第3节 圆周运动
[学习目标] 1．掌握描述圆周运动的各物理量及关系。
2．会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。
3．会分析圆周运动向心力的来源，并利用圆周运动的相关知识解决生活中的圆周运动问题。
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，线速度的大小处处相等，这种运动就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向____，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与____方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
(1)线速度
①方向：沿圆周的切线方向。
②公式：v＝＝。
(2)角速度
①物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。
②公式：ω＝＝。
(3)周期
①定义：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。
②公式：T＝＝。
(4)转速
①定义：单位时间内物体转动的圈数。
②公式：n＝。
(5)向心加速度
①方向：始终指向圆心。
②公式：an＝＝______＝＝ωv。
3．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的____，不改变速度的____。
(2)大小：Fn＝______＝mω2r＝______＝mωv＝4π2mf 2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向____，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的____提供，还可以由一个力的____提供。
4．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做________圆心的运动。
(2)受力特点
①当F＝0时，物体沿____方向飞出。
②当0
③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做____运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是合力不足以提供所需要的向心力。
1．易错易混辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的。 ( )
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。 ( )
(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。 ( )
(5)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。 ( )
(6)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 ( )
(7)做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 ( )
2．人教版必修第二册P37“思考与讨论”想一想：
如果把地球看成一个巨大的拱形桥，行驶的汽车对地面的压力还等于汽车的重力吗？
3．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是( )
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
4．(鲁科版必修第二册习题改编)(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则( )
A．A点与C点的角速度相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
圆周运动中的运动学问题
1．理解两个公式
(1)对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
(2)对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。
2．掌握三种传动方式
类型 模型 模型解读
皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
圆周运动物理量的分析与计算
[典例1] A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
[听课记录]
圆周运动中的传动问题
[典例2] 如图甲所示，修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图乙所示的模型。B、A分别是大、小齿轮边缘上的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的2倍，小轮中心到A点和大轮中心到C点的距离之比为2∶1，则A、B、C三点( )
A．线速度大小之比为4∶4∶1
B．角速度之比为1∶1∶1
C．转速之比为2∶2∶1
D．向心加速度大小之比为2∶1∶1
[听课记录]
[典例3] (多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
[听课记录]
圆周运动的动力学问题
1．水平匀速圆周运动模型向心力分析
运动模型 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 物体在光滑水平支撑面转动
向心力的来源图示
2．非匀速圆周运动
非匀速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心(特例：竖直面内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心)，可以分解为如图所示的两个分力。
(1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
[典例4] (多选)(2024·广东深圳高三期中)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，人与圆筒内壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则( )
A．该演员受到4个力的作用
B．该演员所需的向心力由弹力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圆筒的角速度ω≥
[听课记录]
[典例5] (多选)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则( )
A．线速度vA > vB B．角速度ωA<ωB
C．向心加速度aAFB
[听课记录]
[典例6] (2024·北京丰台高三期中)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．管道的半径为bg
B．小球质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
[听课记录]
圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题
1．受力情况
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间摩擦力恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力f m＝，方向指向圆心。
(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体随水平转盘转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
2．运动实例
[典例7] (多选)(2024·贵州贵阳一模)如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．甲受到的摩擦力一定为μmg
B．乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
[听课记录]
竖直平面内圆周运动的临界问题
一、轻“绳”模型
1．特点：球运动在最高点时无支撑。
2．实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等。
3．最高点规律
(1)若v≥，F弹＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力F弹。
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
[典例8] (多选)(2024·陕西西安高三期末)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
[听课记录]
二、轻“杆”模型
1．特点：球运动在最高点时有支撑。
2．实例：如球与杆连接、在弯管内的运动等。
3．最高点规律
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN背离圆心。
(2)当0(3)当v＝时，FN＝0。
(4)当v>时，mg＋FN＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。
[典例9] 如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到杆的作用力F，若竖直向下为力的正方向，使小球在最低点时具有不同的初速度，得到F-v2图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则( )
A．O轴到球心间的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为 m/s
D．小球在最高点的速度大小为 m/s时杆受到球的作用力竖直向下
[听课记录]
[典例10] (2024·全国甲卷)如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小( )
A．在Q点最大 B．在Q点最小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[听课记录]
斜面上圆周运动的临界问题
物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。
在转动过程中，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R。
[典例11] (2024·辽宁鞍山联考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑固定斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为( )
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
[听课记录]
[典例12] 如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角θ＝30°，重力加速度大小为g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B．圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C．物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D．物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和转盘圆心的连线
[听课记录]
1．(2024·辽宁卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的( )
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
2．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l
C．r D．l
第3节 圆周运动
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梳理·必备知识
1．(2)圆心 (3)速度
2．(1) (2) (3) (5)ω2r r
3．(1)方向 大小 (2)m mr (3)圆心 (4)合力 分力
4．(1)逐渐远离 (2)切线 远离 近心
激活·基本技能
1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×
2．提示：行驶的汽车对地面的压力小于汽车的重力，且汽车速度越大对地面的压力越小。
3．C [物体在水平圆盘上，一定受到重力和支持力作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的摩擦力，且摩擦力提供向心力，故C正确。]
4．BD [对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等，同轴转动的点，角速度相等。则vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式an＝ω2R，可得anB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 A [时间相同，路程之比即线速度大小之比，为4∶3，A项正确；由于时间相同，运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，等于角速度之比，为3∶2，B项错误；线速度大小之比除以角速度之比等于半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝知，线速度平方之比除以半径之比即向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误。]
典例2 A [B、A分别是大、小齿轮边缘上的两点，可知vA＝vB，又v＝ωr，rA＝rB，可得ωA＝2ωB，由于B、C两点都在大轮上，可知ωB＝ωC，又v＝ωr，rB＝4rC，可得vB＝4vC，则A、B、C三点线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝4∶4∶1，A、B、C三点角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，选项A正确，B错误；根据角速度和转速的关系有ω＝2πn，可知A、B、C三点转速之比为nA∶nB∶nC＝ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，选项C错误；根据向心加速度公式有a＝ω2r，可知A、B、C三点向心加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝8∶4∶1，选项D错误。]
典例3 BC [由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度大小为v＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度大小vc＝ωrc＝2nπrc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝＝＝ r/s＝25 r/min，故D错误。]
考点2
典例4 BD [杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，水平方向，筒壁的弹力提供向心力，有F＝mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不变，弹力变大，B正确，C错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F＝mω2r，联立解得ω≥，D正确。]
典例5 BC [设细绳与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由题图可看出小球从A高度到B高度θ增大，则aA典例6 B [由题图乙可知，当v2＝b时，FN＝0，有mg＝m，解得R＝，故A错误；当v2＝0时，FN＝mg＝a，解得m＝，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁对小球有作用力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。]
微点突破
典例7 BC [当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A错误；对甲、乙整体分析可知，乙受到转盘的摩擦力为f ＝2mω2r1，故B正确；若角速度增大，根据μmg＝mrω2，丙到转轴的距离较大，则丙先达到滑动的临界点，故C正确，D错误。]
典例8 ABC [设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝，解得vm＝4 m/s, 故C正确，D错误。]
典例9 A [小球通过最高点时，O轴受到杆的作用力F与小球受到杆的作用力F′等大反向，即F＝－F′，小球过最高点时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m，得F′＝v2－mg，则F＝－v2＋mg，则题图乙中图像的斜率为－＝－ kg/m，当v2＝0时，F＝mg＝3 N，联立解得m＝0.3 kg，R＝0.5 m，故A正确，B错误；当小球通过最高点的速度为零时，小球恰好通过最高点，故C错误；小球过最高点的速度大小为 m/s时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m，可得F′＝6 N, 方向竖直向下，即杆对球的作用力方向竖直向下，所以杆受到球的作用力竖直向上，故D错误。]
典例10 C [设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mg cos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。]
典例11 B [由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有mg sin 30°＝，解得vmin＝2 m/s，故B正确。]
典例12 C [物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmg cos 30°－mg sin 30°＝l，解得ω1＝5 rad/s，故B错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有 mg sin 30° ＝l，解得ω2＝10 rad/s>5 rad/s，可知物块会在最低点发生相对滑动，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，故A错误，C正确；由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力的平行盘面向下分力与摩擦力的合力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和转盘圆心的连线，故D错误。]
即时检验·感悟高考
1．D [根据题图可知，Q点到轴的距离大于P点到轴的距离，则Q点做圆周运动的半径大于P点做圆周运动的半径，A错误；P、Q两点同轴转动，角速度大小相等，根据v＝ωr和a＝ω2r结合A项分析可知，Q点的线速度大小和向心加速度大小均大于P点的，B、C错误，D正确。]
2．A [由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相等，对插销分析，有弹力提供向心力，F＝mlω2；对卷轴边沿有v′＝v＝rω，联立解得v＝r，故选A。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第3节 圆周运动
[学习目标] 1．掌握描述圆周运动的各物理量及关系。
2．会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。
3．会分析圆周运动向心力的来源，并利用圆周运动的相关知识解决生活中的圆周运动问题。
链接教材·夯基固本
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，线速度的大小处处相等，这种运动就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向____，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与____方向垂直且指向圆心。
圆心
速度
2．描述圆周运动的物理量
(1)线速度
①方向：沿圆周的切线方向。
②公式：v＝＝。
(2)角速度
①物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。
②公式：ω＝＝。
(3)周期
①定义：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。
②公式：T＝＝。
(4)转速
①定义：单位时间内物体转动的圈数。
②公式：n＝。
(5)向心加速度
①方向：始终指向圆心。
②公式：an＝＝_______＝＝ωv。
ω2r
r
3．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的____，不改变速度的____。
(2)大小：Fn＝________＝mω2r＝_________＝mωv＝4π2mf 2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向____，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的____提供，还可以由一个力的____提供。
方向
大小
m
m r
圆心
合力
分力
4．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做________圆心的运动。
(2)受力特点
①当F＝0时，物体沿____方向飞出。
逐渐远离
切线
②当0③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做____运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是合力不足以提供所需要的向心力。
远离
近心
1．易错易混辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的。 ( )
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。 ( )
(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。 ( )
×
√
×
×
(5)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。 ( )
(6)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 ( )
(7)做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 ( )
√
×
×
2．人教版必修第二册P37“思考与讨论”想一想：
如果把地球看成一个巨大的拱形桥，行驶的汽车对地面的压力还等于汽车的重力吗？
提示：行驶的汽车对地面的压力小于汽车的重力，且汽车速度越大对地面的压力越小。
3．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是( )
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
√
C [物体在水平圆盘上，一定受到重力和支持力作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的摩擦力，且摩擦力提供向心力，故C正确。]
4．(鲁科版必修第二册习题改编)(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则( )
A．A点与C点的角速度相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
√
√
BD [对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等，同轴转动的点，角速度相等。则vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式an＝ω2R，可得anB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
细研考点·突破题型
考点1 圆周运动中的运动学问题
1．理解两个公式
(1)对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
(2)对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。
类型 模型 模型解读
皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
2．掌握三种传动方式
类型 模型 模型解读
摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
角度1 圆周运动物理量的分析与计算
[典例1] A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
√
A [时间相同，路程之比即线速度大小之比，为4∶3，A项正确；由于时间相同，运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，等于角速度之比，为3∶2，B项错误；线速度大小之比除以角速度之比等于半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝知，线速度平方之比除以半径之比即向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误。]
角度2 圆周运动中的传动问题
[典例2] 如图甲所示，修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图乙所示的模型。B、A分别是大、小齿轮边缘上的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的2倍，小轮中心到A点和大轮中心到C点的距离之比为2∶1，则A、B、C三点( )
A．线速度大小之比为4∶4∶1
B．角速度之比为1∶1∶1
C．转速之比为2∶2∶1
D．向心加速度大小之比为2∶1∶1
√
A [B、A分别是大、小齿轮边缘上的两点，可知vA＝vB，又v＝ωr，rA＝rB，可得ωA＝2ωB，由于B、C两点都在大轮上，可知ωB＝ωC，又v＝ωr，rB＝4rC，可得vB＝4vC，则A、B、C三点线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝4∶4∶1，A、B、C三点角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，选项A正确，B错误；根据角速度和转速的关系有ω＝2πn，可知A、B、C三点转速之比为nA∶nB∶nC＝ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，选项C错误；根据向心加速度公式有a＝ω2r，可知A、B、C三点向心加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝8∶4∶1，选项D错误。]
[典例3] (多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
√
√
BC [由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度大小为v＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度大小vc＝ωrc＝2nπrc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主动
轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝＝＝ r/s＝25 r/min，故D错误。]
运动模型 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆
向心力的来源图示
考点2 圆周运动的动力学问题
1．水平匀速圆周运动模型向心力分析
运动模型 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆
运动模型 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 物体在光滑水平支撑面转动
向心力的来源图示
2．非匀速圆周运动
非匀速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心(特例：竖直面内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心)，可以分解为如图所示的两个分力。
(1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
[典例4] (多选)(2024·广东深圳高三期中)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，人与圆筒内壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则( )
A．该演员受到4个力的作用
B．该演员所需的向心力由弹力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圆筒的角速度ω≥
√
√
BD [杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，水平方向，筒壁的弹力提供向心力，有F＝mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不变，弹力变大，B正确，C错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F＝mω2r，联立解得ω≥，D正确。]
[典例5] (多选)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则( )
A．线速度vA > vB B．角速度ωA<ωB
C．向心加速度aAFB
√
√
BC [设细绳与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由题图可看出小球从A高度到B高度θ增大，则aA[典例6] (2024·北京丰台高三期中)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．管道的半径为bg
B．小球质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
√
B [由题图乙可知，当v2＝b时，FN＝0，有mg＝m，解得R＝，故A错误；当v2＝0时，FN＝mg＝a，解得m＝，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁对小球有作用力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。]
微点突破 圆周运动的临界问题
题型1 水平面内圆周运动的临界问题
1．受力情况
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间摩擦力恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力f m＝，方向指向圆心。
(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体随水平转盘转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
2．运动实例
[典例7] (多选)(2024·贵州贵阳一模)如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．甲受到的摩擦力一定为μmg
B．乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
√
√
BC [当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A错误；对甲、乙整体分析可知，乙受到转盘的摩擦力为f ＝2mω2r1，故B正确；若角速度增大，根据μmg＝mrω2，丙到转轴的距离较大，则丙先达到滑动的临界点，故C正确，D错误。]
题型2 竖直平面内圆周运动的临界问题
一、轻“绳”模型
1．特点：球运动在最高点时无支撑。
2．实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等。
3．最高点规律
(1)若v≥，F弹＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力F弹。
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
[典例8] (多选)(2024·陕西西安高三期末)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过
4 m/s
√
√
√
ABC [设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误。]
二、轻“杆”模型
1．特点：球运动在最高点时有支撑。
2．实例：如球与杆连接、在弯管内的运动等。
3．最高点规律
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN背离圆心。
(2)当0(3)当v＝时，FN＝0。
(4)当v>时，mg＋FN＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。
[典例9] 如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到杆的作用力F，若竖直向下为力的正方向，使小球在最低点时具有不同的初速度，得到F-v2图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则( )
A．O轴到球心间的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为 m/s
D．小球在最高点的速度大小为 m/s时杆受到球的作用力竖直向下
√
A [小球通过最高点时，O轴受到杆的作用力F与小球受到杆的作用力F′等大反向，即F＝－F′，小球过最高点时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m，得F′＝v2－mg，则F＝－v2＋mg，则题图乙中图像的斜率为－＝－ kg/m，当v2＝0时，F＝mg＝3 N，联立解得m＝0.3 kg，R＝0.5 m，故A正确，B错误；当小球通过最高点的速度为零时，小球恰好通过最高点，故C错误；小球过最高点的速
度大小为 m/s时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m，可得F′＝6 N，方向竖直向下，即杆对球的作用力方向竖直向下，所以杆受到球的作用力竖直向上，故D错误。]
[典例10] (2024·全国甲卷)如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小( )
A．在Q点最大 B．在Q点最小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
√
C [设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mg cos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。]
题型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。
在转动过程中，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R。
[典例11] (2024·辽宁鞍山联考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑固定斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝
10 m/s2，小球在A点最小速度为( )
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
√
B [由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有mg sin 30°＝，解得vmin＝2 m/s，故B正确。]
[典例12] 如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角θ＝30°，重力加速度大小为g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B．圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C．物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D．物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和转盘圆心的连线
√
C [物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmg cos 30°－mg sin 30°＝l，解得ω1＝5 rad/s，故B错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有 mg sin 30° ＝l，解得ω2＝10 rad/s>5 rad/s，可知物块会在最低点发生相对滑动，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，故A错误，C正确；由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力的平行盘面向下分力与摩擦力的合力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和转盘圆心的连线，故D错误。]
即时检验·感悟高考
1．(2024·辽宁卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的( )
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
√
D [根据题图可知，Q点到轴的距离大于P点到轴的距离，则Q点做圆周运动的半径大于P点做圆周运动的半径，A错误；P、Q两点同轴转动，角速度大小相等，根据v＝ωr和a＝ω2r结合A项分析可知，Q点的线速度大小和向心加速度大小均大于P点的，B、C错误，D正确。]
2．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l
C．r D．l
√
A [由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相等，对插销分析，有弹力提供向心力，F＝mlω2；对卷轴边沿有v′＝v＝rω，联立解得v＝r，故选A。]
课时数智作业(十)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．如图(a)所示是某市区中心的环岛路，车辆在环岛路上均逆时针行驶。图(b)所示是质量相等的甲、乙两车以接近相等的速度大小经过图示位置，则( )
A．两车的向心加速度大小相等
B．两车的角速度大小相等
C．两车受到指向轨道圆心的摩擦力大小相等
D．甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D [两车均由摩擦力指向轨道圆心的分力提供向心力，根据Fn＝m可知，甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大，D正确。]
2．(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
C [设该质点的质量为m，运动周期为T，轨道半径为r，所受合力为F，由题意知运动周期与轨道半径成反比，所以有T＝，k为比例系数，再由匀速圆周运动知识和牛顿第二定律有F＝mr，将T＝代入，解得F＝mr3，因为质点所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，所以n＝3，C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
3．(多选)陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，如图(a)所示，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图(b)所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台转速恒定时，关于粗坯上P、Q两质点，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．P的角速度大小比Q的大
B．P的线速度大小比Q的大
C．P的向心加速度大小比Q的大
D．同一时刻P所受合力的方向与Q的相同
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
BC [由题意可知，粗坯上P、Q两质点属于同轴转动，故ωP＝ωQ，即P的角速度大小跟Q的一样大，故A错误；根据v＝rω，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以vP>vQ，即P的线速度大小比Q的大，故B正确；根据a＝rω2，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以aP>aQ，即P的向心加速度大小比Q的大，故C正确；因为转台转速恒定，所以同一时刻P所受合力的方向与Q所受合力的方向均指向中心轴，故合力方向不相同，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(多选)如图(a)所示为游乐场中的空中飞椅项目。空中飞椅结构示意图如图(b)所示，转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．任一时刻，所有游客的线速度都相同
B．所有游客做圆周运动的周期都相同
C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大
D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
√
BCD [根据题意可知，所有游客为同轴转动，则所有游客做圆周运动的角速度相同，由v＝ωr可知，游客做圆周运动的半径不同，线速度大小不同，游客的线速度方向也不同，由T＝可知，所有游客做圆周运动的周期都相同，故A错误，B正确；根据题意，设绳长为L，悬绳与竖直方向的夹角为θ，则有mg tan θ＝mω2(L sin θ＋r)，解得·－＝L，可知，悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关，悬绳越长，θ越大，即悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大，故C、D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为 tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
B [列车以规定速度转弯时受到重力、支持力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有mg tan α＝m且tan α≈sina＝，联立解得v＝，故当列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<时，转弯所需的向心力F题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
C [汽车过圆弧形桥最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力，如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即F′N1＝FN1，所以由牛顿第二定律可得mg－F′N1＝，同理，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形
凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝，
由题意知FN1＝mg，FN2＝mg，联立解
得所以FN1∶FN2＝1∶3。
题号
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7．如图所示，竖直固定的光滑圆轨道内有一质量为m的小球在做完整的圆周运动。已知轨道半径为R，a为最高点，b为最低点，c和d为与圆心O等高的点，e和f 为关于圆心O的对称点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
题号
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A．小球在a点的速度必须大于
B．小球在c点和d点时与轨道之间没有弹力
C．小球在e点所受合力和在f 点所受合力等大反向
D．若小球运动到a点时速度为，则小球对轨道的压力大小为2mg
题号
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√
D [小球若恰能经过a点，则mg＝，解得vmin＝，即小球在a点的速度大于等于，A错误；小球在c点和d点时轨道对小球的支持力提供向心力，即与轨道之间都有弹力，B错误；小球在e点和f 点受力情况如图，可知小球在e点所受合力和在f 点所受合力大小不相等，方向不是相反，C错误；小球在a点时，合力提供向心力，有
FNa＋mg＝m，解得FNa＝2mg，由牛顿第三
定律知，小球对轨道的压力大小为2mg，D正确。]
题号
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8．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为15°，盘面上离转轴距离为r＝1 m处有一质量m＝1 kg的小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小
为6.6 N。若重力加速度g取10 m/s2，sin 15°＝
0.26，则下列说法正确的是( )
题号
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A．小物体做匀速圆周运动的线速度大小为 m/s
B．小物体受到合力的大小始终为4 N
C．小物体在最高点受到摩擦力大小为0.4 N，方向沿盘面指向转轴
D．小物体在最高点受到摩擦力大小为1.4 N，方向沿盘面背离转轴
题号
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√
B [在最低点对小物体受力分析，有小物体所受合力提供向心力，即Ff－mg sin 15°＝m，解得v＝2 m/s，所以A错误；小物体所受合力为F合＝m＝4 N，所以B正确；由于小物体做匀速圆周运动，在圆轨道任意位置时，所受合力的大小都是相等的，小物体在最高点所受合力大小为4 N，有F′f＝F合－mg sin 15°＝1.4 N，即在该点受到大小为1.4 N，方向沿盘面指向转轴的摩擦力，所以C、D错误。]
题号
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9．如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )
题号
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题号
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√
D [转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，细线拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为f a＝mraω2、f b＝mrbω2，因为rb>ra，故f b>f a，又因为a、b与圆盘的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f 0时细线开始出现拉力，此时对于a、b有f a－T＝mraω2，f 0＋T＝mrbω2，联立可得f a＝－f 0，由上述分析可知，细线拉力出现之前 图线的斜率为mra，细线拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以细线有拉力时图线斜率变大。故选D。]
题号
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10．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
题号
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(1)绳能承受的最大拉力是多少？
(2)保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
题号
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[解析] (1)球在最低点时，F－mg＝m，R＝
绳被拉断后，小球做平抛运动，d＝vt，d－＝gt2
联立解得，绳子承受的最大拉力为F＝mg。
(2)mg－mg＝m，x＝vt，d－R＝gt2
解得x＝，
当R＝时，x最大，xm＝d。
题号
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[答案] (1)mg (2) d
11．(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
题号
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(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
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[解析] (1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示。
设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝r1
转椅受到的摩擦力f 1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
题号
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(2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力
Fn2＝r2
转椅受到的摩擦力f 2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
竖直方向上由平衡条件有N2＋T cos θ＝mg
题号
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水平面上有f 2＝T sin θsin β
联立解得ω2＝。
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[答案] (2)
谢 谢 ！课时分层作业(十) 圆周运动
1．如图(a)所示是某市区中心的环岛路，车辆在环岛路上均逆时针行驶。图(b)所示是质量相等的甲、乙两车以接近相等的速度大小经过图示位置，则( )
A．两车的向心加速度大小相等
B．两车的角速度大小相等
C．两车受到指向轨道圆心的摩擦力大小相等
D．甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大
2．(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多选)陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，如图(a)所示，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图(b)所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台转速恒定时，关于粗坯上P、Q两质点，下列说法正确的是( )
A．P的角速度大小比Q的大
B．P的线速度大小比Q的大
C．P的向心加速度大小比Q的大
D．同一时刻P所受合力的方向与Q的相同
4．(多选)如图(a)所示为游乐场中的空中飞椅项目。空中飞椅结构示意图如图(b)所示，转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中( )
A．任一时刻，所有游客的线速度都相同
B．所有游客做圆周运动的周期都相同
C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大
D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关
5．列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为 tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
6．一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
7．如图所示，竖直固定的光滑圆轨道内有一质量为m的小球在做完整的圆周运动。已知轨道半径为R，a为最高点，b为最低点，c和d为与圆心O等高的点，e和f 为关于圆心O的对称点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A．小球在a点的速度必须大于
B．小球在c点和d点时与轨道之间没有弹力
C．小球在e点所受合力和在f 点所受合力等大反向
D．若小球运动到a点时速度为，则小球对轨道的压力大小为2mg
8．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为15°，盘面上离转轴距离为r＝1 m处有一质量m＝1 kg的小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为6.6 N。若重力加速度g取10 m/s2，sin 15°＝0.26，则下列说法正确的是( )
A．小物体做匀速圆周运动的线速度大小为 m/s
B．小物体受到合力的大小始终为4 N
C．小物体在最高点受到摩擦力大小为0.4 N，方向沿盘面指向转轴
D．小物体在最高点受到摩擦力大小为1.4 N，方向沿盘面背离转轴
9．如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )
A B C D
10．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)绳能承受的最大拉力是多少？
(2)保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
11．(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
课时分层作业(十)
1．D [两车均由摩擦力指向轨道圆心的分力提供向心力，根据Fn＝m可知，甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大，D正确。]
2．C [设该质点的质量为m，运动周期为T，轨道半径为r，所受合力为F，由题意知运动周期与轨道半径成反比，所以有T＝，k为比例系数，再由匀速圆周运动知识和牛顿第二定律有F＝mr，将T＝代入，解得F＝mr3，因为质点所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，所以n＝3，C正确。]
3．BC [由题意可知，粗坯上P、Q两质点属于同轴转动，故ωP＝ωQ，即P的角速度大小跟Q的一样大，故A错误；根据v＝rω，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以vP>vQ，即P的线速度大小比Q的大，故B正确；根据a＝rω2，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以aP>aQ，即P的向心加速度大小比Q的大，故C正确；因为转台转速恒定，所以同一时刻P所受合力的方向与Q所受合力的方向均指向中心轴，故合力方向不相同，故D错误。]
4．BCD [根据题意可知，所有游客为同轴转动，则所有游客做圆周运动的角速度相同，由v＝ωr可知，游客做圆周运动的半径不同，线速度大小不同，游客的线速度方向也不同，由T＝可知，所有游客做圆周运动的周期都相同，故A错误，B正确；根据题意，设绳长为L，悬绳与竖直方向的夹角为θ，则有mg tan θ＝mω2(L sin θ＋r)，解得·－＝L，可知，悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关，悬绳越长，θ越大，即悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大，故C、D正确。]
5．B [列车以规定速度转弯时受到重力、支持力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有mg tan α＝m且tan α≈sina＝，联立解得v＝，故当列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<时，转弯所需的向心力F6．C [汽车过圆弧形桥最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力，如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即F′N1＝FN1，所以由牛顿第二定律可得mg－F′N1＝，同理，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝，由题意知FN1＝mg，FN2＝mg，联立解得所以FN1∶FN2＝1∶3。
]
7．D [小球若恰能经过a点，则mg＝vmin＝，即小球在a点的速度大于等于，A错误；小球在c点和d点时轨道对小球的支持力提供向心力，即与轨道之间都有弹力，B错误；小球在e点和f 点受力情况如图，可知小球在e点所受合力和在f 点所受合力大小不相等，方向不是相反，C错误；小球在a点时，合力提供向心力，有FNa＋mg＝m，解得FNa＝2mg，由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小为2mg，D正确。]
8．B [在最低点对小物体受力分析，有小物体所受合力提供向心力，即Ff－mg sin 15°＝m，解得v＝2 m/s，所以A错误；小物体所受合力为F合＝m＝4 N，所以B正确；由于小物体做匀速圆周运动，在圆轨道任意位置时，所受合力的大小都是相等的，小物体在最高点所受合力大小为4 N，有F′f＝F合－mg sin 15°＝1.4 N，即在该点受到大小为1.4 N，方向沿盘面指向转轴的摩擦力，所以C、D错误。]
9．D [转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，细线拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为f a＝mraω2、f b＝mrbω2，因为rb>ra，故f b>f a，又因为a、b与圆盘的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f 0时细线开始出现拉力，此时对于a、b有f a－T＝mraω2，f 0＋T＝mrbω2，联立可得f a＝－f 0，由上述分析可知，细线拉力出现之前 图线的斜率为mra，细线拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以细线有拉力时图线斜率变大。故选D。]
10．解析：(1)球在最低点时，F－mg＝m，R＝
绳被拉断后，小球做平抛运动，d＝vt，d－＝gt2
联立解得，绳子承受的最大拉力为F＝mg。
(2)mg－mg＝m，x＝vt，d－R＝gt2
解得x＝，
当R＝时，x最大，xm＝d。
答案：(1)mg (2) d
11．解析：(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示。
设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝r1
转椅受到的摩擦力f 1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
(2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力
Fn2＝r2
转椅受到的摩擦力f 2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
竖直方向上由平衡条件有N2＋T cos θ＝mg
水平面上有f 2＝T sin θsin β
联立解得ω2＝。
答案： (2)
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