思维进阶课五 天体运动的三类热点问题
[学习目标] 1．会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。
2．会分析卫星的追及、相遇及对接类问题。
3．掌握双星或多星模型的特点，会解决相关问题。
卫星的变轨问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．变轨过程各物理量比较
速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ， 在B点加速：vⅢ＞vⅡB， 即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
(向心)加 速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
[典例1] (2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
[听课记录]
[典例2] (2024·四川成都三模)2024年4月3日，遥感四十二号01星在西昌卫星发射中心顺利升空，卫星的轨道如图所示，其中Ⅰ和Ⅲ为高度不同的圆轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与Ⅰ和Ⅲ相切于P点和Q点。下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中动能增大
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P点的速度
D．卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度
[听课记录]
[典例3] (多选)2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。如图所示为嫦娥六号登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥六号”在环地球轨道上的运行速度大于 11.2 km/s
B．“嫦娥六号”在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设“嫦娥六号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2
D．“嫦娥六号”在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能
[听课记录]
卫星追及、相遇及对接问题
1．卫星的追及、相遇问题：是指围绕同一中心天体运行而且轨道共面的两个卫星间相距“最近”或“最远”的问题。以绕地球运行的两卫星为例：
(1)相距最近：当两卫星位于和地球连线的半径上同侧时，两卫星相距最近(如图甲)。
(2)相距最远：当两卫星位于和地球连线的半径上两侧时，两卫星相距最远(如图乙)。
(3)两个关键关系：两卫星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1，2，3，…)，即两卫星转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1，2，3，…)，即两卫星转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数关系 相距最近 －＝n，(n＝1，2，3，…)
相距最远 －＝n－，(n＝1，2，3，…)
2．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接，如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接，如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
卫星追及、相遇问题
[典例4] 如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”( )
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
[听课记录]
[典例5] (2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次火星冲日将出现在2023年12月8日之前
[听课记录]
卫星对接问题
[典例6] 北京时间2024年10月30日11时00分，神舟十九号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时。径向交会对接指飞船沿垂直空间站的运动方向与其对接，载人飞船经过多次变轨和姿态调整来到距离空间站约2千米的中途瞄准点，最后在空间站正下方200米处启动动力设备始终沿径向靠近空间站完成对接，则此过程中( )
A．飞船到达中途瞄准点前的环绕周期大于空间站的环绕周期
B．飞船到达中途瞄准点后具有的动能大于空间站的动能
C．飞船处于空间站正下方200 米处时绕地球运行的线速度略小于空间站的线速度
D．空间站与飞船对接后轨道高度会略微降低
[听课记录]
双星或多星模型
双星模型
模型 特点
两星彼此间的万有引力提供向心力，即： ＝r1 ＝r2 (1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即：T1＝T2，ω1＝ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即：＝
(4)两星的运动周期 T＝2π
(5)两星的总质量 m＝m1＋m2＝
[典例7] 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为
D．恒星A的线速度大于B的线速度 [听课记录]
多星模型
类型 三星模型 四星模型
结构图
运动情境 质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上 质量相等的三星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动 质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动 质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动
向心力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供
运动量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同
[典例8] (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
[听课记录]
[典例9] (多选)如图所示为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形的四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 [听课记录]
思维进阶课五 天体运动的三类热点问题
进阶1
典例1 A [根据a＝可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
典例2 B [卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过P点时的速度是近地点速度，大于远地点速度，即在轨道Ⅱ上经过Q点时的速度，故从P点运动到Q点的过程中动能减小，故A错误；根据开普勒第三定律有＝k，轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，可知卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B正确；卫星在轨道Ⅰ上经过P点加速后做离心运动，故卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的速度，故C错误；无论卫星在哪个轨道上运行，都是只受地球的万有引力作用，由牛顿第二定律有G＝ma，可得加速度a＝，可知在同一位置，卫星的加速度相等，故D错误。]
典例3 BD [“嫦娥六号”在环地球轨道上的运行速度不可能大于11.2 km/s，故A错误；“嫦娥六号”需在M点点火加速进入地月转移轨道，故B正确；由a＝知“嫦娥六号”在经过圆轨道a上的N点和经过椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，故C错误；“嫦娥六号”从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，故D正确。]
进阶2
典例4 D [根据开普勒第三定律有＝，解得T乙＝7T甲，从题图所示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5圈，相遇一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就相遇一次，则甲运动15圈的时间内，甲、乙卫星将相遇4次。故选D。]
典例5 B [由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得＝＝，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则－＝1，所以t＝年>1年，D错误。]
典例6 C [对飞船，由万有引力提供向心力得G＝mr, 可得T＝2π，由上式可知，飞船到达中途瞄准点前的环绕周期小于空间站的环绕周期，故A错误；根据G＝m可得v＝，可知飞船到达中途瞄准点后的速度大于空间站的速度，但二者质量未知，所以无法比较动能，故B错误；飞船沿径向接近空间站过程中，始终在空间站正下方，所以需要控制飞船绕地球运行的角速度等于空间站的角速度，根据v＝ωr，飞船绕地球运行的线速度小于空间站的线速度，飞船沿径向到达空间站与之对接时的线速度相同，由万有引力提供向心力可知，对接后轨道高度不会降低，故C正确，D错误。]
进阶3
典例7 C [每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB, 又rAmB，故B错误；由B选项分析得，两恒星总质量为m＝mA＋mB＝，故C正确；两恒星角速度相等，根据v＝ωr，则vA典例8 BD [在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G＋G＝m，解得v＝，A错误；由周期T＝知直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π， B正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C错误；由2Gcos 30°＝ma得a＝，D正确。]
典例9 BD [四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝mω2·L可知ω＝，故B正确；由G＋G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由G＋G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
思维进阶课五 天体运动的三类热点问题
[学习目标] 1．会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。
2．会分析卫星的追及、相遇及对接类问题。
3．掌握双星或多星模型的特点，会解决相关问题。
进阶1 卫星的变轨问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，
有＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大
，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，
在B点加速：vⅢ＞vⅡB，
即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
(向心)加 速度关系 aⅢ＝aⅡB
aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
2．变轨过程各物理量比较
[典例1] (2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实
现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其
半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
A [根据a＝可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
[典例2] (2024·四川成都三模)2024年4月3日，遥感四十二号01星在西昌卫星发射中心顺利升空，卫星的轨道如图所示，其中Ⅰ和Ⅲ为高度不同的圆轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与Ⅰ和Ⅲ相切于P点和Q点。下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中动能增大
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P点的速度
D．卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度
√
B [卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过P点时的速度是近地点速度，大于远地点速度，即在轨道Ⅱ上经过Q点时的速度，故从P点运动到Q点的过程中动能减小，故A错误；根据开普勒第三定律有＝k，轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，可知卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B正确；卫星在轨道Ⅰ上经过P点加速后做离心运动，故卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的速度，故C错误；无论卫星在哪个轨道上运行，都是只受地球的万有引力作用，由牛顿第二定律有G＝ma，可得加速度a＝，可知在同一位置，卫星的加速度相等，故D错误。]
[典例3] (多选)2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。如图所示为“嫦娥六号”登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥六号”在环地球轨道上的运行速度大于 11.2 km/s
B．“嫦娥六号”在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设“嫦娥六号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2
D．“嫦娥六号”在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能
√
√
BD [“嫦娥六号”在环地球轨道上的运行速度不可能大于11.2 km/s，故A错误；“嫦娥六号”需在M点点火加速进入地月转移轨道，故B正确；由a＝知“嫦娥六号”在经过圆轨道a上的N点和经过椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，故C错误；“嫦娥六号”从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，故D正确。]
进阶2 卫星追及、相遇及对接问题
1．卫星的追及、相遇问题：是指围绕同一中心天体运行而且轨道共面的两个卫星间相距“最近”或“最远”的问题。以绕地球运行的两卫星为例：
(1)相距最近：当两卫星位于和地球连线的半径上同侧时，两卫星相距最近(如图甲)。
(2)相距最远：当两卫星位于和地球连线的半径上两侧时，两卫星相距最远(如图乙)。
(3)两个关键关系：两卫星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1，2，3，…)，即两卫星转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1，2，3，…)，即两卫星转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数关系 相距最近
相距最远
2．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接，如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接，如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
角度1 卫星追及、相遇问题
[典例4] 如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为相遇，则从某次相遇后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将相遇( )
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
√
D [根据开普勒第三定律有＝，解得T乙＝7T甲，从题图所示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5圈，相遇一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就相遇一次，则甲运动15圈的时间内，甲、乙卫星将相遇4次。故选D。]
[典例5] (2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次火星冲日将出现在2023年12月8日之前
√
B [由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得＝＝，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝，根
据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则－＝1，所以t＝年>1年，D错误。]
角度2 卫星对接问题
[典例6] 北京时间2024年10月30日11时00分，神舟十九号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时。径向交会对接指飞船沿垂直空间站的运动方向与其对接，载人飞船经过多次变轨和姿态调整来到距离空间站约2千米的中途瞄准点，最后在空间站正下方200米处启动动力设备始终沿径向靠近空间站完成对接，则此过程中( )
A．飞船到达中途瞄准点前的环绕周期大于空间站的环绕周期
B．飞船到达中途瞄准点后具有的动能大于空间站的动能
C．飞船处于空间站正下方200 米处时绕地球运行的线速度略小于空间站的线速度
D．空间站与飞船对接后轨道高度会略微降低
√
C [对飞船，由万有引力提供向心力得G＝mr，可得T＝2π，由上式可知，飞船到达中途瞄准点前的环绕周期小于空间站的环绕周期，故A错误；根据G＝m可得v＝，可知飞船到达中途瞄准点后的速度大于空间站的速度，但二者质量未知，所以无法比较动能，故B错误；飞船沿径向接近空间站过程中，始终
在空间站正下方，所以需要控制飞船绕地球运行的角速度等于空间站的角速度，根据v＝ωr，飞船绕地球运行的线速度小于空间站的线速度，飞船沿径向到达空间站与之对接时的线速度相同，由万有引力提供向心力可知，对接后轨道高度不会降低，故C正确，D错误。]
进阶3 双星或多星模型
模型1 双星模型
模型
特点
(1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即：T1＝T2，ω1＝ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
[典例7] 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力
常量为G，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为
D．恒星A的线速度大于B的线速度
√
C [每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB, 又rAmB，故B错误；由B选项分析得，两恒星总质量为m＝mA＋mB＝，故C正确；两恒星角速度相等，根据v＝ωr，则vA类型 三星模型 四星模型 结构图
模型2 多星模型
类型 三星模型 四星模型 运动情境 质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上 质量相等的三星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动 质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动 质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动
类型 三星模型 四星模型
向心力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供 运动量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同 [典例8] (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆
周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
√
√
BD [在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G＋G＝m，解得v＝，A错误；由周期T＝知直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π， B正确；同理，
对三角形三星系统中做圆周运动的星体有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C错误；由2Gcos 30°＝ma得a＝，D正确。]
[典例9] (多选)如图所示为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形的四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
√
√
BD [四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝mω2·L可知ω＝，故B正确；由G＋G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由
G＋G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。]
思维进阶特训(五)
题号
1
3
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9
10
11
1．如图所示，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接全程仅用了2小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆。要使天舟五号
在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷
射燃气的方向可能正确的是( )
12
13
题号
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A B
C D
√
A [要想使天舟五号与空间站在同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力与喷气方向相反，故选A。]
题号
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2．(2024·河北沧州二模)如图所示，发射一个高轨道人造地球卫星一般需要三步，第一步在地球表面的A点把卫星发射到圆轨道1上，第二步在B点喷火让卫星在椭圆轨道2上运行，第3步在C点喷火让卫星在圆轨道3上运行，已知轨道1、3的半径分
别为R、5R，卫星在轨道1上运行的周期为
T，下列说法正确的是( )
题号
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A．卫星的发射点A的纬度越高越好
B．卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度小于在轨道1上运行经过B点时的线速度
C．卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来减小动能
D．卫星在轨道2上运行的周期为3T
√
题号
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D [卫星的发射方向从西向东，需要借助地球的自转线速度，所以发射点A的纬度越低越好，故A错误；卫星从轨道1变轨到轨道2，需要在B点喷火来增加线速度，所以卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度大于在轨道1上运行经过B点时的线速度，故B错误；与B点同理，卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来增加线速度实现变轨，即增加动能来实现，故C错误；椭圆轨道2的半长轴为r＝＝3R，由开普勒第三定律可得＝，则有T椭＝3T，故D正确。]
题号
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3．太阳系中各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。行星冲日是指某行星、地球和太阳几乎排成一直线的状态，地球位于太阳与该行星之间。已知相邻两次冲日的时间间隔火星约为800天，土星约为378天，则( )
A．火星公转周期约为1.8年
B．火星的公转周期比土星的公转周期大
C．火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径大
D．火星和土星的公转轨道半径之比为
√
题号
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A [根据开普勒第三定律，行星轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，由于地球的轨道半径比火星的轨道半径小，故可知地球的周期比火星的小，设火星相邻两次冲日的时间间隔为t，则在时间t内地球比火星绕太阳多转一周(2π弧度)，有：ω0t－ω1t＝2π，ω0＝，ω1＝，故t－t＝2π，即－＝1，解得T1＝≈671天≈1.8年，A正确；同理土星的周期为T2＝≈10 613天≈29.1年，
题号
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故火星的公转周期比土星的公转周期小，B错误；根据开普勒第三定律，行星轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，可知火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小，C错误；火星和土星的公转轨道半径之比为＝，D错误。]
题号
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4．火星探测器天问一号成功发射，标志着我国已经开启了探索火星之旅。如图所示，天问一号通过虚线椭圆轨道从地球轨道到达火星轨道，已知椭圆轨道近日点A距离太阳中心距离为rA，远日点B距离太阳中心距离为rB，地球、火星绕太阳的运动
近似为匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
题号
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A．地球与火星的速度大小之比为∶
B．天问一号在椭圆轨道A和B处的速度大小之比等于rA∶rB
C．天问一号在椭圆轨道A和B处的加速度大小之比等于rB∶rA
D．要实现从椭圆轨道B处进入火星轨道，天问一号需向前喷气
√
题号
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A [根据G＝m，得到v＝，则地球与火星的速度大小之比为∶，选项A正确；根据开普勒第二定律有vA·Δt·rA＝vB·Δt·rB，解得vA∶vB＝rB∶rA，选项B错误；根据牛顿第二定律有a＝＝，所以aA∶aB＝，选项C错误；从椭圆轨道B处进入火星轨道应加速，需要向后喷气，选项D错误。]
题号
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5．(2024·浙江温州一模)我国成功发射神舟七号载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动，“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，“伴飞”小卫星有多种伴飞模式，
图1和图2是其中的两种伴飞模式，则下
列说法正确的是( )
题号
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A．载人飞船的速度大小介于7.9 km/s到11.2 km/s之间
B．图1的伴飞模式下，“伴飞”小卫星的线速度大小大于载人飞船的线速度大小
C．图2模式下的“伴飞”小卫星只需向后喷出气体，加速后，就可以和载人飞船对接
D．图1和图2这两种伴飞模式下，“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的
√
题号
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D [第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则载人飞船的速度大小小于7.9 km/s，故A错误；“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，可知题图1和题图2这两种伴飞模式下，“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的，都与载人飞船的角速度大小相等，根据v＝ωr，题图1的伴飞模式下，由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径，则“伴飞”小卫星的线速度大小小于载人飞船的线速度大小，故B错误，D正确；题图2模式下“伴飞”小卫星向后喷出气体，加速后将做离心运动，变轨到更高的轨道，不可能与载人飞船对接，故C错误。]
题号
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6．(2024·浙江金华十校高三模拟)2024年9月28日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕
太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，
土星约29.5年绕太阳一周。则( )
题号
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题号
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A．土星的运行速度比地球的运行速度大
B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
C．每隔约1.04年发生一次土星冲日
D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等
√
C [根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，土星的公转半径较大，所以土星的运行速度比地球的运行速度小，故A错误；根据星球表面万有引力与重力的关系有G＝mg，解得g＝，题中土星和地球的质量、半径均未知，无法分析重力加速度，故B错误；设每隔Δt时间出现一次土星冲日现象，则有－＝1，解得Δt≈1.04年，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一个行星在相同的时间内和太阳中心连线扫过的面积相等，故D错误。]
题号
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7．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线的中点做匀速圆周运动。观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k。于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为( )
A．m B．m
C．m D．m
√
题号
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A [两星球绕连线的中点转动，则有G＝·，所以T0＝2π，由于天体C的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则 G＋G＝m·，又＝k，联立解得M＝m，可知A正确，B、C、D错误。]
题号
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8．(多选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X-1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
题号
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13
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
√
题号
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√
AC [假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m＜M，两者之间的距离为L，则根据万有引力定律有G＝F，刚开始恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m的乘积变大，两者之间的万有引力变大，故A正确；双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力有G＝mω2r＝
题号
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Mω2R，其中R＋r＝L，解得角速度ω＝ ，两者的质量之和不变，则角速度不变，故B错误；根据mω2r＝Mω2R得＝，因为M减小，m增大，所以R增大，r减小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得
v恒变大，v黑变小，故C正确，D错误。]
题号
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9．由中国国家航天局组织实施研制的嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。如图所示为嫦娥五号飞行轨迹的简化图，其中Q为各绕地轨道的交点，P为各环月轨道的交点。关于嫦娥五号，以下说法正确的是( )
题号
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A．在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能大
B．在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期大
C．从绕地轨道进入地月转移轨道需要在Q点加速，而从地月转移轨道进入环月轨道需要在P点减速
D．无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小相同
√
题号
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C [嫦娥五号在环月轨道2上的P点减速进入环月轨道1，机械能减小，即在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能小，A错误；根据开普勒第三定律可得＝，由于a2>a1，可得在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期小，B错误；从绕地轨道进入地月转移轨道在Q点加速，从低轨道进入高轨道，运动到地月转移轨道月球对嫦娥五号的引力大于地球对嫦娥五号的引力，嫦娥五号被月
题号
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球捕获，在P点减速，使其绕月飞行，C正确；根据G ＝ma，M＝ρ·πR3，得离地表面h处的加速度为a＝G ，由于地球和月球的平均密度、星球半径不同，所以无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小不相同，D错误。]
题号
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10．(2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可
视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且
相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常
量为G。则( )
题号
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A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
√
题号
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A [对a由牛顿第二定律有＝Mω2r，可得ω＝，因a、b、c角速度相同，可知D错误；如图所示，设a、c间的距离为L，且a、c连线与a、b连线的夹角为α，则对c由牛顿第二定律有＝mω2L sin α，又r＝L cos α， 可得cos α＝，所以x＝r，由v＝ωr0可知vc＝va，A正确；根据a0＝ω2r0可知ac＝ab，B错误；c在一
个周期内的路程为l＝2πx＝2πr，C错误。]
题号
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11．(多选)如图所示，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动。已知行星a、b运动的轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法正确的是( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，
a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
题号
1
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√
√
AD [根据开普勒第三定律得＝，解得Ta∶Tb＝1∶8，设从图示时刻起，经过时间t，a、b、c三者在同一条直线上，则有t＋θ＝nπ，其中n＝1，2，3，…，解得t＝，又Tb＝8Ta，解得t＝Tb，令t＝Tb，则有＝1，解得n＝＝14＋，
故在b绕c转动一周的时间内，有14次a、b、c三
者在同一条直线上，A、D正确，B、C错误。]
题号
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12．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
题号
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A．mv2＋
mv2－
C．mv2＋
mv2－
题号
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√
D [当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G ＝，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有 G＝，解得在此圆轨道上运行时通
题号
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过B点的速度为v′0＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v′＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确。]
题号
1
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13
13．(多选)如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA之间的引力。引力常量为G，则( )
题号
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13
A．恒星A的质量大于恒星B的质量
B．恒星B的质量为MB＝
C．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为Δt＝
题号
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√
√
AB [因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得MARAω2＝MBRBω2，则＝，即恒星A的质量大于恒星B的质量，A正确；对恒星A可得 G＝，解得恒星B的质量为MB＝，B正确；对卫星C满足G＝，可见无法求出卫星C的质量，C错误；因A、B始终共线，故A、B、C三星由题中图示位置到再次共线所用的时间Δt＝，D错误。]
题号
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谢 谢 ！思维进阶特训(五) 天体运动的三类热点问题
1．如图所示，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接全程仅用了2小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是( )
A B
C D
2．(2024·河北沧州二模)如图所示，发射一个高轨道人造地球卫星一般需要三步，第一步在地球表面的A点把卫星发射到圆轨道1上，第二步在B点喷火让卫星在椭圆轨道2上运行，第3步在C点喷火让卫星在圆轨道3上运行，已知轨道1、3的半径分别为R、5R，卫星在轨道1上运行的周期为T，下列说法正确的是( )
A．卫星的发射点A的纬度越高越好
B．卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度小于在轨道1上运行经过B点时的线速度
C．卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来减小动能
D．卫星在轨道2上运行的周期为3T
3．太阳系中各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。行星冲日是指某行星、地球和太阳几乎排成一直线的状态，地球位于太阳与该行星之间。已知相邻两次冲日的时间间隔火星约为800天，土星约为378天，则( )
A．火星公转周期约为1.8年
B．火星的公转周期比土星的公转周期大
C．火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径大
D．火星和土星的公转轨道半径之比为
4．火星探测器天问一号成功发射，标志着我国已经开启了探索火星之旅。如图所示，天问一号通过虚线椭圆轨道从地球轨道到达火星轨道，已知椭圆轨道近日点A距离太阳中心距离为rA，远日点B距离太阳中心距离为rB，地球、火星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．地球与火星的速度大小之比为∶
B．天问一号在椭圆轨道A和B处的速度大小之比等于rA∶rB
C．天问一号在椭圆轨道A和B处的加速度大小之比等于rB∶rA
D．要实现从椭圆轨道B处进入火星轨道，天问一号需向前喷气
5．(2024·浙江温州一模)我国成功发射神舟七号载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动，“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，“伴飞”小卫星有多种伴飞模式，图1和图2是其中的两种伴飞模式，则下列说法正确的是( )
A．载人飞船的速度大小介于7.9 km/s到11.2 km/s之间
B．图1的伴飞模式下，“伴飞”小卫星的线速度大小大于载人飞船的线速度大小
C．图2模式下的“伴飞”小卫星只需向后喷出气体，加速后，就可以和载人飞船对接
D．图1和图2这两种伴飞模式下，“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的
6．(2024·浙江金华十校高三模拟)2024年9月28日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则( )
A．土星的运行速度比地球的运行速度大
B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
C．每隔约1.04年发生一次土星冲日
D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等
7．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线的中点做匀速圆周运动。观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k。于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为( )
A．m B．m
C．m D．m
8．(多选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X-1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
9．由中国国家航天局组织实施研制的嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。如图所示为嫦娥五号飞行轨迹的简化图，其中Q为各绕地轨道的交点，P为各环月轨道的交点。关于嫦娥五号，以下说法正确的是( )
A．在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能大
B．在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期大
C．从绕地轨道进入地月转移轨道需要在Q点加速，而从地月转移轨道进入环月轨道需要在P点减速
D．无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小相同
10．(2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
11．(多选)如图所示，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动。已知行星a、b运动的轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法正确的是( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
12．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
A．mv2＋ mv2－
C．mv2＋ mv2－
思维进阶特训(五)
1．A [要想使天舟五号与空间站在同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力与喷气方向相反，故选A。]
2．线速度，所以发射点A的纬度越低越好，故A错误；卫星从轨道1变轨到轨道2，需要在B点喷火来增加线速度，所以卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度大于在轨道1上运行经过B点时的线速度，故B错误；与B点同理，卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来增加线速度实现变轨，即增加动能来实现，故C错误；椭圆轨道2的半长轴为r＝＝3R，由开普勒第三定律可得＝，则有T椭＝3T，故D正确。]
3．A [根据开普勒第三定律，行星轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，由于地球的轨道半径比火星的轨道半径小，故可知地球的周期比火星的小，设火星相邻两次冲日的时间间隔为t，则在时间t内地球比火星绕太阳多转一周(2π弧度)，有：ω0t－ω1t＝2π，ω0＝，ω1＝，故t－t＝2π，即－＝1，解得T1＝≈671天≈1.8年，A正确；同理土星的周期为T2＝≈10 613天≈29.1年，故火星的公转周期比土星的公转周期小，B错误；根据开普勒第三定律，行星轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，可知火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小，C错误；火星和土星的公转轨道半径之比为＝，D错误。]
4．A [根据G＝m，得到v＝，则地球与火星的速度大小之比为∶，选项A正确；根据开普勒第二定律有vA·Δt·rA＝vB·Δt·rB，解得vA∶vB＝rB∶rA，选项B错误；根据牛顿第二定律有a＝＝，所以aA∶aB＝，选项C错误；从椭圆轨道B处进入火星轨道应加速，需要向后喷气，选项D错误。]
5．D [第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则载人飞船的速度大小小于7.9 km/s，故A错误；“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，可知题图1和题图2这两种伴飞模式下，“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的，都与载人飞船的角速度大小相等，根据v＝ωr，题图1的伴飞模式下，由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径，则“伴飞”小卫星的线速度大小小于载人飞船的线速度大小，故B错误，D正确；题图2模式下“伴飞”小卫星向后喷出气体，加速后将做离心运动，变轨到更高的轨道，不可能与载人飞船对接，故C错误。]
6．C [根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，土星的公转半径较大，所以土星的运行速度比地球的运行速度小，故A错误；根据星球表面万有引力与重力的关系有G＝mg，解得g＝，题中土星和地球的质量、半径均未知，无法分析重力加速度，故B错误；设每隔Δt时间出现一次土星冲日现象，则有－＝1，解得Δt≈1.04年，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一个行星在相同的时间内和太阳中心连线扫过的面积相等，故D错误。]
7．A [两星球绕连线的中点转动，则有G＝·，所以T0＝2π，由于天体C的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则 G＋G＝m·，又＝k，联立解得M＝m，可知A正确，B、C、D错误。]
8．AC [假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m＜M，两者之间的距离为L，则根据万有引力定律有G＝F，刚开始恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m的乘积变大，两者之间的万有引力变大，故A正确；双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力有G＝mω2r＝Mω2R，其中R＋r＝L，解得角速度ω＝ ，两者的质量之和不变，则角速度不变，故B错误；根据mω2r＝Mω2R得＝，因为M减小，m增大，所以R增大，r减小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得v恒变大，v黑变小，故C正确，D错误。]
9．C [嫦娥五号在环月轨道2上的P点减速进入环月轨道1，机械能减小，即在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能小，A错误；根据开普勒第三定律可得＝，由于a2>a1，可得在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期小，B错误；从绕地轨道进入地月转移轨道在Q点加速，从低轨道进入高轨道，运动到地月转移轨道月球对嫦娥五号的引力大于地球对嫦娥五号的引力，嫦娥五号被月球捕获，在P点减速，使其绕月飞行，C正确；根据 G ＝ma，M＝ρ·πR3，得离地表面h处的加速度为a＝G ，由于地球和月球的平均密度、星球半径不同，所以无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小不相同，D错误。]
10．A [对a由牛顿第二定律有＝Mω2r，可得ω＝，因a、b、c角速度相同，可知D错误；如图所示，设a、c间的距离为L，且a、c连线与a、b连线的夹角为α，则对c由牛顿第二定律有＝mω2L sin α，又r＝L cos α， 可得cos α＝，所以x＝r，由v＝ωr0可知vc＝va，A正确；根据a0＝ω2r0可知ac＝ab，B错误；c在一个周期内的路程为l＝2πx＝2πr，C错误。]
11．AD [根据开普勒第三定律得＝，解得Ta∶Tb＝1∶8，设从图示时刻起，经过时间t，a、b、c三者在同一条直线上，则有t＋θ＝nπ，其中n＝1，2，3，…，解得t＝，又Tb＝8Ta，解得t＝Tb，令t＝Tb，则有＝1，解得n＝＝14＋，故在b绕c转动一周的时间内，有14次a、b、c三者在同一条直线上，A、D正确，B、C错误。]
12．D [当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有 G＝，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有 G＝，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v′0＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v′＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确。]
13．AB [因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得MARAω2＝MBRBω2，则＝，即恒星A的质量大于恒星B的质量，A正确；对恒星A可得 G＝，解得恒星B的质量为MB＝，B正确；对卫星C满足 G＝，可见无法求出卫星C的质量，C错误；因A、B始终共线，故A、B、C三星由题中图示位置到再次共线所用的时间Δt＝，D错误。]
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