第2节 抛体运动
[学习目标] 1．掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
2．学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
3．会处理平抛运动中的临界、极值问题。
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：____直线运动。
②竖直方向：________运动。
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是______。
(3)基本规律
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝____________，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝_____________，y＝v0t sin θ－gt2。
以斜上抛运动为例，如图所示。
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 ( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 ( )
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 ( )
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 ( )
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 ( )
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 ( )
(7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( )
2．人教版必修第二册P17插图：如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
3．(鲁科版必修第二册习题改编)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
平抛运动的规律及应用
1．平抛运动的时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
平抛运动的规律及应用
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)将一个物体以 10 m/s 的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，g＝10 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与水平地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
[听课记录]
多物体平抛问题
[典例2] 如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，O点为圆心，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是( )
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度v0＝时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
[听课记录]
与斜面和曲面相关的平抛运动
1．常见相关类型
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
2．解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
与斜面有关的平抛运动
[典例3] (2024·浙江精诚联盟高三联考)如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以12 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直落在倾角θ＝37°斜坡上的A点。不计空气阻力，tan 37°＝，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．物资落到A点的时间为0.9 s
B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为19.2 m
C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直落在斜坡上
D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变
[听课记录]
[典例4] 近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，两名滑雪运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，重力加速度为g，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
A．他们飞行时间之比为t1∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝2∶1
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
[听课记录]
与圆弧面有关的平抛运动
[典例5] 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为( )
A．
C．
[听课记录]
[典例6] 如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，不计空气阻力，则( )
A．＝2 B．＝2
C．tan θ1tan θ2＝2 D．＝2
[听课记录]
斜抛运动
1．斜抛运动的射高和射程
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
2．解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[典例7] (2025·辽宁沈阳高三检测)如图所示为自由式滑雪大跳台，将选手视为质点。图(a)是选手从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图(b)是选手在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1 s时，图线所对应的切线斜率为4(单位：m/s)，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．选手冲出跳台的速度大小为14 m/s
B．t＝1.4 s时，选手到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8 m
C．t＝1.0 s和t＝1.8 s时，选手的速度相同
D．选手落到跳台底部所在水平面的速度大小可能为16 m/s
[听课记录]
平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例8] 2023年8月27日，中国女排在2023年U21女排世锦赛中夺冠。如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球( )
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网而不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
[听课记录]
[典例9] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
[听课记录]
1．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
2.(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
3．(2023·湖南卷)如图(a)所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
第2节 抛体运动
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梳理·必备知识
1．(1)重力 (2)匀变速 (3)匀速 自由落体
(4)gt v0t gt2
2．(1)斜向上方 重力 (2)抛物线 (3)v0cos θ
v0sin θ－gt
激活·基本技能
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√
2．提示：初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物体的位移为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①，在竖直方向，物体的位移为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 ②，物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由②式得总时间t总＝，由①式得物体的射程x总＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
3．C [匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 A [由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与水平地面夹角的正切值tan θ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为s＝＝20 m, 故D错误。]
典例2 D [小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，故A正确，不符合题意；小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有R＝gt2, R＝v0t，解得v0＝，故B正确，不符合题意；小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确，不符合题意；v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误，符合题意。]
考点2
典例3 B [
物资垂直落在斜坡上的A点时，设竖直方向的速度为vy，在A点进行速度的合成与分解，如图所示，根据vy＝＝gt，物资落到A点的时间为t＝1.6 s，故A错误；物资弹出的位置离落地点的水平距离为x＝v0t＝19.2 m，故B正确；若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，相当于将图中轨迹向下平移，速度沿切线方向，可知，不可能垂直落在斜坡上，故C错误；若其他条件不变，弹出的初速度减小，与落在A点比较，相同时间会落到A点所在水平面左侧，可知最终会落在A点斜下方，竖直方向h＝gt2，可知时间变长，故D错误。]
典例4 C [运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ，运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时，有tan θ＝＝，解得t＝，可得他们飞行时间之比为t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1，A错误；运动员飞行的水平位移为x＝v0t＝，所以他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝＝4∶1，B错误；两运动员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为Δvy＝gt，因为他们飞行时间之比为t1∶t2＝2∶1，则他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝2∶1，C正确；运动员在空中离坡面的最大距离为s＝，他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝＝4∶1，D错误。]
典例5 A [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而＝2gy，tan 30°＝，联立解得 v0＝，选项A正确，B、C、D错误。]
典例6 C [由题图分析知，在A点速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C。]
考点3
典例7 B [在竖直方向有vy＝vy0－gt，由yt图线斜率表示竖直分速度知，t＝1 s时vy＝4 m/s, 则选手冲出跳台时的竖直分速度vy0＝14 m/s，水平分速度不为零，可知选手冲出跳台的速度大于14 m/s，故A错误；最高点竖直分速度为0，得时间t＝1.4 s到达最高点，由y＝y0＋vy0t－gt2，其中y0＝3 m，t＝1.4 s, 解得离跳台底部所在水平面的高度为y＝12.8 m，故B正确；由竖直上抛运动的对称性可知，t＝1.0 s和t＝1.8 s时，竖直分速度大小相等，方向相反，可知合速度只是大小相等，方向并不相同，故C错误；选手落到跳台底部所在水平面的竖直分速度v＝＝16 m/s，则合速度一定大于16 m/s，故D错误。]
微点突破
典例8 C [根据平抛运动的两个分运动规律x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝，故B错误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝，故D错误。故选C。]
典例9 解析：设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy
不计空气阻力，石子做平抛运动
竖直方向有＝2gh
恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ＝
联立解得v0＝。
答案：
即时检验·感悟高考
1．C [平抛运动―→v0＝最小，C正确。]
2.A [不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知ta3．B [忽略空气阻力，抛出后的谷粒1和谷粒2都只受重力作用，所以两谷粒的加速度相同，都是重力加速度，A错误；从O到P的过程中，两谷粒水平位移相同，根据竖直方向的分运动可知，谷粒2从O到P的运动时间长，故t1v2x，故谷粒2在最高点的速度(水平分速度v2x)小于v1，B正确；两谷粒从O到P位移相同，时间不同，平均速度不同，D错误。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第2节 抛体运动
[学习目标] 1．掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
2．学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
3．会处理平抛运动中的临界、极值问题。
链接教材·夯基固本
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是抛物线。
重力
匀变速
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：____直线运动。
②竖直方向：________运动。
匀速
自由落体
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是______。
斜向上方
重力
抛物线
(3)基本规律
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝__________，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝______________，y＝v0t sin θ－gt2。
以斜上抛运动为例，如图所示。
v0cos θ
v0sin θ－gt
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 ( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 ( )
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 ( )
×
×
√
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 ( )
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 ( )
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 ( )
(7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 ( )
√
×
×
√
2．人教版必修第二册P17插图：如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
提示：初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物体的位移为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①，在竖直方向，物体的位移为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 ②，物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由②式得总时间t总＝，由①式得物体的射程x总＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
3．(鲁科版必修第二册习题改编)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
√
C [匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 平抛运动的规律及应用
1．平抛运动的时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方
向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意
时刻任意位置处，设其末速度方向与水
平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹
角为θ，则tan α＝2tan θ。
角度1 平抛运动的规律及应用
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)将一个物体以 10 m/s 的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，g＝10 m/s2)，下列说法正确的是
( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与水平地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
√
A [由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与水平地面夹角的正切值tan θ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为s＝＝20 m，故D错误。]
角度2 多物体平抛问题
[典例2] 如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，O点为圆心，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是( )
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度v0＝时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
√
D [小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，故A正确，不符合题意；小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有R＝gt2，R＝v0t，解得v0＝，故B正确，不符合题意；小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水
平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确，不符合题意；v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误，符合题意。]
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
考点2 与斜面和曲面相关的平抛运动
1．常见相关类型
运动情境 物理量分析
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
运动情境 物理量分析
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ
tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
运动情境 物理量分析
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
2．解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
角度1 与斜面有关的平抛运动
[典例3] (2024·浙江精诚联盟高三联考)如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以12 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直落在倾角θ＝37°斜坡上的A点。不计空气阻力，tan 37°＝，g取10 m/s2，
下列说法正确的是( )
A．物资落到A点的时间为0.9 s
B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为19.2 m
C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直落在斜坡上
D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变
√
B [物资垂直落在斜坡上的A点时，设竖直方向的速度为vy，在A点进行速度的合成与分解，如图所示，根据vy＝＝gt，物资落到A点的时间为t＝1.6 s，故A错误；物资弹出的位置离落地点的水平距离为x＝v0t＝19.2 m，故B正确；若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，相当于将图中轨迹向下平移，速度沿切线方向，可知，不可能垂直落在斜坡上，故C错误；若其他条件不变，弹出的初速度减小，与落在A点比较，相同时间会落到A点所在水平面左侧，可知最终会
落在A点斜下方，竖直方向h＝gt2，可知时间变长，
故D错误。]
[典例4] 近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，两名滑雪运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，重力加速度为g，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
A．他们飞行时间之比为t1∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝2∶1
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
√
C [运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ，运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时，有tan θ＝＝，解得t＝，可得他们飞行时间之比为t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1，A错误；运动员飞行的水平位移为x＝v0t＝，所以他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝＝4∶1，B错误；两运动
员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为Δvy＝gt，因为他们飞行时间之比为t1∶t2＝2∶1，则他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝2∶1，C正确；运动员在空中离坡面的最大距离为s＝，他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝＝4∶1，D错误。]
角度2 与圆弧面有关的平抛运动
[典例5] 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为( )
A．
C．
√
A [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确，B、C、D错误。]
[典例6] 如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，不计空气阻力，则( )
A．＝2 B．＝2
C．tan θ1tan θ2＝2 D．＝2
√
C [由题图分析知，在A点速度方向与水平方向的夹角为θ1，则
tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C。]
考点3 斜抛运动
1．斜抛运动的射高和射程
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
2．解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[典例7] (2025·辽宁沈阳高三检测)如图所示为自由式滑雪大跳台，将选手视为质点。图(a)是选手从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图(b)是选手在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1 s时，图线所对应的切线斜率为4(单位：m/s)，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．选手冲出跳台的速度大小为14 m/s
B．t＝1.4 s时，选手到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8 m
C．t＝1.0 s和t＝1.8 s时，选手的速度相同
D．选手落到跳台底部所在水平面的速度大小可能为16 m/s
√
B [在竖直方向有vy＝vy0－gt，由y-t图线斜率表示竖直分速度知，t＝1 s时vy＝4 m/s，则选手冲出跳台时的竖直分速度vy0＝14 m/s，水平分速度不为零，可知选手冲出跳台的速度大于14 m/s，故A错误；最高点竖直分速度为0，得时间t＝1.4 s到达最高点，由y＝y0＋vy0t－gt2，其中y0＝3 m，t＝1.4 s，解得离跳台底部所在水平面的高度为y＝12.8 m，故B正确；由竖直上抛运动的对称性可知，t＝1.0 s和t＝1.8 s时，竖直分速度大小相等，方向相反，可知合速度只是大小相等，方向并不相同，故C错误；选手落到跳台底部所在水平面的竖直分速度v＝＝16 m/s，则合速度一定大于16 m/s，故D错误。]
微点突破 平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例8] 2023年8月27日，中国女排在2023年U21女排世锦赛中夺冠。如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球( )
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网而不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
√
C [根据平抛运动的两个分运动规律x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝，故B错
误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝，故D错误。故选C。]
[典例9] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
[解析] 设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy
不计空气阻力，石子做平抛运动
竖直方向有＝2gh
恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ＝
联立解得v0＝。
[答案]
即时检验·感悟高考
1．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小
的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
√
C [平抛运动 ―→v0＝ 最小，C正确。]
2．(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
√
A [不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知ta3．(2023·湖南卷)如图(a)所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
√
B [忽略空气阻力，抛出后的谷粒1和谷粒2都只受重力作用，所以两谷粒的加速度相同，都是重力加速度，A错误；从O到P的过程中，两谷粒水平位移相同，根据竖直方向的分运动可知，谷粒2从O到P的运动时间长，故t1v2x，故谷粒2在最高点的速度(水平分速度v2x)小于v1，B正确；两谷粒从O到P位移相同，时间不同，平均速度不同，D错误。]
课时数智作业(九) 抛体运动
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(2024·浙江温州高三适应性考试)如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动， 恰好落回出发点。忽略空气阻力， 则排球( )
12
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
题号
1
3
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2
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6
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12
√
题号
1
3
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4
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11
A [根据题图可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点往左运动，根据平抛运动规律可知h＝gt2，vx＝，轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小，竖直分速度v2＝2gh，轨迹①的竖直分速度大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速度小于v2，故A正确，B错误；沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小Δv＝gΔt不同，因为运动时间不同，故C错误；沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，因为位移大小相同，但时间不同，故D错误。]
12
2．(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
题号
1
3
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12
题号
1
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11
12
A B C D
√
√
AD [由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt， C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B错误，故选AD。]
题号
1
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11
12
3．(多选)(2025·江西上饶模拟)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5 m，宽b＝4 m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度大小为10 m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为 s
C．小球从B点水平射入的速度大小为2 m/s
D．小球从B点水平射入的速度大小为4 m/s
题号
1
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11
12
√
√
BC [对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mg sin 30°＝ma0，解得a0＝g sin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，故A错误；小球从B到A做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t；水平方向有b＝v0t，沿斜面向下方向有a＝a0t2，联立解得t＝ s，v0＝2 m/s，故B、C正确，D错误。]
题号
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12
4．(2024·浙江杭州高三质检)据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
题号
1
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A．
C．
题号
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12
√
D [战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝＝，D正确。]
题号
1
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12
5．(2024·陕西榆林一模)某部队进行一场实战演习。如图所示，山脚下O点有一个迫击炮，炮弹的发射角α＝60°，发射速率v0＝
120 m/s，炮弹恰好击中倾角θ＝30°的山坡上的目标A。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。则A到O的距离为( )
A．540 m B．800 m
C．960 m D．1 800 m
题号
1
3
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√
C [根据题意可知，炮弹做斜抛运动，水平方向有x＝v0cos α·t，竖直方向有y＝v0sin α·t－gt2，又有y＝x tan θ，且OA的长度L＝，代入数据得L＝960 m，故选C。]
题号
1
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6．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
题号
1
3
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12
题号
1
3
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2
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12
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
√
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。]
题号
1
3
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2
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12
7．某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略空气阻力，篮球的运动轨迹可简化为如图所示，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v0且与水平方向夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
题号
1
3
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12
A．篮球在B点的速度为零
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．A、B两点的高度差为
D．A、C两点的水平距离为
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
√
C [篮球在B点的速度为vB＝vx＝v0cos 30°＝v0，故A错误；从B点到C点，篮球的运动时间为t＝＝＝，故B错误；A、B两点的高度差为h＝＝＝，故C正确；A、C两点的水平距离为x＝vx＝v0＝，故D错误。]
题号
1
3
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12
8．(多选)(2024·山东烟台一模)从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，设球1与地面的碰撞是弹性碰撞，忽略空气阻力，则
题号
1
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12
A．小球1、2的初速度之比为1∶3
B．小球1、2的初速度之比为1∶4
C．竖直挡板AB的高度h＝H
D．竖直挡板AB的高度h＝H
题号
1
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4
6
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12
√
√
AD [设M点到N点水平距离为L，对球2整个运动过程t有H＝gt2，解得运动时间t＝，可得L＝v2t ①，球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同，为H，球1在水平方向一直做匀速运动，有L＝v1·t1，t1＝3t2＝3t，即L＝3v1t ②，联立①②解得
题号
1
3
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2
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6
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12
＝，故A正确，B错误；设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有＝2gH，设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得＝2g(H－h)，可得碰撞点到A点的时间为t3＝，球2刚好越过挡板AB的时间为t′＝，根据水平方向位移关系有v2t′＝x1＋x2，即v2·＝v1·＋v1·，解得h＝H，故C错误，D正确。]
题号
1
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12
9．(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取 10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
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6
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11
12
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
题号
1
3
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6
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11
12
√
√
BD [对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
2ghm cos 30°＝(v0 sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝，解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
10．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为0时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
A．v＝5 m/s
B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m
D．d＝3.9 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
√
√
BD [建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25)m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝
3 m/s，到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v′0y＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰墙
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后的速度大小为v＝＝3 m/s，所以B正确，A错误；下落的时间t2＝ s＝1.3 s，网球着地点到墙壁的距离d＝v′0yt2＝3.9 m，所以D正确，C错误。
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11．(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力
加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛
出瞬间小球速度的大小。
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[解析] 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝g(4T)2＝0.2 m
s1＝
s2＝
＝
解得x＝ m
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抛出瞬间小球的速度大小为v0＝
解得v0＝ m/s。
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[答案] m/s
12．如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，竖直向上跳起正对球网将球水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
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(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度大小v在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。
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[解析] (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m
竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m
根据位移关系x＝vt，y＝gt2
可得v＝x
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代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度大小的下限
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m
竖直位移y2＝h2＝2.5 m
代入速度公式v＝x
可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度大小的上限
欲使球既不触网也不越界，则击球速度大小v应满足3 m/s12 m/s。
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(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示
设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m
竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m
代入速度公式v＝x
可得v3＝3 m/s
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同理击球点到压线点的水平位移x4＝12 m，数值位移y4＝h3
代入速度公式v＝x
可得v3＝12 m/s
联立解得h3＝ m，即当击球高度小于 m时，无论击球的速度多大，球不是触网就是越界。
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[答案] (1)3 m/s谢 谢 ！课时分层作业(九) 抛体运动
1．(2024·浙江温州高三适应性考试)如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动， 恰好落回出发点。忽略空气阻力， 则排球( )
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
2．(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
A B C D
3．(多选)(2025·江西上饶模拟)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5 m，宽b＝4 m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度大小为10 m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为 s
C．小球从B点水平射入的速度大小为2 m/s
D．小球从B点水平射入的速度大小为4 m/s
4．(2024·浙江杭州高三质检)据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
A．
C．
5．(2024·陕西榆林一模)某部队进行一场实战演习。如图所示，山脚下O点有一个迫击炮，炮弹的发射角α＝60°，发射速率v0＝120 m/s，炮弹恰好击中倾角θ＝30°的山坡上的目标A。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。则A到O的距离为( )
A．540 m B．800 m
C．960 m D．1 800 m
6．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
7．某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略空气阻力，篮球的运动轨迹可简化为如图所示，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v0且与水平方向夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．篮球在B点的速度为零
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．A、B两点的高度差为
D．A、C两点的水平距离为
8．(多选)(2024·山东烟台一模)从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，设球1与地面的碰撞是弹性碰撞，忽略空气阻力，则( )
A．小球1、2的初速度之比为1∶3
B．小球1、2的初速度之比为1∶4
C．竖直挡板AB的高度h＝H
D．竖直挡板AB的高度h＝H
9．(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取 10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
10．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为0时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
11．(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
12．如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，竖直向上跳起正对球网将球水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度大小v在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。
课时分层作业(九) 抛体运动
1．A [根据题图可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点往左运动，根据平抛运动规律可知h＝gt2，vx＝，轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小，竖直分速度v2＝2gh，轨迹①的竖直分速度大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速度小于v2，故A正确，B错误；沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小Δv＝gΔt不同，因为运动时间不同，故C错误；沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，因为位移大小相同，但时间不同，故D错误。]
2．AD [由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt， C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B错误，故选AD。]
3．BC [对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mg sin 30°＝ma0，解得a0＝g sin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，故A错误；小球从B到A做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t；水平方向有b＝v0t，沿斜面向下方向有a＝a0t2，联立解得t＝ s，v0＝2 m/s，故B、C正确，D错误。]
4．D [战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝＝，D正确。]
5．C [根据题意可知，炮弹做斜抛运动，水平方向有x＝v0cos α·t，竖直方向有y＝v0sin α·t－gt2，又有y＝x tan θ，且OA的长度L＝，代入数据得L＝960 m，故选C。]
6．B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。]
7．C [篮球在B点的速度为vB＝vx＝v0cos 30°＝v0，故A错误；从B点到C点，篮球的运动时间为t＝＝＝，故B错误；A、B两点的高度差为h＝＝＝，故C正确；A、C两点的水平距离为x＝vx＝v0＝，故D错误。]
8．AD [设M点到N点水平距离为L，对球2整个运动过程t有H＝gt2，解得运动时间t＝，可得L＝v2t ①，球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同，为H，球1在水平方向一直做匀速运动，有L＝v1·t1，t1＝3t2＝3t，即L＝3v1t ②，联立①②解得＝，故A正确，B错误；设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有＝2gH，设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得＝2g(H－h)，可得碰撞点到A点的时间为t3＝，球2刚好越过挡板AB的时间为t′＝，根据水平方向位移关系有v2t′＝x1＋x2，即v2·＝v1·＋v1·，解得h＝H，故C错误，D正确。]
9．BD [对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有 2ghm cos 30°＝(v0 sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝，解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。]
10．BD [建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25)m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝3 m/s，到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v′0y＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰墙后的速度大小为v＝＝3 m/s，所以B正确，A错误；下落的时间t2＝ s＝1.3 s，网球着地点到墙壁的距离d＝v′0yt2＝3.9 m，所以D正确，C错误。
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11．解析：设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝g(4T)2＝0.2 m
s1＝
s2＝
＝
解得x＝ m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝
解得v0＝ m/s。
答案： m/s
12．解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m
竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m
根据位移关系x＝vt，y＝gt2
可得v＝x
代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度大小的下限
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m
竖直位移y2＝h2＝2.5 m
代入速度公式v＝x
可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度大小的上限
欲使球既不触网也不越界，则击球速度大小v应满足 3 m/s(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示
设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m
竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m
代入速度公式v＝x
可得v3＝3 m/s
同理击球点到压线点的水平位移x4＝12 m，数值位移y4＝h3
代入速度公式v＝x
可得v3＝12 m/s
联立解得h3＝ m，即当击球高度小于 m时，无论击球的速度多大，球不是触网就是越界。
答案：(1)3 m/s(2) m
6 / 6
