6.6简单几何体的再认识
课程标准 学习目标
理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积 1、熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 2、理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积理解球的大、小圆，直线与球相切的意义 3、掌握球的表面积和体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题
知识点01 柱、锥、台、球体的表面积体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【即学即练1】（2024·山东泰安·三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型一：表面积问题】
例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．40 B． C． D．
变式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 .
【题型二：公式法求体积问题】
例2.（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1.（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为 .
变式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥.
(1)求棱台的体积；
(2)求棱台的表面积.
变式2-3.（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
(1)求圆柱的表面积与体积；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若D是的中点，求的最小值．
【题型三：轮换顶点法求体积问题】
例3.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．
(1)证明：平面．
(2)求三棱锥的体积．
变式3-1.（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
(1)证明：三条直线相交于同一点
(2)求三棱锥的体积．
变式3-2.（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
(1)证明：平面，且；
(2)求三棱锥的体积.
变式3-3.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【题型四：平行线换顶点法求体积问题】
例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且．
(1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
(2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积．
变式4-1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥中，平面是的中点.
(1)证明： 面
(2)证明：平面平面；
(3)求三棱锥的体积.
变式4-2．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.
(1)求证： 平面；
(2)设是直线上的动点，求三棱锥的体积.
变式4-3．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，三棱柱中，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.
【题型五：比例法求体积问题】
例5．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
变式5-1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.
(1)求证： 平面；
(2)三棱锥的体积.
变式5-2．（2024·陕西宝鸡·一模）已知四棱锥中，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求四面体的体积.
变式5-3．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）在如图所示的七面体中，底面为正方形，，，面．已知，．
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．
【题型六：对称法求体积问题】
例6．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求三棱锥的体积．
变式6-1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是的菱形，，点M是PC的中点．
(1)证明：//平面MDB；
(2)求三棱锥的体积．
变式6-2．（2023·陕西宝鸡·一模）如图在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知，，，E是PB中点.
(1)求证： 平面ACE；
(2)求四面体的体积.
变式6-3．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【题型七：割补法求体积问题】
例7．（2024·四川南充·二模）已知多面体中，，且，，.
(1)证明：；
(2)若，求多面体的体积.
变式7-1．（2024·陕西咸阳·二模）如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求该几何体的体积．
变式7-2．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.
(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；
(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.
变式7-3．（21-22高一下·辽宁·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．
(1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；
(2)求证：平面；
(3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值 若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．
【题型八：体积最值与定值问题】
例8．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面体中，已知，．
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
变式8-1．（2024·四川广安·二模）如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.
(1)证明：平面；
(2)设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
变式8-2．（2023高一下·全国·专题练习）如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.
(1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由；
(2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.
变式8-3．（20-21高一下·全国·单元测试）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．
(1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
(2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．
【题型九：体积最值与定值问题】
例9.（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式9-1.（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式9-2.（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式9-3.（22-23高一下·湖北·阶段练习）在中，，，D为BC的中点，将绕AD旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）
A．60.08斛 B．171.24斛
C．61.73斛 D．185.19斛
2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27 B． C．9 D．
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
4．（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．三棱锥的体积为
D．平面将正方体分为两个部分，其中较小部分的体积为
10．（23-24高一下·重庆·期中）在等腰梯形中，，，，以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的高为2 B．该几何体为圆柱
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为
11．（23-24高一下·山东·期中）已知直三棱柱中，， 点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半径为2
B．三棱锥的体积与的位置无关
C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为 .
14．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知矩形，，，沿将折起成．若点在平面上的射影落在内部，则四面体的体积取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）如图，在边长为的正方体中，为中点，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
16．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．
(1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；
(2)若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．
17．（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
18．（23-24高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
19．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体
(1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：共面；
（ⅱ）求多边形的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．
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理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积 1、熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 2、理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积理解球的大、小圆，直线与球相切的意义 3、掌握球的表面积和体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题
知识点01 柱、锥、台、球体的表面积体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【即学即练1】（2024·山东泰安·三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积.
【详解】
如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，
故轴截面周长为，解得，
所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积，
所以圆台的表面积为.
故选:C.
【题型一：表面积问题】
例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．
【详解】
如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，
底面半径,母线长,
由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为.
故选:C.
变式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得底面半径，再利用圆锥表面积公式计算即可得.
【详解】圆锥的底面半径为，
由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得，
即圆锥的底面半径，
则.
故选：A.
变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出侧面积和底面积，即可得到表面积.
【详解】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为的平行四边形，
其周长是，面积是，
所以直四棱柱的表面积是.
故选：C
变式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构中，分求得四棱锥的各个面的面积，即可求解.
【详解】由正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，
可得矩形的面积为，
的面积为，
的面积为，
的面积为，
中，因为，则边上的高为，
其面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故答案为：.
【题型二：公式法求体积问题】
例2.（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.
【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，
下圆台的高为厘米，
故上圆台的体积为立方厘米，
下圆台的体积为立方厘米，
故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.
故选：D
变式2-1.（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为 .
【答案】/
【分析】根据给定条件求出正八面体的表面积和体积即可计算作答.
【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，
正四棱锥的高，
则正八面体的体积，
于是得，
所以正八面体的体积与表面积之比为.
故答案为：.
变式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥.
(1)求棱台的体积；
(2)求棱台的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；
（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.
【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点，
由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心，
则，
即棱台的高，
，
（2）连接，则，则，
作于点，则，
故
.
变式2-3.（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
(1)求圆柱的表面积与体积；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若D是的中点，求的最小值．
【答案】(1)表面积，体积
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解；
（2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解；
（3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）圆柱的底面直径，故半径，且高，
可得圆柱的表面积为，
圆柱的体积为．
（2）因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且，
而为直角三角形，
从而，得，，
所以．
（3）解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上，
设为点，可得，
即当三点共线时，取最小值，
由题意，，
所以，
故的最小值为．
【题型三：轮换顶点法求体积问题】
例3.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．
(1)证明：平面．
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可.
（2）利用等体积法求即求，利用三棱锥求体积公式即可求解.
【详解】（1）
证明：连接，在中，D，E分别为和的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为为直三棱柱，所以平面，
又因为为边长为的正三角形，所以，
又 .
变式3-1.（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
(1)证明：三条直线相交于同一点
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【分析】（1）先通过证明且得到四点共面，且相交，再利用基本事实三可证明结论；
（2）通过以及棱锥的体积公式求解.
【详解】（1）连接，如图：
分别是的中点，，，
且，
∴四边形为平行四边形，，
在中，分别是的中点，，，
且 四点共面，
设，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三条直线相交于同一点；
（2），三棱锥的高为，
点是棱的中点， ，
点分别是棱的中点，，，
．
．
变式3-2.（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
(1)证明：平面，且；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，借助线面平行的判定定理可得线面平行，借助平行四边形的性质可得线线平行；
（2）由题意可得为的顶点D到边的高，为三棱锥的高，结合体积公式计算即可得.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，在中，，
所以，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以，
（2）由题意可知，，，，
所以，故，
又，所以，所以为的顶点D到边的高，
因为平面，所以为三棱锥的高，
故.
变式3-3.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据正三角形的性质以及平行四边形的性质，结合面面垂直的性质定理，可得答案；
（2）根据三棱锥的体积公式，结合等积变换，可得答案.
【详解】（1）取AC的中点，过点作，交于点，连接BG，EH，如图．
由，且，则，
由，则，所以，
由，且可知，，且，
所以四边形BEHG是平行四边形，所以．
因为为正三角形，点为AC的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）因为，所以，又，
所以．
由（1）知平面，且，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以．
【题型四：平行线换顶点法求体积问题】
例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且．
(1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
(2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)存在；
(2)
【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明平面PDE，得到，再由面面平行的判定定理证明平面平面PDE即可.
（2）由等体积法结合棱锥的体积公式求解即可.
【详解】（1）
存在实数满足，使得平面PDE．
证明如下：取DC上一点G，满足，连接GF，GB，BF．
因为，所以．
因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．
因为底面ABCD是正方形，且，所以且相等，
所以四边形EBGD为平行四边形，所以．
因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．
又因为，平面BGF，平面BGF，
所以平面平面PDE．
又因为平面BGF，所以平面PDE．
（2）已知，因为平面PDE，所以．
又因为正四棱锥的高为1，底面边长为2，所以．
变式4-1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥中，平面是的中点.
(1)证明： 面
(2)证明：平面平面；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取中点，连接，证即可；
（2）由得，由平面得，所以平面，从而得证；
（3），所以 平面，根据求解．
【详解】（1）取中点，连接，
∵,,
∴,
∴为平行四边形，则，
∵面，面，∴ 面.
（2）因为，所以，
由平面平面，所以，
又由，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
（3）由（1）可得，且平面，平面，所以 平面，
所以，
因为平面，可得，
又由，
所以，
所以，即三棱锥的体积为.
变式4-2．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.
(1)求证： 平面；
(2)设是直线上的动点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1）如图所示，分别取的中点，连接，
由题意得，且，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为，所以，
又因为平面平面，所以 平面.
（2）由（1） 平面，
所以上任意一点到平面的距离都相等，所以，
由题意，又，平面，
所以平面，又，所以平面，即平面，
因为，
所以，
所以三棱锥的体积为.
变式4-3．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，三棱柱中，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据是的中点得到，利用线面垂直的判定得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定即可证明；
（2）根据线面垂直的判定得到平面，进而得到面面垂直，利用面面垂直的性质，过点作于点，进而得到平面，求出所需的各边长，进而计算即可求解.
【详解】（1）因为是的中点，
所以，因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为是的中点，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，
所以平面，因为，所以，
取的中点，连接，
可得，所以平面即为平面，又平面，
所以平面平面，
过点作于点，则平面，
所以，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以，因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以，.
因为平面，
所以
因为，所以.
【题型五：比例法求体积问题】
例5．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，利用中位线得到线线平行，从而求出线面平行；
（2）求出，进而求出.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为底面是正方形，
所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，底面是正方形，平面，
所以，
因为为的中点，所以.
变式5-1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.
(1)求证： 平面；
(2)三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明得到 平面；
（2）先求得，通过体积转化得，求得
【详解】（1）证明： 连接，
∵四边形为正方形，、分别为中点，
∴，
又五点共面，平面，平面，
∴平面，
（2）
在正四棱锥中，连接交于点，连接，
则平面，又平面，所以 ，
所以，
，
因为，为中点.
所以
，
故.
变式5-2．（2024·陕西宝鸡·一模）已知四棱锥中，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求四面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理结合线面平行的判定定理即得；
（2）先根据几何关系以及线段长度找出四面体的高，再根据三棱锥的体积公式求解出结果.
【详解】（1）取的中点，连接，，
取的中点，连接，，
，，
又，，
，又，平面，
平面，
又平面，，
又，，
四边形为矩形，
且，
分别为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
（2）延长，过过交于，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为 ，
又因为为中点，
所以.
变式5-3．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）在如图所示的七面体中，底面为正方形，，，面．已知，．
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面ABFE，再由线面平行性质定理可得，从而可证得结论；
（2）由二面角的定义可得长，再根据平行得锥体底面积比例、三棱锥等体积转换即可得四棱锥的体积.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面ABFE，平面ABEF，所以平面ABFE．
因为平面GCD，平面平面，所以
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD．
（2）取中点，连接，
因为面，面，所以
因为正方形，所以，
因为平面，所以平面
又，所以平面，
因为平面，所以
则为二面角的平面角，
因为为中点，，所以，又，故四边形为矩形，
所以，由面，得面
则，所以
因为且，所以
所以，
所以
【题型六：对称法求体积问题】
例6．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可；
（2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可.
【详解】（1）因为，所以四点共面，
因为四边形为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）因为平面，平面，所以，
又因为，平面，故平面，
又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
又因为，
所以三棱锥的体积为.
变式6-1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是的菱形，，点M是PC的中点．
(1)证明：//平面MDB；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】
（1）根据中位线可得∥，进而根据线面平行的判定定理分析证明；
（2）根据题意分析可得，再利用转换顶点法求锥体体积.
【详解】（1）设，连接，可知：为的中点，
因为点M是PC的中点，则∥，
且平面MDB，平面MDB，
所以//平面MDB.
（2）
因为点M是PC的中点，且平面，
则点A、C到平面的距离相等，所以，
又因为平面ABCD，则三棱锥的高为，
可得，
所以三棱锥的体积为.
变式6-2．（2023·陕西宝鸡·一模）如图在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知，，，E是PB中点.
(1)求证： 平面ACE；
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，然后利用平行四边形的性质及线面平行的判断即可；
（2）利用等体积法求解即可，即.
【详解】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：
∵ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点，且E为PB中点，
∴，且PD平面ACE内，平面ACE，
∴ 平面ACE.
（2）∵，
∴的面积，
又∵面ABCD，∴，
又∵E为PB中点，∴，
所以四面体的体积为.
变式6-3．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
【解析】试题分析：（1）取中点，由等腰三角形及等比三角形性质得，，再根据线面垂直判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平几知识确定，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1. []
试题解析：（1）证明：取中点，连
∵，为中点，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴平面，平面，
∴.
【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
【题型七：割补法求体积问题】
例7．（2024·四川南充·二模）已知多面体中，，且，，.
(1)证明：；
(2)若，求多面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用余弦定理及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的定义即可求证；
（2）利用勾股定理的逆定理及等面积法，结合线面垂直的判定定理及椎体的体积公式即可求解.
【详解】（1）连接BD，DF，如图所示
在中，，，，
则，
所以，即，
同时 ，可得，
同理可得，
又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；
又因为平面BDF，所以．
（2）由（1）知，又，则，
作于点，则,解得.
又平面BDF，，所以平面BDF，
又平面BDF，所以，
又，平面，所以平面，
多面体 三棱锥 四棱锥
矩形 .
变式7-1．（2024·陕西咸阳·二模）如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求该几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设分别为，边的中点，证得四边形为平行四边形，得到，再由和，证得平面，进而得到平面，即可证得平面平面；
（2）过点作平行于底面的平面，分别求得三棱柱和四棱锥的体积，进而求得该几何体的体积.
【详解】（1）证明：设分别为，边的中点，连接，
因为平面，且，，，，
所以，且，
即四边形为平行四边形，可得，
在底面正三角形中，为边的中点，则，
又因为平面，且平面，所以，
由于，且平面，所以平面，
因为，且平面，则平面，
又平面，则平面平面．
（2）解：过点作平行于底面的平面，
由 是边长为2的正三角形，且平面，
可得点到平面的距离为，
因为，所以平面，平面，
又由，
可得三棱柱的体积为，
又因为梯形的面积为，
可得四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
变式7-2．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.
(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；
(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.
【答案】(1)存在，证明见解析
(2)2
【分析】
（1）根据正三棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用几何体之间的体积关系，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）与的中点，可以使得平面平面，
证明：在三棱柱中，
∵与为与的中点，
∴与平行且相等，
故四边形为平行四边形，∴，
∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形 故，
因为，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
而， 平面，平面，
∴平面平面；
（2）∵，
，
.
变式7-3．（21-22高一下·辽宁·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．
(1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；
(2)求证：平面；
(3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值 若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．
【答案】(1)答案见解析，点为的中点；
(2)证明见解析；
(3)是定值，到平面的距离为.
【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，即可得到，即可得解；
（2）先证明，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（3）先证明平面，又，则到平面的距离等于到平面的距离，再用等体积法求出点到面的距离.
【详解】（1）如图，点为的中点，连接，
由为中点，则，又，
所以，所以四点共面，
故平面与棱柱的截面为．
（2）证明：因为在与中，，
所以，又，
所以，
所以，
，且平面，
所以平面，
即平面；
（3）由（2）知平面，又平面，
所以，又，
所以，
又，且平面，
所以平面，
又，所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以
，
所以三棱锥的体积为定值．
中，，
所以，
由，
可得，
所以点到平面的距离为．
【题型八：体积最值与定值问题】
例8．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面体中，已知，．
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，连接，根据题意证明，，即可得结果；
（2）根据题意可知，分析可知：当且仅当为正方体时，三棱锥体积最大，进而结合二面角的定义分析可知二面角的平面角为，即可得结果.
【详解】（1）设，则为的中点，连接，
因为，可知，
可得，则，
又因为为菱形，则，
且，平面，所以平面.
（2）设，则为的中点，连接，
设到的距离为，
则，
当且仅当，即平面时，等号成立，
又因为，即，
可得，
当且仅当时，等号成立，
综上所述：当且仅当为正方体时，三棱锥体积最大，
由题意可知：，为的中点，
则，可知二面角的平面角为，
在中，，
可得，
所以二面角的余弦值为.
变式8-1．（2024·四川广安·二模）如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.
(1)证明：平面；
(2)设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由，，，求得AC，进而求得AM，然后利用余弦定理求得BM，从而得到，进而得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）根据点为边的中点，得到，从而有，由平面，得到平面平面，得到点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，再根据为定值，由高最大时，体积最大求解.
【详解】（1）解：因为，，，
所以，由射影定理得，
所以，由余弦定理得，
所以，则，即，
又因为，，
所以平面；
（2）因为点为边的中点，
所以，又，
所以，
因为平面，所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为为定值，
当h最大时，所以三棱锥的体积最大，
而，则，
当h=1时，.
变式8-2．（2023高一下·全国·专题练习）如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.
(1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由；
(2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)，最大值为3
【分析】（1）先找到点，再证明此时平面.
（2），，体积的表达式为得到答案.
【详解】（1）存在点，使得平面，此时.
当时，，
过点作，交于点，连接，如图，则.
∵在四边形中，
∴，∴.
∵，
∴，且，故四边形为平行四边形，
∴.
∵平面平面，
∴平面.
（2）∵平面平面，平面平面平面平面.
∵，∴，
故三棱锥的体积，
当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3
变式8-3．（20-21高一下·全国·单元测试）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．
(1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
(2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．
【答案】(1)a，V最大值为；
(2)3
【分析】（1）根据棱锥体积公式写出体积再应用基本不等式求出最值即可；
（2）根据异面直线定义得出异面直线所成角，再应用取最值时的边长计算即可.
【详解】（1）设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，则
∴ ．
∵h2（当且仅当h，即h＝1时取等号）．
∴，即正四棱锥体积V的最大值为（当h＝1，a时取最大值）；
（2）取CD的中点Q，正方形ABCD的中心为O，连接PO，PQ，OQ．
∵AB∥CD，∴∠PDQ即为异面直线AB与PD所成角．
∵Q为CD的中点，．
即，由（1）知，．
又DQ，∴．
即异面直线AB和PD所成角的正切值为3．
【题型九：体积最值与定值问题】
例9.（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径.
【详解】首先求出正四面体外接球的半径：
由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：
设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心），
，
，，
中，，
即，得，
因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，
则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为.
故选：D.
变式9-1.（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.
【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接，
则三棱锥的外接球球心在上，连接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
设外接球的半径为，
由，，解得，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选:C.
方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点，
则为底面正三角形的中心，
因为正三角形的边长为2，所以.
因为，所以.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，.
设三棱锥的外接球球心为，半径为.
由，得，解得，
所以，
则三棱锥的外接球表面积.
故选：C.
变式9-2.（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.
【详解】三棱锥的所有棱长均为2，
故可把三棱锥放置在正方体中，
如图
设正方体的棱长为a，则，解得，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
故球的半径，所以球的表面积.
故选：D
变式9-3.（22-23高一下·湖北·阶段练习）在中，，，D为BC的中点，将绕AD旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推导出平面，计算出的外接圆的直径，可得出三棱锥的外接球直径为，再利用球表面积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
翻折前，在中，，，为的中点，则，
且，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以，平面，
由已知，，满足，
则是斜边长为的等腰直角三角形，
将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，
所以，的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为，
则，
因此，三棱锥的外接球表面积为.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）
A．60.08斛 B．171.24斛
C．61.73斛 D．185.19斛
【答案】C
【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．
【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺，
则底面周长为尺，解得尺，
又高为尺，
所以圆锥的体积为（立方尺）；
又（斛），
所以估算堆放的稻谷约有（斛）．
故选：C．
2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积．
【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，
所以这个正三棱锥的侧面积为：.
故选：.
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
【答案】B
【分析】对于A，若，根据线面垂直的判定定理得，得出矛盾可判断A；根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断B；由平面得就是与平面所成的角，求出可判断C；求出四面体的体积可判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，
若，因为，，平面，平面，所以平面，
可得，这与矛盾，故A错误；
对于B，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
得，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以，故B正确；
对于C，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以与平面所成的角为，故C错误；
对于D，四面体的体积为，故D错误.
故选：B.
4．（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点分别为，把可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，即可求解.
【详解】取的中点分别为，连接，
可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，
将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体，
可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，
则三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
故选：D.
5．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三棱锥补形为一个直三棱柱,分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，求出球半径后可得表面积．
【详解】易知的外接圆的半径为1，将三棱锥补形为一个直三棱柱，
如图，分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，
由题设，易得底面外接圆半径，，则，即外接球的半径为，
其外接球的表面积是，
故选：D．
6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，
则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，
所以，
所以，
所以与全等，
所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，
则，，
又，
所以，
所以，所以，
所以该圆台的体积为.
故选：D.
7．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定旋转体的形状，再求解几何体的体积即可得出结果.
【详解】梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为,下底面半径为,
由圆O和梯形ABCD相切可得，，
所以圆台高, 圆O半径，
所以，,
所以，.
故选：C.
8．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，结合截面圆的周长，可得，进而得到，再利用表面积公式即可求解．
【详解】设截面圆半径为，球的半径为，
则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2，
根据截面圆的周长可得，得，
故，
得，所以球的表面积，
如图，，且，
则球冠的，
得所截的一个球冠表面积，
且截面圆面积为，
所以工艺品的表面积．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查球的截面性质，关键是利用勾股定理得到球的半径和球冠的高.
二、多选题
9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．三棱锥的体积为
D．平面将正方体分为两个部分，其中较小部分的体积为
【答案】ACD
【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；利用反证法结合面面平行的性质，可判断B选项；求出三棱锥的体积，可判断C选项；分析出平面截正方体所得截面图形为梯形，较小部分为三棱台，计算出其体积，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面，
且，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故A正确；
对于B选项，假设直线与是平行直线，则四点共面，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为，所以，，这与矛盾，
假设不成立，故与不平行，故B错误；
对于C选项，正方体的棱长为2，
所以
即三棱锥的体积为，故C正确；
对于D选项，连接，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为分别为、的中点，
所以，且，
故且，故四点共面，
所以，平面截正方体所得截面图形为梯形，
将正方体分成两部分，其中较小部分为三棱台，
所以，
，
故D正确.
故选：ACD.
10．（23-24高一下·重庆·期中）在等腰梯形中，，，，以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．等腰梯形的高为2 B．该几何体为圆柱
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为
【答案】ACD
【分析】过点作交于点，过点作交于点，求出、，即可判断A，依题意可得该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥，且圆柱的底面半径，高为，圆锥的底面半径，高为，再求出几何体的表面积与体积，即可得解.
【详解】因为在等腰梯形中，，，，
过点作交于点，过点作交于点，
则，所以，
所以等腰梯形的高为，
以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，
则该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥，
且圆柱的底面半径，高为，圆锥的底面半径，高为，故A正确，B错误．
该几何体的表面积，
体积，故C、D正确．
故选：ACD
11．（23-24高一下·山东·期中）已知直三棱柱中，， 点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半径为2
B．三棱锥的体积与的位置无关
C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
【答案】ABD
【分析】借助长方体判断A；利用等体积法判断B；通过中位线证明截面为梯形，利用勾股定理求出两腰，进而判断C；分情况讨论，比较最短距离，可判断D.
【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，
如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图：
所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，
因为，
所以其外接球半径为，故A正确；
对于B，如图：
，
因为分别为的中点，所以，
又点在上，所以到的距离为定值，
故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确；
对于C，如图，连接，
因为分别为的中点，
所以，且，
又因为，且，所以，且，
过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，
又，
所以，所以，
所以,所以，
所以四边形不是等腰梯形，故C错误；
对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，
过作，交于点，
因为为中点，所以 ，所以，
在中，则爬过的最小距离为：
，
故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题D选项关键要找出虫子的几条路线，然后分别求最短距离.
三、填空题
12．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为 .
【答案】/
【分析】由面面垂直性质可知平面，根据，结合棱锥体积公式可求得结果.
【详解】平面平面，平面平面，，平面，
平面，，
是边长为的等边三角形，，
又，.
故答案为：.
13．（23-24高一下·福建莆田·期中）在正三棱柱中，D为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱锥的体积为 .
【答案】/
【分析】由题意首先求得棱长和底边长，然后结合棱柱、棱锥体积公式根据割补法计算体积即可.
【详解】由题，设，，截面是面积为的直角三角形，
所以，，
则由得，又 ，所以，
故，
取的中点为E，连接，则由题意，
因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
又，，
所以
，
故答案为：
14．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知矩形，，，沿将折起成．若点在平面上的射影落在内部，则四面体的体积取值范围是 .
【答案】
【分析】利用在平面上的射影落边和上，作为两种临界位置关系，这两种位置关系刚好是平面平面和平面平面，利用空间关系可算出两种情形的高和，从而可计算两个临界位置的体积，根据题意，取开区间就可得到结果.
【详解】当平面平面，在平面上的射影落在交线上，此时体积最大，如图：
由等面积法得，即，则.
当平面平面，在平面上的射影落在交线上，此时体积最小，如图：
连接，由平面平面，，面，所以平面，
又因为平面，所以，则，
再由，可得，所以，
再由等面积法可得，即，则，
由于点在平面上的射影落在内部，不包括边界，所以四面体的体积取值范围是，
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）如图，在边长为的正方体中，为中点，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，交于点，连结，根据中位线的性质可得即可证明；
（2）根据锥体体积公式求解即可.
【详解】（1）设，交于点，连结，
在边长为的正方体中，为中点，
是中点，，
平面，平面，
平面．
（2）三棱锥的体积：．
16．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．
(1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；
(2)若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．
【答案】(1)8；
(2)．
【分析】（1）利用锥体的体积公式求解；
（2）先求出四棱锥对侧面底边上的高，再分别求得各侧面的面积相加即可.
【详解】（1）解：该几何体是一个高为2，底面为矩形的四棱锥，
所以该几何体的体积．
（2）正侧面及相对侧面底边上的高．
左、右侧面的底边上的高．
故几何体的侧面面积．
17．（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；
（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；
（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
18．（23-24高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）借助中位线的性质与线面平行判定定理推导即可得；
（2）借助线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；
（3）借助点为线段的中点，可得点与点到平面距离相等，即有，结合体积公式计算即可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
由底面是正方形，故为中点，
又点为线段的中点，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）由点为线段的中点，，故，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故，又、平面，，
故平面；
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，
故.
19．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体
(1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：共面；
（ⅱ）求多边形的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．
【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
(2)
【分析】（ⅰ）三点确定平面，证明其余务点都在内；（ⅱ）由多边形的形状，利用分割法求面积。
（2）八面体补成六棱柱，转化为规则图形求体积.
【详解】（1）（ⅰ）证明：由基本事实1，三点共面，设这三点确定的平面为，
因为，且平面，平面，
所以平面，同理，平面，
又因为平面由棱柱上底面绕中心旋转得到，
所以平面平面，因为平面，所以平面，
若平面与平面相交，设平面平面，则至少与中一条直线相交，
不失一般性，设，则平面，且，由基本事实3知，与矛盾，故平面平面，
若平面，则与平面相交，由平面平面，则与平面相交，
因为平面，所以与相交，与矛盾，所以平面，
即四点共面；同理，
综上，六点共面.
（ⅱ）旋转后俯视图形如下，由条件知，
且，
旋转前与夹角为，旋转后夹角为，
由平行关系，得，同理，
联结，所以全等且均为等腰直角三角形，
所以，又因为为正三角形且边长为，
所以，所以截面的面积为
（2）(3)利用割补法，分别由向平面作垂线，垂足为，
由向平面作垂线，垂足为；
将八面体补成六棱柱，则八面体的体积为六棱柱的体积扣去六个全等的四面体，即，
易知这些棱柱与棱锥的高均为三棱柱的高，设，
则，
其中，的外接圆也是的外接圆，
设其圆心为O，由正弦定理，其半径为
则，当时，距离最远，此时，
所以八面体体积的最大值为
【点睛】方法点睛：
若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进，即将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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