5.2.2复数的乘法与除法
课程标准 学习目标
1、理解复数代数形式的乘、除法运算，复数范围内一元二次方程的解法 2.掌握灵活运用复数除法法则解决相关问题 1、掌握复数的乘、除法的运算法则以及复数乘法的运算律，并能运用运算法则与运算律解决相关问题。 2．掌握共轭复数的应用以及在复数范围内一元二次方程的解法。 3、在学习过程中，感受运算法则的合理性，感受事物是不断变化和发展的。
知识点01 复数的乘法与乘方
1、复数乘法运算法则
两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律
对于任意z1、z2、z3∈C，有
(1)z1·z2＝z2·z1(交换律)；
(2)z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
注意：实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方
复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．
即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
(1)zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
(2)i为虚数单位，则
注意：实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
【即学即练1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知识点02 共轭复数的性质
复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：
1、两个共轭复数的对应点关于实轴对称且|z|＝||；
2、实数的共轭复数是它本身，即z＝(z∈R)z是实数；
3、z·＝|z|2＝||2；
4、=Z
5、=-Z且z是纯虚数；
6、;
7、z+=2a,z-=2bi;z·=
8、
【即学即练2】（多选）（20-21高一下·浙江·期末）已知为复数，是其共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A． B．
C．若为纯虚数，则 D．复数是实数的充要条件是
知识点03 复数的除法
1、复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．求复数的倒数的方法称为分母实数化.
2、复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的值，并记作z =（或z=z1÷z2），z1称为被除数，z2称为除数.
3、规定两个复数除法的运算法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝＝＋i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．
注意：在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．
4、复数除法的性质：
(1)两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是进行复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
(3)设z1、z2为任意复数，则()＝(z2≠0)．
【即学即练3】（23-24高一下·云南昆明·期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
知识点04 实数系一元二次方程在复数范围内的解集
1、根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，
当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
2、根与系数的关系
如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
【即学即练4】（22-23高一·全国·课后作业）所有的三次方根为 ．
【题型一：简单的乘法运算】
例1.（23-24高一下·福建宁德·期中）已知复数，则复数（ ）
A． B． C． D．
变式1-1.（23-24高一下·重庆·期中）（ ）
A． B． C． D．
变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
变式1-3.（23-24高一下·河南·期中）已知为虚数单位，若为的共轭复数，则 （ ）
A．14 B．116 C． D．
【方法技巧与总结】
1、复数的乘法运算法则的记忆：
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 化为- 1，进行最后结果的化简.
2、复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等.
【题型二：需要设标准形式的乘法运算】
例2．（23-24高一下·广东广州·期中）若复数z与都为纯虚数，则 .
变式2-1．（2024高一下·全国·专题练习）定义运算，则符合条件的复数 ．
变式2-2．（2024·山东聊城·一模）若复数满足，则可以为（ ）
A． B． C． D．
变式2-3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.
(1)求复数的共轭复数;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【题型三：复数的乘方运算】
例3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
变式3-3．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 .
【方法技巧与总结】
常用结论汇总：
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N
.
若z=z是实数，若zz=0,则z是纯虚数；z·＝|z|2＝||2.
【题型四：复数范围内因式分解】
例4．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）在复数范围内分解因式： ．
变式4-1．（21-22高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
变式4-2．（20-21高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
变式4-3．（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为 .
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
【题型五：简单的除法运算】
例5．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数（i为虚数单位）则z在复平而内所对应的向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式5-3．（23-24高一下·重庆·期中）若复数，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
复数的除法运算法则的记忆：
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
【题型六：需要设标准形式的除法运算】
例6．（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期中）若复数z满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为
变式6-1．（多选）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．复数的共轭复数为
变式6-2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
变式6-3．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．
(1)若，求；
(2)若，求．
【题型七：复数范围内方程的根】
例7．(多选)（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
变式7-1.(多选)（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
变式7-2．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中．
(1)求a，b的值．
(2)若，且复数是纯虚数，求．
变式7-3．（23-24高一下·河南·期中）已知实系数方程的两个复根分别为，，且，.
(1)求a，b的值；
(2)记集合，判断，与集合M的关系.
【方法技巧与总结】
在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法
1、求根公式法
①时，
②<0时，
2、利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.
【题型八：复数含参问题】
例8．（2023·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
变式8-1．（2024·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
变式8-2．（22-23高二上·江西抚州·阶段练习）已知为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
变式8-3．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知，则的值为 ．
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（23-24高一下·北京·期中）若复数满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（23-24高一下·福建·期中）已知，，若复数，则z的实部是（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．i
6．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
二、多选题
9．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（ ）
A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限
B．若复数满足，则
C．
D．
10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若复数满足，则或
B．
C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是
D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则
11．（23-24高一下·福建·期中）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则中至少有1个是0
D．若且，则
三、填空题
12．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 .
13．（23-24高一下·浙江·期中）已知为复数，且，则的最大值为 ．
14．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 .
四、解答题
15．（23-24高一下·上海·期中）已知复数是纯虚数（为实数）．
(1)求的值；
(2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数与都是纯虚数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
17．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
(1)求复数；
(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
18．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数，m为实数．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若﹐求的值．
19．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知复数，其中是实数.
(1)若，求的值；
(2)若是实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)5.2.2复数的乘法与除法
课程标准 学习目标
1、理解复数代数形式的乘、除法运算，复数范围内一元二次方程的解法 2.掌握灵活运用复数除法法则解决相关问题 1、掌握复数的乘、除法的运算法则以及复数乘法的运算律，并能运用运算法则与运算律解决相关问题。 2．掌握共轭复数的应用以及在复数范围内一元二次方程的解法。 3、在学习过程中，感受运算法则的合理性，感受事物是不断变化和发展的。
知识点01 复数的乘法与乘方
1、复数乘法运算法则
两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律
对于任意z1、z2、z3∈C，有
(1)z1·z2＝z2·z1(交换律)；
(2)z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
注意：实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方
复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．
即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
(1)zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
(2)i为虚数单位，则
注意：实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
【即学即练1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数乘法运算求出复数z，再求出它所对应点的坐标即可得解.
【详解】依题意，复数对应点在第一象限.
故选：A
知识点02 共轭复数的性质
复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：
1、两个共轭复数的对应点关于实轴对称且|z|＝||；
2、实数的共轭复数是它本身，即z＝(z∈R)z是实数；
3、z·＝|z|2＝||2；
4、=Z
5、=-Z且z是纯虚数；
6、;
7、z+=2a,z-=2bi;z·=
8、
【即学即练2】（多选）（20-21高一下·浙江·期末）已知为复数，是其共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A． B．
C．若为纯虚数，则 D．复数是实数的充要条件是
【答案】BD
【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；利用复数的乘法可判断B选项的正误；利用复数的乘法以及复数相等可判断C选项的正误；利用复数的概念结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，取，则，，所以，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，为纯虚数，则，即，C选项错误；
对于D选项，充分性：若为实数，即，此时，，充分性成立.
必要性：若，即，可得，即，，必要性成立.
所以，复数是实数的充要条件是，D选项正确.
故选：BD.
知识点03 复数的除法
1、复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．求复数的倒数的方法称为分母实数化.
2、复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的值，并记作z =（或z=z1÷z2），z1称为被除数，z2称为除数.
3、规定两个复数除法的运算法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝＝＋i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．
注意：在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．
4、复数除法的性质：
(1)两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是进行复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
(3)设z1、z2为任意复数，则()＝(z2≠0)．
【即学即练3】（23-24高一下·云南昆明·期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
知识点04 实数系一元二次方程在复数范围内的解集
1、根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，
当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
2、根与系数的关系
如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
【即学即练4】（22-23高一·全国·课后作业）所有的三次方根为 ．
【答案】
【分析】
设的三次方根为，然后展开计算，再根据复数相等列方程求解即可.
【详解】
设的三次方根为，
则，
，
，解得或或
即所有的三次方根为
故答案为：.
【题型一：简单的乘法运算】
例1.（23-24高一下·福建宁德·期中）已知复数，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】由复数的运算可得.
故选：B
变式1-1.（23-24高一下·重庆·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数乘法运算化简即可.
【详解】.
故选：C
变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘法运算及共轭复数的定义计算即可.
【详解】由.
故选：A
变式1-3.（23-24高一下·河南·期中）已知为虚数单位，若为的共轭复数，则 （ ）
A．14 B．116 C． D．
【答案】B
【分析】根据相等复数建立方程组，解得，进而解出，结合共轭复数的概念与复数的乘法运算即可求解.
【详解】由，得，
所以，解得，
则，所以，
所以.
故选：B
【方法技巧与总结】
1、复数的乘法运算法则的记忆：
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 化为- 1，进行最后结果的化简.
2、复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等.
【题型二：需要设标准形式的乘法运算】
例2．（23-24高一下·广东广州·期中）若复数z与都为纯虚数，则 .
【答案】
【分析】设，代入条件计算，再根据纯虚数列方程求解.
【详解】设，
则，
因为为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：.
变式2-1．（2024高一下·全国·专题练习）定义运算，则符合条件的复数 ．
【答案】
【分析】由定义建立等量关系，设，代入由复数相等计算求解即可.
【详解】由题意得．设，
则，
所以，解得，
所以．
故答案为：.
变式2-2．（2024·山东聊城·一模）若复数满足，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得.
【详解】设，，则，故有，
即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确，
B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误.
故选：A.
变式2-3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.
(1)求复数的共轭复数;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解；
（2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】（1）设，则，
为实数，，解得，
为实数，
，解得，
，
；
（2）由（1）可知，，
复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得，
故实数的取值范围为.
【题型三：复数的乘方运算】
例3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方运算和除法运算化简复数，然后根据共轭复数的概念求解即可.
【详解】由题，所以，
所以.
故选：D
变式3-1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方法则计算出，，，，，发现数列的周期性，利用周期性即可求得所求式的值.
【详解】由，，，，，
故是一个周期数列，最小正周期为4，
且，
则
.
故选：B.
变式3-2．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】借助复数的运算法则及复数的模的定义计算即可得.
【详解】∵，
∴ ．
故选：C.
变式3-3．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 .
【答案】
【分析】根据复数的乘方化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，，
所以，
所以的虚部为.
故答案为：
【方法技巧与总结】
常用结论汇总：
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N
.
若z=z是实数，若zz=0,则z是纯虚数；z·＝|z|2＝||2.
【题型四：复数范围内因式分解】
例4．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）在复数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；
【详解】解：
故答案为：
变式4-1．（21-22高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
变式4-2．（20-21高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
【答案】(1)(x＋2i)(x－2i)
(2)(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.
（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.
【详解】（1）x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．
（2）x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
变式4-3．（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为 .
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解；
（2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.
【详解】（1）解：若该方程没有实根，
则，解得，
由，得，
所以，即，
所以在复数范围内对 ；
（2）解：当，即时，
则都是实数，
由韦达定理可知，
故都是非负数，
所以，所以；
当，即时，方程有两个共轭虚根，设为，
则，
故，解得或（舍去），
综上所述，或.
【题型五：简单的除法运算】
例5．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数（i为虚数单位）则z在复平而内所对应的向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简，即可由几何意义求解.
【详解】由题，
所以复数所对应的向量的坐标为.
故选：D
变式5-1．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数模的运算法则求解即可.
【详解】由题意.
故选：A
变式5-2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可.
【详解】由已知可得，
所以，
所以，
故选：A.
变式5-3．（23-24高一下·重庆·期中）若复数，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算法则化简，再由共轭复数的定义即可求解.
【详解】，
所以.
故选：B.
【方法技巧与总结】
复数的除法运算法则的记忆：
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
【题型六：需要设标准形式的除法运算】
例6．（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期中）若复数z满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为
【答案】BCD
【分析】设，，由条件求出复数的代数形式，结合复数的模的公式求，判断A，求的共轭复数，根据复数运算法则求，，判断B，D，根据复数的几何意义求在复平面内对应的点，判断C.
【详解】设，，则，
因为，
所以，
化简可得，，
所以，
所以，所以
因为，所以A错误，
因为，所以B正确；
因为，
所以的虚部为，D正确，
在复平面内对应的点的坐标为，
点在直线上，C正确，
故选：BCD.
变式6-1．（多选）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．复数的共轭复数为
【答案】BC
【分析】由待定系数法，根据模长公式可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】解：设，
由，得，解得或（舍去）．
，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
变式6-2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】先设，代入中化简，根据为纯虚数得出：，且即可判断选项A、C；由可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项D.
【详解】由题意设，
则.
因为为纯虚数，
所以，且，即，且.
因此，故选项A正确；，所以故选项B正确；
因为在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点不在实轴上，故选项C错误；
因为表示圆上的点到点的距离，
且最大距离为，故选项D正确.
故选：ABD.
变式6-3．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可；
（2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】（1）设，
由，得，
即，整理得，
因为，即，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）结合，
可得，所以，
所以.
【题型七：复数范围内方程的根】
例7．(多选)（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】将代入方程后结合虚数的意义解得可得AB正确；由韦达定理可判断C错误；由虚数的模长和虚数的运算可得D错误.
【详解】A/B：由题意可得
，
即，
所以，故，
故A、B正确；
C：利用AB解析可得，故C错误；
D：利用AB解析由可得，
所以，而，故D错误；
故选：AB.
变式7-1.(多选)（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用求根公式得到，，韦达定理得到，分别计算，，即可选出答案.
【详解】，所以方程的根为，不妨设，，
可知，故A正确；
由韦达定理知，所以，故C正确；
所以，因为，所以，故B错误；
时，，，
计算可得，，
，，
所以，故D正确；
故选：ACD.
变式7-2．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中．
(1)求a，b的值．
(2)若，且复数是纯虚数，求．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）将代入方程，根据复数相等列方程组求解可得；
（2）设，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.
【详解】（1）是方程的根，，
即，
，解得；
（2）设，则，所以①，
又为纯虚数，所以②，
由①②联立，解得或，
或．
变式7-3．（23-24高一下·河南·期中）已知实系数方程的两个复根分别为，，且，.
(1)求a，b的值；
(2)记集合，判断，与集合M的关系.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实系数的一元二次方程的韦达定理，列出方程组，即可求解；
（2）分别转化求得和，结合集合，即可得解.
【详解】（1）实系数方程的两个复根分别为，，且，，
结合实系数的一元二次方程的韦达定理，可得，解得.
（2）依题意，，，则，且，
所以，
又因为，即.
【方法技巧与总结】
在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法
1、求根公式法
①时，
②<0时，
2、利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.
【题型八：复数含参问题】
例8．（2023·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【详解】，
由已知得，解得，
故选：D
变式8-1．（2024·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果.
【详解】由，
可得，，
因此．
故选：B．
变式8-2．（22-23高二上·江西抚州·阶段练习）已知为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由复数的除法运算公式将其化为可求得a，b的值，再由分数指数幂与根式互化公式 可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
故选：B.
变式8-3．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可.
【详解】，则，解得，因为，所以 ．
故答案为：4
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】D
【分析】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得.
【详解】因，依题意得，.
故选：D.
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.
【详解】依题意，复数，所以.
故选：C
3．（23-24高一下·北京·期中）若复数满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数除法求出，再求出复数的模.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据定义结合复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】由题意可得，
即，
所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
5．（23-24高一下·福建·期中）已知，，若复数，则z的实部是（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．i
【答案】A
【分析】根据复数相等可求的值可解.
【详解】由于，则，
则，所以z的实部是1.
故选：A
6．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求，再结合复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得：，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
7．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数除法的运算法则直接计算即可.
【详解】，
故选：B
8．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】C
【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C.
【详解】对于A，设，
则，而，
故，故A正确；
对于B，，
则
，
又，
所以，故B正确；
对于C，令，则，所以，
但是，故C错误；
对于D，，又，
所以，故D正确.
故选：C
二、多选题
9．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（ ）
A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限
B．若复数满足，则
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A：根据复数的几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法和共轭复数的定义分析判断；对于C：根据复数模长的性质分析判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：因为复数在复平面上对应的点为，位于第四象限，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B错误；
对于选项C：因为，所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，
则，即，故D错误；
故选：ABD.
10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若复数满足，则或
B．
C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是
D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则
【答案】CD
【分析】由复数模长的几何意义可判断A；由向量加法和减法的几何意义可判断BD；根据复数范围内，两个虚数根互为共轭复数可判断C.
【详解】解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，
1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误；
对于B，设所对应的向量分别为，
由向量加法的几何意义可知，故选项B错误；
对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，
两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根，
则该方程的另一个根是，故选项C正确；
对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加法 减法的几何意义可知，选项D正确，
故选：CD.
11．（23-24高一下·福建·期中）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则中至少有1个是0
D．若且，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，以及复数的模计算，结合复数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设复数，则，
可得，
则
，即，所以A正确；
对于B中，例如，此时满足，但，所以B不正确；
对于C中，由，可得或，
当时，可得，可得，此时；
当时，可得，可得，此时，
所以中至少有1个是，所以C正确；
对于D中，设（其中不能同时为零），可得
因为，可得，则，
又由，所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 .
【答案】
【分析】根据公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解.
【详解】由题意知，，
所以方程的根为，
即或.
故答案为：
13．（23-24高一下·浙江·期中）已知为复数，且，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】设，由复数模的计算公式可解.
【详解】设，由于，所以，
则，
由于，所以的最大值为.
故答案为：2
14．（23-24高一下·重庆·期中）已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 .
【答案】或(写出其中一个即可，答案不唯一)
【分析】设出复数的代数形式，由求出的虚部，然后由是纯虚数列式即可计算作答.
【详解】设，由，
可得，解得，又是纯虚数，
设且，则，则，
解得，所以或.
故答案为：或.(写出其中一个即可，答案不唯一)
四、解答题
15．（23-24高一下·上海·期中）已知复数是纯虚数（为实数）．
(1)求的值；
(2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由复数是纯虚数的充要条件直接列式即可求解；
（2）利用复数四则运算表示出复数在复平面内对应的点的坐标，结合点在第二象限内的充要条件列出表达式组即可求解.
【详解】（1）复数是纯虚数当且仅当，解得；
（2）由（1）可得，注意到，
所以，
复数在复平面内对应的点的坐标为，
由题意点在第二象限，所以，
解得，即实数的取值范围为.
16．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数与都是纯虚数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模；
（2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得.
【详解】（1）由题意可设，
则，
又为纯虚数，
则，解得，所以，则；
（2）由（1）可得，
故是关于的方程 的一个根，
则也是关于的方程 的一个根，
故，解得．
17．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
(1)求复数；
(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数；
（2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出.
【详解】（1）设，，，
由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以.
（2），，，
所以对应的点，，，从而，，.
18．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数，m为实数．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若﹐求的值．
【答案】(1)；
(2)2；
(3).
【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算得解.
（2）利用复数是实数的充要条件，结合实数大于0，列式求解即得.
（3）利用复数除法及复数模的意义求解即得.
【详解】（1）由，得，
由z是纯虚数，得，解得，
所以m的值是.
（2）由，得，解得，
所以m的值为2.
（3）当时，，则，
所以.
19．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知复数，其中是实数.
(1)若，求的值；
(2)若是实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数运算法则求，根据复数相等的定义列方程求；
（2）根据复数运算法则求，由条件列方程求；
（3）根据复数运算法则求，由条件结合复数的几何意义列不等式求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
又，，
所以，解得，
所以实数的值为.
（2），
因为是实数，所以，解得；
（3），
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
由已知得，解得，
所以，所以的取值范围为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
