A．7x＝10x－9 B．0.7x＋x＝9
C．7x－0.9＝10x D．7x－0.9＝x
12．如图，已知正方形ABCD的边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E.连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（C）
A．18 B．4 C．14.4 D．6
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人去车站距离最近，火车站应建在铁路线上的A点，这样做的数学道理是垂线段最短．
14．为了丰富学生的校园生活，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是93分．
15．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[]＝1，[4.1]＝4，若满足[]＝5，则n的最大整数为35.
16．不等式4x－5＜1中，x可取的最大整数值是1.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝60°，AD＝2，则OH＝1.
18．玉林市新建一座景观桥，如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40 m，桥拱的最大高度CD为16 m(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5 m的景观灯杆MN的高度为15m.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)计算：(－2)2×4－1－(－2＋5)．
解：原式＝－2.
20．(本题满分6分)先化简，再求值：(x－2)2－(x＋2)(x－1)，其中 x＝－1.
解：原式＝x2－4x＋4－(x2－x＋2x－2)＝－5x＋6.
当x＝－1时，原式＝5＋6＝11.
21．(本题满分10分)如图，已知∠MBN，A是边BM上一点．求作：射线AE，使得AE∥BN.
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BN于点C，连接AC；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AM，AC于点P，Q；③分别以点P，Q为圆心，大于PQ为半径画弧，两弧相交于点E；④作射线AE.则射线AE即为所求．
(1)尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)根据以上操作可知，AB＝AC，AE是∠CAM的平分线．在此条件下，求证：AE∥BN.
(1)解：作图如图所示．
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CAM＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB.
∵AE是∠CAM的平分线，∴∠CAE＝∠MAE，
∵∠CAM＝∠CAE＋∠MAE＝2∠CAE，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BN.
22．(本题满分10分)据调查，九年级某班30名学生所穿校服尺寸绘制如下条形统计图：
(1)求这30名学生所穿校服尺寸的众数和中位数；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计尺寸为
170 cm的校服需要多少件．
解：(1)众数：170 cm，中位数：170 cm.
(2)600×＝300(人)．
答：估计尺寸为170 cm的校服需要300件．
23.(本题满分10分)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°.
易得△AOE≌△DOE(SSS)，
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．
(2)解：在△OAE中，∠OAE＝90°，OA＝3，AE＝4，
∴由勾股定理易求OE＝5.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.由(1)知△AOE≌△DOE，∴∠AEO＝∠DEO，
又∵AE＝DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴＝＝，
∴BC＝2OE＝10.
24．(本题满分10分)综合与实践
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)．其中秤盘质量m0 g，重物质量m g，秤砣质量M g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻线的水平距离为a cm，秤砣与零刻线的水平距离为y cm.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000 g，零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000 g的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100 g在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
解：(1)由题意得m＝0，y＝0，∴10l＝50a，∴l＝5a.
(2)由题意得m＝1 000，y＝50，
∴l＝50，∴101l－5a＝250.
(3)由(1)(2)可得
解得
(4)由任务一可知，l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5＝50，∴y＝m.
(5)由(4)可知y＝m，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有 y＝5；
当m＝200时，则有y＝10；
当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；
当m＝500时，则有y＝25；
当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；
当m＝800时，则有y＝40；
当m＝900时，则有y＝45；当m＝1 000时，则有y＝50，
∴相邻刻线间的距离为5 cm.
25．(本题满分10分)二次函数y1＝ax2＋bx与y2＝2ax2＋2bx(a，b是实数，a≠0)．
(1)【特例发现】当a＝1，b＝2时，完成以下表格：
函数解析式 y1＝x2＋2x y2＝2x2＋4x
对称轴 直线x＝－1 直线x＝－1
顶点坐标 (－1，－1) (－1，－2)
与坐标轴的交点 (0，0)，( －2，0) (0，0)，(－2，0)
再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的 ②④(选填序号)相同；
①形状 ②对称轴
③顶点坐标 ④与坐标轴的交点
(2)【类比探究】若函数y1＝ax2＋bx的图象经过(2，0)，(6，2)．点(－4，t)是y2＝2ax2＋2bx图象上的一点．请求出t的值；
(3)【拓展应用】若函数y1＝ax2＋bx的图象向上平移6个单位长度，与x轴仅有一个交点．点(4，m)，(－2，m)均在y2＝2ax2＋2bx的图象上，求a的值．
解：(2)抛物线y1可表示为y1＝ax(x－2)，把(6，2)代入得2＝a×6×(6－2)，解得a＝，
∴抛物线y2的解析式为y2＝x(x－2)，
当x＝－4时，t＝4.
(3)函数y1＝ax2＋bx的图象向上平移6个单位长度后抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋6，
∵平移后的抛物线与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝b2－4a×6＝0，
∵点(4，m)，(－2，m)均在y2＝2ax2＋2bx的图象，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，即b＝－2a，
∴(－2a)2－24a＝0，解得a1＝0(舍去)，a2＝6.即a的值为6.
26.(本题满分10分)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.过点B作BM⊥AC于点M，过点E作EN⊥DF于点N，如图①.
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图①中的两个三角形按如图②所示的方式放置，点C与点E重合，点A与点D重合，将图②中的△DCF绕点C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
①当α＝30°时，如图③，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
(1)证明：设AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝a，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN＝DE＝a，∴BM＝EN.
(2)①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形CNPM为矩形，由(1)知BM＝CM＝EN，
∴四边形CNPM是正方形．
②解：当30°<α<60°时，＝；
当60°<α<120°时，＝，
证明：当30°＜α＜60°时，连接CP，如图③，由(1)可得CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
答图
∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴MP＝PN，∴MP＋DP＝PN＋DP＝DN，
∴cos D＝＝＝cos 30°＝，∴＝；
当60°＜α＜120°时，连接CP，如答图，
同理Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴MP＝PN，∴DN＝PN－DP＝MP－DP，
∴cos∠CDF＝＝＝cos 30°＝，
∴＝.
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2025年中考数学5月模拟押题卷（广西卷）01
(考试时间：120分钟，满分：120分)
班级：__________ 姓名：__________ 分数：__________
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．已知某物品的保存温度要求为－1 ℃～4 ℃，则下列温度中符合要求的是（A）
A．0 ℃ B．－1.1 ℃
C．4.1 ℃ D．5 ℃
2．下列标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（D）
3．地球到月球的平均距离是384 400 km，把384 400这个数用科学记数法表示为（D）
A．3 844×102 B．0.384 4×104
C．3.844×108 D．3.844×105
4．如图所示的三棱柱的主视图是（B）
5．下列计算中正确的是（D）
A．a2·a3＝a6 B．(－a3b)2＝－a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3＝a6
6．桌上倒扣着大小和背面图案完全相同的8张扑克牌，其中5张红桃，3张黑桃，从中随机抽取1张，则抽取的是黑桃的概率为（C）
A. B. C. D.
7．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为（A）
A．(2，2) B．(2，3)
C．(3，2) D．(3，3)
8．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝
40°，则∠2的度数是（B）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图①所示，小明用x个这样的积木，按照如图②所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为（A）
A．y＝6x＋4 B．y＝5x＋4
C．y＝5x D．y＝6x＋10
10．对于反比例函数y＝－的图象，下列说法中不正确的是（C）
A．经过点(－1，4) B．在第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．图象是轴对称图形
11．《九章算术》中有这样一个问题：今有垣(墙)高九尺(1尺＝10寸)，瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠(葫芦)生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢．设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为（B）
A．7x＝10x－9 B．0.7x＋x＝9
C．7x－0.9＝10x D．7x－0.9＝x
12．如图，已知正方形ABCD的边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E.连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（C）
A．18 B．4 C．14.4 D．6
【解析】过点C作CF⊥DE于F，根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人去车站距离最近，火车站应建在铁路线上的A点，这样做的数学道理是垂线段最短．
14．为了丰富学生的校园生活，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是93分．
15．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[]＝1，[4.1]＝4，若满足[]＝5，则n的最大整数为35.
16．不等式4x－5＜1中，x可取的最大整数值是1.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝60°，AD＝2，则OH＝1.
18．玉林市新建一座景观桥，如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40 m，桥拱的最大高度CD为16 m(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5 m的景观灯杆MN的高度为15m.
【解析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)计算：(－2)2×4－1－(－2＋5)．
解：原式＝－2.
20．(本题满分6分)先化简，再求值：(x－2)2－(x＋2)(x－1)，其中 x＝－1.
解：原式＝x2－4x＋4－(x2－x＋2x－2)＝－5x＋6.
当x＝－1时，原式＝5＋6＝11.
21．(本题满分10分)如图，已知∠MBN，A是边BM上一点．求作：射线AE，使得AE∥BN.
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BN于点C，连接AC；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AM，AC于点P，Q；③分别以点P，Q为圆心，大于PQ为半径画弧，两弧相交于点E；④作射线AE.则射线AE即为所求．
(1)尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)根据以上操作可知，AB＝AC，AE是∠CAM的平分线．在此条件下，求证：AE∥BN.
(1)解：作图如图所示．
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CAM＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB.
∵AE是∠CAM的平分线，∴∠CAE＝∠MAE，
∵∠CAM＝∠CAE＋∠MAE＝2∠CAE，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BN.
22．(本题满分10分)据调查，九年级某班30名学生所穿校服尺寸绘制如下条形统计图：
(1)求这30名学生所穿校服尺寸的众数和中位数；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计尺寸为
170 cm的校服需要多少件．
解：(1)众数：170 cm，中位数：170 cm.
(2)600×＝300(人)．
答：估计尺寸为170 cm的校服需要300件．
23.(本题满分10分)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°.
易得△AOE≌△DOE(SSS)，
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．
(2)解：在△OAE中，∠OAE＝90°，OA＝3，AE＝4，
∴由勾股定理易求OE＝5.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.由(1)知△AOE≌△DOE，∴∠AEO＝∠DEO，
又∵AE＝DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴＝＝，
∴BC＝2OE＝10.
24．(本题满分10分)综合与实践
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)．其中秤盘质量m0 g，重物质量m g，秤砣质量M g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻线的水平距离为a cm，秤砣与零刻线的水平距离为y cm.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000 g，零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000 g的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100 g在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
解：(1)由题意得m＝0，y＝0，∴10l＝50a，∴l＝5a.
(2)由题意得m＝1 000，y＝50，
∴l＝50，∴101l－5a＝250.
(3)由(1)(2)可得
解得
(4)由任务一可知，l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5＝50，∴y＝m.
(5)由(4)可知y＝m，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有 y＝5；
当m＝200时，则有y＝10；
当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；
当m＝500时，则有y＝25；
当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；
当m＝800时，则有y＝40；
当m＝900时，则有y＝45；当m＝1 000时，则有y＝50，
∴相邻刻线间的距离为5 cm.
25．(本题满分10分)二次函数y1＝ax2＋bx与y2＝2ax2＋2bx(a，b是实数，a≠0)．
(1)【特例发现】当a＝1，b＝2时，完成以下表格：
函数解析式 y1＝x2＋2x y2＝2x2＋4x
对称轴 直线x＝－1 直线x＝－1
顶点坐标 (－1，－1) (－1，－2)
与坐标轴的交点 (0，0)，( －2，0) (0，0)，(－2，0)
再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的 ②④(选填序号)相同；
①形状 ②对称轴
③顶点坐标 ④与坐标轴的交点
(2)【类比探究】若函数y1＝ax2＋bx的图象经过(2，0)，(6，2)．点(－4，t)是y2＝2ax2＋2bx图象上的一点．请求出t的值；
(3)【拓展应用】若函数y1＝ax2＋bx的图象向上平移6个单位长度，与x轴仅有一个交点．点(4，m)，(－2，m)均在y2＝2ax2＋2bx的图象上，求a的值．
解：(2)抛物线y1可表示为y1＝ax(x－2)，把(6，2)代入得2＝a×6×(6－2)，解得a＝，
∴抛物线y2的解析式为y2＝x(x－2)，
当x＝－4时，t＝4.
(3)函数y1＝ax2＋bx的图象向上平移6个单位长度后抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋6，
∵平移后的抛物线与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝b2－4a×6＝0，
∵点(4，m)，(－2，m)均在y2＝2ax2＋2bx的图象，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，即b＝－2a，
∴(－2a)2－24a＝0，解得a1＝0(舍去)，a2＝6.即a的值为6.
26.(本题满分10分)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.过点B作BM⊥AC于点M，过点E作EN⊥DF于点N，如图①.
(1)求证：BM＝EN；
(2)在同一平面内，将图①中的两个三角形按如图②所示的方式放置，点C与点E重合，点A与点D重合，将图②中的△DCF绕点C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
①当α＝30°时，如图③，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
(1)证明：设AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝a，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN＝DE＝a，∴BM＝EN.
(2)①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形CNPM为矩形，由(1)知BM＝CM＝EN，
∴四边形CNPM是正方形．
②解：当30°<α<60°时，＝；
当60°<α<120°时，＝，
证明：当30°＜α＜60°时，连接CP，如图③，由(1)可得CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
答图
∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴MP＝PN，∴MP＋DP＝PN＋DP＝DN，
∴cos D＝＝＝cos 30°＝，∴＝；
当60°＜α＜120°时，连接CP，如答图，
同理Rt△PMC≌Rt△PNC(HL)，
∴MP＝PN，∴DN＝PN－DP＝MP－DP，
∴cos∠CDF＝＝＝cos 30°＝，
∴＝.
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