5.1.2复数的几何意义
课程标准 学习目标
1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念. 2.理解复数的代数表示及其几何意义 1、通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义; 2、正确认知复平面以及复数的坐标关系，明确复数的两种几何意义; 3、逐步熟悉复数模的公式，正确认知共轭复数.
知识点01 复平面
定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
【即学即练1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
代入直线，可得，即，
则，在复平面内对应的点为.
故选：C
知识点02 复数的几何意义
1、任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
2、一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量＝(a，b)是一一对应的．
【即学即练2】（23-24高一下·重庆·期中）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ．
【答案】
【分析】由复数的几何意义得出向量与的坐标，再由向量的运算得出的坐标，进而得出其复数.
【详解】∵复数与分别表示向量与，
∴，，
又，
∴向量表示的复数是.
故答案为：.
知识点03 共轭复数
1、共轭复数的概念：一般地，如果两个复数的实数相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.
2、共轭复数的代数表示：复数z的共轭复数用表示，因此，当z=a+bi（a，b∈R）时，有= a- bi.
3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴_对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于_实轴_对称，则这两个复数互为 共轭复数 .
【即学即练3】（23-24高一下·北京·期中）如图，设复平面内的点Z表示复数，则复数z的共轭复数=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定图形，求出复数对应点的坐标，即可求出.
【详解】依题意，点的坐标是，则，
所以.
故选：B
知识点04 复数的模
1、定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
2、记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
【即学即练4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】借助模长定义计算即可得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【题型一：复数的几何意义】
例1．（20-21高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．实轴上的点对应的复数为实数
B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数
C．表示实数的点都在实轴上
D．表示纯虚数的点都在虚轴上
【答案】B
【分析】由复平面和复数的概念逐项判断.
【详解】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确；
B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误；
C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确；
D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确；
故选：B
变式1-1．（20-21高一·全国·单元测试）实轴上的点表示实数 ；虚轴上的点表示纯虚数 .
【答案】 2
【分析】根据复平面上点，直接写出对应的复数即可.
【详解】由复平面上的点，即表示实数2；点，即表示纯虚数.
故答案为：2，
变式1-2．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点对应，若点Z分别位于下列位置，求a，b满足的条件：
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)实轴上方（不包括实轴）；
(4)虚轴左侧（不包括虚轴）；
(5)第二象限.
【答案】(1)且
(2)且
(3)且
(4)且
(5)且
【分析】根据复数的几何意义以及点所在的位置特点即可求解.
【详解】（1）复数和复平面内的点对应，
因为点位于实轴上，所以且.
（2）因为点位于虚轴上，所以且.
（3）因为点位于实轴上方（不包括实轴），所以且.
（4）因为点位于虚轴左侧（不包括虚轴），所以且.
（5）因为点位于第二象限，所以且.
变式1-3．（2023高一·全国·专题练习）求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：
(1)在复平面内的轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）（2）利用复数的几何意义得到点的坐标，再利用点与复平面坐标系的关系得到关于的不等式或方程，解之即可.
【详解】（1）因为复数对应的点为，
所以，
因为点在轴上方，
所以，解得或，
所以或.
（2）因为复数z的对应点在实轴负半轴上，
则，解得，
所以.
【方法技巧与总结】
复平面的有关概念介绍
1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
2、实轴：在复平面内，×轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴.
3、虚轴：y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.、
【题型二：复数的坐标表示】
例2．（22-23高一下·湖南益阳·期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由求出，从而可求得复数在复平面内对应的点的坐标
【详解】由，得，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
故选：C
变式2-1．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】
先求出向量的坐标，根据可得点的坐标.
【详解】因向量所对应的复数是，
所以，
因，所以.
故答案为：.
变式2-2．（20-21高一·全国·课后作业）用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标是，则= ，= .
【答案】 / -2
【分析】由点的坐标求出，得到，进而求出实部和虚部的和.
【详解】由题意得，则.
则.
故答案为：，-2
变式2-3．（22-23高一·全国·课后作业）若向量，所对应的复数分别为，，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】由复数的几何意义得，，即可向量与坐标关系列方程求值即可.
【详解】由题意可得，，∴.
设，则有，即，解得.
故答案为：.
【题型三：复数的对称问题】
例3．（2023·甘肃·一模）复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】由题意可得：对应的点为，该点关于虚轴对称的点为，
所以对应的点为，
.
故选：B
变式3-1．（20-21高一下·上海·课后作业）若复数、满足，，则、在复平面上的对应点、是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点为对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】设复数、，，依题意得到，，再根据复数的几何意义，写出复数在复平面内所对应的点的坐标，即可判断；
【详解】解：设复数、，，因为，，所以，，
所以、在复平面上的对应点、关于轴对称，
故选：B
变式3-2．（20-21高一下·上海·课后作业）复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是 ；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是 ；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是 ；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是 ．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】直接利用复数的几何意义即可得到.
【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为、，
所以
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是，
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是，.
故答案为：（1），；（2），；（3），；（4），.
变式3-3．（20-21高二·全国·课后作业）若复数与复数在复平面内所对应的点分别满足下列条件，试探究实数a，b，c，d之间应该满足的关系．
（1）关于实轴对称；
（2）关于虚轴对称；
（3）关于直线对称．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】根据复数的几何意义，结合对称轴写出相关参数的数量关系即可.
【详解】由题设，坐标为，坐标为，
（1）关于实轴对称，只需即即可；
（2）关于虚轴对称，只需即即可；
（3）关于对称，即即可.
【题型四：复数与向量】
例4.（2024·云南曲靖·一模）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求对应点，即可得对应复数.
【详解】由题设，则，
所以向量对应的复数为.
故选：D
变式4-1.（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
【答案】
【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点对应的复数．
【详解】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为，
因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为，
因为与关于轴对称，所以．
即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是．
故答案为：.
变式4-2.（2024高一下·全国·专题练习）如图，向量对应的复数是，分别作出下列运算的结果对应的向量：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
根据题意，结合复数的几何意义，结合向量的运算法则，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示：由，则.
（2）解：如图所示：由，则.
（3）解：如图所示：由，则.
变式4-3.（22-23高一·全国·随堂练习）在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
【分析】根据复数的几何意义以及实部、虚部的概念求解即可.
【详解】（1）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（2）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（3）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（4）因为复数对应的点为，向量为，如图：
（5）因为复数对应的点为，向量为，如图：
【题型五：共轭复数】
例5．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的几何意义求得复数，然后由共轭复数相关概念求解即可．
【详解】由题可知，所以．
故选：D
变式5-1.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知复数，则复数z的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式计算可求复数，进而可求.
【详解】因为
，
所以.
故选：D.
变式5-2.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到，则，再求出其虚部即可.
【详解】由复数的几何意义得，从而，其虚部为.
故选：C
变式5-3.（2024高一下·全国·专题练习）已知，复数 (为虚数单位)，若，则 ．
【答案】
【分析】
根据题意，得到，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】
由，可得，
因为且，所以，解得，所以.
故答案为：.
【题型六：复数的模】
例6．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】利用共轭复数的定义及模长公式计算即可
【详解】由题意可知，故.
故选：C
变式6-1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）为虚数单位，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
【答案】A
【分析】化简复数，再进行求模计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
变式6-2．（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 .
【答案】5
【分析】根据复数的几何意义直接求解即可.
【详解】由，得.
故答案为：5
变式6-3．（23-24高一下·全国·随堂练习）若复数的实部与虚部互为相反数，且，则 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得.
【详解】依题意，设复数，由，得，解得，
所以或.
故答案为：或
【题型七：复数与轨迹】
例7．（21-22高一·全国·课后作业）在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹即可.
【详解】设点的坐标为，则点对应的复数为，
因为，由复数的几何意义可知，，
所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆及其内部，
即点的轨迹为单位圆以及圆的内部.
故选：D
变式7-1．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为，
如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为，
向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.
由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，
故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，
因为，所以扇形的面积为等于.
故选：B.
变式7-2．（2021高一·浙江温州·竞赛）若复数满足，则在复平面上对应的点集所组成的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意原式变形为，设，，表示复数在复平面内对应的点构成的图形为：以为圆心以4为半径的圆及其内部，进而得到答案.
【详解】变形为
设，，所以.
上式表示复数在复平面内对应的点构成的图形为：以为圆心以4为半径的
圆及其内部，故在复平面上对应的点集所组成的图形面积为，故D正确.
故选：D.
变式7-3．（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）已知，在复平面内对应的点为为满足的点的集合所对应的图形，则的面积为 ．
【答案】
【分析】设，，根据复数的模长公式得到，得到轨迹，求出面积.
【详解】设，，
因为，所以，即，
表示的是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆环的部分（如图所示），
故的面积为.
故答案为：
【题型八：复数与含参问题】
例8．(多选)（23-24高一下·四川成都·期中）复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】BC
【分析】写出复数对应点的坐标，由点在所象限列不等式组得范围．
【详解】由题意对应的点的坐标为，该点在第四象限，则，解得，
故选：BC．
变式8-1.（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ．
【答案】1
【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案.
【详解】由题意可得解得．因为，所以．
故答案为: 1
变式8-2.（23-24高一下·河北·期中）若，则 .
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解.
【详解】由题意得，，则，解得．
故答案为：2
变式8-3.（23-24高一下·全国·课堂例题）若复数，满足，则的值为 .
【答案】
【分析】根据复数的模的概念得，从而求的值.
【详解】因为，所以 .
故答案为：
一、单选题
1．（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据复数的定义即可判断AB，根据复数的模的计算公式即可判断CD.
【详解】由复数，可得两个复数不能比较大小，故AB错误，
，所以，故C错误，D正确.
故选：D.
2．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】变形后，结合得到实部和虚部均大于0，得到所在象限.
【详解】，
又，
，
所对应的点在第一象限.
故选：A.
3．（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，写出复数的标准式，结合虚部的定义，可得答案.
【详解】由题意可知，则其虚部为.
故选：A.
4．（23-24高一下·重庆·期中）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义可解.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
其位于第二象限.
故选：B
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解.
【详解】由题意不妨设，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据复数模长公式计算.
【详解】由复数得，.
故选：A
7．（2022·河南信阳·模拟预测）若为第四象限角，则复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义，结合复数的几何意义，即可判断选项.
【详解】因为为第四象限角，所以，，
复数对应的点为，为第四象限角.
故选：D
8．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得.
【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，
是上述圆上的点到复数对应点的距离，
而，所以的最小值是.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏扬州·期中）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的模
C．若，则或
D．若复数是纯虚数，则或
【答案】AB
【分析】利用复数模的含义，纯虚数的概念及复数的几何意义可得答案.
【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，A正确；
若，则，B正确；
因为，，所以C不正确；
因为是纯虚数，所以，
解得，D不正确.
故选：AB
10．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是，，，则第四个顶点对应的复数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
结合平行四边形的性质讨论第四个顶点的三种位置，根据向量相等的坐标运算计算即可.
【详解】
①假设平行四边形的三点对应的三个复数分别为：，，，
则＝，∴＝，则点D对应的复数可以是；
②假设平行四边形的三点对应的三个复数分别为：，，，
则＝，∴＝，
则点C对应的复数可以是；
③假设平行四边形的三点对应的三个复数分别为：，，，
则＝，∴＝+＝，则点B对应的复数可以是．
故选：BCD
11．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则z为纯虚数 B．若，则z为实数
C．若，则点Z在直线上 D．若，则点Z在第三象限
【答案】BC
【分析】时，可得判断A；时，可得判断B；时，可判断C；若点在第三象限，可得且，求解可判断D.
【详解】对于A，当时，，是实数，故A错误；
对于B，当时，，是实数，故B正确；
对于C，当时，，所以，所以点在直线上，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
所以不存在点在第三象限，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题在复平面上对应的点位于第二象限，即要实部小于零，虚部大于零，建立不等式组可解出.
【详解】依题意得：，得，
∴.
故答案为：
13．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知复数满足，则的最大值是 .
【答案】6
【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.
【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示复数对应的点到点的距离，
最大的距离为，
即的最大值是.
故答案为：.
14．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，则的最小值为
【答案】/
【分析】根据复数的模的公式求，再结合三角函数知识求其最小值.
【详解】因为
所以，
化简得，
所以，
设，
则，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、解答题
15．（22-23高一下·山东聊城·期中）已知，（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义，可得答案；
（2）根据复数模长公式，整理不等式，根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）
根据题意是纯虚数，故，解得：；
（2）由，得：，即，从而，
由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上，实数的取值范围为.
16．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
【答案】(1)且.
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，以及点所在的位置，列出方程（不等式），即可求解.
【详解】（1）由复数和复平面内的点Z对应，
因为复数不在实轴上，则满足，解得且.
（2）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在虚轴上，则满足，解得.
（3）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在实轴下方（不包括实轴），则满足，解得.
（4）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在虚轴右侧（不包括虚轴），则满足，解得.
（5）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数第三象限，则满足，解得.
17．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中．
(1)若为纯虚数，求的共轭复数；
(2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可；
（2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，则，
所以的共轭复数为．
（2）由题意可得，
即，
解得，即的取值范围是．
18．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义，限制实部虚部求解即可.
（2）根据共轭复数的定义限制实部虚部的范围，解不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意得，
因为为纯虚数，
所以解得
（2）复数
它在复平面上对应的点在第三象限，所以，
解得或,
所以实数的取值范围为．
19．（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知复平面内表示复数（）的点为.
(1)若点在函数图像上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可；
（2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可.
【详解】（1）因为点在函数图像上，
所以，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，即，
当两向量共线且反向时，设，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)5.1.2复数的几何意义
课程标准 学习目标
1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念. 2.理解复数的代数表示及其几何意义 1、通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义; 2、正确认知复平面以及复数的坐标关系，明确复数的两种几何意义; 3、逐步熟悉复数模的公式，正确认知共轭复数.
知识点01 复平面
定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
【即学即练1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
知识点02 复数的几何意义
1、任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
2、一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量＝(a，b)是一一对应的．
【即学即练2】（23-24高一下·重庆·期中）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ．
知识点03 共轭复数
1、共轭复数的概念：一般地，如果两个复数的实数相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.
2、共轭复数的代数表示：复数z的共轭复数用表示，因此，当z=a+bi（a，b∈R）时，有= a- bi.
3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴_对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于_实轴_对称，则这两个复数互为 共轭复数 .
【即学即练3】（23-24高一下·北京·期中）如图，设复平面内的点Z表示复数，则复数z的共轭复数=（ ）
A． B． C． D．
知识点04 复数的模
1、定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
2、记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
【即学即练4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型一：复数的几何意义】
例1．（20-21高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．实轴上的点对应的复数为实数
B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数
C．表示实数的点都在实轴上
D．表示纯虚数的点都在虚轴上
变式1-1．（20-21高一·全国·单元测试）实轴上的点表示实数 ；虚轴上的点表示纯虚数 .
变式1-2．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点对应，若点Z分别位于下列位置，求a，b满足的条件：
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)实轴上方（不包括实轴）；
(4)虚轴左侧（不包括虚轴）；
(5)第二象限.
变式1-3．（2023高一·全国·专题练习）求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：
(1)在复平面内的轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
【方法技巧与总结】
复平面的有关概念介绍
1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
2、实轴：在复平面内，×轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴.
3、虚轴：y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.、
【题型二：复数的坐标表示】
例2．（22-23高一下·湖南益阳·期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 .
变式2-2．（20-21高一·全国·课后作业）用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标是，则= ，= .
变式2-3．（22-23高一·全国·课后作业）若向量，所对应的复数分别为，，则点B的坐标为 ．
【题型三：复数的对称问题】
例3．（2023·甘肃·一模）复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．（20-21高一下·上海·课后作业）若复数、满足，，则、在复平面上的对应点、是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点为对称 D．关于直线对称
变式3-2．（20-21高一下·上海·课后作业）复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是 ；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是 ；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是 ；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是 ．
变式3-3．（20-21高二·全国·课后作业）若复数与复数在复平面内所对应的点分别满足下列条件，试探究实数a，b，c，d之间应该满足的关系．
（1）关于实轴对称；
（2）关于虚轴对称；
（3）关于直线对称．
【题型四：复数与向量】
例4.（2024·云南曲靖·一模）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
变式4-1.（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
变式4-2.（2024高一下·全国·专题练习）如图，向量对应的复数是，分别作出下列运算的结果对应的向量：
(1)
(2)
(3)
变式4-3.（22-23高一·全国·随堂练习）在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【题型五：共轭复数】
例5．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
变式5-1.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知复数，则复数z的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
变式5-2.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A．3 B． C． D．
变式5-3.（2024高一下·全国·专题练习）已知，复数 (为虚数单位)，若，则 ．
【题型六：复数的模】
例6．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
变式6-1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）为虚数单位，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
变式6-2．（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 .
变式6-3．（23-24高一下·全国·随堂练习）若复数的实部与虚部互为相反数，且，则 ．
【题型七：复数与轨迹】
例7．（21-22高一·全国·课后作业）在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部
变式7-1．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式7-2．（2021高一·浙江温州·竞赛）若复数满足，则在复平面上对应的点集所组成的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
变式7-3．（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）已知，在复平面内对应的点为为满足的点的集合所对应的图形，则的面积为 ．
【题型八：复数与含参问题】
例8．(多选)（23-24高一下·四川成都·期中）复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．1
变式8-1.（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ．
变式8-2.（23-24高一下·河北·期中）若，则 .
变式8-3.（23-24高一下·全国·课堂例题）若复数，满足，则的值为 .
一、单选题
1．（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高一下·重庆·期中）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．1
7．（2022·河南信阳·模拟预测）若为第四象限角，则复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
8．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏扬州·期中）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的模
C．若，则或
D．若复数是纯虚数，则或
10．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是，，，则第四个顶点对应的复数可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则z为纯虚数 B．若，则z为实数
C．若，则点Z在直线上 D．若，则点Z在第三象限
三、填空题
12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ．
13．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知复数满足，则的最大值是 .
14．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，则的最小值为
四、解答题
15．（22-23高一下·山东聊城·期中）已知，（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
16．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
17．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中．
(1)若为纯虚数，求的共轭复数；
(2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
18．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
19．（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知复平面内表示复数（）的点为.
(1)若点在函数图像上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
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