第5章复数章末十五种常考题型归类
复数的概念
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.
故选：B
2．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：
①若R，则是纯虚数；
②若R且，则；
③若C，则复数的实部为a，虚部为b；
④i的平方等于.
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.
【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数，
在①中，若，则不是纯虚数，①错误；
在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；
在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误；
在④中，i的平方等于，④正确.
故选：D
3．（20-21高一下·全国·课后作业）下列命题中：
①若，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若，则.
正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据复数的概念及复数相等判断各命题.
【详解】对于①，因为，取，则，但不成立，故①错误；
对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故②错误；
对于③，因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故③错误；
故选：A.
4．（多选）（21-22高一·全国·课后作业）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的概念逐项分析即得.
【详解】由复数的定义可知A命题正确；
形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；
若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；
两个虚数不能比较大小，故D命题错误．
故选：BCD．
5．（多选）（21-22高一·全国·课后作业）（多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的定义以及复数模的概念对选型分别判断即可.
【详解】若，则为实数，当时，满足，但，故C项不正确；
因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；
当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如，但，所以B项不正确；
因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确．
故选:BCD．
复数的实部与虚部
6．（23-24高一下·广东梅州·期中）复数的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1 B．1， C．， D．，
【答案】A
【分析】由复数代数形式的运算化简即可.
【详解】，
所以数的实部和虚部分别是1,1，
故选：A.
7．(多选)（23-24高一下·广东茂名·期中）设复数，则下列命题结论正确的是（ ）
A．的实部为1 B．复数的虚部是2
C．复数的模为 D．在复平面内，复数对应的点在第四象限
【答案】ACD
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.
【详解】，
所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；
，故C正确；
在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，故D正确.
故选：ACD.
8．（23-24高一下·安徽·期中）已知复数的实部为5，虚部为-1，则 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，由复数的运算法则，利用模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数的实部为，虚部为，可得，
则，所以.
故答案为：.
9．（22-23高一下·浙江嘉兴·阶段练习）复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．
【答案】
【分析】利用复数的乘法运算法则以及复数实部的定义求解.
【详解】，则的实部是，
故答案为：．
10．（2024高一·全国·专题练习）已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
【答案】(1)6；
(2)
【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定虚部即可.
（2）先求出函数取最小值时对应的值，再代入即可得解.
【详解】（1）依题意，，由，得，而，解得，
则，，所以的虚部是6.
（2）由（1）知，，则当时，取得最小值，
此时，，所以的实部为.
复数相等求参数
11．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意，
所以，解得，所以.
故选：D.
12．（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
因此所选方程的两根为，仅有符合要求，
故选：A.
13．（21-22高三上·陕西延安·期中）已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
【答案】B
【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可．
【详解】解：由得
，
，
，
解得，
．
故选：B．
14．（20-21高一·全国·课后作业）定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 .
【答案】/i-2
【分析】先根据复数相等得到，求出和转置复数.
【详解】由，得，所以复数，
故复数的转置复数是.
故答案为：
15．（21-22高一·湖南·课后作业）已知，，则“”是“”的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】当时，必有且，解得或，
显然“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
复数类型求参数
16．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可.
【详解】若复数，（，）为实数，
则有， ，
故选：A.
17．（2018·江西·一模）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
18．（23-24高一下·北京·阶段练习）设，复数.若复数是纯虚数，则 ；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
【答案】 -1 1
【分析】由复数是纯虚数或实数的充要条件即可列式求解.
【详解】，对于第一空：若复数是纯虚数，则，解得；
对于第二空：若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得.
故答案为：-1；1.
19．（23-24高一下·江苏盐城·期中）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
【答案】(1)或6；
(2).
【分析】（1）（2）利用实数、纯虚数的定义列式求解即得.
【详解】（1）复数是实数，则，解得或，
所以当或时，复数z是实数.
（2）由复数z是纯虚数，得且，解得，
所以当时，复数z是纯虚数.
20．（2024高一·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围．
【答案】.
【分析】根据为实数，求得恒成立，再借助半角公式，以及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
【详解】∵是实数，，，∴，即恒成立．
又，，，
∴，∴，
∴当时，不论为何值，总存在使得是实数，
故的取值范围为.
共轭复数问题
21．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数，再求出即可得解.
【详解】由，得，
则，所以的虚部为1.
故选：A
22．（2024·全国·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可
【详解】由题知，复数．
故选:B．
23．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期中）设是复数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则为纯虚数
【答案】BC
【分析】根据复数的模的定义和复数的乘法法则判断A，根据共轭复数的定义判断B，结合复数的运算法则及复数的模的定义判断C，结合纯虚数的定义判断D.
【详解】设，，，，
对于A，取，则，，，A错误，
对于B，由，，，
可得，
所以，B正确，
对于C，因为，，
所以，
所以，
所以，又，
所以，C正确，
对于D，由，可得，所以，
因为可能为，所以不一定为纯虚数，D错误，
故选：BC.
24．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）复数，则 .
【答案】/
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，可得，即可求出，即可求得答案.
【详解】由题意得，故，
可得，则，
故答案为：
25．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数及.
【答案】(1)；
(2) ，.
【分析】（1）根据共轭复数的定义和复数的乘法运算，结合纯虚数的定义，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，结合复数的除法运算，求得，再求及即可.
【详解】（1），则， ，
又其为纯虚数，故，解得，故.
（2） ，
则， .
复数的模
26．（23-24高一下·广东茂名·期中）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．8 D．
【答案】D
【分析】根据复数的有关概念即可得到结论
【详解】因为复数的实部为2，虚部为，
由题意可得，解得，
故选：D
27．（23-24高一下·山西·期中）已知为复数，则“的实部大于0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设出复数的代数形式，利用模的定义变形给定不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】设，，则，
所以z的实部大于0是的充要条件．
故选：C
28．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】分别求出的模，利用复数模的性质求结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
29．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式求解即可.
【详解】由复数的几何意义可得，
所以.
故选：A.
30．（23-24高一下·河北·期中）若，则 .
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解.
【详解】由题意得，，则，解得．
故答案为：2
复数的坐标表示
31．（2024高一下·全国·专题练习）（1）复平面内的原点表示实数 ，
（2）实轴上的点表示实数 ，
（3）虚轴上的点表示纯虚数 ，
（4）点表示复数 .
【答案】 0 2 /
【分析】
根据复平面内复数的表示逐个写出答案即可.
【详解】由复数的几何意义知：原点表示实数0；实轴上的点表示实数2；
虚轴上的点表示纯虚数；点表示复数.
故答案为：0；2；；.
32．（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限．
【答案】二
【分析】
根据复数的几何意义分析即可.
【详解】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：二
33．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 .
【答案】或
【分析】由条件可得，解出即可.
【详解】因为复数对应点在虚轴上，
所以，解得或
故答案为：或.
34．（2024高三·全国·专题练习）设复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab<0”的 条件
【答案】充分不必要
【详解】
解析：由点M在第四象限，得a>0，b<0，故ab<0，充分性成立；由ab<0，得a>0，b<0，或a<0，b>0，故点M在第二象限或第四象限，必要性不成立．
【考查意图】
充分、必要条件的判定．
35．（2022高一·全国·专题练习）在复平面内，若复数对应的点满足下列条件．分别求实数m的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
【答案】(1)m＝2或m＝－1；
(2)－1＜m＜1；
(3)m＝2.
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）由题可知，进而即得；
（3）由题可得，即得.
【详解】（1）∵复数对应的点为，
由题意得，
解得m＝2或m＝－1.
（2）由题意得
∴，
∴－1＜m＜1.
（3）由题得，
∴m＝2.
复数与向量
36．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 .
【答案】
【分析】首先得到，，即可求出的坐标，从而写出其对应的复数.
【详解】因为复平面内的点，分别对应的复数为和，
所以，，
所以，
所以向量对应的复数为.
故答案为：
37.（23-24高一下·河南·期中）已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合向量数量积的运算律及定义法求出向量的数量积求解即得.
【详解】依题意，点的轨迹是复平面上以点为圆心，2为半径的圆，
，而，
，当且仅当方向相反时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
38．（23-24高一下·山东枣庄·期中）在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位.
(1)，，计算与；
(2)设， ，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，时取等号
【分析】（1）利用复数代数形式的乘法法则求出，再由复数的几何意义可得，，再根据向量数量积的坐标法计算可得；
（2）利用复数运算规律分别求出、的平方，利用作差法可得，此时需满足.
【详解】（1）因为，，
则，
又，，
所以，，
所以；
（2）因为，
所以，
可得；
因为，
所以，，
因此
，
所以，
当且仅当时取等号，此时向量满足.
39．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数对应的向量分别为和，其中为复平面的原点.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)求在上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，根据复数在复平面内对应的点在第二象限，可得，求解即可；
（2）由，可求在上的投影向量
【详解】（1）复数，，
则，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则有，解得，
所以实数 的取值范围为 ．
（2）依题意，，
所以，，
所以在上的投影向量为.
40．（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
【答案】
【分析】
根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可.
【详解】
依题意得，
所以
.
几何图形问题
41. （22-23高一下·河北保定·期中）已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可.
【详解】∵是关于的方程（，）的一个根，
∴（，），化简得，
∴，解得，
∴，
如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，
则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为，
若，则，
∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆，
∴围成的面积为.
故选：A.
42. （22-23高一下·上海虹口·期末）设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为与为定点，则函数取最大值时在复平面上以三点为顶点的图形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】
设，根据模长公式的表达式，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得，进而求出三角形的三边长，从而可确定三角形形状.
【详解】，设，
，
则，
当，即时，，
则最大值为，
此时，则，
,
，，，
则，则对应三角形为等腰三角形.
故选：D.
43. （21-22高一下·广东深圳·期中）复数满足，则复数对应的点在复平面内表示的图形是（ ）
A．圆 B．点 C．线段 D．直线
【答案】A
【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设，
则由可得，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆.
故选：A
44.（多选）（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则不可能是纯虚数
B．是关于x的方程的一个根
C．
D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
【答案】ABC
【分析】由纯虚数的定义即可判断A选项；将代入方程，验证左右两边是否相等即可判断B选项；记，分别计算出，，即可判断C选项；对应的点的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆，由此即可求出其面积.
【详解】对于A选项：若为纯虚数，则无解,
即不可能是纯虚数，正确；
对于B选项：，
即是关于x的方程的一个根，正确；
对于C选项：设，则，，，
，即，C正确；
对于D选项：，即，点的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆，
其面积为，D错误.
故选:ABC
45.（多选）（21-22高一下·广东广州·期中）设复数z在复平面上对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．满足|z|＝1，且的点Z有且仅有一个
B．若|z－1|＝1，则z＝2或0或1＋i或1－i
C．，则点Z构成的图形面积为
D．非零复数，，对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则为等腰直角三角形
【答案】ACD
【分析】根据已知条件找出Z的轨迹，从而判断A,B;找出复数Z表示的区域计算面积，从而判断C;
＝a+bi，=c+di,分别计算， ，，从而判断D.
【详解】解：对于A,因为|z|＝1，所以Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆；而表示到点的距离为1的复数z,此时对应点Z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，两圆外切于点，所以此时z=,只有一个，故正确；
对于B,由|z－1|＝1可知Z的轨迹是以（1,0）为圆心，1为半径的圆,此时Z有无数个，故错误；
对于C,由可知Z的轨迹是以（0,0）为圆心，3为半径的圆中去掉一个以2为半径的同心圆后的圆环，所以S=(9-4) =5,故正确；
对于D,设＝a+bi，=c+di,因为，所以 ,所以，＝，＝＝，所以为等腰直角三角形，故正确.
故选：ACD.
复数的四则运算
46. （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，即可得到，再根据复数代数形式的运算求出、，即可得解.
【详解】设 ，则在复平面内对应的点为，
又复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则在复平面内对应的点为，
所以，
所以，解得，
又，解得，
所以.
故选：A.
47. （23-24高一下·安徽·期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘法化简，再由复数的几何意义判断对应的点所在象限.
【详解】，所以复数对应的点的坐标为，该点在复平面内位于第四象限.
故选：D.
48. （23-24高一下·广东江门·阶段练习）复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义、除法运算法则计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：A
49．（23-24高一下·四川达州·期中）已知复数满足.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数和乘除运算法则计算即可；
（2）设，由已知可求得，进而可得，进而可得 ，可求最小值.
【详解】（1） .
（2）设，则.
因为，所以，故.
.
故的最小值为.
50. （23-24高一下·四川成都·期中）在复数范围内有关于的方程.
(1)求该方程的根；
(2)求的值；
(3)有人观察到，得，试求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根.
（2）对目标式子变形，代入即可求值.
（3）由于，结合，即可求解.
【详解】（1）因为，
则在复数范围内由求根公式可得方程的根为，
则，.
（2）因为，所以，则，
由（1）知，故.
（3）因为，所以，
所以
.
复数方程问题
51．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先代入实数根，即可求得的值，即可求解复数和其共轭复数.
【详解】由题意可知，，，
即，
则，得，
所以，.
故选：B
52．（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据虚根成对原理得到另一个复数根为，利用韦达定理求出、即可.
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
则另一个复数根为，
所以，即，解得，
所以.
故选：D
53. （23-24高一下·广东江门·期中）计算： .
【答案】
【分析】由复数的除法和复数的乘方，化简计算.
【详解】.
故答案为：
54. （23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 .
【答案】
【分析】根据公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解.
【详解】由题意知，，
所以方程的根为，
即或.
故答案为：
55. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知复数满足，的虚部是2.
(1)求复数；
(2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；
(3)若复数的实部大于0，设在复平面上的对应点分别为，求△ABC的面积.
【答案】(1)或
(2)或 2
(3)2
【分析】（1）设复数的代数形式，由题设列出方程组，解之即得复数；
（2）根据实系数一元二次方程的根的特点，利用韦达定理易求的值；
（3）先求出对应的点的坐标，利用向量坐标的夹角公式求出的正弦值，代入三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）设，,由可得： ①，由，依题， ②，
联立① ② ，解得或，故或.
（2）当时，依题可知，也是方程的一个复数根，
由韦达定理，，，故；
当时，也是方程的一个复数根，
由韦达定理，，，故.
（3）由上分析，因的实部大于0，故，
则
依题意得，则,
设,则，则，
于是△ABC的面积为.
复数的三角形式与运算
56．（21-22高一·全国·课后作业）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的三角形式结合诱导公式即可.
【详解】,
故选：D.
57．（21-22高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案.
【详解】
因为，，
所以 .
故选：A.
58. （22-23高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则是的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充要条件的知识及复数的运算法则即可得解.
【详解】当时，
，
所以；
当取，
此时，且，，
所以推不出，
综上：是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
59. （22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据复数三角表示的乘法和除法的运算法则，进行适当变形和整理逐一计算即可得出（1）~（3）的结果.
【详解】（1）
（2）
（3）
60. （22-23高一·全国·随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．
【答案】
【分析】利用欧拉公式表达出原复数，利用旋转即可得出旋转后所得向量对应的复数.
【详解】由题意，
旋转后，变为，
∴旋转后所得向量对应的复数为.
欧拉公式问题
61．（22-23高一下·安徽·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．
【答案】D
【分析】由欧拉公式，代入对应的值，即可判断A和C；由得，两式联立，解出即可判断B；由二倍角公式即可判断D．
【详解】对于A：由欧拉公式得，所以，故A错误；
对于B：由得，
两式联立得，两式相减消去得，，
所以，故B错误；
对于C：由欧拉公式得，，在复平面对应点的坐标为，
因为，
所以，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，故C错误；
对于D：，故D正确，
故选：D．
62．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
因为，所以z的虚部为.
故选：D.
63．（22-23高一下·广东深圳·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为实数
C．的共轭复数为 D．的模长等于
【答案】D
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，对应的点位于第一象限，故A不正确；
对于B：，为纯虚数，故B不正确；
对于C：，所以的共轭复数为，故C错误.
对于D：，故D正确.
故选：D.
64.（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．的模长等于 D．的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，
在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：ABC.
65. （22-23高一下·安徽合肥·期末）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知， ，
【答案】 1
【分析】根据复数的模的定义可求解答题空1，利用复数的加法运算可求解答题空2.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为:1; .
复数范围内的因式分解
66．（21-22高三下·上海浦东新·期中）在复数范围内分解因式： .
【答案】
【分析】配凑二次三项式，结合平方差公式，即可求得结果.
【详解】因为.
故答案为：.
67．（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可.
【详解】解：
故答案为：
68．（20-21高一下·上海·课后作业）（1）在实数集中分解因式： ；
（2）在复数集中分解因式： ； ．
【答案】
【分析】（1）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解即可得解；
（2）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解可将代数式进行因式分解，利用完全平方公式结合平方差公式可将代数式化简.
【详解】（1）；
（2），
.
故答案为：（1）；（2），.
69. （21-22高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
70. （21-22高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据所给等式，直接可得答案；
（2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.
【详解】（1）;
（2）,
（3）
（4）
复数运算相关概念问题
71．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
【答案】ACD
【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC；举例说明判断B；利用复数的几何意义求出最大值判断D.
【详解】设复数，
对于A，，
，A正确；
对于B，取，则，B错误；
对于C，，
，互为共轭复数，C正确；
对于D，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，
是上述圆上的点与复数对应点的距离，
而点到原点的距离为，的最大值为，D正确.
故选：ACD
72．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用求根公式得到，，韦达定理得到，分别计算，，即可选出答案.
【详解】，所以方程的根为，不妨设，，
可知，故A正确；
由韦达定理知，所以，故C正确；
所以，因为，所以，故B错误；
时，，，
计算可得，，
，，
所以，故D正确；
故选：ACD.
73．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设为复数，则下列说法一定成立的有（ ）
A． B．若，则 C． D．
【答案】BCD
【分析】设，对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的乘法运算分析判断；对于B：根据复数的加法运算的几何意义分析判断；对于D：根据共轭复数结合复数的乘法运算分析判断.
【详解】设，
对于选项A：例如，则，
可知，即，故A错误；
对于选项B：若，
可得，解得，即，故B正确；
对于选项C：设，
若同向，可知，
即；
若不共线，可知，
即；
综上所述：，故C正确；
对于选项D：，
，
所以，故D正确；
故选：BCD.
74．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期中）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．已知，若，则
D．已知，若，则
【答案】AB
【分析】对于A，由实数四则运算的封闭性可判断；对于B，由共轭复数的概念、复数乘法以及模的计算公式即可啊、判断；对于CD，举反例即可判断.
【详解】对于A，由于，而是实数的倒数，所以，故A正确；
对于B，若，，则有，则，故B正确；
对于C，取，显然满足，但不成立，故C错误；
对于D，，显然有，但不成立，故D错误.
故选：AB.
75．（多选）（23-24高一下·安徽合肥·期中）设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】取，即可判断A；设，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念与运算，结合复数的几何意义即可判断BCD.
【详解】A：取，则，故A错误；
B：设，则
，故B正确；
C：设，
则，故C正确；
D：设，
则，故D正确；
故选：BCD.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第5章复数章末十五种常考题型归类
复数的概念
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：
①若R，则是纯虚数；
②若R且，则；
③若C，则复数的实部为a，虚部为b；
④i的平方等于.
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
3．（20-21高一下·全国·课后作业）下列命题中：
①若，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若，则.
正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．（多选）（21-22高一·全国·课后作业）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
5．（多选）（21-22高一·全国·课后作业）（多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
复数的实部与虚部
6．（23-24高一下·广东梅州·期中）复数的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1 B．1， C．， D．，
7．(多选)（23-24高一下·广东茂名·期中）设复数，则下列命题结论正确的是（ ）
A．的实部为1 B．复数的虚部是2
C．复数的模为 D．在复平面内，复数对应的点在第四象限
8．（23-24高一下·安徽·期中）已知复数的实部为5，虚部为-1，则 .
9．（22-23高一下·浙江嘉兴·阶段练习）复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．
10．（2024高一·全国·专题练习）已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
复数相等求参数
11．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
13．（21-22高三上·陕西延安·期中）已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
14．（20-21高一·全国·课后作业）定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 .
15．（21-22高一·湖南·课后作业）已知，，则“”是“”的 条件．
复数类型求参数
16．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
17．（2018·江西·一模）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（23-24高一下·北京·阶段练习）设，复数.若复数是纯虚数，则 ；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
19．（23-24高一下·江苏盐城·期中）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
20．（2024高一·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围．
共轭复数问题
21．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
22．（2024·全国·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
23．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期中）设是复数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则为纯虚数
24．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）复数，则 .
25．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数及.
复数的模
26．（23-24高一下·广东茂名·期中）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．8 D．
27．（23-24高一下·山西·期中）已知为复数，则“的实部大于0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
29．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
30．（23-24高一下·河北·期中）若，则 .
复数的坐标表示
31．（2024高一下·全国·专题练习）（1）复平面内的原点表示实数 ，
（2）实轴上的点表示实数 ，
（3）虚轴上的点表示纯虚数 ，
（4）点表示复数 .
32．（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限．
33．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 .
34．（2024高三·全国·专题练习）设复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab<0”的 条件
35．（2022高一·全国·专题练习）在复平面内，若复数对应的点满足下列条件．分别求实数m的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
复数与向量
36．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 .
37.（23-24高一下·河南·期中）已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为 .
38．（23-24高一下·山东枣庄·期中）在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位.
(1)，，计算与；
(2)设， ，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号.
39．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数对应的向量分别为和，其中为复平面的原点.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)求在上的投影向量.
40．（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
几何图形问题
41. （22-23高一下·河北保定·期中）已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
42. （22-23高一下·上海虹口·期末）设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为与为定点，则函数取最大值时在复平面上以三点为顶点的图形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
43. （21-22高一下·广东深圳·期中）复数满足，则复数对应的点在复平面内表示的图形是（ ）
A．圆 B．点 C．线段 D．直线
44.（多选）（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则不可能是纯虚数
B．是关于x的方程的一个根
C．
D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
45.（多选）（21-22高一下·广东广州·期中）设复数z在复平面上对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．满足|z|＝1，且的点Z有且仅有一个
B．若|z－1|＝1，则z＝2或0或1＋i或1－i
C．，则点Z构成的图形面积为
D．非零复数，，对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则为等腰直角三角形
复数的四则运算
46. （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，若，，则（ ）
A． B． C． D．
47. （23-24高一下·安徽·期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
48. （23-24高一下·广东江门·阶段练习）复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
49．（23-24高一下·四川达州·期中）已知复数满足.
(1)求；
(2)求的最小值.
50. （23-24高一下·四川成都·期中）在复数范围内有关于的方程.
(1)求该方程的根；
(2)求的值；
(3)有人观察到，得，试求的值.
复数方程问题
51．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
52．（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，设，则（ ）
A． B． C． D．
53. （23-24高一下·广东江门·期中）计算： .
54. （23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 .
55. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知复数满足，的虚部是2.
(1)求复数；
(2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；
(3)若复数的实部大于0，设在复平面上的对应点分别为，求△ABC的面积.
复数的三角形式与运算
56．（21-22高一·全国·课后作业）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
57．（21-22高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
58. （22-23高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则是的 条件．
59. （22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
60. （22-23高一·全国·随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．
欧拉公式问题
61．（22-23高一下·安徽·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．
62．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
63．（22-23高一下·广东深圳·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为实数
C．的共轭复数为 D．的模长等于
64.（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．的模长等于 D．的共轭复数为
65. （22-23高一下·安徽合肥·期末）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知， ，
复数范围内的因式分解
66．（21-22高三下·上海浦东新·期中）在复数范围内分解因式： .
67．（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则 ．
68．（20-21高一下·上海·课后作业）（1）在实数集中分解因式： ；
（2）在复数集中分解因式： ； ．
69. （21-22高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
70. （21-22高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
复数运算相关概念问题
71．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
72．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
73．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设为复数，则下列说法一定成立的有（ ）
A． B．若，则 C． D．
74．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期中）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．已知，若，则
D．已知，若，则
75．（多选）（23-24高一下·安徽合肥·期中）设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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