初中数学人教版九年级上册 第二十二章 二次函数综合题 解答题专题训练（含解析）

二次函数综合题 解答题专题训练
一、二次函数与特殊四边形问题
1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线解析式；
(2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
(3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
2．已知抛物线与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，且．
(1)分别求该抛物线和直线的函数表达式；
(2)如图1，若点P在直线下方的抛物线上，且，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
3．如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
(2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形．
①求的值；
②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标．
5．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由；
(3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
二、二次函数与角度问题
6．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标；
(3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．
7．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值．
8．如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值；
9．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，，，．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标．
10．点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方．
①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值．
三、二次函数与特殊三角形问题
11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且；
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；
(3)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标．
13．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
14．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点．直线经过于点、交轴于点，．
(1)求拋物线的解析式；
(2)点在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，的面积等于，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，连接，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交线段于点，过点作的垂线交于点，交线段于点，连接，，当时，求点坐标．
《2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练》参考答案
1．(1)
(2)
(3)点K的横坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解；
（3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，为，此时，
作交于，交对称轴于，交轴于，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当、、、四点共线时，的值最小，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：∵，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，
，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，满足题意，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为或；
如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，
，
由轴对称的性质可得，，，
此时，满足题意，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点的横坐标为或；
综上所述，点K的横坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
2．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)点P的横坐标为或
(3)的最大值是
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）先根据一次函数确定，即，再结合可得，可确定，然后运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过点P作轴交直线于点Q，易得、，即，进而得到、；设，则，
；再结合可得，最后解一元二次方程即可；
（3）如图：作轴交于N，过点N作轴交于E，设，则，再说明可得、，同理：可得，然后得到，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：经过点C，
∴令得，
，
，
，
∴，在抛物线上，
∴，解得：，
，
在直线上，
∴，解得：，
，
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为．
（2）解：如图：过点P作轴交直线于点Q，
，
令得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
或，
∴点P的横坐标为或．
（3）解：如图：作轴交于N，过点N作轴交于E，
设，
，
，
，
，
，
，，，
，，
同理：，
，
，
，
当时，的最大值是．
3．(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）将点与点代入解析式，即可求解；
（2）由抛物线平移得，抛物线得顶点为，
①交于，过作交轴于，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，可求，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解；
②（ⅰ）当在直线的右侧时，当时，，待定系数法得直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； （ⅱ）当在直线的左侧时，方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、，设，由勾股定理得，，，，联立可求，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； 方法二：抛物线与轴交于，联结，可求，由等腰直角三角形的性质得 ，由可判定（），由全等三角形的性质得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
，
顶点为，
故该抛物线的表达式，顶点坐标；
（2）解：将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，
，
抛物线得顶点为，
①如图，设交于，过作交轴于，
直线将分割成面积相等的两个三角形．
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，
故的值为；
②
，
（ⅰ）当在直线的右侧时，
当时，，
同理可求：直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，（舍去），
；
（ⅱ）当在直线的左侧时，
方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、，
设，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：，（舍去），
；
方法二：抛物线与轴交于，联结，
当时，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
满足条件；
综上所述：点的坐标或．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象的平移，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质等；掌握二次函数图象的平移，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法，勾股定理进行求解，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
4．(1)；；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标．
【详解】（1）解：把、，代入，
可得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，，
直线的函数表达式为；
（2）解：过作轴交于，如图所示：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为；
（3）解：直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入可得，，
解得：
直线的解析式为：，
则
解得，或
的坐标为．
5．(1)
(2)存在点，使的面积最大，最大面积是16
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）分为以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边或对角线两种情况，画出示意图讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
将代入，则，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．
，
．
，
当时，的面积最大，最大面积是16．
，
存在点，使的面积最大，最大面积是16．
（3）解：如图，
当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4，
∴或，
解得：，
当时，则有，
∴，
∴，
同理可得当，，
得，，
当为对角线时，则有，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，二次函数与特殊四边形的综合，解题的关键是用分类讨论的思想解决问题即可．
6．(1)
(2)或
(3)或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案；
（3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，
，
将A、B、C代入，得
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
代入A、C得，
解得，
，
过点M作轴，交于点N，
设，则，
，
，
即，
解得或，
或；
（3）解：∵抛物线为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；
∴，
设，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
同理可得：，，
∴，
∴；
如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴；
如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，
此时，，
∴，且，
此时四边形是正方形，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
7．(1)；
(2)面积的最大值是，点的坐标为；
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为；
（3）设直线的解析式为，联立可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值．
【详解】（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，
是一个定值．
8．(1)
(2)四边形面积最大值等于9
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决．
（1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，．
，
，
，
．
点、在抛物线上，
，解得，
抛物线的解析式为：．
（2）解：令，得，，
令，得或1，．
设点坐标为，，，
如图所示，过点作轴于点，则，，．
点在抛物线上，
，代入上式得：
，
当时，四边形面积有最大值，最大值为9．
9．(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在，，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、三角形全等的判定与性质及三角形的面积计算等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，求出直线的解析式为，设，则，求出，由列方程求解即可；
（3）分当点在左侧和右侧两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中，得：
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，如图1，

把代入中，得：，
∴点坐标是，
设直线，
把，代入，代入得：
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴，
由得：，
∴，
整理得：，
解得：，，7分
∵，
∴的值为1或2，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或；
（3）解：抛物线上存在点，使得；理由如下：
由，得，
∴，
①当点在左侧时．如图2，

在轴上取点，延长交抛物线于点．
在和中，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
解得：，
∴设直线的解析式为，
由得：或，
∴；
②当点在右侧时，如图2，

作关于的对称，交二次函数于点，则，，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
令中，，则，
解得或，
∴，，
∵，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴在点抛物线上，即点满足条件．
故存在满足条件的点有两个，分别是，．
10．(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①先求得直线的解析式为，进而表示出，根据点的坐标求得到的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
②先求得直线的解析式，进而求得的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为代入得，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）①，理由如下：
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
∵，轴，
∴，，
∴，，
∵，
∴点到的距离为，
∵，，，
∴到的距离为，
∴，，
∴；
②∵，，则，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴
∵的横坐标为
∴
∵
∴当时的最大值为
11．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入得：
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
（3）解：存在：
∵，，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
12．(1)
(2)点，四边形的面积最大为
(3)，
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解．
【详解】（1）解：对于，令，解得，
令，则，
故点的坐标分别为，
将点的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故；
（2）解：∵轴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，四边形的面积最大为，
此时，
故点；
（3）解：作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点，
理由：四边形的周长为最小，
由可得顶点，
∴关于轴的对称点，
∵在抛物线上，
∴，
∴点关于轴的对称点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：
∴直线的解析式为，
令，则，
令，则，
∴．
13．(1)
(2)面积的最大值为此时
(3)存在点或或或
【分析】（1）把和代入求解即可;
（2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解;
（3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把和代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为
点P为直线下方抛物线上的点，
设，
，
，
当时，，
∴即面积的最大值为
；
（3）由题意可得：，
的对称轴为.
∵，，
∴，
如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点，
∵D在的对称轴上，
，
∵，，
∴，
，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点，
∵D在的对称轴上，
∴，
，
，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为，
依意得：，解得，
又，
，
解得：，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为或.
综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出，再把，代入得计算即可；
（2）过作轴于，交于，先求直线解析式为，再设，则，，根据，求出面积最大时，再过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于，根据，当在上时，最小，再求出的轨迹方程，设，根据求解即可；
（3）先求出，，得到，直线解析式为，再根据的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：过作轴于，交于，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，则，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，
过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于，
∴，，
∴，，即，点在直线上移动，
∴，
∴当在上时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，
∴，
∴当时，最小，即，
∴的最小值；
（3）解：∵关于轴翻折得到点，
∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点，
连接交轴于，则轴，，

∴，，，
∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度，
∴在抛物线上的对应点为，即，
∵过作轴于点，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
当点在点左边时，由外角可得，不合题意；
当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于
∵，
∴，即平分，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
解得，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴；
当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求抛物线解析式，二次函数面积最值，二次函数线段和最值，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线解析式得出，，即可求出，把、坐标代入，解方程组求出、的值即可得答案；
（2）设，与轴相交于点，利用待定系数法用表示出直线的解析式，即可表示出点坐标，表示出，根据的面积等于，利用三角形面积公式列方程求解即可得答案；
（3）过点作轴于，过点作轴于，于，根据两点间距离公式可得出是等腰直角三角形，，设，则，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角性质可得，，利用平行线的性质及正切的定义得出，，设，，则，，可得，，，根据，得出，根据，得出，即可求出、的值，得出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，联立直线与抛物线解析式即可得答案．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：设，与轴相交于点，
把代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴
，
∵的面积等于，
∴，
整理得，，
解得，，
∵点在第二象限，
∴，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，于，
由（2）可知，，
∴轴，，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
设，，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，
解得：，或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质，解一元二次方程、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．