4.2两角和与差的三角函数公式
课程标准 学习目标
1.重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 2.难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 1.能够推导两角差的余弦公式: 2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; 3.能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明:
知识点01 两角和与差的余弦
1、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R
2、两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R
【即学即练1】（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
知识点02 两角和与差的正弦
1、两角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R
2、两角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R
【即学即练2】（21-22高一下·四川成都·期末）（ ）
A． B． C． D．
知识点03 两角和与差的正切
1、两角和的正切：tan(α＋β) ＝，α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
2、两角差的正切：tan(α－β) ＝，α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【即学即练3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
知识点04 辅助角公式
辅助角公式：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中）
【即学即练4】（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式是 ．
知识点05 积化和差与和差化积
1、积化和差：
①；
②；
③；
④；
2、和差化积：
①；
②；
③；
④；
【即学即练5】（21-22高一·湖南·课后作业）利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型一：两角和余弦求值】
例1．（2024高一下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，( )
A．1 B． C． D．
变式1-1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，则
变式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 .
变式1-3．（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列三角函数的值：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
1.在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替换β，便可以得到两角和的余弦公式.
2.可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反..
【题型二：两角和余弦逆用】
例2．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）=（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末） .
变式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos 28°cos 32°－cos 62°sin 32°= ．
变式2-3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧与总结】
1.运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记.
2.在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
【题型三：两角和正弦求值】
例3．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（22-23高一上·浙江丽水·期末）若，且，，则 .
变式3-2．（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知锐角满足，则 ．
变式3-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，为第二象限角，，，求与的值．
【方法技巧与总结】
两角和与差的正弦公式结构特征
1.a，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。
2.记忆口诀：异名同号。
【题型四：两角和正弦逆用】
例4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）化简，得（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.运用两角差的正弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记.
2.在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
【题型五：两角和正切求值】
例5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，是方程的两个根，则 ．
变式5-1．（2024高一上·全国·专题练习）在中，，，则角 .
变式5-2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且是第三象限角，则的值为 ．
变式5-3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”。
2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋(k∈Z。
【题型六：两角和正切逆用】
例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）（ ）
A．1 B． C．3 D．
变式6-2．（21-22高一下·河南南阳·期末） ．
变式6-3．（2024高一下·江苏·专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧与总结】
两角和的正切公式的常见四种变形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
③④tan α·tan β＝1－.
④1－tan αtan β＝；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
③④tan α·tan β＝-1
④1+tan αtan β＝；
【题型七：化简求值】
例7．（22-23高一下·江苏南通·期中）求的值为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（22-23高一下·广东惠州·期中） ．
变式7-2．（22-23高一·全国·课时练习）化简： ．
变式7-3．（22-23高一下·江苏扬州·期中）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【题型八：凑角求值】
例8．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式8-3．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
常见角的变换有：
α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【题型九：辅助角公式】
例9．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）求值：（ ）
A．0 B． C．2 D．
变式9-1．（2024高一下·江苏·专题练习）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式9-2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数的最小值为1，则实数 ．
变式9-3．（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧与总结】
常见辅助角结论
1.;2.;
3.;4.;
【题型十：和差化积与积化和差】
例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则 .
变式10-1．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知．
(1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；
(2)求的值．
变式10-2．（21-22高一·湖南·课后作业）利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
变式10-3．（21-22高一·湖南·课时练习）利用积化和差公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【方法技巧与总结】
1、积化和差公式的巧记口诀
余余相乘余和加，
正正相乘余减反，
正余相乘正相加，
余正相乘正相减。
注意前提是（）在前面，在后面。
2、和差化积公式的特点
①同名函数的和或差才可化积。
②余弦函数的和或差化为同名函数之积。
③正弦函数的和或差化为异名函数之积。
④等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式。
⑤只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正。
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·广东·期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·广东珠海·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
7．（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A． B． C．2 D．1
8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）在锐角三角形中，以下各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（20-21高一下·全国·课时练习）满足 的一组的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）已知且为第四象限角，若，则值是 ．
13．（23-24高一下·上海·假期作业）已知角 角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则
14．（2023高一·全国·专题练习）如图，在中，，为垂足，在的外部，且，则 .
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)求在区间的值域；
(3)若且，求的值．
16．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知的三个内角满足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
17．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
(1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．
18．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知.
(1)求；
(2)求.
19．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，是第一象限角，求.
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课程标准 学习目标
1.重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 2.难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 1.能够推导两角差的余弦公式: 2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; 3.能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明:
知识点01 两角和与差的余弦
1、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R
2、两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R
【即学即练1】（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.
【详解】 .
故选：D．
知识点02 两角和与差的正弦
1、两角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R
2、两角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R
【即学即练2】（21-22高一下·四川成都·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正切公式计算可得；
【详解】
故选：A
知识点03 两角和与差的正切
1、两角和的正切：tan(α＋β) ＝，α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
2、两角差的正切：tan(α－β) ＝，α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【即学即练3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1），由两角和的余弦公式即可求解；
（2）由诱导公式可得，，由两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
知识点04 辅助角公式
辅助角公式：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中）
【即学即练4】（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式是 ．
【答案】
【分析】
逆用两角和正弦公式即可得解.
【详解】由
.
故答案为：
知识点05 积化和差与和差化积
1、积化和差：
①；
②；
③；
④；
2、和差化积：
①；
②；
③；
④；
【即学即练5】（21-22高一·湖南·课后作业）利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)0；
(3).
【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解.
(2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
(3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
【题型一：两角和余弦求值】
例1．（2024高一下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角与的终边关于y轴对称及可知角与角终边在第一二象限，分情况讨论即可得到答案．
【详解】
∵角与的终边关于y轴对称，，
∴和不可能在三、四象限，
①若终边在第一象限，则，
由，得，
∴，
，
∴ ；
②若在第二象限，则，
∴，即，
∴，
，
∴ ．
故选：C
变式1-1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，则
【答案】
【分析】
先求得，再利用两角和的余弦公式求解即可．
【详解】
因为，，
所以，
则．
故答案为：．
变式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 .
【答案】/
【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可.
【详解】因为为锐角，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
所以
.
故答案为：
变式1-3．（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列三角函数的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数及两角差的余弦公式化简求值；
（2）根据两角和的余弦公式求值.
【详解】（1）
（2）
【方法技巧与总结】
1.在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替换β，便可以得到两角和的余弦公式.
2.可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反..
【题型二：两角和余弦逆用】
例2．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据两角差的余弦公式，化简求值.
【详解】
.
故选：A
变式2-1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末） .
【答案】/
【分析】利用诱导公式和两角和的余弦公式计算可得；
【详解】
.
故答案为：
变式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos 28°cos 32°－cos 62°sin 32°= ．
【答案】/0.5
【分析】先利用诱导公式将化简成，再利用和差公式化简.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
变式2-3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根据题意，结合两角和与差的三角函数公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）解：由.
（2）解：由 .
（3）解：由
.
（4）解：由
，
【方法技巧与总结】
1.运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记.
2.在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
【题型三：两角和正弦求值】
例3．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为,,
所以,
则.
故选：A.
变式3-1．（22-23高一上·浙江丽水·期末）若，且，，则 .
【答案】
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】因为且，所以，
又因为且，所以，
所以，
故答案为：
变式3-2．（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知锐角满足，则 ．
【答案】/
【分析】由同角基本关系求得，，而，利用差角正弦公式即可求解.
【详解】由得，即，又，
且为锐角，所以，
因为为锐角，所以，则，
所以
.
故答案为：.
变式3-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，为第二象限角，，，求与的值．
【答案】 ，
【分析】先利用同角三角函数的关系求出的值，再利用两角和与差的正弦公式求解即可.
【详解】因为为第二象限角，所以．
又，所以．
因为，所以．
又，所以．
所以
，
．
【方法技巧与总结】
两角和与差的正弦公式结构特征
1.a，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。
2.记忆口诀：异名同号。
【题型四：两角和正弦逆用】
例4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】逆用和角正弦公式化简三角函数式，即可求值.
【详解】，故A正确.
故选：A.
变式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】因为 .
故选：B
变式4-2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）化简，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用诱导公式与两角和的正弦公式化简求值.
【详解】
.
故选：A
变式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数，化简得到，即可求解.
【详解】由.
故选：A.
【方法技巧与总结】
1.运用两角差的正弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记.
2.在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
【题型五：两角和正切求值】
例5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，是方程的两个根，则 ．
【答案】1
【分析】
利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得.
【详解】方程中，，则，
在中，.
故答案为：1
变式5-1．（2024高一上·全国·专题练习）在中，，，则角 .
【答案】
【分析】根据条件，利用正切的和角公式得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，得到,
又，所以，
故答案为：.
变式5-2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且是第三象限角，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的基本关系式，求得，再利用两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为且是第三象限角，可得，
所以，则.
故答案为：.
变式5-3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数，结合正切和差角公式即可求解.
【详解】由于，所以,
不妨设小正方形的边长为，则，所以，
由于,所以，
所以,
故选：A
【方法技巧与总结】
1.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”。
2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋(k∈Z。
【题型六：两角和正切逆用】
例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【详解】
，
，
．
故选：C
变式6-1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B
变式6-2．（21-22高一下·河南南阳·期末） ．
【答案】23
【分析】根据正切的和角公式可得 ，然后根据对数的运算性质即可求解.
【详解】因为
，
同理可得：， ，
故
故答案为：23
变式6-3．（2024高一下·江苏·专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据两角和的正切公式求解；
（2）由特殊角的三角函数值及两角差的正切公式求解；
（3）两角和的正切公式变形求解.
【详解】（1）.
（2）原式.
（3）因为，
所以，
所以.
【方法技巧与总结】
两角和的正切公式的常见四种变形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
③④tan α·tan β＝1－.
④1－tan αtan β＝；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
③④tan α·tan β＝-1
④1+tan αtan β＝；
【题型七：化简求值】
例7．（22-23高一下·江苏南通·期中）求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
【详解】
故选：A．
变式7-1．（22-23高一下·广东惠州·期中） ．
【答案】
【分析】
根据观察我们发现角关系，再用辅助角公式将化为，则结果可知.
【详解】
故答案为：.
变式7-2．（22-23高一·全国·课时练习）化简： ．
【答案】/
【分析】利用差角的正弦余弦正切公式化简即得解.
【详解】 .
故答案为：
变式7-3．（22-23高一下·江苏扬州·期中）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得，利用展开化简可得.
【详解】由题可得，
.
故选：D.
【题型八：凑角求值】
例8．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【详解】由于，所以，所以，
由可得，
故，
故选：A
变式8-1．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可.
【详解】由诱导公式得，因为，，
所以，
所以.
故选：A
变式8-2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】由两角和的正余弦公式求解和进而判断角所在象限.
【详解】 ，
，
，
，
，
，
是第二象限角．
故选：B．
变式8-3．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解.
【详解】因为所以，
又，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以 .
故选：A
【方法技巧与总结】
常见角的变换有：
α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【题型九：辅助角公式】
例9．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）求值：（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式计算即可.
【详解】
，
故选：
变式9-1．（2024高一下·江苏·专题练习）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】结合同角三角函数的商数关系及辅助角公式化简求解即可.
【详解】
故选：C
变式9-2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数的最小值为1，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用辅助角公式与正弦函数的性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，其中，，
所以，解得．
故答案为：3．
变式9-3．（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据辅助角公式将其配成两角差的正弦展开式，逆用公式即得；
（2）将看成整体角，利用辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得；
（3）根据辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3） .
【方法技巧与总结】
常见辅助角结论
1.;2.;
3.;4.;
【题型十：和差化积与积化和差】
例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则 .
【答案】
【分析】由和差化积和积化和差公式求得，，进而求得，即可求解.
【详解】，可得；，可得；
则； .
故答案为：.
变式10-1．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知．
(1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）利用积化和差公式化简可得答案；
（2）展开可得，再看作分母为1的分数，再除以可得答案．
【详解】（1）
，
可得；
（2）因为，
所以，
则，
解得或3．
变式10-2．（21-22高一·湖南·课后作业）利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)0；
(3).
【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解.
(2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
(3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
变式10-3．（21-22高一·湖南·课时练习）利用积化和差公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用积化和差公式求解.
【详解】（1）解：由积化和差公式得：
，
，
，
；
（2）由积化和差公式得：
，
，
，
，
，
.
【方法技巧与总结】
1、积化和差公式的巧记口诀
余余相乘余和加，
正正相乘余减反，
正余相乘正相加，
余正相乘正相减。
注意前提是（）在前面，在后面。
2、和差化积公式的特点
①同名函数的和或差才可化积。
②余弦函数的和或差化为同名函数之积。
③正弦函数的和或差化为异名函数之积。
④等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式。
⑤只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正。
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据正弦的和差角公式即可化简求解.
【详解】,
故选：B
2．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用辅助角公式求出答案.
【详解】，C正确；
其他选项不满足要求.
故选：C
3．（23-24高一上·广东·期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
逆用正切和角公式求值即可.
【详解】.
故选：C
4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据正切函数的定义计算，然后再由两角和的正切公式计算.
【详解】
由已知，.
故选：A.
5．（2023·广东珠海·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数定义得到，进而利用正弦差角公式求出答案.
【详解】由三角函数定义得，，
所以.
故选：C
6．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用两角和的正弦公式化为，由此可求出，，即可求解.
【详解】，
所以，，
则.
故选：C.
7．（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得.
【详解】
故选：A
8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正切的和差角公式即可求解.
【详解】
故选:C．
二、多选题
9．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）在锐角三角形中，以下各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】通过以及三角函数诱导公式进行计算化简即可判断A和B；通过正弦函数单调性进而判断C；通过两角和的正切公式计算化简即可判断D.
【详解】对于A，在斜三角形中，，所以，所以，故A正确；
对于B，在斜三角形中，，所以．故B正确；
对于C，由得，则，同理可得，则，故C错误；
对于D，由，
得，
即，故D正确．
故选：ABD
10．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，化简可得.
【详解】由，得，即，A选项正确，C选项错误；
，两边同时平方，得，即，化简得，
由，则，，所以，B选项正确，D选项错误.
故选：AB
11．（20-21高一下·全国·课时练习）满足 的一组的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【分析】由，利用两角差的余弦公式整理得到，再验证选项即可.
【详解】因为，
所以，
即.
当，时，可得，，所以A错误;
当，时，可得，，所以B正确;
当，时，可得，，所以C错误;
当，时，可得，，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）已知且为第四象限角，若，则值是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，且为第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案为：
13．（23-24高一下·上海·假期作业）已知角 角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则
【答案】
【分析】根据旋转方向和旋转量可得，因题设，要求的值，则考虑按照拆角，所以求出即得.
【详解】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令，
因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以，
所以 .
故答案为：.
14．（2023高一·全国·专题练习）如图，在中，，为垂足，在的外部，且，则 .
【答案】
【分析】先利用直角三角形求出,再利用差角公式可得.
【详解】∵且，
∴，
，
＝
＝
＝.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)求在区间的值域；
(3)若且，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出函数值.
（2）利用正弦函数的性质求出值域.
（3）根据给定条件，利用同角公式、和角的余弦公式计算得解.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）由（1）知，当时，，
则当，即时，，当时，，
所以在区间的值域是.
（3）由（1）知，由，得，
而，则，于是，
当时，，而，因此，
则，
所以
.
16．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知的三个内角满足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值.
（2）先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小.
【详解】（1），
因为， ，故为锐角且.
所以.
（2）因为，，故为锐角且，
故，故，
而，故.
17．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
(1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）利用三角函数定义求出，再利用差角的正弦公式计算即得.
（2）利用三角函数定义求出x值.
（3）利用和差角的正余弦公式求出，再利用三角函数定义求出点的坐标.
【详解】（1）依题意，，则，显然点在角的终边上，
于是，
所以.
（2）依题意，，，因此，，
所以.
（3）由（2）知，，
显然点在角的终边上，，
，
，
，，
所以点的坐标是.
【点睛】结论点睛：角终边上点到原点的距离为，则点.
18．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为，，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以
.
19．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，是第一象限角，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）借助三角恒等变换公式化简即可得；
（2）借助两角和的正弦公式计算即可得.
【详解】（1）
，
（2），由是第一象限角，则是第一或第四象限角，
又，故是第一象限角，
故，
则
.
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