6.4.2平面与平面平行
课程标准 学习目标
1、重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理以及应用 2、难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理与性质定理，达到直观想象、逻辑推理核心素养水平二的要求 2.能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述平面与平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的表达能力
知识点01 两个平面的位置关系
位置关系 公共点 图形语言 符号语言
相交 有无数个共同点 α∩β＝l
平行 没有公共点 α∥β
【即学即练1】（多选）（21-22高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
【答案】CD
【分析】举出相交平面的实例说明判断AB；利用两个平面平行的定义和判定定理判断CD作答.
【详解】一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线是平行的，则这两个平面可能相交，
因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，A错误；
一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，如果这无数条直线是平行的，则这两个平面可能相交，
因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，B错误；
一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的定义知，C正确；
一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的判定定理知，D正确.
故选：CD
知识点02 平面与平面平行的判定定理
文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
图形语言
符号语言 ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P， a α，b α，∴α∥β
【即学即练2】（20-21高一下·湖南张家界·期中）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】AC可举出反例；B选项，根据线面平行的判定定理得到B正确.
【详解】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出，A错误；
B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误.
C选项，如图，，平行于同一条直线，但，不平行，C错误；
故选：B
知识点03 平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
图形语言
符号语言 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
性质定理推论：如果两个平面平行，其中一个平面内的__任一直线 __平行于另一个平面．
符号表示：__α∥β，a α ____ a∥β.
【即学即练3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 .
【答案】
【分析】根据面面平行的性质定理可得答案.
【详解】由题意知，且，
根据面面平行的性质定理可得，
故答案为：
【题型一：面面平行的概念辨析】
例1.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：当，，，且与相交时，故B错误；
对于C：若，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D
变式1-1.（23-24高一下·重庆·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，
B．，，且
C．，，
D．，，，
【答案】C
【分析】由直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；由面面平行的性质定理判断C；平面与平面的位置关系判断D.
【详解】对于A，由，，得平行或相交，A错误；
对于B，由，，得且或 或 ，B错误；
对于C，由，，，根据面面平行的性质得，C正确；
对于D，由，，，，得平行或相交，D错误.
故选：C
变式1-2.（23-24高一下·浙江宁波·期中）为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则或与异面
【答案】D
【分析】ABC可以举出其他情况反驳即可，D选项易知其正确.
【详解】对A，若，，，则或与异面，故A错误；
对B，若，，，则或相交；
对C，若，，则或；
对D，若，，则或与异面，正确.
故选：D.
变式1-3.（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行的性质与判定逐个选项分析即可．
【详解】若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误；
若，，则或相交，故B错误；
若，，则或，故C错误；
若，，则，故D正确．
故选：D.
【方法技巧与总结】
解决平行关系基本问题的三个注意点
（1）判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理要求线在面外
（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判别，
（3）会举反例或用反证法探测结论是否正确.
【题型二：面面平行的证明】
例2.（23-24高一下·河北·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接，利用三角形中位线及平行四边形性质证得，再利用线面平行的判定推理即得.
（2）由（1）的信息，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得.
【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，
而，，则，四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，
所以平面.
（2）由，得是的中点，而为中点，则，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
变式2-1.（23-24高一下·天津南开·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点.
(1)求证：平面；
(2)若为中点，求证平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取的中点，中点且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面，
由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为底面是正方形，底面，且分别是的中点，
所以，且，，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为为的中点，连接，可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
由（1）可得平面，且平面，
所以平面平面.
变式2-2.（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）.
(1)求证：；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证．
（2）推导出，，由此能证明平面平面．
【详解】（1）在三棱柱中，
平面平面，平面平面，平面平面，
故
（2）在三棱柱中，
，，分别是，，的中点，
，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
又，平面，平面，
平面．
，平面
平面平面．
变式2-3.（22-23高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意证明，即可得结果；
（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.
【详解】（1）证明：分别是、的中点，
所以，
又，
所以四边形是平行四边形，
.
，
即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.
（2）（2）M、N分别是、的中点，
.又平面，平面，平面.
连接，如图所示，则，.
四边形是平行四边形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.
【方法技巧与总结】
证明两个平面平行的方法
证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证明线面平行时，可利用面面平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直找分别平行即可.
【题型三：面面平行证明线线平行】
例3.（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.
【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
变式3-1.（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：
(1)；
(2)N为AC的中点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行；
（2）证明出四边形为平行四边形，从而证明出结论.
【详解】（1）因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
（2）三棱柱中，，且，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
又M是的中点，
所以，
所以N为AC的中点．
变式3-2.（22-23高一下·河北承德·阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.
(1)求证：四点共面；
(2)若平面∥平面，求证：为的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）在上取一点，使得，连接，可得四边形和是平行四边形，则，，再由题意可得是平行四边形，从而得，所以，进而可得结论；
（2）由面面平行的性质可得，则，然后在和中可求得结果.
【详解】（1）证明：在上取一点，使得，
连接，则，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理，四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面.
（2）因为平面 平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即为的中点.
变式3-3.（2023高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
【答案】作图见解析，证明见解析
【分析】通过延伸平面内的直线来作出平面与平面的交线，通过面面平行的性质定理证得、，由此证得.
【详解】
如图，延长交的延长线于，
连接交于，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
证明：∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴.
又∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，∴.
【方法技巧与总结】
由两个平面平行的性质定理可以得到两个平面平行的其他性质：
两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面；
经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行；
（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
（5）平行于同一平面的两个平面平行（面面平行的传递性）.
【题型四：面面平行证明线面平行】
例4.（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方体中，，分别是，的中点.
(1)求异面直线与所成角；
(2)求证：平面
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，，即可得到，则为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出；
（2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证.
【详解】（1）连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，则为异面直线与所成的角，
在正方体中，可得，即为等边三角形，
所以，所以异面直线与所成角为；
（2）取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
而，所以，
又因为平面，平面，平面，
平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
变式4-1.（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；
【答案】证明见解析
【分析】
连接，利用三棱柱性质和面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质可得平面；
【详解】证明：连接，如下图所示：
因为，且，分别是棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面，
所以平面.
变式4-2.（2024高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意先证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明.
【详解】由题意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
变式4-3.（2023高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，，．点E，F分别在AB，CD上，点分别在上，且，．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．
(1)求证：平面；
(2)求证：与BC是异面直线；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明平面平面，利用面面平行的性质定理可证明结论；
（2）利用反证的方法，假设假设与不是异面直线，得出矛盾，即可证明结论；
【详解】（1）证明：∵ ，平面，平面，
∴平面，
∵ ，平面，平面，
∴平面，∵，平面，
故平面平面，而平面，故平面；
（2）证明：假设与BC不是异面直线，即四点共面，
则 或相交于一点，设为Q，
若，∵平面BCFE，故平面BCFE，
而平面，平面平面 ，
故，与且，，则不平行矛盾；
若，则平面，平面，
平面平面，故，则交于一点，
由题意可知相交于FE延长线上，相交于EF延长线上一点，
即不会交于同一点，故矛盾，
由此说明即四点不共面，即与BC是异面直线．
【题型五：动点探索问题】
例5.（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为．
(1)要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积；
(2)证明：面；
(3)直线上是否存在一个点，使得面面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见详解；
(3)不存在，理由见详解.
【分析】（1）取的中点，连接，四边形即为所求截面，求其面积即可；
（2）取、的中点、，连接，根据线面平行的判定定理证明；
（3）由与相交，可证明.
【详解】（1）取的中点，连接，
由于，又平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面与平面的交线平行于，
而，所以，
则四边形即为所求截面，
，
等腰梯形的高为，
所以截面面积为；
（2）取、的中点、，连接，
因为分别为的中点，
，
同理，
因为正六棱柱中，
所以，
所以四边形为平行四边形，
则，
又面，面，
所以面；
（3）不存在这样的点，使得面面，
在正六棱柱中，
所以为梯形，
连接延长交的延长线于点，
由于，且为的中点，
则，
所以，
因为，
所以与共面且不平行，即与相交，
即与面相交，
故不存在这样的点，使得面面.
变式5-1.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，，，平面．
(1)证明：．
(2)点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；；证明见解析
【分析】（1）由线面平行的性质证明即可；
（2）由面面平行的判定定理证明即可；先证明平面，再证明平面.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以.
（2）
存在，当点F满足时，平面平面.
证明如下：
因为，，所以.
因为平面，平面，所以平面.
由（1）知，，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
变式5-2.（21-22高一上·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行.
【详解】（1）如图，连接交于，连接.
因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：
连接，，
因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
由（1）知平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.
变式5-3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论.
【答案】存在为棱的中点，证明见解析
【分析】由中点找中点，取棱的中点，证明两次线面平行即得平面平面.
【详解】
存在为棱的中点，使平面平面．
证明如下：如图，连接．
因为分别是棱的中点，所以，
因为平面 平面，所以平面．
因为分别是棱的中点，所以，
因为平面平面，所以平面．
因为，平面，所以平面平面，得证．
【题型六：面面平行判定的应用】
例6.（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
，面，因此平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，
又平面平面，则平面平面，
但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以平面，同理可证平面，
，面，所以平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
变式6-1. （2018高一上·全国·专题练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，且平面平面，
则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
变式6-2. （2023·新疆·一模）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．与异面
C．平面
D．平面平面
【答案】A
【分析】根据题目信息和相似比可知，不可能平行于，与异面，可得A错误，B正确；再利用线面平行和面面平行的判定定理即可证明CD正确.
【详解】如下图所示，连接，
根据题意，由可得，，且；
同理可得，且；
由，而，所以不可能平行于，即A错误；
易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；
在长方体中，
所以，即四边形为平行四边形；
所以，又，所以；
平面，平面，
所以平面，即C正确；
由，平面，平面，所以平面；
又，平面，平面，所以平面；
又，且平面，
所以平面平面，即D正确.
故选：A
变式6-3.（18-19高一下·北京西城·期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．
【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；
易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；
对于，平面平面，理由是：
由，，，分别是棱，，，的中点，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故选：．
【题型七：面面平行性质的应用】
例7．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由面面平行的性质可判断.
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
对于A，，，故A正确；
对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误；
对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误；
对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误；
故选：A.
变式7-1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接、、，根据题意判断平面平面，得出是点在底面内的轨迹，计算的值即可．
【详解】取的中点，连接、、，如图所示：
由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，
又且，于是为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，又，平面，
因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面，
又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，
于是是点在底面内的轨迹，
又正方体的棱长为，则，
所以点的轨迹长度为.
故选：B
变式7-2．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取AD的中点M、CD的中点N，结合题意可得平面平面，得出线段是动点F的轨迹，计算即可得.
【详解】如图，取AD的中点M、CD的中点N，连接，
因为E为BC的中点，M为中点，由正方体的性质可得，
，，所以四边形是平行四边形，
所以，，又因为，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，由正方体的性质可得,
，，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为M为中点，N为中点，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
所以动点F的轨迹为线段，
又，故动点F的轨迹长度为．
故选：D．
变式7-3．（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由MN//平面可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解.
【详解】如图，
取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME，
由，，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面
所以平面平面，又平面，
故点N的轨迹为线段DE，又由，可得．
故选：B．
一、单选题
1．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形中位线可得线线平行即可求证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
【详解】如下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在 中，，
同理，在 中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，此时最短，位于、处时最长，
，
，
所以线段长度的是大值与最小值之和为，．
故选：C．
2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别为的中点，证明平面平面，得点在线段上，取得最小值时为线段的中点，求出，余弦定理求的余弦值即可.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，所以，
又分别为的中点，所以，故，
平面，平面，所以平面，
又，，所以四边形为平行四边形，故，
平面，平面，平面，
又平面，，故平面平面，
所以当平面时，平面，则点在线段上，
当时，取得最小值，易知，
此时为线段的中点.
由平面几何知识可知，，，，
.
所以的余弦值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：平面，则点在过与平面平行的平面内，分别为的中点，由平面平面得点在线段上，且为线段的中点，三角形中余弦定理求的余弦值.
3．（23-24高一下·重庆·期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A：若，，则或与异面或与相交，故A错误；
对于B：若，，由面面平行的性质定理可得，故B正确；
对于C：若，，则或，故C错误；
对于D：若，，则或与异面，故D错误.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，设，分别延长交于点，此时，
连接交于，连接，
设平面与平面的交线为，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，设，则，
此时，故 ，连接，
所以五边形为所求截面图形，
故选：C．
5．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）．
A．截面与截面 B．截面与截面
C．截面与截面 D．截面与截面
【答案】B
【分析】
根据面面平行的判定并结合图形判断各选项．
【详解】
如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4．
对于A，与相交，截面与相交，故A错误；
对于B， 截面与平行．证明：因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，平面，
所以平面平面．故B正确；
对于C，截面与相交于D点，故C错误；
对于D，与相交，截面与相交，故D错误；
故选：B．
6．（22-23高一下·河北张家口·期末）在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】取中点，中点，利用面面平行的判定定理确定平面，利用余弦定理及三角形面积公式求解即可.
【详解】如图，取中点，中点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，又，
平面，平面，所以平面平面，
即三角形为所得截面，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故选：C.
7．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，，F四点共面 B．直线平面
C．平面平面 D．直线EF和HG所成角的正切值为
【答案】C
【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D.
【详解】取中点，连接,
由于是的中点，在正方体中可知,
又，所以四边形为平行四边形，故,
因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，,
取中点，连接,
由于均为中点，所以
平面，平面，所以平面,
同理平面,平面,
所以平面平面，平面，故直线平面，B正确，
假若平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误，
由于，所以,
故为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
由于底面，平面，所以,
故,
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确.
故选：C.
8．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由直线与平面无公共点，知平面，由平面平面，知点在上，利用三角形为等边三角形可得的最小值.
【详解】
如图：连接，
由正方体性质可知：，
因平面，平面，
所以平面，
同理，,
因平面，平面，
所以平面，
又，
平面，平面，
所以平面平面，
因直线与平面无公共点，点为底面上在意一点
所以点在上，
故最小时，，
因正方体的棱长为2，
所以三角形为边长为的等边三角形，
时，，
故选：B
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面平面，是、外一点，过点的直线与、分别交于点、，过点的直线与、分别交于点、，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由已知直线和确定一个平面，对点位置分类讨论，根据面面平行的性质定理，可得线线平行，运用平行线段的比例关系，即可求解．
【详解】∵，
∴直线和可确定一个平面，
则平面，平面．
又，∴；
当点位于平面，同侧时，如图（1），
则，∴，∴．
当点位于平面，之间时，如图（2），
则，，
∴，∴．
故或．
故选：AD．
10．（23-24高一下·广东广州·期中）如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（ ）
A．ED与NF所成的角为 B．平面AFB
C． D．平面平面NCF
【答案】ABD
【分析】将展开图还原成正方体，根据异面直线所成角、线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.
【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图：
由，得四边形为平行四边形，则，
同理，，
对于A，是异面直线ED与NF所成的角或其补角，而，则，A正确；
对于B，由， 平面ABFE，平面ABFE，得平面AFB，B正确；
对于C，，而，因此，C错误；
对于D，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF，
则平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE，
所以平面平面NCF，D正确.
故选：ABD
11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（ ）
A．EG与为异面直线 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．平面平面EFG
【答案】ABD
【分析】利用异面直线的定义容易判断A项；对于B,C两项，只需按一定顺序去数即得；对于D项，需要运用线面平行推理得到面面平行即可.
【详解】对于A项，因平面，平面且, 平面,故EG与为异面直线,故A项正确；
对于B项，组成几何体的棱有；；共13条棱，故B项正确；
对于C项，几何体的顶点有共8个，故C项错误；
对于D项，如图，取中点，连接,
因,则是的中点，
又分别为所在棱的中点，故得,
因,则得,故,
则,又平面,而平面,故平面；
易证,且,故得,则,
故,又平面,而平面,故平面；
又,故得平面平面,故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查空间想象能力和面面平行的判定方法，属于较难题.
解题的思路即是，要充分理解和把握异面直线的定义，同时在统计顶点数和棱的条数时，应按照一定的顺序进行，才能不重不漏，至于面面平行的判断，只需按照判定定理，在一个平面内寻找两条相交且与另一个平面平行的直线即得.
三、填空题
12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且 平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为 ．
【答案】/
【分析】利用截面 平面，判断出动点的轨迹在三角形及其内部，即求的面积即可得到结果.
【详解】因为平面 平面，
所以点是该正方体表面及其内部的一动点，且 平面，
所以点的轨迹是三角形及其内部，
所以的面积为.
故答案为：．
13．（23-24高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则
【答案】
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案.
【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得，
在线段PE取点G，使得，由，得，
连接BG，FG，则，由平面，平面，
得平面，而平面，，平面，
因此平面平面，又平面平面，平面平面，则，
所以.
故答案为：
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作辅助线，证明平面平面，说明线段AM即为动点P的轨迹，由此求得AM的长，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：
连接，则，
又平面，平面，故平面，
设为BC的中点，连接，
由于F分别是棱的中点，故，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又平面，
故平面平面，
由于平面BEF，故平面，
又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面，
故AM即为动点P的轨迹，
而，故AP的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一下·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，平面，即可得到平面平面，从而得证；
（2）首先证明平面，根据线面平行的性质得到，即，从而得证.
【详解】（1）取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
因为底面是菱形，即，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面；
（2）因为过点，，的平面与棱交于点，
又，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，
所以，所以，
所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点．
16．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)为中点，证明见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例和线面平行的判定定理可证得平行于平面，由面面平行的判定可证得结论；
（2）当为中点时，取中点，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行性质可得结论.
【详解】（1），，
四边形为平行四边形，，，
平面，平面，平面；
，，
平面，平面，平面；
，平面，平面平面.
（2）当为中点时，平面，
证明如下：设，取中点，连接，
四边形为平行四边形，为中点，
为中点，，为中点，，
平面，平面，平面；
分别为中点，，
平面，平面，平面，
，平面，平面平面，
平面，平面.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，正方体中，M，N，E，F分别是，，，的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)求证：平面平面EFDB；
(3)画出平面BNF与正方体侧面的交线需要有必要的作图说明、保留作图痕迹，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）要证，，，四点共面，只需证明；
（2）只需证明平面，平面即可；
（3）因为平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知，过作的平行线即可.
【详解】（1）因为分别是，的中点，
所以为的中位线，所以 ，
又四边形是矩形，所以 ，
所以 ，故，，，四点共面；
（2）由已知，为的中位线，所以 ，所以 ，
又平面，平面，所以平面，
同理 ，且，所以四边形为平行四边形，
所以 ，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面．
（3）由过作的平行线交分别于，
则连接分别交于，连接，如图，
由 ，则平面，平面，
设平面平面，
由线面平行的性质定理知 ，
所以过作的平行线交分别于，
连接分别交于，连接，
即可得到平面与正方体侧面的交线．
18．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为侧棱的中点，求证：平面；
(3)设平面平面，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）设，再证明即可；
（2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可；
（3）根据线面平行的判定与性质证明即可.
【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故，
又为侧棱的中点，故.
又平面，平面，故平面.
（2）若为侧棱的中点，，则，
又平面，平面，故平面.
又，平面，平面，故平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.
（3）因为，平面，平面，故平面.
又平面平面，平面，故
19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在为线段中点，证明见解析
(3)
【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论；
（2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论；
（3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可.
【详解】（1）取线段的中点，连接，
因为分别为线段的中点，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）当为线段中点时，平面，
证明：取线段中点，连接
因为分别为线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
则面面，又面，
所以面，
所以当为线段中点时，平面；
（3）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.4.2平面与平面平行
课程标准 学习目标
1、重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理以及应用 2、难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理与性质定理，达到直观想象、逻辑推理核心素养水平二的要求 2.能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述平面与平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的表达能力
知识点01 两个平面的位置关系
位置关系 公共点 图形语言 符号语言
相交 有无数个共同点 α∩β＝l
平行 没有公共点 α∥β
【即学即练1】（多选）（21-22高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
知识点02 平面与平面平行的判定定理
文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
图形语言
符号语言 ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P， a α，b α，∴α∥β
【即学即练2】（20-21高一下·湖南张家界·期中）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对
知识点03 平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
图形语言
符号语言 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
性质定理推论：如果两个平面平行，其中一个平面内的__任一直线 __平行于另一个平面．
符号表示：__α∥β，a α ____ a∥β.
【即学即练3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 .
【题型一：面面平行的概念辨析】
例1.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，则
变式1-1.（23-24高一下·重庆·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，
B．，，且
C．，，
D．，，，
变式1-2.（23-24高一下·浙江宁波·期中）为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则或与异面
变式1-3.（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【方法技巧与总结】
解决平行关系基本问题的三个注意点
（1）判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理要求线在面外
（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判别，
（3）会举反例或用反证法探测结论是否正确.
【题型二：面面平行的证明】
例2.（23-24高一下·河北·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
变式2-1.（23-24高一下·天津南开·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点.
(1)求证：平面；
(2)若为中点，求证平面平面.
变式2-2.（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）.
(1)求证：；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG.
变式2-3.（22-23高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
【方法技巧与总结】
证明两个平面平行的方法
证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证明线面平行时，可利用面面平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直找分别平行即可.
【题型三：面面平行证明线线平行】
例3.（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．
变式3-1.（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：
(1)；
(2)N为AC的中点．
变式3-2.（22-23高一下·河北承德·阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.
(1)求证：四点共面；
(2)若平面∥平面，求证：为的中点.
变式3-3.（2023高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
【方法技巧与总结】
由两个平面平行的性质定理可以得到两个平面平行的其他性质：
两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面；
经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行；
（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
（5）平行于同一平面的两个平面平行（面面平行的传递性）.
【题型四：面面平行证明线面平行】
例4.（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方体中，，分别是，的中点.
(1)求异面直线与所成角；
(2)求证：平面
变式4-1.（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；
变式4-2.（2024高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
变式4-3.（2023高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，，．点E，F分别在AB，CD上，点分别在上，且，．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．
(1)求证：平面；
(2)求证：与BC是异面直线；
【题型五：动点探索问题】
例5.（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为．
(1)要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积；
(2)证明：面；
变式5-1.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，，，平面．
(1)证明：．
(2)点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明．
变式5-2.（21-22高一上·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
变式5-3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论.
【题型六：面面平行判定的应用】
例6.（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-1. （2018高一上·全国·专题练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-2. （2023·新疆·一模）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．与异面
C．平面
D．平面平面
变式6-3.（18-19高一下·北京西城·期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【题型七：面面平行性质的应用】
例7．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
变式7-2．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
变式7-3．（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
一、单选题
1．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·重庆·期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）．
A．截面与截面 B．截面与截面
C．截面与截面 D．截面与截面
6．（22-23高一下·河北张家口·期末）在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，，F四点共面 B．直线平面
C．平面平面 D．直线EF和HG所成角的正切值为
8．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面平面，是、外一点，过点的直线与、分别交于点、，过点的直线与、分别交于点、，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·广东广州·期中）如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（ ）
A．ED与NF所成的角为 B．平面AFB
C． D．平面平面NCF
11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（ ）
A．EG与为异面直线 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．平面平面EFG
三、填空题
12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且 平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为 ．
13．（23-24高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点.
16．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，正方体中，M，N，E，F分别是，，，的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)求证：平面平面EFDB；
(3)画出平面BNF与正方体侧面的交线需要有必要的作图说明、保留作图痕迹，并说明理由．
18．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为侧棱的中点，求证：平面；
(3)设平面平面，求证：.
19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
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