5.2.1复数的加法与减法
课程标准 学习目标
1、了解复数的加法和减法法则 2、掌握复数的减法法则 1、学习复数代数形式的加法和减法运算法则 2、会利用运算法则进行加、减法运算.
知识点01 复数的加法
1、加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1，②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
知识点02 复数的减法
1、相反数
已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法运算法则
规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)..．
知识点03 复数加法与减法几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量＝＋，而＋所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量－(等于)对应，
这就是复数减法的几何意义．
【即学即练3】（20-21高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【题型一：直接法进行加减运算】
例1．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式1-1．（2024高一下·全国·专题练习）复数 .
变式1-2．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ．
变式1-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数与，试求它们的和与差．
【方法技巧与总结】
复数的加、减法运算
（1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
（2）复数的加、减运算结果仍是复数；
（3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算；
（4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用
【题型二：需要设标准形式】
例2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2023·北京·模拟预测）已知复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（22-23高三上·广东·阶段练习）设的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2-3．（21-22高一下·江苏盐城·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【题型三：复数加减法的几何意义】
例3．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（ ）
A． B． C． D．
变式3-1.（19-20高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
变式3-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点).
(1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围；
(2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值.
变式3-3.（19-20高二下·上海·课后作业）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 .
【方法技巧与总结】
复数加法的几何意义 （1）意义：复数z1＋z2是以和 为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数； （2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
复数减法的几何意义 意义：z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数； （2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【题型四：模长问题】
例4．（2024·陕西·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．4
变式4-1．（2024·全国·模拟预测）已知复数，，则（ ）
A． B． C．26 D．50
变式4-2．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）若向量分别表示复数，则= ．
【题型五：复数与三角形相关问题】
例5．（19-20高一下·全国·课后作业），分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点.若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
变式5-1.（11-12高二下·浙江嘉兴·期中）的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
变式5-2.(多选)（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．
D．以为三边长的三角形为钝角三角形
变式5-3.（19-20高一下·全国·课后作业）已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
【题型六：复数加减法与含参问题】
例6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
变式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ．
变式6-2．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ．
变式6-3．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且.
(1)求复数；
(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
4．（22-23高一下·广西·期末）已知，，，则（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
5．（22-23高一下·四川凉山·期末）复数z在复平面内对应的点为，则复数（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·陕西商洛·期末）若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数满足，则下列命题是真命题的是（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．若与复数 相等，则
D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A． B．的虚部是4
C．是纯虚数 D．复数的共轭复数为
11．（22-23高一下·广东广州·期中）设复数，（为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
三、填空题
12．（23-24高一下·广东广州·期中）在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是 ．
13．（23-24高一下·天津·期中）复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为 .
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 .
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
（2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
①；
②.
16．（22-23高一下·辽宁·期末）已知复数，，．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求．
17．（22-23高一下·全国·课后作业）已知复数，满足，，求，．
18．（20-21高一·全国·课后作业）设，且，又，求的值和的取值范围.
19．（22-23高一下·重庆·期中）欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；
(2)求的最大值.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)5.2.1复数的加法与减法
课程标准 学习目标
1、了解复数的加法和减法法则 2、掌握复数的减法法则 1、学习复数代数形式的加法和减法运算法则 2、会利用运算法则进行加、减法运算.
知识点01 复数的加法
1、加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1，②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根据复数加法规则进行计算即可.
【详解】
由题意可得：.
故选：B
知识点02 复数的减法
1、相反数
已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法运算法则
规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)..．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
知识点03 复数加法与减法几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量＝＋，而＋所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量－(等于)对应，
这就是复数减法的几何意义．
【即学即练3】（20-21高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为
（2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为．
【详解】（1）设复数对应的向量为．
图1
设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为
（2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为．
图2
【题型一：直接法进行加减运算】
例1．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.
【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，
位于第二象限.
故选：B
变式1-1．（2024高一下·全国·专题练习）复数 .
【答案】
【分析】
根据复数的加减法法则求解即可.
【详解】
.
故答案为：
变式1-2．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ．
【答案】
【分析】利用复数的减法可求得复数.
【详解】因为复数，，则.
故答案为：.
变式1-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数与，试求它们的和与差．
【答案】=，
【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】解：根据复数的运算法则，可得
，
．
【方法技巧与总结】
复数的加、减法运算
（1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
（2）复数的加、减运算结果仍是复数；
（3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算；
（4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用
【题型二：需要设标准形式】
例2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.
【详解】设，则，
所以，即，
所以， 解得，
因此，
故选：C．
变式2-1．（2023·北京·模拟预测）已知复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据，解出即可.
【详解】设，，，解得
，所以，
故选：B
变式2-2．（22-23高三上·广东·阶段练习）设的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，则由，可得，后由两复数相等可得答案.
【详解】设，，则.
因为，所以，
则，解得，，则．
故选：A.
变式2-3．（21-22高一下·江苏盐城·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，利用复数运算以及复数相等可求得、的值，即可得解.
【详解】设，则，
由可得，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
【题型三：复数加减法的几何意义】
例3．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解.
【详解】因为，又向量分别表示复数，
所以表示复数，
所以.
故选：B
变式3-1.（19-20高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【答案】D
【分析】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解.
【详解】由题图可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故选：D
【点睛】本题考查复数与复平面的对应关系，向量的线性运算，属于中档题
变式3-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点).
(1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围；
(2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解，
（2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解.
【详解】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限，
所以解得.
所以a的取值范围是.
（2）因为 ，
所以向量对应的复数为.
根据向量对应的复数为纯虚数，可得且，
解得.
变式3-3.（19-20高二下·上海·课后作业）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 .
【答案】
【解析】由，得对应的复数为对应复数的差，即可求解.
【详解】对应的复数分别是，
对应的复数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数和复数减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
【方法技巧与总结】
复数加法的几何意义 （1）意义：复数z1＋z2是以和 为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数； （2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
复数减法的几何意义 意义：z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数； （2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【题型四：模长问题】
例4．（2024·陕西·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】设，利用复数相等和复数的模的公式求解.
【详解】解：设，
则，
解得，故，则，
故选：B．
变式4-1．（2024·全国·模拟预测）已知复数，，则（ ）
A． B． C．26 D．50
【答案】B
【分析】由共轭复数和复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
则．
故选：B．
变式4-2．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【答案】ABC
【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，设，因为，
所以，所以，，
即，故B正确；
对于C，设，，，由，得，
即，，所以，即，故C正确；
对于D，取，，则，，此时且，故D不正确．
故选：ABC
变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）若向量分别表示复数，则= ．
【答案】
【分析】由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解.
【详解】因为，又向量分别表示复数，
所以表示复数，
所以.
故答案为：.
【题型五：复数与三角形相关问题】
例5．（19-20高一下·全国·课后作业），分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点.若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据复数的向量表示，以及复数加减法的几何意义，可得结果.
【详解】根据复数加（减）法的几何意义及，
知以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等，
则此平行四边形为矩形，故为直角三角形.
故选：B
【点睛】本题主要考查复数加减的几何意义，属基础题.
变式5-1.（11-12高二下·浙江嘉兴·期中）的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】利用到三个顶点的距离相等得到是三角形的外接圆的圆心.
【详解】∵
∴到三个顶点的距离相等，
∴是三角形的外接圆的圆心，故选：A.
【点睛】本题考查复数差的几何意义，注意表示复平面中对应的两点之间的距离，本题属于基础题.
变式5-2.(多选)（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．
D．以为三边长的三角形为钝角三角形
【答案】BCD
【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出，求解数量积即可判断C；由已知求出的长，根据三边之间的关系，即可判断D.
【详解】对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误；
对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确；
对于C项，因为，，
所以，所以，所以C正确；
对于D项，由已知可得，，，
且，所以，，所以D正确.
故选：BCD.
变式5-3.（19-20高一下·全国·课后作业）已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
【答案】直角
【解析】由题可知,则以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即可求解
【详解】因为,
所以,
故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,
所以是直角三角形
故答案为:直角
【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,考查数形结合思想
【题型六：复数加减法与含参问题】
例6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】
由复数运算和分类可解.
【详解】由题意，，
因为为实数，为纯虚数，
所以，得，
所以.
故选：A.
变式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解.
【详解】设，
由，得，
所以，解得（舍去）
所以.
故答案为：.
变式6-2．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可.
【详解】由题意可得，即，
根据两个复数相等的充要条件可得，解得，
故答案为：.
变式6-3．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且.
(1)求复数；
(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，可求，由条件可得，解得，的值，即可得到的值；
（2）由题意可求为纯虚数，根据实部为0，虚部不为0即可求解的表达式，根据三角恒等变换以及三角函数的性质即刻求解最值．
【详解】（1）设复数,，是虚数单位），则，
因为，
解得，，
可得．
（2），
由题意可得，
当时，取最大值
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：C.
2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用复数的减法运算求解.
【详解】若，，则.
故选：A.
3．（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
【答案】A
【分析】根据复数的有关概念直接得出结果.
【详解】因为，所以
则z的虚部为2.
故选：A
4．（22-23高一下·广西·期末）已知，，，则（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
【答案】D
【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可.
【详解】
因为,即，
所以，解得，所以；
故选：D
5．（22-23高一下·四川凉山·期末）复数z在复平面内对应的点为，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数的运算法则计算可得.
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.
故选：D．
6．（22-23高一下·陕西商洛·期末）若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的减法运算，即可得答案.
【详解】因为 ，，所以，
故选：A
7．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【详解】
又，故
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：
8．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.
【详解】在复平面中，设分别与向量对应，
由题意可得，，
因为，
即，解得，即.
故选：B.
二、多选题
9．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数满足，则下列命题是真命题的是（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．若与复数 相等，则
D．在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AD
【分析】首先化简复数，再根据复数的概念及复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以，则的虚部为，故A正确；
又，所以不是纯虚数，故B错误；
若与复数 相等，则，解得，故C错误；
复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故选：AD
10．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A． B．的虚部是4
C．是纯虚数 D．复数的共轭复数为
【答案】AD
【分析】根据复数的模长、虚部、运算、共轭复数逐项判断即可.
【详解】复数，所以，故A正确；
的虚部为，故B不正确；
，为实数，故C不正确；
复数的共轭复数是，故D正确.
故选：AD.
11．（22-23高一下·广东广州·期中）设复数，（为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】AD
【分析】
根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.
【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；
对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；
对于C：，则，C错误；
对于D：，则，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．（23-24高一下·广东广州·期中）在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是 ．
【答案】2
【分析】由，及，对应的复数，再根据复数的模即可求解．
【详解】因为，
所以对应的复数是，则，
故答案为：2．
13．（23-24高一下·天津·期中）复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为 .
【答案】1
【分析】根据复数模的定义，可得，运算可得，所以的虚部为1
【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为1.
故答案为：1
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 .
【答案】
【分析】利用复数的几何意义表示向量对应的复数，再根据复数的特征，列式求解.
【详解】因为，所以对应的复数为.
因为向量对应的复数为纯虚数，
所以，所以.
故答案为：
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
（2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
①；
②.
【答案】（1）（2）①；②5
【分析】
（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可.
（2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
【详解】
（1）因为复平面内的点，
对应的复数分别为，，
所以点，之间的距离为
.
（2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为，
由两点间距离公式得；
②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为，
由两点间距离公式得.
16．（22-23高一下·辽宁·期末）已知复数，，．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先计算，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出的值；
（2）由可复数为实数，则虚部为零，实部大于零，求出的值，从而可求出复数，进而可求得.
【详解】（1）由题意得，
因为是纯虚数，所以，得．
（2）因为，所以，得．
故．
17．（22-23高一下·全国·课后作业）已知复数，满足，，求，．
【答案】，或，．
【分析】由复数的模长公式即可联立方程求解.
【详解】设．因为，所以．
由已知得,解得 ,
故所求的复数，或，．
18．（20-21高一·全国·课后作业）设，且，又，求的值和的取值范围.
【答案】
【分析】根据复数的运算法则和相等复数的概念可得，则；由题意得，结合复数的几何意义和三角函数的性质即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
所以，
所以.
所以
.
因为，所以，得.
故，的取值范围是.
19．（22-23高一下·重庆·期中）欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意结合复数运算求解；
（2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算.
【详解】（1）因为 ，
所以.
（2）由题意可得： ，
所以，
因为，所以，因此，
所以的最大值为2.
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