5.1.1复数的概念
课程标准 学习目标
教学重点:复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念; 教学难点:复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解. 1.掌握复数的代数形式，理解虚数、纯虚数、实部与虚部等有关复数的概念. 2.理解复数相等的定义，并会应用它来解决有关问题
知识点01 复数的有关概念
1、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
2、复数
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是，虚部是.
②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
3、复数集
①定义：全体复数所成的集合．
②表示：通常用大写字母C表示．
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
④以2为实部的复数有无数个．
其中真命题是 .（填写序号）
知识点02 复数相等的充要条件
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
知识点03 复数的分类
对于复数a＋bi，
1、当且仅当b＝0时，它是实数；
2、当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
3、当b≠0时，叫做虚数；
4.当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数
【即学即练3】（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．若，则不是复数
【题型一：复数的概念】
例1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
变式1-1．（20-21高二上·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么 D．设，如果，那么
变式1-2．（多选）（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（ ）
A．任意两个复数不能比大小
B．
C．
D．复数且
变式1-3．（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数
C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
【方法技巧与总结】
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照"先特殊，后一般；先否定，后肯定"的方法进行解答.
（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
【题型二：复数的实部与虚部】
例2．（23-24高一下·广西来宾·期中）复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
变式2-1．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）复数虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
变式2-2．（22-23高一下·浙江杭州·期中）若复数，则z的实部与虚部的和为（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．-5
变式2-3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 .
【方法技巧与总结】
判断复数a+bi的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式.
（2）看属性：看a，b是否都是实数.
【题型三：虚数i单位及其性质】
例3．（21-22高一下·贵州铜仁·期末）复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．1
变式3-1．（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：① ；②若，则 .
变式3-2．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ．
变式3-3．（22-23高三·全国·课后作业）若，则 ．
【方法技巧与总结】
1.i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i
2.i的周期性：i4n+1=i，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i，i 4n=1。
【题型四：复数的类型求参数】
例4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）复数是实数，则 .
变式4-2．（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件.
变式4-3．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时，
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
【方法技巧与总结】
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数，
当且仅当时，z是实数；当时，z是虚数；
当且时，z是纯虚数；
当且仅当时，z的值等于实数0．
【题型五：复数相等求参数】
例5．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
变式5-1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式5-2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5-3．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【方法技巧与总结】
复数相等的定义是求复数的值以及在复数集中解方程的重要依据．一般地，不全是实数的两个复数只能说相等或不相等，而不能进行大小比较．如与就不能比较大小．
【题型六：复数的分类及辨析】
例6．（21-22高二下·河南商丘·期中）虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（ ）
A．复数 小数 整数 B．复数 无理数 自然数
C．复数 无理数 整数 D．复数 整数 小数
变式6-1．（20-21高一下·全国·课后作业）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A． B． C． D．
变式6-2．（22-23高一下·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-3．（20-21高一·全国·课后作业）给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是 .（填序号）
【方法技巧与总结】
一、单选题
1．（23-24高一下·广西南宁·期中）若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（ ）
A．1 B． C． D．不存在
3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
5．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若，则是纯虚数；
②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2024高一·全国·专题练习）已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河北·模拟预测）已知为虚数单位，，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
二、多选题
9．（21-22高一·全国·课后作业）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
10．（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）若复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高一下·福建福州·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2024·江苏南通·二模）设，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝ .
13．（2024高一·全国·专题练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 ．
14．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： .
四、解答题
15．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
16．（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
17．（22-23高一下·海南儋州·期中）已知复数.
(1)若z为实数，求m值：
(2)若z为虚数，求m值；
(3)若z为纯虚数，求m值；
(4)若复数z为实数0，求m值
18．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
19．（22-23高一下·河南·阶段练习）若复数，，且，求的取值范围．
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课程标准 学习目标
教学重点:复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念; 教学难点:复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解. 1.掌握复数的代数形式，理解虚数、纯虚数、实部与虚部等有关复数的概念. 2.理解复数相等的定义，并会应用它来解决有关问题
知识点01 复数的有关概念
1、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
2、复数
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是，虚部是.
②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
3、复数集
①定义：全体复数所成的集合．
②表示：通常用大写字母C表示．
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
④以2为实部的复数有无数个．
其中真命题是 .（填写序号）
【答案】④
【分析】根据复数的概念一一分析即可.
【详解】①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；
②若，则ai不是纯虚数，故②为假命题；
③纯虚数集相对复数集的补集不是虚数集，因为复数中还包含实数，则③为假命题；
④对于复数，a有无数个取值，故④为真命题．
故答案为：④.
知识点02 复数相等的充要条件
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)，或
(4)
【分析】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可
（2）令实部为0且虚部为0解方程即可；
（3）根据实部与虚部对应关系解方程即可；
（4）令实部为0且虚部为0解方程即可.
【详解】（1）由，可得
（2）由，可得
（3）由，可得，或
（4）由，可得
知识点03 复数的分类
对于复数a＋bi，
1、当且仅当b＝0时，它是实数；
2、当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
3、当b≠0时，叫做虚数；
4.当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数
【即学即练3】（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．若，则不是复数
【答案】ABD
【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断.
【详解】A.当时，为实数，故错误；
B.若，则，故错误；
C.若，则为实数，故正确；
D.若，则是实数，故错误；
故选：ABD
【题型一：复数的概念】
例1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
【答案】C
【分析】根据复数的概念即可求解.
【详解】A.，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当时，是实数，说法正确；
D.复数的虚部是1，说法不正确.
故选：.
变式1-1．（20-21高二上·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么 D．设，如果，那么
【答案】C
【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．
【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
变式1-2．（多选）（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（ ）
A．任意两个复数不能比大小
B．
C．
D．复数且
【答案】CD
【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可.
【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误；
对于B，当则，故B错误；
对于C，因为，所以，所以由可以得到，故C正确；
对于D，若复数，则且，故D正确.
故选：CD.
变式1-3．（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数
C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
【答案】AB
【分析】
根据复数的相关概念逐一判断即可.
【详解】
复数的虚部是3，故A中说法不正确；
形如的数不一定是虚数，例如，当，时，不是虚数，故B中说法不正确；
只有当，，即时，是纯虚数，故C中说法正确；
因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D中说法正确.
故选：AB.
【方法技巧与总结】
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照"先特殊，后一般；先否定，后肯定"的方法进行解答.
（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
【题型二：复数的实部与虚部】
例2．（23-24高一下·广西来宾·期中）复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【分析】根据虚部的定义求解即可.
【详解】复数的虚部为，即虚部为.
故选：B.
变式2-1．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）复数虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】直接计算虚部即可.
【详解】复数虚部是.
故选：A.
变式2-2．（22-23高一下·浙江杭州·期中）若复数，则z的实部与虚部的和为（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】直接由实部虚部的定义计算即可.
【详解】由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为.
故选：B.
变式2-3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 .
【答案】
【分析】令，由复数相等可求出复数z,从而得到虚部.
【详解】令，
所以，可得
，其虚部为.
故答案为：
【方法技巧与总结】
判断复数a+bi的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式.
（2）看属性：看a，b是否都是实数.
【题型三：虚数i单位及其性质】
例3．（21-22高一下·贵州铜仁·期末）复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据虚数单位的定义以及复数的相关概念运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以复数的虚部是.
故选：A.
变式3-1．（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：① ；②若，则 .
【答案】 -1
【分析】①根据规定可得，②设 ，根据复数相等解方程即可
【详解】根据规定知；
设 ，
得，或，
所以
故答案为：-1；
变式3-2．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ．
【答案】/
【分析】利用的性质计算可得答案.
【详解】∵，∴，
则，故原式．
故答案为：.
变式3-3．（22-23高三·全国·课后作业）若，则 ．
【答案】
【分析】
根据虚数单位的运算法则计算可得.
【详解】.
故答案为：
【方法技巧与总结】
1.i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i
2.i的周期性：i4n+1=i，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i，i 4n=1。
【题型四：复数的类型求参数】
例4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据纯复数的定义：实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求得，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.
【详解】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：，
所以，即；
所以.
故选：D
变式4-1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）复数是实数，则 .
【答案】
【分析】由题干可得且，进行计算即可得解.
【详解】根据题意且，
所以且，
即，
所以或（舍），
故答案为：
变式4-2．（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件.
【答案】充分不必要
【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立；
若复数是纯虚数，则且，即不一定成立，
利用，即必要性不成立；
综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
变式4-3．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时，
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
【答案】(1)或
(2)且且
(3)
【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解；
（2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或，
所以或时，复数为实数.
（2）因为为虚数，则，解得且且，
所以且且时，复数为纯虚数.
（3）因为为纯虚数，则，解得，
所以时，复数为纯虚数.
【方法技巧与总结】
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数，
当且仅当时，z是实数；当时，z是虚数；
当且时，z是纯虚数；
当且仅当时，z的值等于实数0．
【题型五：复数相等求参数】
例5．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助复数相等求解作答
【详解】因为，所以
故选：D
变式5-1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意，
所以，解得，所以.
故选：D.
变式5-2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.
【详解】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.
故选：B.
变式5-3．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
故选：A
【方法技巧与总结】
复数相等的定义是求复数的值以及在复数集中解方程的重要依据．一般地，不全是实数的两个复数只能说相等或不相等，而不能进行大小比较．如与就不能比较大小．
【题型六：复数的分类及辨析】
例6．（21-22高二下·河南商丘·期中）虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（ ）
A．复数 小数 整数 B．复数 无理数 自然数
C．复数 无理数 整数 D．复数 整数 小数
【答案】C
【分析】根据实数和复数的概念，直接判断即可.
【详解】由复数的分类可得：1处填入复数；
由实数的分类可得：2处填入无理数；
由有理数的分类可得：3处填入整数.
故选：C.
变式6-1．（20-21高一下·全国·课后作业）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．
【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．
变式6-2．（22-23高一下·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
举反例判断选项AB，根据集合的关系，结合集合的运算性质判断CD.
【详解】复数，但，所以，选项A错误；
复数，但，所以，选项B错误；
，选项C错误，
，选项D正确；
故选：D.
变式6-3．（20-21高一·全国·课后作业）给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是 .（填序号）
【答案】③
【分析】结合数集特征和实数虚数概念判断即可.
【详解】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③
【方法技巧与总结】
一、单选题
1．（23-24高一下·广西南宁·期中）若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解.
【详解】因为实数，满足，
所以，则.
故选：B
2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（ ）
A．1 B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】根据实数和复数的概念直接列式求解即可.
【详解】因为是实数，
所以，解得，
故选：A
3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数虚部的含义可得答案.
【详解】因为，所以虚部为.
故选：C
4．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】B
【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为，
若复数表示纯虚数，则，解得.
故选：B.
5．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若，则是纯虚数；
②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】
对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.
【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：.
6．（2024高一·全国·专题练习）已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由已知可得，即，解得或，
因此，实数a的取值范围是．
故选：B.
7．（2023·河北·模拟预测）已知为虚数单位，，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果.
【详解】由题得，
所以，解得，所以.
故选：C
8．（2023·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解.
【详解】由复数是纯虚数，
得
解得:.
故选:C.
二、多选题
9．（21-22高一·全国·课后作业）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
【答案】ACD
【分析】根据复数的概念逐项判断即可.
【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误；
选项B中，时，为纯虚数，正确；
选项C中，若是纯虚数，则，即，
所以，错误；
选项D中，没有给出是实数，当时，
也是虚数，错误.
故选：ACD
10．（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）若复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意可得与均为实数，即可判断.
【详解】因为虚数不能比较大小，若复数，
则说明与均为实数，所以且.
故选：AC
11．（22-23高一下·福建福州·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或，
结合，求出的值.
【详解】由条件知，，
∴，
∴或，
∵，
∴，或．
故选：ACD
三、填空题
12．（2024·江苏南通·二模）设，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝ .
【答案】1
【分析】由集合的包含关系得两个集合中元素的关系，由复数的相等解的值.
【详解】集合，，且，
则有或，解得.
故答案为：1
13．（2024高一·全国·专题练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 ．
【答案】5
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案．
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得．
故答案为：
14．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： .
【答案】
【分析】根据复数的分类即可求解.
【详解】由，解得，故.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据实部为0，虚部不为零可求参数的值；
（2）利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴,解得或，
∴当或时，是纯虚数.
（2）∵，∴，解得，
∴故时，.
16．（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】根据的计算公式，即可化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式，
.
17．（22-23高一下·海南儋州·期中）已知复数.
(1)若z为实数，求m值：
(2)若z为虚数，求m值；
(3)若z为纯虚数，求m值；
(4)若复数z为实数0，求m值
【答案】(1)或；
(2)且
(3)
(4)
【分析】根据复数的特征，列出关于实部和虚部的取值，即可求解.
【详解】（1）若为实数，则，解得：或；
（2）若z为虚数，则，得：且；
（3）若为纯虚数，则，解得：；
（4）若复数为实数0，则，解得：.
18．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；
（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.
【详解】（1）由z1为纯虚数，
则，解得m＝－2.
（2）由，得
∴
∵，
∴当时，，当时，，
∴实数的取值范围是.
19．（22-23高一下·河南·阶段练习）若复数，，且，求的取值范围．
【答案】
【分析】
利用复数相等建立等式关系可得，分，讨论，结合同角三角函数关系即可确定其范围.
【详解】由可得
得，
因为，
所以，
当时，；
当时， ．
综上，的取值范围为．
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