6.3空间点、直线、平面之间的位置关系
课程标准 学习目标
1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义， 2、了解四个基本事实(与推论)，了解等角定理 1、能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。 2、能用图形、文字、符号三种语言描述四个基本事实。 3、理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。 4、能从实际问题中归纳出等角定理
知识点01 空间点、线、面
1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.
2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.
3、点、线、面的表示
如图所示的长方体可以表示为长方体 ，它共有8
个顶点，可表示为，12条棱可以表示为
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
个面可以表示为平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
知识点02 空间中点与直线、点与平面的位置关系
1、点A在直线l上：A∈l
2、点A在直线l外：A l
3、点A在平面α内：A∈α
4、点A在平面α外：A α
【即学即练2】（2020·高一课时练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.
（1）点与直线；
（2）与直线；
（3）与平面；
（4）点与平面；
知识点03 空间中直线与直线的位置关系
1、直线和直线相交：
2、直线和直线不相交：
【即学即练3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是 .
知识点04 直线与平面的位置关系
直线在平面内：
2、直线与平面相交：
3、直线与平面平行：
【即学即练4】（21-22高二上·上海杨浦·期中）对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点05 两个平面的位置关系
两平面平行：
两平面相交：
【即学即练5】（2020·高一课时练习）在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系：
①与________； ②与________；
③与平面________； ④与平面________；
⑤平面与平面_________； ⑥平面与平面________.
知识点06空间点线面位置关系的公理
1.平面的基本事实
基本事实 （公理） 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
基本事实4 行于同一条直线的两条直线平行 . 基本事实4表明了平行线的传递性基本事实4表明了平行线的传递性
2.平面基本事实的推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
【即学即练6】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点．
知识点07 异面直线
1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
2、异面直线的画法：
②
【即学即练7】（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
知识点08 空间等角定理
定理：
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言 ， 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
【即学即练8】（23-24高二上·上海·期中）已知空间两个角和，若，，则 ．
知识点09 异面直线所成的角
1、定义：如图，是异面直线，在空间中任选一点，过点分别作的平行线和，则这两条直线和所成的___锐角或直角_________，称为异面直线所成的角．
2、异面直线所成角范围：（0，]
3、求异面直线所成的角的步骤
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
【即学即练9】（22-23高二上·上海普陀·期中）设异面直线a、b所成的角为，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为 ．
【题型一：平面的基本性质及辨析】
例1．（23-24高二上·江西宜春·期末）能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间的三点 B．一个点和一条直线
C．两条相交直线 D．无数点
变式1-1．（21-22高一下·全国·课后作业）已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
变式1-2．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是 （填写序号）.
变式1-3．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ．
【方法技巧与总结】
1.确定平面的条件：
（1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线.
2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
【题型二：点共面问题】
例2．（20-21高一上·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2-1．（21-22高一·全国·课后作业）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（ ）
A．，，，四点共面 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
变式2-2．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．
变式2-3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．
【方法技巧与总结】
基本思路：
①证明四个点在两条平行线上
②证明四个点在两条相交线上
③证明三个点共线
④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内
【题型三：线共面问题】
例3．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知.求证：直线共面．
变式3-1．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，求证：直线AD，BD，CD共面．
变式3-2．（22-23高一·全国·课后作业）已知：，，，，，．求证：直线共面于．
变式3-3．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知三条直线，，相交于同一点，直线与它们分别相交于点，，，（异于点），求证：，，，四条直线在同一个平面内.
【方法技巧与总结】
基本思路： 两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内
【题型四：三线共点问题】
例4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点.
变式4-1．（2022·河南·三模）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
变式4-2．（17-18高一·全国·课后作业）如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．
求证：三条直线交于一点；
变式4-3．（21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
【方法技巧与总结】
基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上
【题型五：三点共线】
例5．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．
变式5-1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
变式5-2．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
变式5-3．（20-21高一下·全国·课后作业）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且，求证O，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上
【题型六：截面问题】
例6．（23-24高二上·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ．
变式6-2．（2023高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
变式6-3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．
【方法技巧与总结】
作图原则
（1）两点确定一条直线.
（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
【题型七：异面直线辨析】
例7．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中，真命题的个数是（ ）
① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0 B．1 C．2 D．3
变式7-1．（2024·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B．若，则l与m可能垂直
C．若，且，则l与m可能平行
D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
变式7-2．（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
变式7-3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)证明：和是异面直线．
【题型八：异面直线所成角】
例8．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-3．（2020·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
一、单选题
1．（2024高一下·全国·专题练习）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（ ）
（1），，三点共线；
（2），，，四点共面；
（3）.
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（ ）
A． B．
C．或 D．不能确定
6．（2024高一下·全国·专题练习）直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
7．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024高一下·全国·专题练习）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，则
B．，则直线，直线
C．，则
D．，且不共线，则重合
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．正方形
10．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角
11．（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ）
A．直线与直线相交；
B．直线与直线平行；
C．直线BM与直线是异面直线；
D．直线与直线成角.
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 .
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 .
14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为 .
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小.
16．（2024高三·全国·专题练习）如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点．
(1)试用反证法证明直线与是异面直线；
(2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；
(3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值．
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)所在的直线与平面的位置关系；
(2)所在的直线与平面的位置关系；
(3)所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面与平面的位置关系；
(5)平面与平面的位置关系.
18．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，
(1)与是否在同一平面内？
(2)画出平面与平面的交线．
19．（2023高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：
(1)和、和、和分别在同一平面内；
(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.3空间点、直线、平面之间的位置关系
课程标准 学习目标
1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义， 2、了解四个基本事实(与推论)，了解等角定理 1、能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。 2、能用图形、文字、符号三种语言描述四个基本事实。 3、理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。 4、能从实际问题中归纳出等角定理
知识点01 空间点、线、面
1、构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.
2、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.
3、点、线、面的表示
如图所示的长方体可以表示为长方体 ，它共有8
个顶点，可表示为，12条棱可以表示为
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
个面可以表示为平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【分析】根据平面的表示方法即可选择正确答案.
【详解】表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP．
由题可知A错误，BCD正确.
故选：A.
知识点02 空间中点与直线、点与平面的位置关系
1、点A在直线l上：A∈l
2、点A在直线l外：A l
3、点A在平面α内：A∈α
4、点A在平面α外：A α
【即学即练2】（2020·高一课时练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.
（1）点与直线；
（2）与直线；
（3）与平面；
（4）点与平面；
【答案】（1） .
（2） .
（3）平面.
（4）平面.
【解析】先判断位置关系,再根据符号语言表示即可
【详解】由图,
（1）点在直线上,所以 ；
（2）点不在直线上,所以 ；
（3）点在平面上,所以平面；
（4）点不在平面上,所以平面；
【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系,考查用符号语言表示空间中的位置关系
知识点03 空间中直线与直线的位置关系
1、直线和直线相交：
2、直线和直线不相交：
【即学即练3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是 .
【答案】平行或异面
【分析】通过画图得到两直线的位置关系.
【详解】如图1，此时直线a与b平行，如图2，此时直线a与b异面.
故答案为：平行或异面
知识点04 直线与平面的位置关系
直线在平面内：
2、直线与平面相交：
3、直线与平面平行：
【即学即练4】（21-22高二上·上海杨浦·期中）对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面之间的关系即可得解.
【详解】直线不在平面上或与相交，
故"直线不在平面上"是""的必要不充分条件.
故选：B.
知识点05 两个平面的位置关系
两平面平行：
两平面相交：
【即学即练5】（2020·高一课时练习）在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系：
①与________； ②与________；
③与平面________； ④与平面________；
⑤平面与平面_________； ⑥平面与平面________.
【答案】 平行 异面 平行 相交 平行 垂直
【解析】根据图形可得答案.
【详解】由图可知，四边形是平行四边形，所以与平行；
与异面；
因为，平面，平面，所以与平面平行；
与平面相交；
平面与平面平行；
平面与平面垂直.
故答案为：平行，异面，平行，相交，平行，垂直.
【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单.
知识点06空间点线面位置关系的公理
1.平面的基本事实
基本事实 （公理） 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
基本事实4 行于同一条直线的两条直线平行 . 基本事实4表明了平行线的传递性基本事实4表明了平行线的传递性
2.平面基本事实的推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
【即学即练6】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论．
【详解】如图所示，连接EF，GH，
由H，G分别是AD，CD的中点，则，且，
又，则，且，
所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P，
又，平面ABD，则平面ABD，
同理平面BCD，
又平面平面，则，
所以直线相交于一点．
知识点07 异面直线
1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
2、异面直线的画法：
②
【即学即练7】（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
【答案】D
【分析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解.
【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；
对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；
对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，如图，在长方体中，
当所在直线为所在直线为时，与相交，
当所在直线为所在直线为时，与异面，
若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.
故选：D
知识点08 空间等角定理
定理：
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言 ， 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
【即学即练8】（23-24高二上·上海·期中）已知空间两个角和，若，，则 ．
【答案】或
【分析】根据空间向量等角定理求解即可.
【详解】因为，，
当和开口方向相同时，，
当和开口方向相反时，.
故答案为：或
知识点09 异面直线所成的角
1、定义：如图，是异面直线，在空间中任选一点，过点分别作的平行线和，则这两条直线和所成的___锐角或直角_________，称为异面直线所成的角．
2、异面直线所成角范围：（0，]
3、求异面直线所成的角的步骤
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
【即学即练9】（22-23高二上·上海普陀·期中）设异面直线a、b所成的角为，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先作出直线所成角，再结合图象以及对称性求得的取值范围.
【详解】过作，则所成的角即异面直线所成角，
确定一个平面，过作，
过作直线和直线分别平分形成的两个对顶角，
当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且；
当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且；
结合对称性可知：若经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，
则的取值范围为.
故答案为：
【题型一：平面的基本性质及辨析】
例1．（23-24高二上·江西宜春·期末）能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间的三点 B．一个点和一条直线
C．两条相交直线 D．无数点
【答案】C
【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可.
【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；
对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；
对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；
对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确
故选：C．
变式1-1．（21-22高一下·全国·课后作业）已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】确定平面、的公共点，利用公理可得出平面与的交线.
【详解】已知过三点确定的平面为，则.
又，则，又平面平面，
则，又因为，所以，
，
所以.
故选：B.
变式1-2．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是 （填写序号）.
【答案】③
【分析】对于①：根据平面的性质分析判断；对于②：根据公理2分析判断；对于③：根据公理3分析判断.
【详解】对于①：由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①错误；
对于②：根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，
故②错误；
对于③：根据公理3可知，不共线的三个点确定一个平面，
因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，③正确.
故答案为：③.
变式1-3．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ．
【答案】
【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可.
【详解】因为，
所以直线，直线，
因为直线，直线，
所以平面，平面，
又平面，
所以.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
1.确定平面的条件：
（1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线.
2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
【题型二：点共面问题】
例2．（20-21高一上·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B
变式2-1．（21-22高一·全国·课后作业）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（ ）
A．，，，四点共面 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【答案】B
【分析】根据题意，作图，结合正方体的性质，证明线线平行，可得答案.
【详解】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确；
因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误；
由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；
连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确．
故选：B.
【点睛】
变式2-2．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】利用三棱柱的几何性质及三角形中位线即可证明，即可得出结论.
【详解】由分别是的中点可知，
是中边的中位线，所以；
在三棱柱中，，
由平行性质的传递性可得；
所以四点共面
变式2-3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】符合同一原理，可以用同一法证明三点构成一个平面．
【详解】假设面与棱交于．
平面，平面与其相交，
，
为中点，为中点，
与重合，即四点共面．
【方法技巧与总结】
基本思路：
①证明四个点在两条平行线上
②证明四个点在两条相交线上
③证明三个点共线
④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内
【题型三：线共面问题】
例3．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知.求证：直线共面．
【答案】证明见解析
【分析】由题意，根据点、线、面之间的关系，即可证明.
【详解】因为，所以和确定一个平面，
因为，所以.
故.
又，所以和确定一个平面.
同理.
即和既在平面内又在平面内，且与相交，
故平面，重合，即直线共面．
变式3-1．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，求证：直线AD，BD，CD共面．
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用平面基本事实的推论及平面基本事实2推理作答.
【详解】因点，则由点D和直线l确定一个平面，有，而，则，
显然，于是，同理，，即直线都在平面内，
所以直线共面.
变式3-2．（22-23高一·全国·课后作业）已知：，，，，，．求证：直线共面于．
【答案】证明见解析
【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论.
【详解】,
同理，
所以直线共面于.
变式3-3．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知三条直线，，相交于同一点，直线与它们分别相交于点，，，（异于点），求证：，，，四条直线在同一个平面内.
【答案】证明见解析
【分析】由点及直线确定一个平面，记为，根据基本事实2可得，同理可证，，即可得证.
【详解】依题意，设点及直线确定一个平面，记为．
，，，又，，
又，，则，
同理可证，，，所以，，，四条直线在同一个平面内.
【方法技巧与总结】
基本思路： 两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内
【题型四：三线共点问题】
例4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由线段成比例证∥，∥即可；
（2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可.
【详解】（1） ，
∥
∥
∥，所以四点共面；
（2） ∥，且，，
，
四边形EFGH为梯形，
设，则，而平面ABD，所以平面ABD ,
又，平面BCD，所以平面BCD，
而平面平面，
，
EH，FG，BD三线共点.
变式4-1．（2022·河南·三模）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；．
（2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可.
【详解】（1）如图，
连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
（2）∵，且，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵直线BE，直线平面，
∴平面，
∵直线DF，直线平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三线共点．
变式4-2．（17-18高一·全国·课后作业）如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．
求证：三条直线交于一点；
【答案】证明见解析
【分析】根据分别是棱的中点可得，利用等角定理可得三点共线，同理可得三点共线；即三条直线交于一点O．
【详解】延长交的延长线于点O，如下图所示：
易得．
在与中，
，所以
所以，由等角定理可知三点共线；
同理可得三点共线；
∴三条直线交于一点O．
变式4-3．（21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接EF，根据E，F分别为AB，BC的中点，得到，再根据三棱柱的性质证明即可；
（2）由（1）得且E，F，，四点共面，得到与必相交，设，再证明即可.
【详解】（1）证明：如图，
连接EF，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴..
又在三棱柱中，，
∴.
则E，F，，四点共面.
（2）由（1）得且E，F，，四点共面，
则与必相交.
设.
∵ 平面，∴P∈平面.
∵ 平面，∴P∈平面..
又平面∩平面
∴.
则，，交于一点.
【方法技巧与总结】
基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上
【题型五：三点共线】
例5．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．
【答案】三点共线，理由见解析
【分析】由点共面、面共线可得答案.
【详解】M，N，K三点共线．理由如下：
因为即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线，
即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线，
又平面与平面是同一平面，所以与是同一条直线，即M，N，K三点共线．
变式5-1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明.
【详解】因为，且平面，所以平面，
同理平面，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面∩平面，所以成立．
所以点三点共线．
变式5-2．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.
（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.
【详解】（1） 、分别是、的中点，
，
，，
.
（2）因为，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面与平面的公共点，
又平面 平面，
所以，所以三点共线
变式5-3．（20-21高一下·全国·课后作业）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且，求证O，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】根据“两条平行的直线确定一个平面”以及“两平面相交，则交线为一条直线”推理.
【详解】 ，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则，
，又直线 ，
∴O，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上
【题型六：截面问题】
例6．（23-24高二上·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长.
【详解】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
所以，
由 得，
，，
所以分别为靠近的三等分点，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周长为.
故选：C.
变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ．
【答案】
【详解】
如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为.
【考查意图】判断截面图形的形状，截面的面积．
变式6-2．（2023高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
【答案】答案见解析
【分析】
由平面的基本性质作图.
【详解】如图所示，五边形即为所求截面.
作法如下：连接并延长交的延长线于点，
连接交于点，交的延长线于点，
连接交于点，连接，，
所以五边形即为所求截面.
变式6-3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．
【答案】答案见解析
【分析】根据给定条件，利用平面基本事实确定截面与正方体对应棱的公共点作出截面即可.
【详解】在正方体中，画直线与的延长线分别交于点，如图，
画直线交棱于，与的延长线交于点，连接交分别于点，
连接，因此六边形是过点三点的正方体的截面，如图，
【方法技巧与总结】
作图原则
（1）两点确定一条直线.
（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
【题型七：异面直线辨析】
例7．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中，真命题的个数是（ ）
① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】略
变式7-1．（2024·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B．若，则l与m可能垂直
C．若，且，则l与m可能平行
D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
【答案】B
【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内，
且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B：若，则l与m可能垂直，
如图所示：，可知：，故B正确；
对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误；
对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直，
如图，取为平面，，
符合题意，但，故D错误；
故选：B.
变式7-2．（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.
【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是，
其中，所以与共面、与共面、与共面．
故选：C
变式7-3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)证明：和是异面直线．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)证明过程见解析.
【分析】第一问利用三角形中位线性质，结合平行公理推理作答.第二问利用反证法来证明.
【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．所以线段是的中位线，所以且，同理可得且，所以且，所以四边形为平行四边形.
（2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交，所以和可以确定一个平面，所以，这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线.
【题型八：异面直线所成角】
例8．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据即可求解最小值时，即可求解，利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角，由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故当时，此时最小，线段的长度最小值，
由于线段的最小值为，故此时，为中点，故，
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角，
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
变式8-1．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】为中点，可知即为异面直线，所成角（或其补角），余弦定理求解即可.
【详解】连结，取中点，连结，，如图所示，
则，可知即为异面直线，所成角（或其补角），
，，
，，
所以，即异面直线，所成角的余弦值为.
故选：D
变式8-2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,作出异面直线的平面角，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，取的中点，
连接,
由题意知，,
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，,
则,
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C.
变式8-3．（2020·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用三角形中位线性质，结合异面直线的定义求解即得.
【详解】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，
而分别为的中点，则，，
因此或其补角是异面直线与所成的角，
在中，，则，
所以异面直线与所成角的大小是.
故选：C
【方法技巧与总结】
把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
一、单选题
1．（2024高一下·全国·专题练习）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】借助等角定理可得为异面直线与所成的角，借助正切定义计算即可得.
【详解】取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，
且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以为异面直线与所成的角，
在直角中，.
故选：A.
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义逐项判断.
【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误；
平面，平面，，
所以与是异面直线，B正确；
因为，所以四点共面，C错误；
，D错误.
故选：B
3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（ ）
（1），，三点共线；
（2），，，四点共面；
（3）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）.
【详解】因为，直线平面，
，直线平面，
所以是平面与平面的一个公共点，
所以在平面与平面的交线上，
同理可证，也在平面与平面的交线上，
所以三点共线，所以（1）正确；
平面，所以（2）错误；
由于，所以（3）错误.
故选：B.
4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平面的性质公理1可判断A，由平面的性质公理2，可判断B，由线面的位置关系可判断CD.
【详解】由 ，，，根据公理1可得，故A选项正确，
由，，，根据公理2可得，故B选项正确，
由，可能与相交，可能有，故C选项错误，
由，根据公理1可得，故D选项正确，
故选：C.
5．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（ ）
A． B．
C．或 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据等角定理确定角与角的关系，即可得.
【详解】由等角定理可知角的两边和角的两边分别平行，则两角相等或互补，
故或，所以或.
故选：C.
6．（2024高一下·全国·专题练习）直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
【答案】C
【分析】由平面的公理2及其推论可得正确答案.
【详解】两条平行直线确定一个平面，所以经过直线，，直线，，直线，的平面各有一个，
故直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有共3个．
故选：C
7．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分与AB平行且与相交，与AB相交且与平行，与AB相交也与相交，列举出满足要求的直线，得到答案.
【详解】AB与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线，
与AB平行且与相交的有CD，，与AB相交且与平行的有，，
与AB相交也与相交的有BC，所以共有5条．
故选：C．
8．（2024高一下·全国·专题练习）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，则
B．，则直线，直线
C．，则
D．，且不共线，则重合
【答案】C
【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确；
对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确；
对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确；
对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确.
故选：C.
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．正方形
【答案】ABC
【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案.
【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）；
当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）；
当点不与点重合时，当分别为的中点，
则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）．
故选：ABC.
10．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角
【答案】ACD
【分析】根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及异面直线的意义判断即可.
【详解】将正方体的展开图还原，如图，
对于A，连接，显然，则四边形是平行四边形，
，而，因此，A正确；
对于B，由，得，
则，而，因此，B错误；
对于C，平面，平面，，平面，
因此MN与AB是异面直线，C正确；
对于D，由选项B知，，因此BF与CD成角，D正确.
故选：ACD
11．（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ）
A．直线与直线相交；
B．直线与直线平行；
C．直线BM与直线是异面直线；
D．直线与直线成角.
【答案】CD
【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确.
【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，
对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以A不正确；
对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以B不正确；
对于C中，平面平面，平面，平面，
所以直线与不相交，连接，则，而与相交，
所以与不平行，否则，不合题意，
所以直线与是异面直线，所以C正确；
对于D中，连接，则为正三角形，可得，
又由，则为直线与直线所成的角，
即直线与直线所成的角为，所以D正确.
故选：CD.
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 .
【答案】或
【分析】取的中点，连接、，即可得到为异面直线与所成的角或其补角，即或，再利用余弦定理计算可得.
【详解】取的中点，连接、，
、分别为、的中点，且，
同理可得且，
为异面直线与所成的角或其补角，则或.
在中，，，
若，由余弦定理可得
；
若，由余弦定理可得
；
综上所述，或.
故答案为：或.
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解.
【详解】如图，连接MC，MA，
则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短，
此时N为AC中点，面，
如图延长至G，使得，连接GM，
则面，且，
所以面，故当三点共线时最小，
此时.
故答案为：.
14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为 .
【答案】/
【分析】如图，作 ，则，进而 ，得，即可求解.
【详解】作 交于，连接，则.
而，所以，则 .
由，得，所以，
又 ， ，
所以，故.
故答案为：
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小.
【答案】.
【分析】首先取AC的中点F，连接DF，EF，证明为异面直线PA与BC所成的角，再用勾股定理证明其为直角即可.
【详解】如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在中，
∵D是PC的中点，F是AC的中点，.
同理可得.
为异面直线PA与BC所成的角（或其补角）.
在中，，
又，，
，
，即异面直线PA与BC所成的角为.
16．（2024高三·全国·专题练习）如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点．
(1)试用反证法证明直线与是异面直线；
(2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；
(3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，值域
(3)
【分析】（1）假设直线与共面，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明；
（2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域；
（3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案．
【详解】（1）证明：假设直线与是共面直线，
设直线与都在平面上，则A、、、．
因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点，
即平面和平面重合（都与平面重合），
这与长方体的相邻两个面不重合矛盾，
于是，假设不成立，
直线与是异面直线.
（2）解：正方体的棱长为2， ，
设，则，得，，
，得，
，
当时，有最小值为，
当趋近于时，趋近于2，当趋近于0时，趋近于，
函数的值域为；
（3）当时，最小，此时，
在底面中，，，，
又，为异面直线与所成角的角，
在中，为直角，，
∴异面直线与所成角的正弦值为．
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)所在的直线与平面的位置关系；
(2)所在的直线与平面的位置关系；
(3)所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面与平面的位置关系；
(5)平面与平面的位置关系.
【答案】(1)相交
(2)相交
(3)平行
(4)平行
(5)相交
【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可.
【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交.
（2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交.
（3）由正方体的结构特征得平面平面，，
所以所在的直线与平面平行.
（4）由正方体的结构特征得平面平面，
所以平面与平面平行.
（5）由正方体的结构特征得平面平面，
而平面平面，
所以平面与平面相交.
18．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，
(1)与是否在同一平面内？
(2)画出平面与平面的交线．
【答案】(1)在同一平面内；
(2)作图见解析
【分析】（1）经过两条平行直线，有且只有一个平面，由此判断与是在同一平面；
（2）先画出图象，再求出平面与平面的公共点，由此画出两个平面的交线.
【详解】（1）∵，
∴与可确定平面，
∴与在同一平面内.
（2）如图所示:
设，连接，则平面，且平面.
∵平面，且平面BC1D，
∴平面平面．
19．（2023高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：
(1)和、和、和分别在同一平面内；
(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断；
（2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可.
【详解】（1）∵，
∴确定平面，
∵都在平面内，
∴平面；平面，
∵，
∴确定平面，
∵都在平面内，
∴平面；平面，
∵，
∴确定平面，
∵都在平面内，
∴平面；平面；
（2）∵，∴，
因为平面，平面，
所以点在平面与平面的交线上，
∵，∴，
因为平面，平面，
所以点在平面与平面的交线上，
∵，∴，
因为平面，平面，
所以点在平面与平面的交线上，
所以三点共线.
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