4.3二倍角的三角函数公式
课程标准 学习目标
1.重点：学习运用二倍角公式 2.难点：变形、逆用二倍角公式 1.了解二倍角公式的推导过程; 2.掌握二倍角公式、理解公式的结构特点; 3.能用二倍角公式解题.
知识点01 二倍角公式
1、正弦二倍角：
2、余弦二倍角：
3、正切二倍角：
【即学即练1】（23-24高一上·云南·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
知识点02 半角公式
1、正弦半角公式：sin ＝±，
2、余弦半角公式：cos ＝±，
3、正切半角公式：tan ＝±＝＝.
【即学即练2】（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 .
【题型一：正弦二倍角公式】
例1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）若，则的值为 .
变式1-1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点，则的值为 ．
变式1-2．（2023高一上·全国·专题练习），则 .
变式1-3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 .
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1.
2.
【题型二：正弦二倍角公式的逆用】
例2．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ．
变式2-1．（22-23高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2-2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）若，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2-3．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案 彝族漆器图案 彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为 ．
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
【题型三：余弦二倍角公式】
例3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知，则 ．
变式3-1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知，且，则 .
变式3-2．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点在第三象限，且．则（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知，则的值为 .
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1. ;
2. ;
3. ;
【题型四：余弦二倍角公式的逆用】
例4．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．（21-22高一下·四川成都·期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．（20-21高一上·北京·期末）如果函数的图像可以通过的图像平移得到，称函数为函数的“同形函数”.在①；②；③；④中，为函数的“同形函数”的有 .（填上正确选项序号即可）
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
【题型五：正切二倍角公式】
例5．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为 .
变式5-2．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，，则的值为( )
A． B． C． D．
变式5-3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
.2.
【题型六：正切二倍角公式逆用】
例6．（22-23高一下·湖南益阳·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（22-23高一下·北京海淀·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．或
变式6-2．（多选）（22-23高一下·湖北·期末）下列各式的值为是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-3．（多选）（22-23高一下·全国·课时练习）若，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．－2
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1.
2.
3.
【题型七：半角公式】
例7．（22-23高一·全国·随堂练习）已知，角的终边在第一象限，求的值．
变式7-1．（22-23高一·全国·随堂练习）求和的值．
变式7-2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 .
变式7-3．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中．
【方法技巧与总结】
1.当给出角α的范围（某一区间）时，可先确定角的范围，再确定各函数值的符号。
2.若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号。
3.对于，，∈R，而对于，要注意α≠（2k＋1）π。
【题型八：凑角求值】
例8．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式8-2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
变式8-3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若为钝角，且，求的值．
【方法技巧与总结】
1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等
3.凑角基本思路
【题型九：化简求值】
例9．（20-21高一下·四川成都·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 .
变式9-1．（2022高一上·全国·专题练习）求值
变式9-2．（2022高一上·全国·专题练习）求值
变式9-3．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ．
【方法技巧与总结】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点
一、单选题
1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·北京海淀·期中），则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·全国·单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·云南·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）下列公式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知,则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增
11．（22-23高一下·江苏扬州·期中）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： ．
13．（23-24高一下·上海·阶段练习）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 .（用表示）
14．（23-24高一下·北京·阶段练习）设函数．则= ；函数的最小值为 ．
四、解答题
15．（22-23高一下·四川宜宾·期末）已知为第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，为第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，点是单位圆上的一点，是坐标原点，，且且.
(1)求的值；
(2)求的值．
19．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)求图象的对称中心的坐标；
(3)若求的值．
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课程标准 学习目标
1.重点：学习运用二倍角公式 2.难点：变形、逆用二倍角公式 1.了解二倍角公式的推导过程; 2.掌握二倍角公式、理解公式的结构特点; 3.能用二倍角公式解题.
知识点01 二倍角公式
1、正弦二倍角：
2、余弦二倍角：
3、正切二倍角：
【即学即练1】（23-24高一上·云南·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选：
知识点02 半角公式
1、正弦半角公式：sin ＝±，
2、余弦半角公式：cos ＝±，
3、正切半角公式：tan ＝±＝＝.
【即学即练2】（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 .
【答案】
【分析】
由半角公式求解.
【详解】，则，
由半角公式可得.
故答案为：
【题型一：正弦二倍角公式】
例1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）若，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用同角的平方关系求出，再利用三角函数的倍角公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：.
变式1-1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】先根据任意角三角函数定义求出正弦值和余弦值，再结合二倍角正弦值公式计算即可.
【详解】终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点，则．
故答案为：.
变式1-2．（2023高一上·全国·专题练习），则 .
【答案】
【分析】把1换成，同时用二倍角公式化二倍角为单角，再开方，注意角的范围即可．
【详解】，，
则
，
故答案为：.
变式1-3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 .
【答案】/
【分析】由三角函数的诱导公式列方程组解出或，再由诱导公式算出结果即可.
【详解】由诱导公式可知，
又因为，
由以上两式可解得或，
所以，代入以上两种结果得到.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1.
2.
【题型二：正弦二倍角公式的逆用】
例2．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ．
【答案】
【分析】由于，所以原式可化为，乘进去后再利用降幂公式化简可得，再逆用两角和的正弦公式可得答案
【详解】解：
，
故答案为：
变式2-1．（22-23高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正弦二倍角公式得到，求出或，从而得到故“”是“，”的必要不充分条件.
【详解】，故，故或，解得：或，
故“”是“，”的必要不充分条件.
故选：B
变式2-2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）若，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
根据正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，可得答案.
【详解】
解：因为，则，
所以．
故选：D．
变式2-3．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案 彝族漆器图案 彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据图示可得，利用二倍角公式和诱导公式即可计算的出结果.
【详解】根据图2可知，动点将圆周九等分，所以，
所以；
则
将代入可得，
即.
故答案为：
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
【题型三：余弦二倍角公式】
例3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】
根据二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】 ， ，即.
故答案为：.
变式3-1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知，且，则 .
【答案】/
【分析】利用倍角公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，所以，解得，
又，所以，所以.
故答案为：.
变式3-2．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点在第三象限，且．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由所求式化简判断需求，而由题设利用三角函数基本关系式易得.
【详解】因，且是第三象限角，则，
故.
故选：C.
变式3-3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用倍角公式变形化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1. ;
2. ;
3. ;
【题型四：余弦二倍角公式的逆用】
例4．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式和诱导公式即可.
【详解】
，
故选：A．
变式4-1．（21-22高一下·四川成都·期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
变式4-2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由两边平方得：，而，，则，
因此，
所以.
故选：D
变式4-3．（20-21高一上·北京·期末）如果函数的图像可以通过的图像平移得到，称函数为函数的“同形函数”.在①；②；③；④中，为函数的“同形函数”的有 .（填上正确选项序号即可）
【答案】②③
【分析】由给定条件利用三角恒等变形化简①，②，③中函数，再与函数比对即可判断，分析④的定义域即可判断并作答.
【详解】由“同形函数”的意义知，两个函数是“同形函数”，则它们定义域必相同，①，②，③中函数与函数的定义域均为R，
①中，需先把图象上的每点纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向上平移0.5个单位，显然两者的形状不同，即①不是；
②中，的图象可把图象右移个单位而得，即②是；
③中，的图象可把图象右移个单位而得，即③是；
④中，定义域是与的定义域不同，即④不是，
综上为函数的“同形函数”的有②③.
故答案为：②③
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
【题型五：正切二倍角公式】
例5．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，
即，解方程得或（舍）.
因为，所以，，
所以.
故选：D
变式5-1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为 .
【答案】/
【分析】
利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【详解】
因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得，
所以.
故答案为：.
变式5-2．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出tanA，根据正切和角公式求出tan(A+B)，再根据正切的二倍角公式即可求得答案．
【详解】，
，
，
，
，
故选：D．
变式5-3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用诱导公式可求得的值，由此可得出的值；
（2）利用诱导公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】（1）解：由三角函数的定义可得，，
将因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，且，
结合图形可知，，故.
故.
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
.2.
【题型六：正切二倍角公式逆用】
例6．（22-23高一下·湖南益阳·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的范围，然后利用正切的二倍角公式求解即可
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，
化简得，解得（舍去），或，
故选：C
变式6-1．（22-23高一下·北京海淀·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用二倍角的正切公式可得出关于的方程，解之即可.
【详解】由二倍角的正切公式可得，整理可得，
解得或.
故选：D.
变式6-2．（多选）（22-23高一下·湖北·期末）下列各式的值为是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用三角函数恒等变形，即可化简求值.
【详解】A. ，故A正确；
B. ，故B正确；
C.
，故C错误；
D. ，
，故D错误.
故选：AB
变式6-3．（多选）（22-23高一下·全国·课时练习）若，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．－2
【答案】CD
【分析】对已知条件进行化简运算可得，从而求得，即可得出结论.
【详解】
，
∵，∴，
当，时，；
当，时，.
故选：CD.
【方法技巧与总结】
常见结论推广：
1.
2.
3.
【题型七：半角公式】
例7．（22-23高一·全国·随堂练习）已知，角的终边在第一象限，求的值．
【答案】
【分析】先求出，根据半角公式得出的值．
【详解】解：因为，角的终边在第一象限，
所以，
所以.
变式7-1．（22-23高一·全国·随堂练习）求和的值．
【答案】，
【分析】注意到与的关系，利用半角公式解得.
【详解】解：，
.
变式7-2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 .
【答案】
【分析】
由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简.
【详解】，
因为，所以，
从而.
故答案为：.
变式7-3．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中．
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可.
【详解】由，可得，
所以，
由，可知，
得原式．
【方法技巧与总结】
1.当给出角α的范围（某一区间）时，可先确定角的范围，再确定各函数值的符号。
2.若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号。
3.对于，，∈R，而对于，要注意α≠（2k＋1）π。
【题型八：凑角求值】
例8．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】
．
故选：A．
变式8-1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用两角和的正切公式求出，再由两角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函数函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，解得或，
又
，
当时；
当时；
综上可得.
故选：D
变式8-2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，，再由两角差的正切公式求出，即可得解；
（2）由二倍角公式求出，，再由和角公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以，，，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，
，
所以
.
变式8-3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若为钝角，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简并结合齐次式运算求解；
（2）由二倍角公式求解，结合平方关系和商数关系得，再利用二倍角和两角差的正切求值.
【详解】（1）因为，所以 .
（2）因为为钝角，
由，得，
则，
，
又因为,
所以.
【方法技巧与总结】
1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等
3.凑角基本思路
【题型九：化简求值】
例9．（20-21高一下·四川成都·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 .
【答案】
【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.
【详解】因t=2sin18°，则有
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决.
变式9-1．（2022高一上·全国·专题练习）求值
【答案】2
【分析】
利用二倍角的余弦公式和辅助角公式以及诱导公式化简即可.
【详解】
原式
变式9-2．（2022高一上·全国·专题练习）求值
【答案】
【分析】
利用二倍角的正弦公式和辅助角公式以及诱导公式化简即可.
【详解】
原式
。
变式9-3．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
【方法技巧与总结】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点
一、单选题
1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过平方的方法求得正确答案.
【详解】依题意，，
两边平方得，
，
所以.
故选：B
2．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得.
故选：B.
3．（21-22高一下·北京海淀·期中），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的关系平方求解，结合二倍角公式求解即可.
【详解】∵，平方可得，∴，
故选：C．
4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
.
故选：B
5．（22-23高一下·全国·单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二倍角的余弦公式和诱导公式可求出结果.
【详解】
因为，所以，
故.
故选：A．
6．（22-23高一下·云南·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式及诱导公式即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
7．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简等式，求得，利用求出，代入计算即得结果.
【详解】由可得，即，解得或（舍去），
又，则，于是,故.
故选：C.
8．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
运用切化弦及二倍角公式化简即可求得，再结合同角三角函数平方关系即可求得.
【详解】因为，，
所以，
即，解得或（舍），
又因为，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）下列公式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据两角差的余弦公司号、二倍角公式、诱导公式、降次公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由差角余弦公式有，所以A选项错误.
由倍角余弦公式有，B选项正确.
由诱导公式有，C选项正确.
由倍角余弦公式有，D选项正确.
故选：BCD
10．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知,则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增
【答案】ABC
【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D.
【详解】因为,定义域为,
,所以是偶函数,故A正确;
的最小正周期为,故B正确;
,所以是图象的一个对称中心,故C正确;
令,
解得,
即的单调递增区间为,故D错误.
故选:ABC.
11．（22-23高一下·江苏扬州·期中）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC
三、填空题
12．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化成同角，然后因式分解即可化简.
【详解】由二倍角公式可得：.
故答案为：
13．（23-24高一下·上海·阶段练习）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 .（用表示）
【答案】
【分析】
根据题意，先确定折叠后的不变量，再设，由角度关系可得，进而利用三角函数的定义求出，从而可得.
【详解】因为折叠后点落在上为点
又，则设，则，
又，
，
且.
故答案为：.
14．（23-24高一下·北京·阶段练习）设函数．则= ；函数的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】
先化简，然后计算，换元，然后利用二次函数的性质求最值.
【详解】 ，
则，
令，
则，对称轴为，
故最小值为.
故答案为：；.
四、解答题
15．（22-23高一下·四川宜宾·期末）已知为第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为第二象限角，得到，进而得到正切值；
（2）根据二倍角公式和诱导公式化简，分子分母同时除以，代入即可.
【详解】（1）因为为第二象限角，，
所以，
所以
（2）原式，
分子分母同时除以，
则原式.
16．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，为第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.
【详解】（1），为第二象限角，
，
则；
（2）.
17．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得；
（2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）
因为，
所以
；
（2）
且，
，则，
，
，
，，且，解得（负值舍去），
，
又，，，
.
18．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，点是单位圆上的一点，是坐标原点，，且且.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根据三角函数定义求得，结合同角三角函数关系由求得，再根据正弦的和角公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所得求得，再根据二倍角的正切公式求得，进而由正切的差角公式即可求得结果.
【详解】（1）根据三角函数定义可得；
又，，则；
.
（2）由（1）可得，，
又，
故 .
19．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)求图象的对称中心的坐标；
(3)若求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，即可求出，再由利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为
，
由，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）令， 得，
所以图象的对称中心的坐标为．
（3）由，得，则．
因为，所以，所以．
所以
．
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