第1节 曲线运动 运动的合成与分解
[学习目标] 1．理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2．会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3．理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
1．曲线运动
(1)速度方向：质点在某一点的速度方向是沿曲线在这一点的____方向。
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的____时刻在改变，所以曲线运动是____运动。
(3)做曲线运动的条件
①运动学角度：物体的______方向跟速度方向不在同一条直线上。
②动力学角度：______方向跟速度方向不在同一条直线上。
2．运动的合成与分解
(1)基本概念
①运动的合成：已知______求合运动。
②运动的分解：已知______求分运动。
(2)分解原则：可以根据运动的________分解，也可以采用________。
(3)遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，它们的合成与分解都遵循__________定则。
(4)合运动与分运动的关系
①等时性：合运动和分运动经历的____相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动____进行，不受其他运动的影响。
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的____。
1．易错易混辨析
人教版必修第二册P1情境：如图为运动员投篮时篮球的运动简化图，投出去的篮球做曲线运动，忽略空气阻力，结合上述情境，进行判断：
(1)出手后篮球做匀变速曲线运动。 ( )
(2)篮球的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 ( )
(3)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。 ( )
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。 ( )
(5)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。 ( )
2．(鲁科版必修第二册习题改编)(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
曲线运动的理解
1．曲线运动的条件及特点
条件 特点 情境
质点所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上(v0≠0，F≠0) (1)轨迹是一条曲线 (2)某点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的切线的方向 (3)曲线运动的速度方向时刻在改变，所以是变速运动，一定有加速度 (4)合力F始终指向运动轨迹的内(或凹)侧
2．合力方向与速率变化的关系
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动是类平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
[听课记录]
[典例2] 质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )
A B C D
[听课记录]
运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2．合运动的性质判断
(1)加速度(或合力)
(2)加速度(或合力)与速度方向
3．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。
4．两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 v合与a合共线 匀变速直线运动
v合与a合不共线 匀变速曲线运动
[典例3] (人教版必修第二册习题改编)(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
[听课记录]
[典例4] 如图甲所示，无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
[听课记录]
小船渡河问题
1．渡河中的合运动与分运动
2．小船渡河的两类问题、三种情境
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关 (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船[典例5] (一题多变)(多选)如图所示，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法正确的是( )
A．河中水流速度为 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
[听课记录]
[变式1] 在[典例5]中，若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
[变式2] 在[典例5]中，若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
[典例6] (多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则( )
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
[听课记录]
关联速度问题
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题示例
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
[典例7] (多选)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为v cos θ2
C．绳的拉力等于mg sin θ1
D．绳的拉力大于mg sin θ1
[听课记录]
[典例8] 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中，从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
[听课记录]
1．(2023·辽宁卷)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是( )
A B
C D
2．(2021·辽宁卷)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽 300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
3．(2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
A B C D
第1节 曲线运动运动的合成与分解
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(1)切线 (2)方向 变速 (3)加速度 合外力
2．(1)分运动 合运动 (2)实际效果 正交分解 (3)平行四边形 (4)时间 独立 效果
激活·基本技能
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．BC [将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，A错误，C正确；风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，B正确，D错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 D [第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。]
典例2 A [A图中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速曲线运动，A正确；B图中，速度方向与加速度方向相同，质点做直线运动，不做曲线运动，B错误；C图中，加速度在速度的右侧，质点运动轨迹应向右侧凹，C错误；D图中，加速度方向与速度方向夹角小于90°，质点做加速曲线运动，D错误。]
考点2
典例3 BC [运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确，A、D错误。]
典例4 C [由题图乙、丙可知，0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，则合力与初速度方向不在同一直线上，因此，无人机做匀变速曲线运动，A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，B错误；0～4 s内，无人机在竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，且t＝4 s 时，竖直方向速度为0，之后向下运动，所以t＝4 s时，无人机运动到最高点，C正确；由v t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，0～5 s内，无人机的水平位移为x＝9 m, 竖直位移为y＝1.75 m，则合位移大小为≠9 m, D错误。]
考点3
典例5 BD [河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s, 选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿，水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。]
变式1 答案：渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
变式2 解析：设船恰好到达危险水段边缘，如图所示，图示方向船速最小，v′1＝v2sin α，tan α＝＝，得α＝30°，所以船的最小速度为v′1＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
答案：1.25 m/s
典例6 BD [当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由题图乙可知河宽为d＝300 m，t＝＝100 s，A错误，B正确；由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s, D正确。]
考点4
典例7 BD [将小车的速度v沿绳方向和垂直于绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿绳方向的速度大小相等，则有vP＝v cos θ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mg sin θ1＝ma，可知绳对P的拉力T>mg sin θ1，C错误，D正确。]
典例8 C [球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆的夹角为α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度大小相等，即v21＝v11，可得v2＝v1，C正确。]
即时检验·感悟高考
1．A [做曲线运动的物体所受的合力指向运动轨迹的凹侧，A正确，B、C、D错误。]
2．D [河宽d＝300 m为定值，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝＝ s＝300 s，故选D。]
3．D [设罐子的初速度为v0，在空中水平向右的加速度为a，在某一时刻t，对于t之前的任一时刻t0漏出的沙子，其在t时间内水平方向的位移大小x＝＋(v0＋at0)(t－t0)＝＝－2t0t)＋v0t＝－a(t－t0)2＋at2＋v0t，t时间内竖直方向的位移大小y＝g(t－t0)2 ＝(t－t0)2，联立解得y＝－x＋gt2＋(对于t时刻，t为定值)，则沙子排列的几何图形应为D。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
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平抛 运动 2024·湖北卷·T3、2024·江西卷·T8、2024·安徽卷·T7、2024·浙江1月选考·T8、2023·全国甲卷·
T14、2023·湖南卷·T2、2023·浙江6月选考·T3、2023·新课标卷·T24、2022·广东卷·T6、2022·北京卷·T17、2021·山东卷·T11、2021·山东卷·T16
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
考情 分析 实验：探究平抛运动的特点 2024·河北卷·T11、
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实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 2024·海南卷·T14、
2023·浙江1月选考·T16
第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
备考策略 1．掌握曲线运动基本知识及运动合成与分解的方法。
2．掌握平抛运动和圆周运动的特点，能够应用规律解决实际问题。
3．掌握万有引力与天体运动规律，能够解决相关问题。
4．关注物理与现代科技、生产、生活、航天技术为背景材料的题目。
第1节
曲线运动 运动的合成与分解
[学习目标] 1．理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2．会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
3．理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
链接教材·夯基固本
1．曲线运动
(1)速度方向：质点在某一点的速度方向是沿曲线在这一点的____方向。
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的____时刻在改变，所以曲线运动是____运动。
切线
方向
变速
(3)做曲线运动的条件
①运动学角度：物体的______方向跟速度方向不在同一条直线上。
②动力学角度：______方向跟速度方向不在同一条直线上。
加速度
合外力
2．运动的合成与分解
(1)基本概念
①运动的合成：已知______求合运动。
②运动的分解：已知______求分运动。
(2)分解原则：可以根据运动的________分解，也可以采用________。
(3)遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，它们的合成与分解都遵循__________定则。
分运动
合运动
实际效果
正交分解
平行四边形
(4)合运动与分运动的关系
①等时性：合运动和分运动经历的____相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动____进行，不受其他运动的影响。
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的____。
时间
独立
效果
1．易错易混辨析
人教版必修第二册P1情境：如图为运动员投篮时篮球的运动简化图，投出去的篮球做曲线运动，忽略空气阻力，结合上述情境，进行判断：
(1)出手后篮球做匀变速曲线运动。 ( )
(2)篮球的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 ( )
(3)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。 ( )
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。 ( )
(5)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。 ( )
√
×
√
×
√
2．(鲁科版必修第二册习题改编)(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
√
√
BC [将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，A错误，C正确；风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，B正确，D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 曲线运动的理解
1．曲线运动的条件及特点
条件 特点
质点所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上(v0≠0，F≠0) (1)轨迹是一条曲线
(2)某点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的切线的方向
(3)曲线运动的速度方向时刻在改变，所以是变速运动，一定有加速度
(4)合力F始终指向运动轨迹的内(或凹)侧
情境
2．合力方向与速率变化的关系
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动是类平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
√
D [第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。]
[典例2] 质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )
A B C D
√
A [A图中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速曲线运动，A正确；B图中，速度方向与加速度方向相同，质点做直线运动，不做曲线运动，B错误；C图中，加速度在速度的右侧，质点运动轨迹应向右侧凹，C错误；D图中，加速度方向与速度方向夹角小于90°，质点做加速曲线运动，D错误。]
考点2 运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2．合运动的性质判断
(1)加速度(或合力)
(2)加速度(或合力)与速度方向
3．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。
4．两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 v合与a合共线 匀变速直线运动
v合与a合不共线 匀变速曲线运动
[典例3] (人教版必修第二册习题改编)(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能
对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
√
√
BC [运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确，A、D错误。]
[典例4] 如图甲所示，无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀
加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀
减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
√
C [由题图乙、丙可知，0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，则合力与初速度方向不在同一直线上，因此，无人机做匀变速曲线运动，A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，B错误；0～4 s内，无人机在竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，且t＝4 s时，竖直方向速度为0，之后向下运动，所以t＝4 s时，无人机运动到最高点，C正确；由v-t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，0～5 s内，无人机的水平位移为x＝
9 m，竖直位移为y＝1.75 m，则合位移大小为≠9 m，D错误。]
考点3 小船渡河问题
1．渡河中的合运动与分运动
渡河时间
2．小船渡河的两类问题、三种情境
渡河 位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
[典例5] (一题多变)(多选)如图所示，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法正确的是( )
A．河中水流速度为 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
√
√
BD [河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸，沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。]
[变式1] 在[典例5]中，若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
[答案] 渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
[变式2] 在[典例5]中，若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
[解析] 设船恰好到达危险水段边缘，如图所示，图示方向船速最小，v′1＝v2sin α，tan α＝＝，得α＝30°，所以船的最小速度为v′1＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
[答案] 1.25 m/s
[典例6] (多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则( )
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在
行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
√
√
BD [当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由题图乙可知河宽为d＝300 m，t＝＝100 s，A错误，B正确；由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，D正确。]
考点4 关联速度问题
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题示例
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
[典例7] (多选)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为v cos θ2
C．绳的拉力等于mg sin θ1
D．绳的拉力大于mg sin θ1
√
√
BD [将小车的速度v沿绳方向和垂直于绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿绳方向的速度大小相等，则有vP＝v cos θ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mg sin θ1＝ma，可知绳
对P的拉力T>mg sin θ1，C错误，D正确。]
[典例8] 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中，从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
√
C [球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆的夹角为α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度大小相等，即v21＝v11，可得v2＝v1，C正确。]
即时检验·感悟高考
1．(2023·辽宁卷)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是( )
A B
C D
√
A [做曲线运动的物体所受的合力指向运动轨迹的凹侧，A正确，B、C、D错误。]
2．(2021·辽宁卷)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽 300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
√
D [河宽d＝300 m为定值，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝＝ s＝300 s，故选D。]
3．(2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
A B C D
√
D [设罐子的初速度为v0，在空中水平向右的加速度为a，在某一时刻t，对于t之前的任一时刻t0漏出的沙子，其在t时间内水平方向的位移大小x＝＋(v0＋at0)(t－t0)＝＝－2t0t)＋v0t＝－a(t－t0)2＋at2＋v0t，t时间内竖直方向的位移大小y＝g(t－t0)2 ＝(t－t0)2，联立解得y＝－x＋gt2＋(对于t时刻，t为定值)，则沙子排列的几何图形应为D。]
课时数智作业(八)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．曲线运动一定是匀变速运动
B．物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C．物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D．物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
12
√
题号
1
3
5
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B [曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。]
12
2．(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
题号
1
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12
A B
C D
√
D [由题干中的信息知，小车的动能一直增加，可知合力使小车的速度增大，又曲线运动中合力改变运动的方向，根据运动的合成与分解可知，合力方向与速度方向的夹角应小于90°，又速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹的凹侧，故D正确。]
题号
1
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3．如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
题号
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√
B [当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，则一定不会进入纸筒，要提前吹才可能进入纸筒，故B正确。]
题号
1
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4．雨点正在以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以 3 m/s 的速度水平匀速骑行，为使雨点尽量不落在身上，手中伞杆应与竖直方向所成夹角为( )
A．30° B．37°
C．45° D．0°
题号
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√
B [由题意可知，雨点以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以3 m/s的速度水平匀速骑行，根据平行四边形定则，设小明同学的速度与雨滴竖直下落速度的合速度与竖直方向成θ角，则tan θ＝，则θ≈37°，故选B。]
题号
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5．(2024·广东梅州平远中学期末)某直升机海上救援的情境如图所示，直升机以4 m/s的速度水平向右做匀速直线运动，同时以 3 m/s 的速度匀速收拢绳索将待救人员接到直升机里，绳索始终竖直。不计空气阻力，该过程中( )
A．待救人员相对地面做匀速直线运动
B．待救人员相对地面做曲线运动
C．绳索的拉力大于待救人员受到的重力
D．待救人员的实际运动速度大小为7 m/s
题号
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√
A [待救人员在水平方向和竖直方向上均做匀速直线运动，合运动也为匀速直线运动，故A正确，B错误；绳索的拉力与待救人员受到的重力大小相等、方向相反，故C错误；待救人员的实际运动速度大小v＝ m/s＝5 m/s，故D错误。]
题号
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6．(多选)如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮，一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是( )
A．Q做加速直线运动
B．Q做减速直线运动
C．细绳对P的拉力在增大
D．杆对P的弹力在减小
题号
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√
√
BC [如图所示，设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，当P匀速运动，θ增大时，Q做减速直线运动，故A错误，B正确；对P有mg＝T cos θ，θ角增大时绳拉力T在增大，杆对P的弹力FN＝T sin θ在增大，故C正确，D错误。]
题号
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7．(多选)2024年7月，我国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为
5 m/s，下列说法正确的是( )
A．冲锋舟在静水中的速度大小为10 m/s
B．河的宽度为400 m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为 m/s
D．河的宽度为600 m
题号
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√
√
BC [冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静cos 30°＝v水，解得v静＝ m/s，故A错误，C正确；当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处，由于冲锋舟在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即＝，式中s指沿河岸方向的位移，为600 m，d指河宽，可解得d＝400 m，故B正确，D错误。]
题号
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8．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B．vB∶vA
C． D．
题号
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√
D [两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图所示，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即＝＝＝cos θ， 而v水＝＝，即cos θ＝，所以＝，
故D正确，A、B、C错误。]
题号
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9．如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平面的夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．小球A的线速度大小为
B．轻杆转动的角速度为
C．小球A的线速度大小为
D．轻杆转动的角速度为
题号
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√
C [物块的速度v在垂直于杆方向的分速度等于B点的线速度，即vB＝v sinθ，根据v′＝ωr可知＝＝，联立以上两式解得vA＝，故A错误，C正确；轻杆转动的角速度为ω＝＝，故B、D错误。]
题号
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10．有一个质量为4kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力大小为22 N
C．t＝2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
题号
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√
D [由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向，在x轴方向上的初速度大小为 3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度大小为ax＝1.5 m/s2，在y轴方向上的加速度为零，则合加速度大小为a＝
题号
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1.5 m/s2，所以合外力大小为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；t＝2 s时质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误。]
题号
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11．(多选)(2025·湖南衡阳八中模拟)在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标，如图所示。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。则( )
题号
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A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到目标的最短时间为
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝
题号
1
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√
√
BC [当箭射出的方向垂直于马奔跑的方向时，箭射到目标的时间最短，所以最短时间为t＝，箭在沿马奔跑的方向上的位移为x＝v1t＝，所以放箭处距离目标的距离为s＝＝，故A错误，B、C正确；根据速度的合成可知，只有箭垂直于马奔跑的方向射出时初速度为v0＝，而击中目标不止这一种射出方式，故D错误。]
题号
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12．(2024·山西大同模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球到达B点时的速率vB。
题号
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[解析] (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝＝2axxmax
解得xmax＝。
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝。
题号
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(3)小球运动到B点时，有vx＝v0，vy＝gt
则vB＝＝。
题号
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[答案] (3)
谢 谢 ！课时分层作业(八) 曲线运动 运动的合成与分解
1．关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．曲线运动一定是匀变速运动
B．物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C．物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D．物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
2．(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
A B
C D
3．如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
4．雨点正在以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以 3 m/s 的速度水平匀速骑行，为使雨点尽量不落在身上，手中伞杆应与竖直方向所成夹角为( )
A．30° B．37°
C．45° D．0°
5．(2024·广东梅州平远中学期末)某直升机海上救援的情境如图所示，直升机以4 m/s的速度水平向右做匀速直线运动，同时以 3 m/s 的速度匀速收拢绳索将待救人员接到直升机里，绳索始终竖直。不计空气阻力，该过程中( )
A．待救人员相对地面做匀速直线运动
B．待救人员相对地面做曲线运动
C．绳索的拉力大于待救人员受到的重力
D．待救人员的实际运动速度大小为7 m/s
6．(多选)如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮，一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是( )
A．Q做加速直线运动
B．Q做减速直线运动
C．细绳对P的拉力在增大
D．杆对P的弹力在减小
7．(多选)2024年7月，我国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5 m/s，下列说法正确的是( )
A．冲锋舟在静水中的速度大小为10 m/s
B．河的宽度为400 m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为 m/s
D．河的宽度为600 m
8．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B．vB∶vA
C． D．
9．如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平面的夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．小球A的线速度大小为
B．轻杆转动的角速度为
C．小球A的线速度大小为
D．轻杆转动的角速度为
10．有一个质量为4kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力大小为22 N
C．t＝2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
11．(多选)(2025·湖南衡阳八中模拟)在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标，如图所示。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。则( )
A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到目标的最短时间为
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝
12．(2024·山西大同模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球到达B点时的速率vB。
课时分层作业(八)
1．B [曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。]
2．D [由题干中的信息知，小车的动能一直增加，可知合力使小车的速度增大，又曲线运动中合力改变运动的方向，根据运动的合成与分解可知，合力方向与速度方向的夹角应小于90°，又速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹的凹侧，故D正确。]
3．B [当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，则一定不会进入纸筒，要提前吹才可能进入纸筒，故B正确。]
4．B [由题意可知，雨点以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以3 m/s的速度水平匀速骑行，根据平行四边形定则，设小明同学的速度与雨滴竖直下落速度的合速度与竖直方向成θ角，则tan θ＝，则θ≈37°，故选B。]
5．A [待救人员在水平方向和竖直方向上均做匀速直线运动，合运动也为匀速直线运动，故A正确，B错误；绳索的拉力与待救人员受到的重力大小相等、方向相反，故C错误；待救人员的实际运动速度大小v＝ m/s＝5 m/s，故D错误。]
6．BC [如图所示，设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，当P匀速运动，θ增大时，Q做减速直线运动，故A错误，B正确；对P有mg＝T cos θ，θ角增大时绳拉力T在增大，杆对P的弹力FN＝T sin θ在增大，故C正确，D错误。]
7．BC [冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静cos 30°＝v水，解得v静＝ m/s，故A错误，C正确；当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处，由于冲锋舟在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即＝，式中s指沿河岸方向的位移，为600 m，d指河宽，可解得d＝400 m，故B正确，D错误。]
8．D [两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图所示，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即＝＝＝cos θ， 而v水＝＝，即cos θ＝，所以＝，故D正确，A、B、C错误。]
9．C [物块的速度v在垂直于杆方向的分速度等于B点的线速度，即vB＝v sinθ，根据v′＝ωr可知＝＝，联立以上两式解得vA＝，故A错误，C正确；轻杆转动的角速度为ω＝＝，故B、D错误。]
10．D [由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向，在x轴方向上的初速度大小为 3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度大小为ax＝1.5 m/s2，在y轴方向上的加速度为零，则合加速度大小为a＝1.5 m/s2，所以合外力大小为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；t＝2 s时质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误。]
11．BC [当箭射出的方向垂直于马奔跑的方向时，箭射到目标的时间最短，所以最短时间为t＝，箭在沿马奔跑的方向上的位移为x＝v1t＝，所以放箭处距离目标的距离为s＝＝，故A错误，B、C正确；根据速度的合成可知，只有箭垂直于马奔跑的方向射出时初速度为v0＝，而击中目标不止这一种射出方式，故D错误。]
12．解析：(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝＝2axxmax
解得xmax＝。
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝。
(3)小球运动到B点时，有vx＝v0，vy＝gt
则vB＝＝。
答案： (3)
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