6.2直观图
课程标准 学习目标
1、了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤 2、会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 1、通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的三视图与直观图，了解空间图形在平面上的不同表现形式; 2、会用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图; 3、会画正棱锥、正棱柱、圆柱的直观图.
知识点 直观图与斜二测画法
1、直观图：立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图.
2、空间图形的直观图的画法：斜二测画法
3、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：
①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；
②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；
③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．
并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．
4、 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x’轴与y’轴）。
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴。过x 轴与y’轴的交点作z轴对应的z’轴，且z’轴垂直于x’轴。
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变。
（3）连接有关线段，擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。
注意：水平放置的圆，其直观图一般用"正等测画法"画成椭圆.
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的性质判断BC的正误，根据特例可判断AD的正误.
【详解】对于B，由于直角在直观图中有的成为，有的成为,
但直观图的平行关系依然保留，故B正确.
对于C，梯形的直观图一定是梯形，故C错误.
对于D，如图等边三角形中，为的中点，设，
则，则在直观图中，，，
故，，
故三角形不为等腰三角形，故AD错误.
故选：B.
【题型一：斜二测画法辨析】
例1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等
D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
【答案】D
【分析】根据正方体的直观图可判断；利用矩形邻边满足的直观图可判断,易知正确.
【详解】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确.
项，如图，矩形的邻边满足,
其直观图的邻边是相等的，故错误.
故选：D.
变式1-1．（多选）（2024高三上·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【答案】ABC
【分析】根据斜二测画法的规则即可结合选项逐一求解.
【详解】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐系，而平行性没有改变，A，B，C都不正确，D正确，
故选：ABC
变式1-2．（多选）（22-23高一下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】AD
【分析】利用平面图形和直观图的定义的应用判断AC；利用棱柱的定义判断B；利用棱锥的定义判断D.
【详解】对于A，在斜二测画法中，平行的线段在直观图中仍然平行，故A正确；
对于B，长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，故B错误；
对于C，水平摆放正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中邻边变成了原来的2倍关系，故C错误；
对于D，正棱锥底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，故D正确；
故选：AD
变式1-3．（多选）（22-23高一下·湖南娄底·期末）关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
C．一个梯形的直观图仍然是梯形
D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
【答案】ABC
【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在中，，其面积，
在其直观图（图②）中，
作，则直观图的面积
，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确；
对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误.
故选：ABC.
【方法技巧与总结】
斜二测画法中“三变”：
坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。
“三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变。
【题型二：平面图形的直观图的画法】
例2．（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项.
【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：
A选项满足要求.
故选：A.
变式2-1．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】分和两种情况说明.
【详解】当时，其直观图是C；
当时，其直观图是D.
故选：CD.
变式2-2．（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号）
【答案】③
【分析】直接根据斜二测画法的规则求解.
【详解】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为，
故答案为：③
变式2-3．（23-24高一下·重庆·期中）如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】
将水平放置的的直观图还原，可知，
由勾股定理有，注意到，
所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形，
由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦，
即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形，
综上所述，只有C选项符合题意，
故选：C.
【方法技巧与总结】
1、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
2、画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
【题型三：直观图中的长度问题】
例3．（23-24高一下·浙江·期中）如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合斜二测画法的规则，将直观图即直角梯形还原成平面图形，结合勾股定理算出各边长度即可求解.
【详解】由题意，，由可得，
由，，，
可得，所以，
而，
所以，
结合斜二测画法的规则，将直观图即直角梯形还原成平面图形，如图所示：
由勾股定理可得，
所以满足题意的平面图形的周长是.
故选：C.
变式3-1．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果.
【详解】
过点作交轴于点，如图所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.
故选：A.
变式3-2．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以,
故选：C．
变式3-3．（22-23高一下·陕西西安·期中）一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为 .
【答案】
【分析】把直观图还原为平面图形，根据斜二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.
【详解】把直观图还原为平面图形，如图所示，
依题意，，
所以，，
则，
所以原平面四边形的周长为.
故答案为：
【题型四：直观图中的面积问题】
例4．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据直观图还原平面图，再求出相应的线段的长度，即可求出面积.
【详解】如图，不妨令直观图中正方形为，则，
所以，
由直观图可得如下平面图形，则，，
所以.
故选：A
变式4-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.
【详解】依题意不妨令直观图如下所示：
则还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，，所以原图形面积为.
故选：B
变式4-2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
【详解】因为是的直观图，且直角边长是，
所以的面积为，
因为平面图形与直观图的面积的比为，
所以的面积为，
故选：A
变式4-3．（23-24高一下·福建·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，得到水平放置的的直观图，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的的直观图，如图所示，
因为轴，轴，且，，
可得，且，
所以的面积为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。
原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。
【题型五：空间几何体的直观图的画法】
例5．（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）．
【答案】答案见解析.
【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则，按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图.
【详解】（1）画底面：
①在正六边形中，的中点为，的中点为，
以所在直线为轴，所在直线为轴，两轴相交于点（如图①所示），
画相应的轴、轴和轴，三轴交于点，使，（如图②所示），
②在图②中，以为中点，在轴上取，在轴上取，
以为中点画平行于轴，并且等于；再以为中点画平行于轴，并且等于，
③连接，得到底面正六边形的直观图，
（2）画顶点：在轴的正半轴上任意选取一点（不含点）为，
（3）成图：连接，，，，，，并擦去轴，
加以整理（将被遮挡的线改为虚线），便得到正六棱锥的直观图（如图③所示）．
变式5-1．（22-23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
【答案】直观图见解析
【分析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解.
【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；
第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；
第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：
变式5-2．（22-23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
【答案】图形见解析
【分析】根据斜二测画法规则，画出该三棱柱的直观图即可．
【详解】①取的中点，画，
用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；
②画平面，在上截取；
画出，；，，且与交于点，如图所示；
③连接、、，即得正三棱柱，
④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：
变式5-3．（22-23高一·全国·课堂例题）在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．
【答案】作图见解析
【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个球，且圆柱横截面的直径与球的直径相同．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的球．
【详解】画法 （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，．
（2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与．
（3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆．
（4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．
【方法技巧与总结】
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”3.直观图的还原和计算问题
一、单选题
1．（2024·山东·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】D
【分析】由圆锥的三视图结合条件可得.
【详解】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥.
故选：D．
2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.
【详解】因为 ，由直观图可知，，
所以还原平面图形中，，，在中，,
则三角形的周长为.
故选：D
3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出正三角形的直观图，求出高，计算面积即可.
【详解】正三角形的直观图如图：
由题意，，，
所以过点作，垂足为，
则，所以三角形的面积为：.
故选：A
4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的周长为 D．四边形的面积为
【答案】D
【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断.
【详解】如图过作交于点，
由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，
即，故B错误；
还原平面图如下图，
则，，，故A错误；
过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即C错误；
四边形的面积为：，即D正确.
故选：D.
5．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由正弦定理求出直观图的，再由斜二测画法规则求出到轴的距离即可.
【详解】
如图，过点作′轴，交′轴于点，
在中，，，，
由正弦定理得，
于是得，且原图中即为到轴的距离，
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴的距离是.
故选：D.
6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题意，由梯形面积公式求出原图的面积，结合原图与直观图面积的关系，分析即可得出结果.
【详解】根据题意，原图直角梯形中，上下两底分别为2和4，高为，
其面积，
则其直观图的面积.
故选：B.
7．（23-24高一下·山西·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法将原图还原为直角梯形，如图，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】在直角梯形中，，
则 ，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，，，，
所以该平面图形的高为．
故选：C．
8．（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】B
【分析】利用斜二测画法还原，即可分析判断得解.
【详解】根据斜二测画法还原，则，且，
因此，且，
所以为等腰直角三角形.
故选：B
二、多选题
9．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（ ）
A． B．是等腰直角三角形
C． D．的面积为
【答案】ABC
【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.
【详解】画出原图如下图所示，
根据斜二测画法的知识可知：，
三角形是等腰直角三角形，面积为.
所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC
10．（2023·浙江温州·二模）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ）
A．为锐角三角形
B．的面积为
C．的周长为
D．的面积为
【答案】CD
【分析】根据斜二测法可求出，，再利用余弦定理可求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，，
在中，，由余弦定理得，,
在中，，由余弦定理得，,
选项A，在中，因为，
由余弦定理知，故选项A错误；
选项B和D，，故选项B错误，选项D正确；
选项C，的周长为，故选项C正确.
故选：CD.
11．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知一个矩形ABCD，用斜二测画法得到其直观图的周长为2，设，，下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据斜二测画法可得，再有均值不等式及重要不等式判断ABC，由二次函数求最值判断D.
【详解】由斜二测画法知，，
又的周长为2，所以，即，
对A，，，即，当且仅当时等号成立，所以A错误；
对B，
，当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
对C，由可知，，
即，所以，即，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，，其中，即解得，
由二次函数图象开口向下，对称轴方程为可知，
当取对称轴时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，表示水平放置的的直观图，，点在x轴上，且，则的边 .
【答案】
【分析】在直观图中，作，交轴于点，求出和的值，在原图中，由斜二测画法求出和的长，由勾股定理计算可得答案.
【详解】根据题意，如图①，在直观图中，作，交轴于点，
易得，，，
则，
如图②，在原图中，，，，
则.
故答案为：.
13．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 .
【答案】8
【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积．
【详解】在坐标系中作出原图形，它是直角梯形，其中，，,
面积为，
故答案为：8.
14．（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .
【答案】
【分析】把的直观图在平面直角坐标系中还原即可求解.
【详解】在等腰直角三角形中，点是斜边的中点，且，
所以，把平面直观图还原为原图形，如图所示：
则底边的高为，且.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高三上·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．
（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．
（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？
（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？
【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4）
【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果；
（2）由直观图可知，即为直角三角形；
（3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果；
（4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果.
【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ．
（2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形．
（3）由已知可得在中，，，故．
（4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高），
画直观图后，，，
．
16．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.
【答案】答案见解析，的面积为
【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.
【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，
如图所示，则的面积为.
17．（21-22高一·全国·课后作业）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.
【详解】如图所示．
18．（21-22高一下·山西晋中·阶段练习）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
【答案】5
【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．
【详解】如图，根据直观图画法的规则，
直观图中平行于轴，， 原图中，
从而得出AD⊥DC，且，
直观图中，， 原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积.
19．（21-22高一·全国·课后作业）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
（2）在(1)中若，轴且，求原平面图形△ABC的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）3
【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可；
（2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积.
【详解】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取，即.
②在题图中，过作轴，交x′轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使.
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
（2）∵，∴BD⊥AC.
又且，
∴ .
∴.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.2直观图
课程标准 学习目标
1、了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤 2、会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 1、通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的三视图与直观图，了解空间图形在平面上的不同表现形式; 2、会用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图; 3、会画正棱锥、正棱柱、圆柱的直观图.
知识点 直观图与斜二测画法
1、直观图：立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图.
2、空间图形的直观图的画法：斜二测画法
3、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：
①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；
②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；
③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．
并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．
4、 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x’轴与y’轴）。
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴。过x 轴与y’轴的交点作z轴对应的z’轴，且z’轴垂直于x’轴。
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变。
（3）连接有关线段，擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。
注意：水平放置的圆，其直观图一般用"正等测画法"画成椭圆.
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【题型一：斜二测画法辨析】
例1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等
D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
变式1-1．（多选）（2024高三上·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
变式1-2．（多选）（22-23高一下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
变式1-3．（多选）（22-23高一下·湖南娄底·期末）关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
C．一个梯形的直观图仍然是梯形
D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
【方法技巧与总结】
斜二测画法中“三变”：
坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。
“三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变。
【题型二：平面图形的直观图的画法】
例2．（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
变式2-1．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2-2．（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号）
变式2-3．（23-24高一下·重庆·期中）如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【方法技巧与总结】
1、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
2、画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
【题型三：直观图中的长度问题】
例3．（23-24高一下·浙江·期中）如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．（22-23高一下·陕西西安·期中）一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为 .
【题型四：直观图中的面积问题】
例4．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．1
变式4-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．1
变式4-3．（23-24高一下·福建·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ．
【方法技巧与总结】
斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。
原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。
【题型五：空间几何体的直观图的画法】
例5．（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）．
变式5-1．（22-23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
变式5-2．（22-23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
变式5-3．（22-23高一·全国·课堂例题）在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．
【方法技巧与总结】
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”3.直观图的还原和计算问题
一、单选题
1．（2024·山东·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的周长为 D．四边形的面积为
5．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
7．（23-24高一下·山西·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（ ）
A． B．4 C． D．
8．（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形
二、多选题
9．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（ ）
A． B．是等腰直角三角形
C． D．的面积为
10．（2023·浙江温州·二模）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ）
A．为锐角三角形
B．的面积为
C．的周长为
D．的面积为
11．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知一个矩形ABCD，用斜二测画法得到其直观图的周长为2，设，，下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，表示水平放置的的直观图，，点在x轴上，且，则的边 .
13．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 .
14．（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .
四、解答题
15．（2024高三上·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．
（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．
（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？
（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？
16．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.
17．（21-22高一·全国·课后作业）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
18．（21-22高一下·山西晋中·阶段练习）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
19．（21-22高一·全国·课后作业）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
（2）在(1)中若，轴且，求原平面图形△ABC的面积．
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