6.5.2平面与平面垂直
课程标准 学习目标
1、借助长方体,通过直观感知,了解平面与平面垂 直的关系,并归纳出面面乖直的判定与性质定理、 2、能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空 间基本图形位置关系的命题.。 1、能够了解用数学语言表达的面面垂直的判定与性质定理. 2、了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系. 3、掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.
知识点01 二面角
1、二面角的概念
概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
图示及记法 棱为l，而分别为α和β的二而角记为α-l-β.如图所示. 也可以在a和β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二而角记作P-l-Q
2、二面角的平面角
定义 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
图示
范围 0°≤∠AOB≤180°
规定 ①二面角的大小用它的平面角_的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中， 不大于90°的角的大小.
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为 ．
知识点02 平面与平面垂直的判定定理
1、平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2、平面与平面垂直的判定定理（简称面面垂直的判定定理）：
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
【即学即练2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面平面;
知识点03 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证：
(1)⊥平面；
(2).
【题型一：面面垂直的概念辨析】
例1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若 ，则
变式1-1.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式1-3.(多选)（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【方法技巧与总结】
理解面面垂直的判定定理注意以下几点：
（1）定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”.
（2）两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
（3）要证 a⊥β，可证α经过β的某一条垂线，也可证明β经过α的某一条垂线．
【题型二：面面垂直的判定定理】
例2．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．
变式2-1.（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面；
变式2-2．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，求证：平面平面.
变式2-3．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面.
【方法技巧与总结】
证明平面与平面垂直
证明面面垂直的方法：
（1）证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°；
（2）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.
2.利用判定定理证明两个平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图形中不存在这样的垂线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.
【题型三：面面垂直证明线面垂直】
例3．（2022高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．
变式3-1．（22-23高三上·河南·期末）在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若为的中点，求点到平面的距离.
变式3-2．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：⊥平面.
(2)若，平面平面，求点到平面的距离.
变式3-3．（2023高二上·山西·学业考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
对面面垂直的性质定理的理解
①定理成立的条件有两个：a.直线在其中一个平面内；b.直线与两平面的交线垂直
②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
③处理面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直.
【题型四：面面垂直证明线线垂直】
例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足．
(1)求证：；
(2)如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角的正切值．
变式4-1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱上，且CF＝1.求证：.
变式4-2．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求异面直线与所成的角的大小.
变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证：
(1)⊥平面；
(2).
【题型五：动点探索问题】
例5．（22-23高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
变式5-1．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.
变式5-2．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面 说明理由．
变式5-3．（2023高一·全国·专题练习）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【题型六：面面垂直的应用】
例6.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式6-1.（2024·四川广安·二模）如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
变式6-2.（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（ ）对平面与平面垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6-3.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为，则该六棱锥的高和底面边长之比为（ ）
A． B． C． D．
【题型七：二面角问题】
例7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
变式7-1．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
变式7-2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面侧面，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成的角的余弦值．
变式7-3．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图1，在梯形中，，，，.现将梯形沿对角线折成直二面角，如图2.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.
一、单选题
1．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
2．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．与可能垂直
B．在平面内的射影可能是
C．与不可能垂直
D．平面与平面不可能垂直
4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·北京平谷·模拟预测）一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（ ）
A．平面⊥平面
B．平面⊥平面
C．平面⊥平面
D．平面⊥平面
8．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
10．（23-24高一下·河南·期中）已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，平面与线段AD的交点为N，则（ ）
A．平面平面 B．不存在点，使得直线平面
C．直线，，交与同一点 D．的最小值为
11．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）
A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为
C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 .
13．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕折成四面体．当四面体中满足平面平面时，则
（1）；
（2）平面平面；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是 （填写你认为正确的结论序号）．
14．（22-23高一下·重庆·期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江西景德镇·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小．
16．（23-24高一下·安徽六安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值.
17．（23-24高一下·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正切值．
18．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.
(1)若点是的中点，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.5.2平面与平面垂直
课程标准 学习目标
1、借助长方体,通过直观感知,了解平面与平面垂 直的关系,并归纳出面面乖直的判定与性质定理、 2、能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空 间基本图形位置关系的命题.。 1、能够了解用数学语言表达的面面垂直的判定与性质定理. 2、了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系. 3、掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.
知识点01 二面角
1、二面角的概念
概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
图示及记法 棱为l，而分别为α和β的二而角记为α-l-β.如图所示. 也可以在a和β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二而角记作P-l-Q
2、二面角的平面角
定义 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
图示
范围 0°≤∠AOB≤180°
规定 ①二面角的大小用它的平面角_的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中， 不大于90°的角的大小.
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为 ．
【答案】/
【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可.
【详解】
如图，取中点，连接，
因为为正方体，所以，，
因为为中点，所以，，
因为平面平面，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
，，，
，所以二面角的正弦值为.
故答案为：.
知识点02 平面与平面垂直的判定定理
1、平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2、平面与平面垂直的判定定理（简称面面垂直的判定定理）：
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
【即学即练2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面平面;
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.
（2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
【详解】（1）
取中点，连接，由为的中点，为的中点，
所以，
又，
则，因此四边形为平行四边形，
于是，
而平面，平面，
所以平面；
（2）
过作于点，连接，
由，得≌，
则，即，
因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形，
所以，
从而，
所以，
又因为，平面，平面，
则平面，
又因为平面，
所以平面平面.
知识点03 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证：
(1)⊥平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可.
【详解】（1）如图，连接，
∵四边形是菱形且，
∴△是正三角形，∵G为的中点，∴.
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可知，
∵△为正三角形，为的中点，
∴，又平面，
∴平面，
又平面，∴.
【题型一：面面垂直的概念辨析】
例1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据空间直线与平面位置关系结合线面平行的判定定理、性质定理及面面垂直的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意也有可能，若要 ，则需，故A错误；
对于B，若 ，则与没有交点，与没有交点，因为，
则与关系不能确定，故与可能相交、异面也可能平行，故B错误；
对于C，如图：在正方体中，
若平面为平面，平面为平面，为，为，则，
故C错误；
对于，因为 ，所以，又 ，记且，
则 ，所以，所以，故D正确.
故选：D
变式1-1.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断.
【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确；
对于B，或，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
故选：B.
变式1-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥α，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.
【详解】由a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，
在A中， ，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；
在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；
在C中，由可知，由线面垂直的性质可知，故C正确；
在D中，，因为b的方向不确定，可得a与b可以成任意角，故D错误．
故选：C.
变式1-3.(多选)（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【答案】BD
【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分别去判断各个选项.
【详解】对于A，若，，则与可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，根据面面平行的判定定理，只有当与是平面内的两条相交直线时，方可确定，故C错误；
对于D，，，或，又，，故D正确.
故选：BD.
【方法技巧与总结】
理解面面垂直的判定定理注意以下几点：
（1）定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”.
（2）两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
（3）要证 a⊥β，可证α经过β的某一条垂线，也可证明β经过α的某一条垂线．
【题型二：面面垂直的判定定理】
例2．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】
取的中点，连接，求出，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是等边三角形，为的中点，所以，
因为，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，所以，
又因为，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
变式2-1.（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面；
【答案】证明见解析
【分析】
根据正方形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】连接，与相交于点，连接，
四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点，
，则，
平面，，平面，
又因为平面，所以平面平面.
变式2-2．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面；
（2）只需证明平面，即可证明平面平面.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
∵是菱形的对角线，的交点，
∴，且，
又∵，且，
∴，且，
从而为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）证明：连接，
∵四边形为菱形，∴，
∵，是的中点，∴，
又，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面.
变式2-3．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，的中点，得到，易知，，得到平面，，再结合，得到平面，从而得到平面平面.
【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，
则.
，是的中点，
，即.
.
，.
在四边形中，，
又，平面，
平面，
平面，.
且，
∴直线必与直线相交，且平面.
又，，
平面.
又平面，
∴平面平面.
【方法技巧与总结】
证明平面与平面垂直
证明面面垂直的方法：
（1）证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°；
（2）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.
2.利用判定定理证明两个平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图形中不存在这样的垂线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.
【题型三：面面垂直证明线面垂直】
例3．（2022高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；理由见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质知平面，故，再由得平面；
（2）取F为的中点，G为的中点，可证四边形是平行四边形，由线面平行判断可证∥平面.
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
与相交，平面，
平面．
（2）当F为的中点时，平面．理由如下：
取F为的中点，G为的中点，连接，
则，且．
∵底面为菱形，且E为的中点，
，且．
，且．
∴四边形是平行四边形，．
平面平面平面．
变式3-1．（22-23高三上·河南·期末）在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若为的中点，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先由已知条件判断四边形为矩形，即，进而得在折起后，，，再由面面垂直的性质定理可得平面，可判断，利用，可判断，从而利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接，MN，FN，得平面，利用余弦定理得，即，从而利用即可求解.
【详解】（1）
证明：因为，，所以四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，得，
在折起后，，，
因为平面平面，平面平面，平面,
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，，
因为点在线段上，且满足，点为的中点，
所以，，
,
因为，
所以，即.
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）
取的中点，连接，MN，FN，
则，所以平面，为三棱锥的高，
，，
又，，，
所以，，
所以，，
所以，
设点到平面的距离为，
由得，解得，
即点到平面的距离为.
变式3-2．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：⊥平面.
(2)若，平面平面，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直；
（2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）因为，为的中点，
所以，
又因为平面，
所以⊥平面.
（2）因为平面平面，且平面平面 ，平面，
所以平面，
因为，所以均为等边三角形，
故，故，
所以，
因为平面，平面，
所以 ，由勾股定理得，
取的中点，连接，
在中，，故⊥，
故，，
设点到平面的距离为，所以，解得.
变式3-3．（2023高二上·山西·学业考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）确定，，根据面面垂直得到平面，得到，得到证明.
（2）设的中点分别为，确定平面，计算，根据得到，得到答案.
【详解】（1）
是正三角形，是中点，所以，
因为是正方形，所以，
又因为侧面底面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）
设的中点分别为，根据对称性知，故，
设，则，
因为侧面底面，平面平面侧面，
所以平面，
在中，因为，所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，
因为，所以，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【方法技巧与总结】
对面面垂直的性质定理的理解
①定理成立的条件有两个：a.直线在其中一个平面内；b.直线与两平面的交线垂直
②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
③处理面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直.
【题型四：面面垂直证明线线垂直】
例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足．
(1)求证：；
(2)如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用平面得到线线垂直，再结合另一组线线垂直证明线面垂直即可.
（2）结合给定的体积比，运用几何法求解线面角即可.
【详解】（1）根据圆柱性质，平面．
平面，∴DA⊥EB．
是圆柱底面的直径，点在圆周上，
，又，平面，
故得平面．
平面，．
又，且，平面，
故平面．
平面，
．
（2）
过点作，是垂足，连接．
根据圆柱性质，平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
又平面，所以是在平面上的射影，
从而是与平面所成的角．
设圆柱的底面半径为，则，于是
，．
由，得，可知是圆柱底面的圆心，
则
，
变式4-1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱上，且CF＝1.求证：.
【答案】证明见解析
【分析】过点E作于点N，连接，通过证明平面，即可求解.
【详解】证明：过点E作于点N，连接，如图，
由正三棱柱的性质可知，平面平面，
因为平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为E为等边的边的中点，
所以，
在中，，
则，所以，
又在正方形中，，
故，
因为平面，
所以平面，而平面，
所以.
变式4-2．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求异面直线与所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
（2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角.
【详解】（1）在三棱锥中，由为的中点，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）分别取的中点，连接，于是，
则是异面直线与所成的角或其补角，
由（1）知，，又，，
则，于是，
令，则，又，
则有，
，又平面，平面，
则，，，
由分别为的中点，得，
显然，即有，，则，
所以异面直线与所成的角的大小.
变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证：
(1)⊥平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可.
【详解】（1）如图，连接，
∵四边形是菱形且，
∴△是正三角形，∵G为的中点，∴.
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可知，
∵△为正三角形，为的中点，
∴，又平面，
∴平面，
又平面，∴.
【题型五：动点探索问题】
例5．（22-23高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
变式5-1．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，当为中点时面面，证明见解析
【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得证；
（2）当为中点时，面面，首先证明，由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证.
【详解】（1），为的中点．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
（2）存在点，当为中点时，面面；
证明如下：
四边形是正方形，为的中点，则，
所以，又，所以
，
由（1）知，平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，
平面平面．
变式5-2．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面 说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）取中点，连接，易证为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）由，利用线面平行的判定定理得到面，从而得到到面的距离为，再由菱形，求得，然后利用三棱锥的体积公式求解；
（3）由三角形为等边三角形，点为棱的中点，，由面面，得到面，从而面，然后利用面面垂直的判定定理证明.
【详解】（1）证明：取中点，连接．
菱形为中点，
且，
且，
，
为平行四边形，，
面面，
平面；
（2）面面，
面，
到面的距离为，
菱形对角线，
，
三棱锥的体积；
（3）在棱上存在一点，使得平面平面，且点为棱的中点．
证明：三角形为等边三角形，点为棱的中点，
，
面面，面面，面，
面，又面，
所以，
又，面，面，
面，
平面，
平面平面.
变式5-3．（2023高一·全国·专题练习）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【答案】存在；证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理可证平面，进而可得结果.
【详解】存在，当M为的中点时，平面平面，证明如下：
取AD的中点M，连接，
因为是等边三角形，可得，
由平面平面，平面，平面平面，
平面，且平面，
所以平面平面.
．
【题型六：面面垂直的应用】
例6.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的高的范围即可.
【详解】如图，连接，过作，垂足为．
在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，异面直线间垂线段最短
故．
过作于点，连接，易得平面，
则，又，所以．
因为，，，，
所以，则．
当与重合时，，；
当与重合时，由，，,得平面，
所以，所以，．
所以的面积的取值范围为，
故选：B
变式6-1.（2024·四川广安·二模）如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】利用线面平行的判定判断①；利用面面垂直的判定推理判断②；举例说明判断③.
【详解】菱形的对角线与交于点，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，而平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，
从逐渐减小到（不包含和），当时，，
平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B
变式6-2.（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（ ）对平面与平面垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据面面垂直的判定定理进行证明判断．
【详解】由⊥平面，平面，
∴平面⊥平面，同理，平面⊥平面.
由⊥平面，平面，得，
又，且，∴平面，
由平面，从而平面⊥平面，故图中相互垂直的平面有3对．
故选：C．
变式6-3.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为，则该六棱锥的高和底面边长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图正六棱锥中，取的中点，则为侧面和底面的夹角，根据的值可求得的值.
【详解】
如图正六棱锥中，底面中心为，取的中点，连接，
则，所以为侧面和底面的夹角，即
因为底面， 底面，
所以，所以，
又，所以，
所以.
故选：C
【题型七：二面角问题】
例7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面 平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面 平面，平面 平面 ，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
变式7-1．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由 ，得四边形为平行四边形，则，
由 ，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
变式7-2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面侧面，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用菱形的性质、面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算即得.
【详解】（1）在三棱柱中，由，得四边形是菱形，则，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，而平面，则，又，
因此，而平面,
所以平面.
（2）在平面内过点作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则，
在平面内过作于，连接，又平面，
于是平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，
由，得，由，得，，
则，显然，，，
所以平面与平面所成的角的余弦值是.
变式7-3．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图1，在梯形中，，，，.现将梯形沿对角线折成直二面角，如图2.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由勾股定理逆定理证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，利用几何法求出正切值即得.
【详解】（1）在梯形中，由，得，
在中，，
则，有，即，由直二面角，
得平面平面，而平面平面，平面，
于是平面，而平面，则，又平面，
所以平面.
（2）取中点，过作于，连接，
由，得，又，则，
又平面平面，而平面平面，平面，则平面，
而平面，则，又平面，
于是平面，而平面，则，因此是二面角的平面角，
，在中，，
所以二面角的正切值是.
一、单选题
1．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】B
【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.
【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示：
对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：
对于B，若，，则，
又因为，故.
故选：B.
2．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，根据二面角的定义，结合正方体的线面关系判断出待求二面角的平面角即可求解.
【详解】如图，由正方体的性质易知平面，平面，平面，
则，
而平面平面，
则为二面角的平面角，
又因为四边形为正方形，
所以，即二面角的大小是.
故选：B.
3．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．与可能垂直
B．在平面内的射影可能是
C．与不可能垂直
D．平面与平面不可能垂直
【答案】A
【分析】A选项只需满足即可，选项与题干矛盾，C选项与A选项矛盾， D选项只需满足平面即可.
【详解】如图所示：取的中点，连接，
假设，因为为等边三角形，所以，
又因为，所以平面，所以
又因为是中点，所以，只需满足，即可做到，故A正确C错误；
对于B：若在平面内的射影为，则有平面，与题干矛盾，故B错误；
对于D：过点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面，点只需在该直线上，
即满足平面即可达到要求，故D错误.
故选：A
4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求的余弦值，需求,故要构造，分别求，易得可通过余弦定理求得即可.
【详解】
如图，连接,则,过点作,垂足为，连接.
因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，
又平面,则.设正方形的边长为4，则,
在中，由余弦定理可得： ,
在中，,又,
设,在中，由余弦定理：.
故选：C.
5．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】依题意平面，平面，
所以，，
所以为平面与底面所成角的平面角，
设正方体的棱长为，则，，
又，所以，
即平面与底面所成角的正切值为.
故选：B
6．（2024·北京平谷·模拟预测）一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高及底面边心距即可计算得解.
【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为，则底面正方形边心距为，
于是正四棱锥的高为，
所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为.
故选：B
7．（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（ ）
A．平面⊥平面
B．平面⊥平面
C．平面⊥平面
D．平面⊥平面
【答案】C
【分析】
由面面垂直的判定定理判断．
【详解】在空间四边形中，,
又由,且面，平面，平面，
所以平面，
又因为平面,
所以平面⊥平面，
故选：C.
8．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，分析可得点的轨迹，分别计算各段轨迹的长度即可.
【详解】若点P在正方形内，过点P作平面于，连接.
则为直线与平面所成的角，则，
又，则，得，
则点的轨迹为以为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分），
若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段和，
因为点P不可能落在其他三个正方形内，所以点的轨迹如图所示：
故点P的轨迹长度为.
故选：D
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABD
【分析】首先证明平面，即可判断A、B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C、D.
【详解】因为，且，平面，所以平面．
又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确．
如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形，
所以，所以，即，
如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角．
设，则，在中，，为的中点，故．
所以，所以，
所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确．
故选：ABD．
10．（23-24高一下·河南·期中）已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，平面与线段AD的交点为N，则（ ）
A．平面平面 B．不存在点，使得直线平面
C．直线，，交与同一点 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A选项，由面面垂直的证明可得；对于B选项，当位于时，直线平面；对于C选项，确定点，设与的交点为，与的交点为，利用相似比证明两点重合即可；对于D选项，由正方体的展开图，两点之间线段最短可得.
【详解】A选项，
因为面，面，所以，
因为，，所以，
因为，面，所以面，
因为面，所以平面平面，故A正确；
B选项，
当位于时，，因为面，面，所以面，故B错误；
C选项，
在过作，交于点即为平面与线段AD的交点，
因为 ，所以，
设与的交点为，如图
因为，所以，
设与的交点为，如图
因为，所以，
因为，所以，所以两点重合，即直线，，交与同一点，故C正确；
D选项，将平面和平面展开，得到
当三点共线时，最小，
所以，故D正确；
故选：ACD.
11．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）
A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为
C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为
【答案】ABD
【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系能求出截面多边形的周长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点，即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面所成角．
【详解】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，
对A,连，延长交直线，的延长线于点，，
连交于，连交于，
连，得到截面五边形，
由，为中点，则，，，
同理，又，，
因此周长为，故B正确．
对B,易知，，，，
又，
故，
截面多边形的面积为，故B正确；
对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，
这个五边形没有外接圆，故C错误；
对D,，，，
，，，
根据二面角的定义得是截面与底面所成角，
，，
根据余弦定理得，，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛:本题考查正方体的截面问题，关键是利用平面延展确定平面形状，并结合对称性确定跟各棱的交点位置并计算.
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 .
【答案】垂直
【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解.
【详解】因为是的中点，
所以由等腰三角形三线合一可知，
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
故答案为：垂直.
13．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕折成四面体．当四面体中满足平面平面时，则
（1）；
（2）平面平面；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是 （填写你认为正确的结论序号）．
【答案】（1）（2）
【分析】通过面面垂直的性质可判断（1），通过证明面可判断（2），通过证明可判断（3）.
【详解】AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，则，
又平移后平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，（1）正确；
由已知，且面，
所以面，又面，
所以平面平面，（2）正确；
由平面，且平面，
所以，
所以，由，
所以，
所以为等边三角形，（3）错误.
故答案为：（1）（2）.
14．（22-23高一下·重庆·期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．
【答案】.
【分析】综合应用立体几何中线线垂直、线面垂直、点到平面距离、二面角等知识即可解决问题.
【详解】设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得， ，所以，
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·江西景德镇·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】（1）连接，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）由（1）可知，平面，进而可得是二面角的平面角．解即可得到二面角的大小．
【详解】（1）如图，连接，由是菱形且知，△BCD是等边三角形．
因为 是的中点，所以,
因为，所以 ．
因为 平面，所以 ．
因为 , 平面,
所以平面．
又平面，所以 平面平面．
（2）由（1）可知 平面，所以，
又，所以 为二面角的平面角,
在中，，，，所以．
所以 二面角的平面角为．
16．（23-24高一下·安徽六安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直；
（3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可.
【详解】（1）
证明：如图取的中点，连接、.为的中点，
且，
由平面，平面，
，.
又，，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：为等边三角形，为的中点，
.平面，平面，，
，所以，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面.
（3）
如图：在平面内，过作于点，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面.为和平面所成的角，
因为，，
则，，
在中，，
直线和平面所成角的正弦值为.
17．（23-24高一下·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面；
（2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果.
【详解】（1）证明：由条件有，
且平面，，
平面，又平面，；
又，是的中点，；
又平面，，
平面，平面，．
由已知，且平面，，
平面．又平面，
平面平面．
（2）取中点，则，作于，连结．
底面，底面．
为在平面内的射影，
，，
为二面角的平面角．
设，
在中，，，
；
二面角的正切值为．
.
18．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.
(1)若点是的中点，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
(2)存在，
【详解】（1）
（ⅰ）设矩形的中心为，则是的中点，而是的中点，所以.
而是矩形的中心，故也是的中点，所以在平面内，又因为不在平面内，所以平面；
（ii）由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.
所以直线与平面所成角的正弦值等于.
下面证明一个结论：在中，若的长分别为，则边上的中线长为.
证明：设为的中点，，则由余弦定理，结合得
.
所以，即，故.
回到原题.
由于平面，而在平面内，故，.
从而，这得到，.
而，故根据之前证明的结论，我们有，，从而.
这表明，所以直线与平面所成角的正弦值等于.
（2）在平面内过作，交于，在平面内过作，交于.
由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面. 而在平面内，故.
又因为，在平面内交于，故平面.
由平面，在平面内，知.
由，，且在上，知二面角等于.
从而条件即为，即，即.
设，则，故，.
同时，.
故条件即为，即.
解得，所以.
综上，存在满足条件的点，.
19．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
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