6.4.1直线与平面平行
课程标准 学习目标
1、能够用图形、文字等方式阐述平面与平面平行的概念。 2、能够通过观察、实验等方式发现直线与平面平行的特点。 3、能够利用直线与平面平行的性质解决问题 1、掌握什么是平面与平面平行。 2、掌握什么是直线与平面平行。 3、理解直线与平面平行的充分必要条件。
知识点01 空间直线与平面的位置关系
位置关系 公共点 符号语言 图形语言
直线在平面内 无数个公共点 a α.
直线在平面外 直线与平面相交 一个公共点 a∩α＝A
直线与平面平行 没有公共点 a∥α
【即学即练1】（多选）（23-24高一下·重庆·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点
B．若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
D．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
知识点02 直线与平面平行的判定定理
文字语言： 如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
符号语言： a α，b α，a∥b a∥α.
图形语言：
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证：
(1)∥平面；
(2)∥平面.
知识点03 直线与平面平行的性质定理
文字语言： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
符号语言： 符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
图形语言：
【即学即练3】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面
(1)证明： 平面
(2)证明：
【题型一：线面平行概念辨析】
例1.（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1-1.（23-24高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的个数为（ ）
①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1-2.（23-24高二下·上海·阶段练习）设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
变式1-3.(多选)（2024高一下·全国·专题练习）已知a，b是不同的直线，是平面，下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【方法技巧与总结】
判断或证明线面平行的常用方法
1、定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）.
2、判定定理法：a α，b α，a ll b→a ll α
3、排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.
【题型二：中位线法判断线面平行】
例2．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在四面体中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
(1)∥平面EFG；
(2)∥平面EFG．
变式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；
变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.
变式2-3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.
【题型三：平行四边形法判断线面平行】
例3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；
变式3-1．（20-21高一下·全国·单元测试）在正方体中，分别是上的点，求证：平面
变式3-2．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，连接．求证：平面．
变式3-3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.
【题型四：线面平行的性质定理】
例4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.
变式4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF.
变式4-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；
变式4-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．
(1)求证：平面EAC．
(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．
【方法技巧与总结】
1.性质定理中的三个条件，a∥α，a β，α β=b，缺一不可.
2.定理揭示了当a∥α时，在一个平面内作直线a的平行线的方法，即过a作一平面与已知平面相交，交线b一定与a∥α平行。
【题型五：动点探索问题】
例5．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；
变式5-1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，点M在侧棱上且.若平面，试确定实数t的值.
变式5-2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点．
(1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线 （请写出必要作图说明）
(2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面 如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长.
变式5-3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)作出l（写出作法，并保留作图痕迹）；
(2)线段PB上是否存在一点E，使l平面ADE？请说明理由.
【题型六：线面平行的应用】
例6.（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（ ）
A．平面且为矩形 B．平面且为梯形
C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形
变式6-1.（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B． C． D．
变式6-2.（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：
①直线平面； ②直线平面；
③直线平面； ④直线平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6-3.（22-23高一下·浙江温州·期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型七：线面平行性质的应用】
例7.（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）
A．与互相平行；
B．与是异面直线；
C．与相交，其交点在直线上；
D．与相交，且交点在直线上．
变式7-1.（2023高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点， 平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
变式7-2.（20-21高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式7-3.（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
3．（2022高三·全国·专题练习）如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（ ）
A． B．6 C． D．5
4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直线和平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（21-22高三上·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多选题
9．（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）
A．有水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值
C．棱始终与水面EFGH平行 D．若，，则是定值
10．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．，D，E，H四点共面 D．，D，E，四点共面
三、填空题
12．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
13．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是 ．（填序号）
① 直线AB∥直线CD；② 直线PQ∥直线ED；③ 直线PQ∥平面ADE.
14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 .
四、解答题
15．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.
16．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，若为棱的中点，
(1)判断平面与平面是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；
(2)如图2，求证：平面．
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．
18．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在三棱柱中，D在线段AC上．
(1)若D是AC中点，求证：平面；
(2)若M为BC的中点，直线平面，求．
19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.
(1)若，证明：平面；
(2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.4.1直线与平面平行
课程标准 学习目标
1、能够用图形、文字等方式阐述平面与平面平行的概念。 2、能够通过观察、实验等方式发现直线与平面平行的特点。 3、能够利用直线与平面平行的性质解决问题 1、掌握什么是平面与平面平行。 2、掌握什么是直线与平面平行。 3、理解直线与平面平行的充分必要条件。
知识点01 空间直线与平面的位置关系
位置关系 公共点 符号语言 图形语言
直线在平面内 无数个公共点 a α.
直线在平面外 直线与平面相交 一个公共点 a∩α＝A
直线与平面平行 没有公共点 a∥α
【即学即练1】（多选）（23-24高一下·重庆·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点
B．若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
D．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
【答案】ACD
【分析】作出图形可判断A；与平面没有公共点，可判断B；作出图形可判断C；由棱台的侧棱交于一点的几何特征，可判断D.
【详解】对于A：如图，，，与可能相交，故A错误；
对于B：直线，所以与平面没有公共点，所以与平面内的直线平行或异面，故B正确；
对于C：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，
如图所示，符合题意，但几何体不是棱柱，故C错误；
一个平行于棱锥的底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，
所以棱台各侧棱的延长线交于一点，其余各面都是梯形的几何体侧棱可能不交于一点，故D错误.
故选：ACD.
知识点02 直线与平面平行的判定定理
文字语言： 如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
符号语言： a α，b α，a∥b a∥α.
图形语言：
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证：
(1)∥平面；
(2)∥平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的性质证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）取的中点F，证明四边形为平行四边形，即可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
【详解】（1）证明：因为∥平面， 平面，平面平面，
所以，
又 平面，平面，
所以∥平面.
（2）取的中点F，连接，E是的中点．得，且，
由（1）知AD∥BC且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
所以平面.
知识点03 直线与平面平行的性质定理
文字语言： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
符号语言： 符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
图形语言：
【即学即练3】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面
(1)证明： 平面
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可.
（2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到
【详解】（1）连接交于，连接．
因为四边形为直角梯形，，所以，
又因为，所以，
因为面面，所以平面.
（2）因为四边形为直角梯形，所以．
因为面面，所以平面．
因为面，面面．
所以．
【题型一：线面平行概念辨析】
例1.（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若，，，且，所以直线与平面平行的判定定理知；
若，，，所以直线与平面平行的性质定理知；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
变式1-1.（23-24高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的个数为（ ）
①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，结合线面位置的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，如果直线，那么平行于经过的任何平面或在此平面内，所以①错误；
对于②中，如果直线和平面满足，在与平行、相交或异面，所以②错误；
对于③中，过直线作平面，交平面于直线，根据线面平行的性质，可得，
因为，可得，又因为，所以，所以③正确.
故选：B.
变式1-2.（23-24高二下·上海·阶段练习）设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解.
【详解】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故选：D.
变式1-3.(多选)（2024高一下·全国·专题练习）已知a，b是不同的直线，是平面，下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】ABC
【分析】考查点线面位置关系，根据点线面位置关系类型和种类以及线面平行判定定理进行讨论分析即可.
【详解】对于A，因为，内有无数条直线与平行，故还可能是，故A错误；
对于B，，所以a与没有公共点，又，所以与没有公共点，
所以a与b的位置可平行可异面，故B错误；
对于C，因为,，所以或b在内，故C错误；
对于D，由线面平行的判定定理知D正确．
故选：ABC．
【方法技巧与总结】
判断或证明线面平行的常用方法
1、定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）.
2、判定定理法：a α，b α，a ll b→a ll α
3、排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.
【题型二：中位线法判断线面平行】
例2．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在四面体中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
(1)∥平面EFG；
(2)∥平面EFG．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】利用线面平行的判定定理证明.
【详解】（1）证明：因为F，G分别是BC，CD的中点，
所以，又 平面EFG，平面EFG ，
所以平面EFG；
（2）因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以，又 平面EFG，平面EFG ，
所以平面EFG；
变式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；
【答案】证明见解析
【分析】可先由中位线证明两线平行，再证明线面平行.
【详解】令交于,连接,
四边形为矩形，
为中点，
又 为的中点，
，
又平面，平面.
平面，
变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】先证明四边形是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理求解即可.
【详解】取中点，连接，因为分别是的中点，、
所以，
又因为底面是菱形，是的中点，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
变式2-3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】连接，,证明四边形为平行四边形，得为的中点，利用三角形中位线定理可得,即可证得.
【详解】证明：如图，连接，，
设，连接.
在三棱台中，，为中点，
可得
所以四边形为平行四边形．
所以为的中点．又为的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
【题型三：平行四边形法判断线面平行】
例3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；
【答案】证明见解析
【分析】
取的中点，连接，，可证明，再根据线面平行的判定定理可得结论.
【详解】
取的中点，连接，，
根据题意可得，且，，可得
由三棱柱得性质知，所以，即，
则四边形是平行四边形，所以，
因为面，面，
所以面．
变式3-1．（20-21高一下·全国·单元测试）在正方体中，分别是上的点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线的传递性以及相似可得平行四边形，即可由线面平行的判定求证.
【详解】证明：分别过作的垂线，垂足 分别为，
则，又
∴
∵=，∴.同理.
∵.
∴四边形是平行四边形.
∴平面平面，
∴平面.
变式3-2．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，连接．求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】过点作的平行线交于点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证.
【详解】如图所示，过点作的平行线交于点，连接,
因为，，所以，，因为，所以，
又因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
变式3-3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明.
【详解】连接，ME，
∵M，E分别是，BC的中点，
∴，且，
∵N为的中点，∴.
，，
所以，
∴四边形是平行四边形，
∴，∴，
∴四边形MNDE是平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面.
【题型四：线面平行的性质定理】
例4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，再利用线面平行的性质定理可得结论.
【详解】因为在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
变式4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵ 底面ABCD是正方形，∴AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴ AB∥平面PCD.
又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴ AB∥EF.
∵ 平面PAB与平面PCD交于直线l，∴ AB∥l，∴ l∥EF.
【考查意图】以四棱锥为模型，考查利用线面平行的性质定理证明线线平行．
变式4-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；
【答案】证明见解析
【分析】利用线面平行的判定定理，得到平面，再利用线面平行的性质，即可证明结果.
【详解】证明：四棱锥的底面是菱形，，
又平面，平面，则平面，
又平面平面，平面，
所以.
变式4-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．
(1)求证：平面EAC．
(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明；
（2）根据线面平行的性质定理完成证明.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面平面，平面，
所以.
【方法技巧与总结】
1.性质定理中的三个条件，a∥α，a β，α β=b，缺一不可.
2.定理揭示了当a∥α时，在一个平面内作直线a的平行线的方法，即过a作一平面与已知平面相交，交线b一定与a∥α平行。
【题型五：动点探索问题】
例5．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；
【答案】存在，为的中点，证明见解析
【分析】当为的中点时，取得中点，连接，，，先利用中位线及平行四边形的性质得出，再根据线面平行的判定定理即可证明.
【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面.
证明如下：
取得中点，连接，，.
因为为的中点，
所以 ，且.
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以 ，且，
所以 ，且，
所以四边形为平行四边形.
所以 .
因为平面，平面，
所以 平面.
变式5-1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，点M在侧棱上且.若平面，试确定实数t的值.
【答案】
【分析】连接交于点，交于点，连接，首先设菱形的边长为，表示出，然后由线面平行的性质、截平行线段成比例即可求解.
【详解】如图，连接交于点，交于点，连接，易知为的中点．
因为分别为正三角形的边上的中线，
所以为正三角形的中心．
设菱形的边长为，
则，.
因为平面，平面，平面平面，
所以.
所以.
即，所以实数的值为.
变式5-2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点．
(1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线 （请写出必要作图说明）
(2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面 如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长.
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，，7
【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线；
（2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长.
【详解】（1）因为，所以M为的中点，
作，交于G，则G为的中点，连接，
则，由题意知四边形为平行四边形，则，
故，即共面，
故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可；
（2）存在，，说明如下：
假设在线段上存在一点N，使直线平面，
连接并延长交于E，连接，
因为平面，平面，平面平面，
故，则，
由题意知四边形为正方形，故，
则，即假设成立，
故在线段上存在一点N，使直线平面，此时；
由于，，故，故，
中，，则
，
即，而，，
故，则.
变式5-3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)作出l（写出作法，并保留作图痕迹）；
(2)线段PB上是否存在一点E，使l平面ADE？请说明理由.
【答案】(1)作法：延长BA，CD，相交于点Q，连接PQ，则直线PQ就是所求的直线l，作图痕迹见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）延长相交于点，连接，，即可得到所求直线;
（2）根据线线平行，证明线面平行，从而得到结论.
【详解】（1）作法：延长相交于点Q，连接，则直线就是所求的直线，图形如下：
（2）当点是线段的中点时，可使平面，理由如下：
由（1）知为中点，又是的中点，
∴，
又平面， 平面，
∴平面，
故当点E是线段PB的中点时，可使平面．
【题型六：线面平行的应用】
例6.（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（ ）
A．平面且为矩形 B．平面且为梯形
C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形
【答案】B
【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可.
【详解】在平面内，，
．
又平面平面，
平面．
又在平面内，
分别是的中点，
．
又，
．
在四边形中，且，
四边形为梯形．
故选：B．
变式6-1.（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断.
【详解】对于A,如下图所示，
易得,
则，
又平面,平面,
则平面，故A满足；
对于B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接,
易得,
则四边形为平行四边形，
四点共面，
又易知，
又平面,平面,
则平面，故B满足；
对于C,如下图所示，
点为所在棱的中点，连接,
易得四边形为平行四边形，四点共面，
且,
又平面,平面,
则平面，故C满足；
对于D，连接,
由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形，
所以与所在的直线相交，
故不能推出与平面不平行，故D不满足，
故选：D.
变式6-2.（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：
①直线平面； ②直线平面；
③直线平面； ④直线平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确.
对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确.
对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误.
对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误.
故选：B.
变式6-3.（22-23高一下·浙江温州·期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.
【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；
对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接
则平面MNP和平面为同一平面，因为，
因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；
对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，
所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；
对于D：分别是所在棱的中点，连接，，
平面与平面为同一平面，
取的中点为，连接，由中位线定理可知，，
因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；
故选：C
【题型七：线面平行性质的应用】
例7.（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）
A．与互相平行；
B．与是异面直线；
C．与相交，其交点在直线上；
D．与相交，且交点在直线上．
【答案】D
【分析】推导出四边形是梯形，从而判断AB，推导出平面，平面，再由平面平面，得，从而平面，判断C；推导出与相交，与相交，与平面相交，且只有一个交点，判断D.
【详解】因为，，
所以四边形是梯形，
所以与共面，且不平行，AB错误；
则与相交，
对于C，因为平面，平面，
平面，平面，
所以平面，平面，
又平面平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，故C错；
对于D，若与平行，平面，平面，
则，又平面，且平面平面，
则，所以，与四边形是梯形矛盾，
所以与不平行，
又平面，
所以与相交，与不平行，平面，
所以与相交，
综上，与平面相交，且只有一个交点，
所以与相交，且交点在直线上，D正确.
故选：D
变式7-1.（2023高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点， 平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据线面平行的性质定理得出结果.
【详解】正方体，连接交于点O，连接，如图所示，
∴平面，平面平面，平面，
∴，
又，∴为平行四边形，
则.
故选：B.
变式7-2.（20-21高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.
【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，
因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故选：C.
变式7-3.（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案.
【详解】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，
因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，
而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故选：C.
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】B
【分析】取中点为，由，分别是 和的重心，证得，结合不平行，可判定A错误；利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定B正确；结合平面，平面和平面，平面，可判定C、D错误．
【详解】如图所示，取中点为，连结、，
由，分别是 和的重心，可得，，
则，，即，所以，
又由不平行，故A错误；
由，且平面，平面，所以平面，
所以B正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，所以C错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，所以D错误．
故选：B．
2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定定理分析求解.
【详解】如图，设为相应棱的中点，
则//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：与平面平行，
由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，
所以与平面平行的直线有6条.
故选：C.
3．（2022高三·全国·专题练习）如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【分析】由线面平行得线线平行，再由平行线分割线段成比例可得，解出即可.
【详解】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，，
所以，
根据平行线分割线段成比例可得，
又，解得，
②当为异面直线时，连接，如图
由①证明可知，，
所以，
又，解得.
故选：C.
4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直线和平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】A.利用平面与平面的位置关系判断；B.利用直线与直线的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.过a作，有，过a作，有，利用线面平行的判定定理和性质定理判断.
【详解】A. 若，，，，或相交，故错误；
B.若，，，则或异面或相交，故错误；
C.若，，，则或相交，故错误；
D. 如图所示：
过a作，有，过a作，有，
因为，所以，因为，所以，所以，
因为，，所以，又，
所以，则，故正确；
故选：D
5．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案.
【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面，
因为，平面，平面，
所以，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，
所以且，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键.
6．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据线面平行的性质将平面转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可；
【详解】
连接交于，连接，
因为平面，平面平面,
所以,又因为是的中点，
所以D是上的中点，即
故选：B.
7．（21-22高三上·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可．
【详解】对于A，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于B，如图连接，
因为，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于C，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
对于D，如图取底面中心，连接，
由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为与平面相交，所以与平面相交，
故选：D．
8．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面 平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面 平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.
故选：B
二、多选题
9．（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）
A．有水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值
C．棱始终与水面EFGH平行 D．若，，则是定值
【答案】ACD
【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由，水面EFGH，水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.
【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有，
且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；
因为平面，平面，则，
且，则，即为矩形，
又因为水面所在四边形的面积，从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化，
所以所在四边形的面积是变化的，故B错误；
因为，水面EFGH，水面EFGH，
所以水面EFGH正确，故C正确；
若，，由于水的形状成棱柱，且水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，
又在矩形中，四边形的面积为是定值，因为为定值，所以是定值，故D正确.
故选：ACD．
10．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的判定定理判断；C. 由平面NMP即为平面BNPM判断；D.利用线面平行的判定定理判断.
【详解】A.在正方体中，易得，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为且都在面ACB内，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故正确；
B.如图所示：
易得，又平面，平面，所以平面，
又平面NCD与平面NMP相交，所以直线AB与平面NMP不平行，故错误；
C.因为 ，所以平面NMP即为平面BNPM，显然直线AB与平面BNPM相交，故错误；
D.如图所示：
易得，所以，
又平面，平面，
所以平面，故正确，
故选：AD
11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．，D，E，H四点共面 D．，D，E，四点共面
【答案】AC
【分析】取的中点M，连接AM，EF，ME，利用线面平行的判定定理可判断A，取的中点，连接，延长与交与点，连接，可得，由直线与平面相交，可判断B；连接EH，由可判断C；若，D，E，四点共面，则，显然不成立可判断D.
【详解】
如上图，取的中点M，连接AM，EF，ME，因为，，，，所以，，则四边形AFEM为平行四边形，
因为平面，平面，所以平面，A正确，
如上图，取的中点，连接，延长与交与点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，可得，
因为平面，平面，所以直线与平面相交，
所以与平面相交，故B错误；
如下图，连接EH，则，，所以，可得，D，E，H四点共面，故C正确；
若，D，E，四点共面，则，显然不成立，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值.
【详解】过点分别作交于点，交于点，
连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：
13．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是 ．（填序号）
① 直线AB∥直线CD；② 直线PQ∥直线ED；③ 直线PQ∥平面ADE.
【答案】②
【详解】解析：翻折之后如图所示：
因为AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，
因此AB∥CD，故①成立．
连接FD，由以上分析知四边形CDEF为矩形，所以Q为FD的中点．因为P为AF的中点，所以PQ∥AD.因为PQ∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ与ED不平行，故②不成立．
因为PQ∥AD，且PQ 平面ADE，AD 平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故③成立．故选②.
14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 .
【答案】
【分析】借助线面平行的判定定理与性质定理可得点位置，即可注意计算四边形边长.
【详解】由题意知，四边形为菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
，则，
为的中点，则为的中点，，
是边长为2的等边三角形，则，
且， 同理可得，
因此四边形的周长为.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）取中点，连接，根据线面平行与面面平行的判定可得平面平面，进而可得证明平面PAD；
（2）根据线面平行的判定可得平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可.
【详解】（1）取中点，连接.
因为分别为的中点，故，，
又平面，平面，故平面，同理平面.
又平面，，故平面平面，
又平面，故平面.
（2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面.
又平面平面l，平面，故.
16．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，若为棱的中点，
(1)判断平面与平面是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；
(2)如图2，求证：平面．
【答案】(1)解析见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据基本事实2可作两个平面的交线.
（2）如图可证，根据线面平行的判定定理证明.
【详解】（1）平面与平面ABCD相交，
因为，
所以四点共面，且与不平行则必相交，
如图，连接、并延长交于，连接，
则平面平面.
（2）连接，交与点，连接，
在中，点分别是的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面.
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，利用平行四边形证明BE∥AF即可；
（2）取CD的中点G，连接AG，PG，可得∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由等边三角形求解即可.
【详解】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，
则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，
由已知AB∥CD且AB＝CD，
所以AB∥EF且AB＝EF，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，而AF 平面ADP，BE 平面ADP，
所以BE∥平面ADP．
（2）取CD的中点G，连接AG，PG，
所以AB∥GC且AB＝GC，
所以四边形ABCG为平行四边形，
所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，
由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°，
所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°．
18．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在三棱柱中，D在线段AC上．
(1)若D是AC中点，求证：平面；
(2)若M为BC的中点，直线平面，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接交于点O，连接OD，证明，证明平面；
（2）设交于点E，连接DE，得到，利用平行即可求解.
【详解】（1）连接交于点O，连接OD，
∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点，
又∵D为AC的中点，∴
∴平面，平面，∴平面
（2）设交于点E，连接DE,
∵平面，平面，平面平面
∴，∴
又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点
∴，∴
19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.
(1)若，证明：平面；
(2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；
（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.
【详解】（1）连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，
所以，
又且，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）当时为的中点，连接交于点，连接，
连接交于点，取的中点，连接、，
因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，
又且，所以为平行四边形，所以，
所以，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又，
此时，
当时与点重合，在上取点使得，连接，
由前述说明可知为的中点，则，
又，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
综上可得当时，求长度的取值范围为.
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