6.1基本立体图形
课程标准 学习目标
能够正确识别和命名常见的立体图形。 能够熟练应用立体图形的公式和计算方法。 能够进行简单的立体图形拼合和拆解。 1、认知立体图形的基本概念和种类，如三棱柱、四棱锥、圆柱、圆台等。 2、掌握立体图形的公式和计算方法，并能够在实际问题中应用。 3、培养对立体图形的观察力和空间想象力。
知识点01 构成几何体的基本元素
1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.
2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.
3、点、线、面的表示
如图所示的长方体可以表示为长方体 ，它共有8
个顶点，可表示为，12条棱可以表示为
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
个面可以表示为平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即学即练1】（22-23高一下·全国·课后作业）空间中构成几何体的基本元素是 .
【答案】点、线、面
【分析】根据空间几何体的结构特质，即可求解.
【详解】根据空间几何体的结构特征知，构成几何体的基本元素为点、线、面.
故答案为：点、线、面.
知识点02 棱柱
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
2、图示及表示：记作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1
3、相关概念
（1）底面：有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，
（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
（5）高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）.
（6）侧面积：棱柱所有侧面的面积之和.
4、棱柱的图形及名称
底面：如图中的多边形 ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1，
侧面：如图中的四边形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，
侧棱：如图中的线段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等，
顶点：如图中的点A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
【答案】B
【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确.
【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；
B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；
C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；
D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．
故选：B.
知识点03 棱锥
1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
2、图形及表示：可记作：棱锥S-ABCD或者S-AC
3、相关概念
（1）底面：这个多边形面叫做棱锥的底面;
（2）侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
（4）顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
（5）棱锥的高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）.
（6）棱锥的侧面积：棱锥所有侧面的面积之和．
注意：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图.棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点.
4、棱锥的分类：
按照棱锥底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥，四棱锥，五棱锥………
5、正棱锥：
⑴定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．
⑵斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
⑶特征：侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.
注意：底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥，正四棱锥……….
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
【答案】D
【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；
对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误；
对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误；
对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确.
故选：D.
知识点04 棱台
1、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
2、图形及表示：可记作：棱台A’B’C’D’-ABCD
3、相关概念
（1）底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;
（2）侧面：其他各面叫做棱台的侧面;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.
（5）棱台的高:过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）.
（6）棱台的侧面积:棱台所有侧面的面积之和．
4、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
5、正棱台
（1）定义：由正棱锥截得的棱台.
（2）高：上下两底面中心的连线.
（3）斜高：侧面等腰梯形的高.
（4）特征：侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.
【即学即练4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】BCD
【分析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案.
【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
故选：BCD
知识点05 圆柱
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱
2、图示：
3、相关概念：
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①两个底面互相平行，
②有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练5】（23-24高二下·江西抚州·期中）中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比值关系即可求解.
【详解】柱头直径为．
故选：B．
知识点06 圆锥
1、定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
2、图示：
3、相关概念：
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
锥体：棱锥和圆锥统称锥体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①底面是圆面，
②有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆，
③轴截面是全等的等腰三角形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练6】（23-24高三上·四川·期末）若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】圆锥的高和底面半径与母线长，满足勾股定理，再由底面的周长等于母线长，列方程求圆锥的高.
【详解】设该圆锥的高为，依题意有，则，
解得.
故选：A
知识点07 圆台
1、定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台
2、图示：
3、相关概念：
轴：圆锥的轴；
底面：圆锥的底面和截面；
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；
台体：棱台和圆台统称为台体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点，
②平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆，
③轴截面是全等的等腰梯形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练7】（2024高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
【答案】12
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为，
则圆台的下底面的半径为，
作出圆锥的轴截面如图，则，
所以，即．
解得，即圆锥的母线长为12．
故答案为：.
知识点08 球
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
2、图示：
3、相关概念：
（1）球面
定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面.
定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球心：形成球面的半圆的圆心；
半径：连接球面上一点和球心的线段.
直径：连接球面上两点并且通过球心的线段.
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆.
（6）小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆.
【即学即练8】（23-24高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
【答案】D
【分析】
根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断.
【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；
对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；
对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；
对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意．
故选：D．
【题型一：棱柱的结构特征】
例1．（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】利用棱柱的结构特征和充分，必要条件的定义进行求解
【详解】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；
若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性；
故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件，
故选:.
变式1-1．（2023·高一单元测试）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（ ）
A．该几何体的侧面是平行四边形
B．该几何体有七个面
C．该几何体恰有十二条棱
D．该几何体恰有十个顶点
【答案】C
【分析】根据棱柱的定义及性质判断即可.
【详解】解：根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确；
该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B、D正确，C错误；
故选：C
变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）设{正四棱柱}，{直四棱柱}，{长方体}，{正方体}，则它们之间的关系是______.
【答案】
【分析】根据题意，由正四棱柱，直四棱柱，长方体以及正方体的定义即可得到结果.
【详解】直四棱柱是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱；长方体是底面为矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱；正方体是侧棱长与底面长相等的正四棱柱；
综上，可得
故答案为:
变式1-3．（2021·高二课时练习）记A为所有多面体组成的集合，B为所有棱柱组成的集合，C为所有直棱柱组成的集合，D为所有正棱柱组成的集合，写出集合A，B，C，D之间的关系.
【答案】
【分析】根据多面体、棱柱、直棱柱、正棱柱的定义，分析即得解
【详解】由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体；
上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；
侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱；
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；
由多面体、棱柱、直棱柱、正棱柱的定义可知：
【方法技巧与总结】
棱柱特征：
两底面互相平行且全等;
各侧面都是平行四边形;
各侧棱互相平行且相等.
【题型二：棱锥的结构特征】
例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面.
【答案】几何体是三棱台.面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面
【解析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面．
【详解】分别是的中点，且，，，
.
，且延长后交于一点.
又面与面平行，
∴几何体是三棱台.
其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面.
【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题．
变式2-1．（多选）（2022·全国·高一假期作业）在正棱锥中，侧面可为正三角形的是（ ）
A．正四棱锥 B．正五棱锥 C．正六棱锥 D．正八棱锥
【答案】AB
【分析】根据正棱锥底面多边形的特点，假设侧面都是正三角形，分别求出底面外接圆的半径，再求出相应的棱锥的高，即可判断是否成立.
【详解】对于A正四棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a,
则底面外接圆半径为，高为，
满足要求，所以A正确；
对于B正五棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，
设底边长为a，底面正五边形每个内角为，
则底面外接圆半径为，
高为，满足要求，所以B正确；
对于C正六棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，
底面正六边形每个内角为，则底面外接圆半径为a，
高为，不满足条件，所以C不正确；
对于D正八棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为a，
底面正八边形每个内角为，则底面外接圆半径为，
高为
不满足条件，所以D不正确
故选：AB
变式2-2．（2023春·全国·高一专题练习）将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）
①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体
A．3种 B．4种 C．5种 D．以上均不正确
【答案】B
【分析】可能出现①③⑤⑦这四种情况．
【详解】
如图，平面截正方体，可得到四面体；
如图，平面截正方体，可得到四棱柱；
如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体.
故选：B.
个，故选A.
变式2-3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
【答案】B
【分析】对于A：举反例：有一条侧棱和底面垂直的棱锥，否定结论；对于B：直接证明即可；
对于C：举反例：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台，否定结论；对于D：由棱锥的定义，直接判断.
【详解】对于A：底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,比如：有一条侧棱和底面垂直的棱锥.故A错误；
对于B：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故B正确；
对于C：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故C错误；
对于D：由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故D错误.
故选：B
【方法技巧与总结】
棱锥的结构特征：
1.仅有一个底面且是多边形（三角形、四边形……）
2.侧面都是三角形
3.各侧面有且只有一个公共顶点。
【题型三：棱台的结构特征】
例3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的有（ ）
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】利用棱锥的定义和性质，结合图形即可得到答案.
【详解】解析
①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点.
③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示：
三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面BCD为等边三角形．三个侧面ABD，
ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等．
④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥.
故选：A.
变式3-1．（2023·高一课时练习）对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
【答案】D
【分析】由棱柱、棱锥、棱台的定义判断
【详解】根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．
故选：D
变式3-2．（2023·高一课时练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
【答案】C
【分析】利用棱台的定义判断（1），利用多面体的定义判断（2），利用正六棱锥的定义判断（3），利用正三棱锥的定义判断（4）
【详解】（1）
如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误.
（4）错误 . 不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有. 满足底面为等边三角形. 三个侧面 ，， 都是等腰三角形，但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等．
故选：C
变式3-3．（2022·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
【答案】③
【分析】根据棱台的定义和性质判定.
【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.
故答案为：③
【方法技巧与总结】
棱台的结构特征
1.上下底面是互相平行且相似的多边形
2.侧面都是梯形
3.各侧棱的延长线交于一点
【题型四：圆柱、圆锥、圆台的几何特征】
例4．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
【答案】B
【分析】
由几何体的结构特征逐项判断即可.
【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确；
用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误；
当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误.
故选：B.
变式4-1．（多选）（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱的母线和它的轴可以不平行
B．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱 两个圆锥
【答案】BD
【分析】根据有关几何体的性质和定义求解.
【详解】对于A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
对于B：圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面，故B正确；
对于C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误；
对于D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边，
以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，
如图②，包括一个圆柱 两个圆锥，正确；
故选：BD.
变式4-2．（2024高三·全国·专题练习）给出下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】⑤
【分析】根据旋转体的定义可逐项判断.
【详解】①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错误；
②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错误；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；
④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，那么得到的不是圆锥和圆台，④错误；
只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．
故答案为：⑤
变式4-3．（19-20高一·全国·课后作业）给出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是 ．
【答案】（1）（2）
【分析】由圆柱的性质判断(1)、(2)、(4)；由圆台的性质判断(3).
【详解】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确；
圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确；
圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误；
当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误．
故答案为：（1）（2）．
【方法技巧与总结】
圆柱、圆锥、圆台的关系
【题型五：球体的几何特征】
例5．（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
【答案】A
【分析】根据球的定义及性质，逐项判断即可.
【详解】解：根据球的定义知A正确；
因为球的直径必过球心，所以B错误；
因为球的任何截面都是圆面，所以C错误；
球常用表示球心的字母表示，故D错误.
故选：A.
变式5-1．（22-23高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台.
【答案】C
【分析】根据球的结构特征即可求解.
【详解】由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆，
圆柱的轴截面可以是矩形，圆锥的轴截面可以是等腰三角形，圆台的轴截面可以是等腰梯形，故ABD错误，C正确.
故选：C.
变式5-2．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一直线上
C．球面上任意两点的连线是球的直径
D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
【答案】D
【分析】利用球的定义判断选项A；利用球面上点的关系判断选项B；利用球的直径的概念即可判断选项C，利用球的几何性质即可判断选项D．
【详解】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故选项A错误；
对于B，球面上不同的三点一定不共线，故选项B错误；
对于C，球面上任意两点连线若过球心则为球的直径，不过球心则不是球的直径，故选项C错误；
对于D，根据球的几何性质可知，球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面，故选项D正确．
故选：D．
变式5-3. （21-22高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项.
【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形
【答案】A
【分析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案．
【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心．
对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确；
对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确；
对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；
故选：A．
2．（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体的特征计算即可.
【详解】
如图所示，大正方体分割为个，各面均没有颜色的小正方体有个，
所以答案为.
故选：B
3．（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项.
【详解】A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A错误；
B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，故B错误；
C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C错误；
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故选：D
4．（23-24高一下·福建·期中）如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（ ）
A．县 B．市 C．联 D．考
【答案】B
【分析】把正方体还原求解.
【详解】解：把正方体还原如下图：
则上面是九，下面是市，左面是县，右面是联，前面是考，后面是区，
故选：B
5．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
【答案】D
【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案.
【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误．
对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误．
对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误．
对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确．
故选：D
6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）下列命题中正确的是（ ）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】对①，根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断；对②③，依次根据圆柱的母线定义和圆台定义即可判断.
【详解】对①，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，
设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，
故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故①错；
根据圆柱的母线定义可知②错；
根据圆台定义：平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与圆锥底面的部分称为圆台，知圆台的两个底面平行，故③正确.
故选：C.
7．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD.
【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误．
故选：D.
8．（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
【答案】D
【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D.
【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误；
对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误；
对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误；
对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
C．棱台的各侧棱延长后必交于一点
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
【答案】AD
【分析】根据棱柱、圆台、棱台的结果特征一一判断即可.
【详解】对于A：因为直四棱柱上下底面平行，侧棱垂直于底面，
但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；
对于B：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故B正确；
对于C：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；
对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误；
故选：AD.
10．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．多面体的每条棱都是一条线段
B．在四棱台中，四点可以不共面
C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
【答案】AD
【分析】根据多面体和棱台的定义及性质判断ABC，根据圆锥的结特征判断D.
【详解】根据棱长的定义可知，故A正确；
根据棱台的性质知四点确定的是对角面，所以四点一定是共面关系，故B错误；
对于四棱锥，底面是正方形，
当侧棱垂直底面时，该四棱锥所截的四棱台的侧棱不相等，故C错误；
圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故D正确.
故选：AD
11．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥 B．直三棱柱
C．三棱台 D．四棱柱
【答案】ABC
【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果.
【详解】如图， 连接，则平面可截得三棱锥，故A正确；
如图，过E作，过F作，
则过的平面可截得直三棱柱，故B正确
如图，延长至P，连接，分别与交于两点，
则可得平面截得三棱台，故C正确；
将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱.
故选：ABC.
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）.
【答案】①②
【分析】根据题意，结合圆柱的定义和球的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①，根据圆柱的结构特征，可得圆柱的底面是圆面，所以①正确；
对于②，根据圆柱的结构特征，可得经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，所以②正确；
对于③，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，所以③不正确；
对于④，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆，所以④不正确.
故答案为：①②
13．（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解.
【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，
棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误；
②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确；
③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确；
④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确；
⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误；
故答案为：②③④.
14．（20-21高一下·全国·课后作业）给出下列说法：
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体．
其中说法正确的是 （填序号）．
【答案】①
【分析】根据圆柱的结构特征判断①③, 根据圆台的结构特征判断②.
【详解】①正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②不正确，圆台的母线延长后必相交于一点；
③不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
故答案为：①
四、解答题
15．（23-24高一下·浙江杭州·期中）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点 棱 面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.
（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.
（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.
【详解】（1）设足球有个正五边形，则有个正六边形，
足球的顶点，棱数，
由欧拉公式得，
解得，即此足球中有个面为正五边形，
所以此足球的棱数.
（2）由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，
又，即，解得，
故个顶点的凸多面体，至多有条棱.
（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，
则此多面体棱数，，即，
由欧拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
综上：棱数可能为.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.
16．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【答案】(1)12cm
(2)cm
【分析】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高.
（2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解.
【详解】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示：
由已知可得上底半径，下底半径，
又腰长， 所以圆台的高为.
（2）如图所示，延长交于点S，
设截得此圆台的圆锥母线长为l，
则由，可得，
解得：，
所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm.
17．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？
(2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
【答案】(1)三棱锥，4个面
(2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，.
【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数，
（2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积.
【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥，
这个几何体共有4个面.
（2）由已知，，，，
所以， ，
所以为等腰三角形，为等腰直角三角形，
和均为直角三角形.
，
，
.
18．（2024高三·全国·专题练习）如图，在一个透明的正三棱柱形状的容器中，盛上一些水，固定这个容器的一边加以倾斜，不断更改倾斜程度，从中尽可能多地找出其中的数量与图形的各种关系，并思考其中的道理．
【答案】答案见解析
【详解】可以得到如下结论：
（1）侧面积是定值；
（2）水面通过定点；
（3）水面的形状是三角形；
（4）两侧的面积相等；
（5）；
（6）水面与桌面平行．
19．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可；
（2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可.
【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四边形和是底面.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.1基本立体图形
课程标准 学习目标
能够正确识别和命名常见的立体图形。 能够熟练应用立体图形的公式和计算方法。 能够进行简单的立体图形拼合和拆解。 1、认知立体图形的基本概念和种类，如三棱柱、四棱锥、圆柱、圆台等。 2、掌握立体图形的公式和计算方法，并能够在实际问题中应用。 3、培养对立体图形的观察力和空间想象力。
知识点01 构成几何体的基本元素
1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.
2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.
3、点、线、面的表示
如图所示的长方体可以表示为长方体 ，它共有8
个顶点，可表示为，12条棱可以表示为
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
个面可以表示为平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即学即练1】（22-23高一下·全国·课后作业）空间中构成几何体的基本元素是 .
知识点02 棱柱
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
2、图示及表示：记作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1
3、相关概念
（1）底面：有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，
（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
（5）高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）.
（6）侧面积：棱柱所有侧面的面积之和.
4、棱柱的图形及名称
底面：如图中的多边形 ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1，
侧面：如图中的四边形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，
侧棱：如图中的线段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等，
顶点：如图中的点A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
知识点03 棱锥
1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
2、图形及表示：可记作：棱锥S-ABCD或者S-AC
3、相关概念
（1）底面：这个多边形面叫做棱锥的底面;
（2）侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
（4）顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
（5）棱锥的高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）.
（6）棱锥的侧面积：棱锥所有侧面的面积之和．
注意：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图.棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点.
4、棱锥的分类：
按照棱锥底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥，四棱锥，五棱锥………
5、正棱锥：
⑴定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．
⑵斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
⑶特征：侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.
注意：底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥，正四棱锥……….
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
知识点04 棱台
1、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
2、图形及表示：可记作：棱台A’B’C’D’-ABCD
3、相关概念
（1）底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;
（2）侧面：其他各面叫做棱台的侧面;
（3）侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.
（5）棱台的高:过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）.
（6）棱台的侧面积:棱台所有侧面的面积之和．
4、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
5、正棱台
（1）定义：由正棱锥截得的棱台.
（2）高：上下两底面中心的连线.
（3）斜高：侧面等腰梯形的高.
（4）特征：侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.
【即学即练4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
知识点05 圆柱
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱
2、图示：
3、相关概念：
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①两个底面互相平行，
②有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练5】（23-24高二下·江西抚州·期中）中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（ ）
A． B． C． D．
知识点06 圆锥
1、定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
2、图示：
3、相关概念：
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
锥体：棱锥和圆锥统称锥体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①底面是圆面，
②有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆，
③轴截面是全等的等腰三角形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练6】（23-24高三上·四川·期末）若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
知识点07 圆台
1、定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台
2、图示：
3、相关概念：
轴：圆锥的轴；
底面：圆锥的底面和截面；
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；
台体：棱台和圆台统称为台体
4、侧面展开图：
5、结构特征：
①上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点，
②平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆，
③轴截面是全等的等腰梯形.
6、轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面.
【即学即练7】（2024高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
知识点08 球
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
2、图示：
3、相关概念：
（1）球面
定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面.
定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球心：形成球面的半圆的圆心；
半径：连接球面上一点和球心的线段.
直径：连接球面上两点并且通过球心的线段.
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆.
（6）小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆.
【即学即练8】（23-24高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
【题型一：棱柱的结构特征】
例1．（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
变式1-1．（2023·高一单元测试）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（ ）
A．该几何体的侧面是平行四边形
B．该几何体有七个面
C．该几何体恰有十二条棱
D．该几何体恰有十个顶点
变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）设{正四棱柱}，{直四棱柱}，{长方体}，{正方体}，则它们之间的关系是______.
变式1-3．（2021·高二课时练习）记A为所有多面体组成的集合，B为所有棱柱组成的集合，C为所有直棱柱组成的集合，D为所有正棱柱组成的集合，写出集合A，B，C，D之间的关系.
【方法技巧与总结】
棱柱特征：
两底面互相平行且全等;
各侧面都是平行四边形;
各侧棱互相平行且相等.
【题型二：棱锥的结构特征】
例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面.
变式2-1．（多选）（2022·全国·高一假期作业）在正棱锥中，侧面可为正三角形的是（ ）
A．正四棱锥 B．正五棱锥 C．正六棱锥 D．正八棱锥
变式2-2．（2023春·全国·高一专题练习）将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）
①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体
A．3种 B．4种 C．5种 D．以上均不正确
变式2-3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
【方法技巧与总结】
棱锥的结构特征：
1.仅有一个底面且是多边形（三角形、四边形……）
2.侧面都是三角形
3.各侧面有且只有一个公共顶点。
【题型三：棱台的结构特征】
例3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的有（ ）
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
变式3-1．（2023·高一课时练习）对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
变式3-2．（2023·高一课时练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
变式3-3．（2022·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
【方法技巧与总结】
棱台的结构特征
1.上下底面是互相平行且相似的多边形
2.侧面都是梯形
3.各侧棱的延长线交于一点
【题型四：圆柱、圆锥、圆台的几何特征】
例4．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
变式4-1．（多选）（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱的母线和它的轴可以不平行
B．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱 两个圆锥
变式4-2．（2024高三·全国·专题练习）给出下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．
其中正确结论的序号是 ．
变式4-3．（19-20高一·全国·课后作业）给出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是 ．
【方法技巧与总结】
圆柱、圆锥、圆台的关系
【题型五：球体的几何特征】
例5．（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
变式5-1．（22-23高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台.
变式5-2．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一直线上
C．球面上任意两点的连线是球的直径
D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
变式5-3. （21-22高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形
2．（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
4．（23-24高一下·福建·期中）如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（ ）
A．县 B．市 C．联 D．考
5．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）下列命题中正确的是（ ）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
7．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
8．（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
二、多选题
9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
C．棱台的各侧棱延长后必交于一点
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
10．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．多面体的每条棱都是一条线段
B．在四棱台中，四点可以不共面
C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
11．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥 B．直三棱柱
C．三棱台 D．四棱柱
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）.
13．（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的序号是 ．
14．（20-21高一下·全国·课后作业）给出下列说法：
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体．
其中说法正确的是 （填序号）．
四、解答题
15．（23-24高一下·浙江杭州·期中）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点 棱 面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
16．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
17．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？
(2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
18．（2024高三·全国·专题练习）如图，在一个透明的正三棱柱形状的容器中，盛上一些水，固定这个容器的一边加以倾斜，不断更改倾斜程度，从中尽可能多地找出其中的数量与图形的各种关系，并思考其中的道理．
19．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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