第四章三角恒等变换章末八种常考题型归类
的知一求二
1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 ．
利用平方关系求参数
6．（21-22高一上·全国·课时练习）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
7．（15-16高一上·云南大理·期末）已知，， 其中，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
9．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，且为第二象限角，则
10．（21-22高一·全国·假期作业）已知，且为第二象限角，则m的值为
齐次化问题
11．（2013高一·全国·竞赛）已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知，则的值为
15．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知角的终边经过点P，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
与的关系
16．（2012高一·全国·竞赛）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
17．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ．
18．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
19．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根．
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若,，求的值
20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
凑角求值问题
21. （2012高一·全国·竞赛）若，且，则（ ）．
A． B． C． D．
22. （23-24高一下·上海·假期作业）已知角 角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则
23. （23-24高一上·重庆·期末）已知
(1)化简；
(2)若，，且，，求.
24. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求．
25. （23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，，α，β均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
化简求值问题
26. （23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）式子（ ）
A． B． C． D．
27. （23-24高一下·湖北·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
28. （多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
29. （多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
30. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习） .
辅助角公式的运用
31. （23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家 天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
32. （多选）（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点中心对称
C．最大值为 D．在区间上单调递减
33. （23-24高一下·吉林·阶段练习）设当时，函数取得最大值，则 ．
34. （23-24高一下·四川成都·阶段练习）设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值，并求出取最大值时的值.
35. （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数，其图象关于点中心对称．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
二倍角公式的运用
36. （23-24高一下·重庆·阶段练习）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动，如图（2）.伞完全收拢时，伞圈D已滑到的位置，且A，B，三点共线，，B为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
37. （23-24高一下·安徽·开学考试）如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
38. （23-24高一下·重庆·阶段练习）重天市育才中学为美化校园将一个半圆形空地改造为一个穿梭花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B都在半圆弧上，设，其中.若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，要使参观的线路最长，则 .（答案请用使用弧度制表示）
39. （23-24高一下·上海·阶段练习）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 .（用表示）
40. （23-24高一下·上海金山·阶段练习）对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合 相对于的“正弦方差”为 .
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的知一求二
1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式求解即得.
【详解】由，得，
所以的值为.
故选：B
2．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据角的终边在直线上，可得，即可求解.
【详解】由题意得角的终边在直线上，所以，
又因为，且，所以，故A项正确.
故选：A.
3．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故选：C.
4．（多选）（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据平方公式可得的值，再利用诱导公式逐项化简求值即可得结论.
【详解】，则，
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：AC.
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式即可得解.
【详解】由，得，则，
而，则，
所以.
故答案为：.
利用平方关系求参数
6．（21-22高一上·全国·课时练习）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.
【详解】由可得或，
由于为第二象限角，所以，
故当时，不符合要求，
则符合要求，
故选：D
7．（15-16高一上·云南大理·期末）已知，， 其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角关系式结合条件即得.
【详解】由得，
解得或，
当时，，，不满足，
当时，，，满足，
.
故选：D.
8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【答案】0或
【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
当时，，，；
当时，，，.
综上所述，或.
故答案为：0或.
9．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，且为第二象限角，则
【答案】/
【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】为第二象限角，，解得：或；
，即，
，解得：（舍）或，
，，.
故答案为：.
10．（21-22高一·全国·假期作业）已知，且为第二象限角，则m的值为
【答案】4
【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值.
【详解】由得，
，
或，
又为第二象限角，
，，
把m的值代入检验得，.
故答案为：
齐次化问题
11．（2013高一·全国·竞赛）已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子和分母同时除以，即可求解.
【详解】，解得．
故选：A
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】
因为，
所以
.
故选：D
13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出，将转化为求解.
【详解】
因为，所以，
因为，
所以，
故选：D．
14．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知，则的值为
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及齐次式法计算即得.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：3
15．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知角的终边经过点P，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式化简目标式，结合三角函数定义，即可求得结果；
（2）将目标式化为二次齐次式，再根据同角三角函数关系，即可求得结果.
【详解】（1）角的终边经过点P，故；
故.
（2） .
与的关系
16．（2012高一·全国·竞赛）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和立方和公式即可得出答案.
【详解】，
．
故选: A.
17．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ．
【答案】
【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】直角三角形中较小的内角为，
则直角三角形的两条直角边分别为，
所以小正方形的边长为，
所以，
即，
即，
所以，
所以.
故答案为：.
18．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）两边平方，结合平方关系得由此即可进一步求解.
（2）首先得，进一步由即可求解.
（3）首先分别求得，然后由商数关系即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为，
所以；
（3）由，可得．
所以．
19．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根．
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若,，求的值
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用韦达定理结合平方关系即可求解；
（2）切化弦化简即可求解；
（3）由韦达定理求出即可求解.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，，
由，
则，
所以；满足.
（2）
；
（3）因为，所以①，，
所以，
因为,，所以，，②，
所以由①②可得，
所以．
20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）由且，得，从而，再由，能求出结果．
【详解】（1）解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，
（2），且，
，则，而，
则，故，
。
凑角求值问题
21. （2012高一·全国·竞赛）若，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据和差角公式即可求解.
【详解】由于，，
所以，
则
．
故选：B
22. （23-24高一下·上海·假期作业）已知角 角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则
【答案】
【分析】根据旋转方向和旋转量可得，因题设，要求的值，则考虑按照拆角，所以求出即得.
【详解】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令，
因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以，
所以 .
故答案为：.
23. （23-24高一上·重庆·期末）已知
(1)化简；
(2)若，，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】（1）；
（2），因为，所以
所以，
，
因为，，所以，
因为，所以，
于是
所以
.
24. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：根据二倍角公式，同角关系将转化为含的表达式，代入条件可得结论；
方法二：由二倍角正切公式求，再结合同角关系求；
（2）由两角和的正切公式求，由两角差的周期公式求，结合条件确定的范围，由此可得结论.
【详解】（1）方法1：
．
方法2：
．
由得
消去，得，
解得，．
因为，，
所以，所以，
所以．
所以．
（2）．
因为，
又，所以．
由（1）方法2，可知，
所以．
因为，所以．
25. （23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，，α，β均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据同角三角函数关系，由求得，再根据正弦的倍角公式，即可求得结果；
（2）由求得，再根据余弦的差角公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】（1），且α为锐角，故，
则.
（2），且α，β均为锐角，故，
即，
则 ．
化简求值问题
26. （23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）式子（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.
【详解】解：，
，
.
故选：B
27. （23-24高一下·湖北·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考虑，结合，整体代换即可求解.
【详解】因为，即，令，
则，，，
即，
因为，所以，
即，整理得，
解得，
因为，所以，
故．
故选：B
28. （多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据二倍角公式即可判断AB，根据和差角公式即可求解CD.
【详解】对于A，，A正确，
对于B，，B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，D正确，
故选：ACD
29. （多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用辅助角公式可判断选项A；利用诱导公式和二倍角公式可判断选项B；利用二倍角公式可判断选项C；利用切化弦、辅助角公式和诱导公式可判断选项D.
【详解】因为
，
故选项A正确；
因为，
故选项B错误；
因为，
故选项C错误；
因为
，
故选项D正确.
故选：AD.
30. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习） .
【答案】1
【分析】依题意可得，利用和（差）角公式展开计算可得.
【详解】
.
故答案为：
辅助角公式的运用
31. （23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家 天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，即，，所以，利用三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】依题意，可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义可得，，所以 ，
所以，其中，，
当，则，而，，
所以；
故选：C
32. （多选）（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点中心对称
C．最大值为 D．在区间上单调递减
【答案】ABC
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】，
所以函数的最小正周期，故A正确；
由于，故函数图象关于点中心对称，故B正确；
由，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：ABC
33. （23-24高一下·吉林·阶段练习）设当时，函数取得最大值，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性求出，进而利用差角的余弦求解即得.
【详解】依题意，函数，
其中锐角满足，当时，，
因此，
所以.
故答案为：
34. （23-24高一下·四川成都·阶段练习）设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值，并求出取最大值时的值.
【答案】(1)
(2)当，时，
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再代入周期公式；
（2）根据（1）的结果，再代入函数的最值公式，即可求解.
【详解】（1）因为
故最小正周期，
（2）
令，得，时，.
35. （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数，其图象关于点中心对称．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
【答案】(1)的单调递减区间为
(2)
【分析】（1）通过三角恒等变换得到，再根据图像关于点中心对称求得，然后利用正弦函数的性质求解；
（2）先利用图象变换得到，再得到，然后利用两角差的余弦公式求解.
【详解】（1），
，
因为图象关于点中心对称，
，，
，
，，，
，
令，
，
的单调递减区间为；
（2）由题意得：，
，，
，，
，
，
.
二倍角公式的运用
36. （23-24高一下·重庆·阶段练习）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动，如图（2）.伞完全收拢时，伞圈D已滑到的位置，且A，B，三点共线，，B为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角余弦公式，即可求得答案.
【详解】依题意，，当伞完全张开时，，
B为的中点，故，
当伞完全收拢时，，
在中，，
故，
故选：A
37. （23-24高一下·安徽·开学考试）如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值.
【详解】连接，.设，，
在中，，
由得，.
在中，，
，
.
令，则，且，
则
，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
38. （23-24高一下·重庆·阶段练习）重天市育才中学为美化校园将一个半圆形空地改造为一个穿梭花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B都在半圆弧上，设，其中.若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，要使参观的线路最长，则 .（答案请用使用弧度制表示）
【答案】
【分析】利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值.
【详解】连接，则，
半圆的半径，在中，，
在等腰中，，显然，
所以参观路线的长度，
令，即，当时取得最大值，
此时，又，于是，所以当时，参观路线最长.
故答案为：
39. （23-24高一下·上海·阶段练习）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 .（用表示）
【答案】
【分析】
根据题意，先确定折叠后的不变量，再设，由角度关系可得，进而利用三角函数的定义求出，从而可得.
【详解】因为折叠后点落在上为点
又，则设，则，
又，
，
且.
故答案为：.
40. （23-24高一下·上海金山·阶段练习）对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合 相对于的“正弦方差”为 .
【答案】/0.5
【分析】
根据新定义及三角恒等变换化简即可得解.
【详解】由题意得，集合 相对于的“正弦方差为，
所以，
所以，
，
，
，
所以，
故答案为：
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