第1节 功和功率
[学习目标] 1．理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2．理解功率的概念，会计算平均功率和瞬时功率。3．会分析和计算两种机车启动方式的相关问题。
1．功
(1)定义：一个物体受到力的作用，如果在__________发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
(2)必要因素：力和物体在________上发生的位移。
(3)物理意义：功是能量转化的____。
(4)公式W＝Fl cos α
①α是力与____方向之间的夹角，l为物体的位移。
②该公式只适用于____做功。
(5)功的正负
①当0≤α<时，W>0，这表示力对物体做____。
②当<α≤π时，W<0，这表示力对物体做____，或者说物体____这个力做功。
③当α＝时，W＝0，这表示力对物体______。
(6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动力还是阻力。
2．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的____。
(2)物理意义：描述力对物体做功的____。
(3)公式
①P＝：P为时间t内的________。
②P＝Fv
a．v为平均速度，则P为____功率。
b．v为瞬时速度，则P为____功率。
c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
(4)额定功率：机械可以长时间工作的最大功率。
(5)实际功率：机械实际工作时的功率。
1．易错易混辨析
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。 ( )
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 ( )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。 ( )
(4)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 ( )
(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。 ( )
(6)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。 ( )
2．人教版必修第二册P81“拓展学习”：推导重力做功的特点时运用了什么方法？
3．(多选)(人教版必修第二册习题改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f ＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为6 000 J
B．阻力做的功为1 000 J
C．支持力不做功
D．各力做的总功为零
恒力做功的分析与计算
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移方向的夹角判断。
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功。
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算。
(2)总功的计算
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，W合＝Ek2－Ek1。
正负功的判断
[典例1] (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合外力对物体做功为0
[听课记录]
恒力做功的计算
[典例2] (多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为 2 kg 的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中，g取10 m/s2，则( )
A．斜面对物体的支持力做功300 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－100 J
C．物体克服重力做功400 J
D．合外力对物体做功25 J
[听课记录]
功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为某时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
[典例3] 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
思路点拨：(1)力F是作用在绳端上，而不是作用在物体上。
(2)由动滑轮的结构特点知绳端的速度大小等于物体速度大小的两倍，位移大小也是两倍关系。
[听课记录]
[典例4] (多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用，力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻水平力的瞬时功率为
B．3t0时刻水平力的瞬时功率为
C．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为
[听课记录]
机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 vm＝，以vm做匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
[典例5] 超级电容车在运行中无须连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。
思路点拨：(1)当电容车速度达到最大时，电容车的牵引力与阻力等大反向。
(2)电容车以恒定加速度启动，匀加速运动结束时，电容车刚好达到额定功率，应满足P＝Fv。
(3)电容车以恒定功率启动过程，牵引力所做的功应用W＝Pt求解。
[听课记录]
[变式1] 在[典例5]中，超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到v1＝20 m/s后超级电容车做什么运动？若速度从v1到最大速度vm这段过程中对应的时间Δt＝40 s，则其位移Δx＝Δt＝1 000 m，这种计算方法对吗？为什么？
[解析] 超级电容车的速度达到v1＝20 m/s时，超级电容车的功率达到额定功率P＝60 kW，以后超级电容车的功率不再增加，随着速度的增大，牵引力减小，超级电容车的加速度逐渐减小，直到速度达到vm＝30 m/s，因此这一过程中超级电容车做变加速直线运动，其位移Δx不可用Δx＝Δt计算，因为这段时间内不是做匀变速直线运动，其v-t图像如图所示，面积表示位移，显然Δx>Δt。可以用PΔt－FfΔx＝计算。
[答案] 见解析
[变式2] 在[典例5]中，超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时超级电容车的加速度为多大？
求变力做功的方法
方法 以例说法
动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
图像法 一水平拉力拉着一物体在拉力方向上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
公式法 当功率恒定时，利用公式W＝Pt求所做的功，如右图所示的问题，所做的总功W＝P1t1＋P2t2
平均值法 当力与位移为线性关系时，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝×(x2－x1)
等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
[典例6] (一题多法)(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Fl cos α求得。公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于在甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中轻绳的拉力对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)
B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Fl sin θ
[听课记录]
[典例7] 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进木板的深度为d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C． d
[听课记录]
1．(2023·北京卷)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中( )
A．摩擦力做功大小与F方向无关
B．合力做功大小与F方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
2．(2023·新课标卷)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A．0 B．mgh
C．mv2－mgh D．mv2＋mgh
3．(2023·山东卷)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A．
C． D．nmgωRH
4．(2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为 ( )
A．
C．
第1节 功和功率
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(1)力的方向上 (2)力的方向 (3)量度 (4)位移 恒力 (5)正功 负功 克服 不做功
2．(1)比值 (2)快慢 (3)平均功率 平均 瞬时
激活·基本技能
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
2．提示：微元法。
3．AC [对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f ·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，故支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。
]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 ACD [
取物体为研究对象，受力分析如图所示，物体受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN的作用，由于Ff方向与运动方向一致，所以摩擦力做正功，A正确，B错误；FN方向与运动方向垂直，支持力不做功，C正确；由于物体做匀速运动，所以受到的合外力为0，合外力做功为0，D正确。]
典例2 AC [
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示。由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0，代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N，x＝vt＝20 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNx cos θ＝300 J，A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffx sin θ＝100 J，B错误；物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J，C正确；合外力对物体做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝0，D错误。]
考点2
典例3 C [v t图像的斜率表示物体加速度的大小，由题图乙可知a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得F＝10.5 N，A、B错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；由题图乙可知，4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误。]
典例4 BD [2t0时刻物体的速度大小为v2＝a1·2t0＝t0，3t0时刻物体的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝·2t0＋·t0＝，3t0时刻力的大小F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝，A错误，B正确；0～3t0时间内，水平力对物体做的功W＝F0x1＋3F0x2＝F0··(2t0)2＋3F0·t0＝，平均功率＝＝，C错误，D正确。]
考点3
典例5 解析：(1)当电容车速度达到最大时，电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
(2)电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设电容车刚达到额定功率时的速度为v1，又P＝F1v1，则v1＝＝20 m/s
设电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
(3)从静止到最大速度整个过程只有牵引力与阻力做功，由动能定理得
Pt2－Ffx＝
解得x＝1 050 m。
答案：(1)30 m/s (2)40 s (3)1 050 m
变式1 解析：超级电容车的速度达到v1＝20 m/s时，超级电容车的功率达到额定功率P＝60 kW，以后超级电容车的功率不再增加，随着速度的增大，牵引力减小，超级电容车的加速度逐渐减小，直到速度达到vm＝30 m/s，因此这一过程中超级电容车做变加速直线运动，其位移Δx不可用Δx＝Δt计算，因为这段时间内不是做匀变速直线运动，其 v t 图像如图所示，面积表示位移，显然Δx>Δt。可以用PΔt－FfΔx＝计算。
答案：见解析
变式2 解析：超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F＝＝6 000 N，超级电容车的加速度a＝＝2 m/s2。
答案：2 m/s2
微点突破
典例6 AB [等效转换法：轻绳对物块拉力的方向一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等，故题图甲中物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确。
图像法：题图乙中，F x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确。
微元法：题图丙中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f ·＝－πRf ，故C错误。
动能定理法：题图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时，将小球从P拉到Q的过程，F做的功是W＝Fl sin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，故D错误。]
典例7 B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得第一次W＝d＝d，又第二次W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d，故选B。]
即时检验·感悟高考
1．D [设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin θ)，摩擦力做功为Wf＝－μ(mg－F sin θ)x，即摩擦力做功大小与F方向有关，选项A错误；合力做功为W＝F合x＝max，可知合力做功大小与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功为max，大小一定，且合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当F sin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，此时摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确。]
2．B [由题意知雨滴做匀速运动，有f ＝mg，则雨滴克服空气阻力做的功W＝f h＝mgh，B正确。]
3．B [设两水轮的轴的连线与水平面的夹角为θ，水筒在两水轮间做匀速直线运动，由平衡条件知筒车对灌入稻田的水的作用力大小F＝n·60%mg，方向竖直向上，筒车的线速度大小v＝ωR，则筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝Fv cos (90°－θ)＝，B正确，A、C、D错误。]
4．D [分析可知，两动车在平直铁轨上受到的阻力分别为f 1＝，f 2＝，编成动车组后，动车组的总功率P＝P1＋P2，动车组受到的总阻力f ＝f 1＋f 2，又vm＝，联立解得vm＝，A、B、C错误，D正确。]
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第五章 机械能
第五章 机械能
考情分析 功和 功率 2024·江西卷·T5、
2022·广东卷·T9、
2021·全国乙卷·T19、
2021·浙江1月选考·T11、
2021·北京卷·T8
机车启动问题 2023·湖北卷·T4、
2021·湖南卷·T3、
2020·天津卷·T8
[教师备选资源]
第五章 机械能
考情分析 动能定理及其应用 2024·安徽卷·T2、2024·新课标·T24、2023·全国乙卷·T21、2023·新课标卷·T15、2023·湖南卷·T8、2023·江苏卷·T15、2021·全国甲卷·T20、2021·山东卷·T3、 2021·河北卷·T6、2020·全国卷Ⅱ·T25
第五章 机械能
考情 分析 功能关系 2024·山东卷·T7、
2024·浙江1月·T3、
2023·新课标卷·T20、
2023·浙江1月选考·T4、
2020·全国卷Ⅰ·T20
机械能守恒定律 2024·全国甲卷·T17、
2023·全国甲卷·T24、
2022·全国乙卷·T16、
2020·山东卷·T11
第五章 机械能
考情 分析 功和能的综合 2024·江苏卷·T15、2024·安徽卷·T7、 2023·浙江1月选考·T18、
2023·浙江6月选考·T3、
2022·广东卷·T13、
2022·江苏卷·T10、2022·河北卷·T9
实验：验证机械能守恒定律 2022·河北卷·T11、2022·湖北卷·T12、2021·浙江6月选考·T17
第五章 机械能
备考策略 1．理解功、功率、动能、重力势能、弹性势能等基本概念。
2．掌握各种功的计算方法，灵活应用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律分析与解决相关的力学问题。
3．关注功和能的知识和计算方法以及与各种运动形式结合的综合性问题。
4．注重实验原理与操作、实验能力的迁移应用。
第1节
功和功率
[学习目标] 1．理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。
2．理解功率的概念，会计算平均功率和瞬时功率。
3．会分析和计算两种机车启动方式的相关问题。
链接教材·夯基固本
1．功
(1)定义：一个物体受到力的作用，如果在__________发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
(2)必要因素：力和物体在________上发生的位移。
(3)物理意义：功是能量转化的____。
力的方向上
力的方向
量度
(4)公式W＝Fl cos α
①α是力与____方向之间的夹角，l为物体的位移。
②该公式只适用于____做功。
位移
恒力
(5)功的正负
①当0≤α<时，W>0，这表示力对物体做____。
②当<α≤π时，W<0，这表示力对物体做____，或者说物体____这个力做功。
③当α＝时，W＝0，这表示力对物体______。
(6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动力还是阻力。
正功
负功
克服
不做功
2．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的____。
(2)物理意义：描述力对物体做功的____。
(3)公式
①P＝：P为时间t内的________。
比值
快慢
平均功率
②P＝Fv
a．v为平均速度，则P为____功率。
b．v为瞬时速度，则P为____功率。
c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
(4)额定功率：机械可以长时间工作的最大功率。
(5)实际功率：机械实际工作时的功率。
平均
瞬时
1．易错易混辨析
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。 ( )
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 ( )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。 ( )
×
√
×
(4)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 ( )
(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。 ( )
(6)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。 ( )
√
×
×
2．人教版必修第二册P81“拓展学习”：推导重力做功的特点时运用了什么方法？
提示：微元法。
3．(多选)(人教版必修第二册习题改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f ＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是
( )
A．重力做的功为6 000 J
B．阻力做的功为1 000 J
C．支持力不做功
D．各力做的总功为零
√
√
AC [对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×
10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，故支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 恒力做功的分析与计算
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移方向的夹角判断。
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功。
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算。
(2)总功的计算
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，W合＝Ek2－Ek1。
角度1 正负功的判断
[典例1] (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合外力对物体做功为0
√
√
√
ACD [取物体为研究对象，受力分析如图所示，物体受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN的作用，由于Ff方向与运动方向一致，所以摩擦力做正功，A正确，B错误；FN方向与运动方向垂直，支持力不做功，C正确；由于物体做匀速运动，所以受到的合外力为0，合外力做功为0，D正确。]
角度2 恒力做功的计算
[典例2] (多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为
2 kg 的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中，g取10 m/s2，则( )
A．斜面对物体的支持力做功300 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－100 J
C．物体克服重力做功400 J
D．合外力对物体做功25 J
√
√
AC [物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示。由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0，代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N，x＝vt＝20 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNx cos θ＝300 J，A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffx sin θ＝100 J，B错误；物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J，C正确；
合外力对物体做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝0，
D错误。]
考点2 功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为某时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
[典例3] 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
√
思路点拨：(1)力F是作用在绳端上，而不是作用在物体上。
(2)由动滑轮的结构特点知绳端的速度大小等于物体速度大小的两倍，位移大小也是两倍关系。
C [v-t图像的斜率表示物体加速度的大小，由题图乙可知a＝
0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得F＝10.5 N，A、B错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝
42 W，C正确；由题图乙可知，4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误。]
[典例4] (多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用，力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻水平力的瞬时功率为
B．3t0时刻水平力的瞬时功率为
C．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为
√
√
BD [2t0时刻物体的速度大小为v2＝a1·2t0＝t0，3t0时刻物体的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝·2t0＋·t0＝，3t0时刻力的大小F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝，A错误，B正确；0～3t0时间内，水平力对物体做的功W＝F0x1＋3F0x2＝F0··(2t0)2＋3F0·t0＝，平均功率＝＝，C错误，D正确。]
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
考点3 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 vm＝，以vm做匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
[典例5] 超级电容车在运行中无须连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。
思路点拨：(1)当电容车速度达到最大时，电容车的牵引力与阻力等大反向。
(2)电容车以恒定加速度启动，匀加速运动结束时，电容车刚好达到额定功率，应满足P＝Fv。
(3)电容车以恒定功率启动过程，牵引力所做的功应用W＝Pt求解。
[解析] (1)当电容车速度达到最大时，电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
(2)电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设电容车刚达到额定功率时的速度为v1，又P＝F1v1，则v1＝＝
20 m/s
设电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
(3)从静止到最大速度整个过程只有牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt2－Ff x＝
解得x＝1 050 m。
[答案] (1)30 m/s (2)40 s (3)1 050 m
[变式1] 在[典例5]中，超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到v1＝20 m/s后超级电容车做什么运动？若速度从v1到最大速度vm这段过程中对应的时间Δt＝
40 s，则其位移Δx＝Δt＝1 000 m，这种计算方法对吗？为什么？
[解析] 超级电容车的速度达到v1＝20 m/s时，超级电容车的功率达到额定功率P＝60 kW，以后超级电容车的功率不再增加，随着速度的增大，牵引力减小，超级电容车的加速度逐渐减小，直到速度达到vm＝30 m/s，因此这一过程中超级电容车做变加速直线运动，其位移Δx不可用Δx＝Δt计算，因为这段时间内不是做匀变速直线运动，其v-t图像如图所示，面积表示位移，显然
Δ x>Δt。可以用PΔt－FfΔx＝计算。
[答案] 见解析
[变式2] 在[典例5]中，超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时超级电容车的加速度为多大？
[解析] 超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F＝＝6 000 N，超级电容车的加速度a＝＝2 m/s2。
[答案] 2 m/s2
方法 以例说法
动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微点突破 求变力做功的方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff (Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
方法 以例说法
图像法 一水平拉力拉着一物体在拉力方向上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
方法 以例说法
公式法 当功率恒定时，利用公式W＝Pt求所做的功，如右图所示的问题，所做的总功W＝P1t1＋P2t2
方法 以例说法
平均值法 当力与位移为线性关系时，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝×(x2－x1)
等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
[典例6] (一题多法)(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Fl cos α求得。公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于在甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中轻绳的拉力对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)
B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Fl sin θ
√
√
AB [等效转换法：轻绳对物块拉力的方向一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等，故题图甲中物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确。
图像法：题图乙中，F-x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确。
微元法：题图丙中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf ，故C错误。
动能定理法：题图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时，将小球从P拉到Q的过程，F做的功是W＝Fl sin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，故D错误。]
[典例7] 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进木板的深度为d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C． d
√
B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得第一次W＝d＝d，又第二次W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d，故选B。]
即时检验·感悟高考
1．(2023·北京卷)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中( )
A．摩擦力做功大小与F方向无关
B．合力做功大小与F方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
√
D [设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin θ)，摩擦力做功为Wf＝－μ(mg－F sin θ)x，即摩擦力做功大小与F方向有关，选项A错误；合力做功为W＝F合x＝max，可知合力做功大小与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功为max，大小一定，且合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当F sin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，此时摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确。]
2．(2023·新课标卷)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A．0 B．mgh
C．mv2－mgh D．mv2＋mgh
√
B [由题意知雨滴做匀速运动，有f ＝mg，则雨滴克服空气阻力做的功W＝f h＝mgh，B正确。]
3．(2023·山东卷)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重
力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功
率为( )
A．
C． D．nmgωRH
√
B [设两水轮的轴的连线与水平面的夹角为θ，水筒在两水轮间做匀速直线运动，由平衡条件知筒车对灌入稻田的水的作用力大小F＝n·60%mg，方向竖直向上，筒车的线速度大小v＝ωR，则筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝Fv cos (90°－θ)＝，B正确，A、C、D错误。]
4．(2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为 ( )
A．
C．
√
D [分析可知，两动车在平直铁轨上受到的阻力分别为f 1＝，f 2＝，编成动车组后，动车组的总功率P＝P1＋P2，动车组受到的总阻力f ＝f 1＋f 2，又vm＝，联立解得vm＝，A、B、C错误，D正确。]
课时数智作业(十二)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(2024·福建龙岩一模)下列说法正确的是( )
A．作用力做正功，反作用力也一定做正功
B．作用力做负功，反作用力也一定做负功
C．一对静摩擦力所做的功的代数和总为零
D．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为零
12
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C [作用力做正功，反作用力不一定做正功，例如撞到墙被反弹回去的球，弹力对球做正功，因为墙不动，反作用力对墙不做功，故A错误；作用力做负功，反作用力不一定做负功，如物体在水平面上滑行，物体受到的摩擦力做了负功，但地面不动其反作用力不做功，故B错误；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等、方向相反，故一个做正功，则另一个就做负功，一对静摩擦力所做的功的代数和总为零，故C正确；一对滑动摩擦力，二力大小相等、方向相反，由于物体相对运动，位移不一定相等，所以一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和可以不为零，故D错误。]
12
2．某健身爱好者质量为55 kg，在做俯卧撑运动的过程中可将他的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为1.0 m和0.5 m。若他在1 min内做了36个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.5 m，则他 1 min 内克服重力做的功和相应的功率约为( )
A．660 J，11 W B．6 600 J，110 W
C．990 J，16.5 W D．9 900 J，165 W
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B [设该健身爱好者做俯卧撑时，重心上升高度为h，根据几何知识可得＝，解得h＝ m，故该健身爱好者做一次俯卧撑克服重力做的功为mgh＝ J，所以其一分钟克服重力做的功为W＝36× J＝6 600 J，功率约为P＝＝ W＝110 W，故B正确，A、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(2023·山东卷)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f 均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．
B．
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A [在小车拉着物体行驶位移s1的过程中，对小车和物体整体根据动能定理得(F－f －μmg)s1＝(M＋m)v2，轻绳从物体上脱落至物体停下的过程中，对物体根据动能定理得－μmg(s2－s1)＝0－mv2，解得v＝，则小车的额定功率P0＝Fv＝，A正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前 2 s 内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W
B．24 W 48 W
C．24 W 12 W
D．12 W 24 W
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B [木块所受的合外力F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功为W＝mgx sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W，木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgv sin θ＝2×10×4×
0.6 W＝48 W，故选项B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x＝7 m处时的速度大小为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A [根据F-x图像与x轴所围的面积表示力F所做的功可知物体从0运动到7 m过程中拉力做的功为W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由动能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．汽车发动机的额定功率是60 kW，汽车的质量为2×103 kg，汽车在平直路面上行驶，受到的阻力是车重的0.1倍。若汽车从静止出发，以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，则出发 50 s 时，汽车发动机的实际功率为(g取10 m/s2)( )
A．25 kW B．50 kW
C．60 kW D．75 kW
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C [汽车受到的阻力f ＝0.1mg＝2 000 N，汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，由牛顿第二定律有F－f ＝ma，解得F＝3 000 N，若50 s内车一直是匀加速运动，则v＝at＝25 m/s，所以50 s末汽车的功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW，但汽车发动机的额定功率是60 kW，则50 s内汽车不是一直做匀加速运动，而是先匀加速运动后再变加速运动，最后做匀速运动，故出发50 s时，汽车发动机的实际功率为 60 kW，选项C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多选)某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为 v-t 图像，如图所示(除2～10 s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中，2～14 s时间段内小车的功率保持不变，在14 s末关闭动力
让小车自由滑行，小车的质量为 1 kg，可认为
在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。
则下列选项正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．小车两段匀变速直线运动的加速度大小相同
B．小车所受到的阻力为1.5 N
C．小车额定功率为6 W
D．小车在变加速运动过程中位移为36 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
AB [0～2 s内小车的加速度a＝＝1.5 m/s2，在14～18 s内，小车的加速度大小a′＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，故A正确；14～18 s内，由牛顿第二定律得f ＝ma＝1.5 N，故B正确；在10～14 s内小车匀速运动，速度v＝6 m/s，牵引力大小F与f 大小相等，则小车匀速运动时的功率P＝Fv＝9 W，故C错误；2～10 s内，根据动能定理有Pt－f x2＝，解得x2＝39 m，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．如图所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g取10 m/s2，则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
√
B [由题图3可知，第1 s内物体的速度为零，物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为
2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力f ＝2 N，物体第2 s内的位移x＝1 m，则克服摩擦力所做的功W＝f x＝2 J，B正确；第1.5 s时推力为3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝3×1 W＝3 W，C错误；第2 s内平均速度
＝3 W，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．一辆汽车在平直公路上保持恒定功率P0并以速度v0匀速行驶，t1时刻驾驶员立即将功率增大到2P0行驶一段时间，t2时刻遇到险情，驾驶员立即将功率减小到P0并继续向前行驶。整个过程汽车所受阻力恒定，则该过程中汽车的速度v随时间t变化的关系图像可能正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A B
C D
√
B [汽车原来以功率P0、速度v0匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F0＝f ；t1时刻，功率增大到2P0，由P＝Fv可知，牵引力变为原来的2倍，即2F0，由牛顿第二定律可得2F0－f ＝ma，汽车开始做加速运动，速度增大，使牵引力F＝减小，随着牵引力逐渐减小，加速度减小，当速度增大到2v0时，牵引力减小到与阻力相等，汽车做匀速运动；t2时刻，功率减小到P0，牵引力变为原来的一半，即F0，
题号
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3
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9
10
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由牛顿第二定律可得f －F0＝ma，汽车开始做减速运动，速度减小使牵引力F＝增大，随着牵引力逐渐增大，加速度的大小减小，当速度减小到v0时，牵引力增大到与阻力相等，之后维持匀速运动，B正确。]
题号
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10．一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程中受到的阻力F保持不变。则动车在时间t内( )
A．做匀加速直线运动
B．牵引力的功率P＝Fvm
C．当动车速度为时，其加速度为
D．牵引力做功W＝
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√
B [动车以恒定功率启动，则由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律有F牵－F＝ma，得动车的加速度逐渐减小，A错误；当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝Fvm，B正确；当动车速度为时，牵引力F′牵＝＝＝3F，根据牛顿第二定律可得F′牵－F＝ma，可得此时其加速度为a1＝，C错误；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－Fx＝，则牵引力所做的功为W＝，D错误。]
题号
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11．(2024·浙江台州高三期中)从空中以2 m/s的初速度平抛一质量为1 kg的物体，物体在空中运动0.6 s落地，不计空气阻力，取g＝
10 m/s2，求：
(1)物体做平抛运动过程中重
力做的功；
(2)物体做平抛运动过程中重力做功的平均功率；
(3)物体落地前重力的瞬时功率。(g取10 m/s2)
题号
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[解析] (1)物体下落的高度为h＝gt2＝×10×0.62 m＝1.8 m
物体做平抛运动过程中重力做的功为WG＝mgh＝18 J。
(2)物体做平抛运动过程中重力做功的平均功率为P＝＝30 W。
(3)物体落地瞬间沿竖直方向的速度为vy＝gt＝6 m/s
物体落地前重力的瞬时功率为PG＝mgvy＝60 W。
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[答案] (1)18 J (2)30 W (3)60 W
12．质量为1.0×103 kg的汽车沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力的大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间；
(2)汽车所能达到的最大速度；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速度，汽车从坡底到坡顶所需时间。
题号
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[解析] (1)由牛顿第二定律得
F－mg sin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
又有v＝at1
解得t1＝7 s。
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(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，有
Fm＝mg sin 30°＋Ff
则有P＝Fmvm＝(mg sin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s。
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(3)汽车匀加速运动的位移x1＝，在此后到达坡顶的阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mg sin 30°＋Ff)x2＝－mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s。
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[答案] (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
谢 谢 ！课时分层作业(十二)
1．(2024·福建龙岩一模)下列说法正确的是( )
A．作用力做正功，反作用力也一定做正功
B．作用力做负功，反作用力也一定做负功
C．一对静摩擦力所做的功的代数和总为零
D．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为零
2．某健身爱好者质量为55 kg，在做俯卧撑运动的过程中可将他的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为1.0 m和0.5 m。若他在1 min内做了36个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.5 m，则他 1 min 内克服重力做的功和相应的功率约为( )
A．660 J，11 W B．6 600 J，110 W
C．990 J，16.5 W D．9 900 J，165 W
3．(2023·山东卷)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f 均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为( )
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前 2 s 内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W B．24 W 48 W
C．24 W 12 W D．12 W 24 W
5．质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x＝7 m处时的速度大小为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
6．汽车发动机的额定功率是60 kW，汽车的质量为2×103 kg，汽车在平直路面上行驶，受到的阻力是车重的0.1倍。若汽车从静止出发，以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，则出发 50 s 时，汽车发动机的实际功率为(g取10 m/s2)( )
A．25 kW B．50 kW
C．60 kW D．75 kW
7．(多选)某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为 v-t 图像，如图所示(除2～10 s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中，2～14 s时间段内小车的功率保持不变，在14 s末关闭动力让小车自由滑行，小车的质量为 1 kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。则下列选项正确的是( )
A．小车两段匀变速直线运动的加速度大小相同
B．小车所受到的阻力为1.5 N
C．小车额定功率为6 W
D．小车在变加速运动过程中位移为36 m
8．如图所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g取10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
9．一辆汽车在平直公路上保持恒定功率P0并以速度v0匀速行驶，t1时刻驾驶员立即将功率增大到2P0行驶一段时间，t2时刻遇到险情，驾驶员立即将功率减小到P0并继续向前行驶。整个过程汽车所受阻力恒定，则该过程中汽车的速度v随时间t变化的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
10．一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程中受到的阻力F保持不变。则动车在时间t内( )
A．做匀加速直线运动
B．牵引力的功率P＝Fvm
C．当动车速度为时，其加速度为
D．牵引力做功W＝
11．(2024·浙江台州高三期中)从空中以2 m/s的初速度平抛一质量为1 kg的物体，物体在空中运动0.6 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体做平抛运动过程中重力做的功；
(2)物体做平抛运动过程中重力做功的平均功率；
(3)物体落地前重力的瞬时功率。(g取10 m/s2)
12．质量为1.0×103 kg的汽车沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力的大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间；
(2)汽车所能达到的最大速度；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速度，汽车从坡底到坡顶所需时间。
课时分层作业(十二)
1．C [作用力做正功，反作用力不一定做正功，例如撞到墙被反弹回去的球，弹力对球做正功，因为墙不动，反作用力对墙不做功，故A错误；作用力做负功，反作用力不一定做负功，如物体在水平面上滑行，物体受到的摩擦力做了负功，但地面不动其反作用力不做功，故B错误；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等、方向相反，故一个做正功，则另一个就做负功，一对静摩擦力所做的功的代数和总为零，故C正确；一对滑动摩擦力，二力大小相等、方向相反，由于物体相对运动，位移不一定相等，所以一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和可以不为零，故D错误。]
2．B [设该健身爱好者做俯卧撑时，重心上升高度为h，根据几何知识可得＝，解得h＝ m，故该健身爱好者做一次俯卧撑克服重力做的功为mgh＝ J，所以其一分钟克服重力做的功为W＝36× J＝6 600 J，功率约为P＝＝ W＝110 W，故B正确，A、C、D错误。]
3．A [在小车拉着物体行驶位移s1的过程中，对小车和物体整体根据动能定理得(F－f －μmg)s1＝(M＋m)v2，轻绳从物体上脱落至物体停下的过程中，对物体根据动能定理得－μmg(s2－s1)＝0－mv2，解得v＝，则小车的额定功率P0＝Fv＝，A正确。]
4．B [木块所受的合外力F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功为W＝mgx sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W，木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，故选项B正确。]
5．A [根据F-x图像与x轴所围的面积表示力F所做的功可知物体从0运动到7 m过程中拉力做的功为W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由动能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故选A。]
6．C [汽车受到的阻力f ＝0.1mg＝2 000 N，汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，由牛顿第二定律有F－f ＝ma，解得F＝3 000 N，若50 s内车一直是匀加速运动，则v＝at＝25 m/s，所以50 s末汽车的功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW，但汽车发动机的额定功率是60 kW，则50 s内汽车不是一直做匀加速运动，而是先匀加速运动后再变加速运动，最后做匀速运动，故出发50 s时，汽车发动机的实际功率为 60 kW，选项C正确。]
7．AB [0～2 s内小车的加速度a＝＝1.5 m/s2，在14～18 s内，小车的加速度大小a′＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，故A正确；14～18 s内，由牛顿第二定律得f ＝ma＝1.5 N，故B正确；在10～14 s内小车匀速运动，速度v＝6 m/s，牵引力大小F与f 大小相等，则小车匀速运动时的功率P＝Fv＝9 W，故C错误；2～10 s内，根据动能定理有Pt－f x2＝，解得x2＝39 m，故D错误。]
8．B [由题图3可知，第1 s内物体的速度为零，物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力f ＝2 N，物体第2 s内的位移x＝1 m，则克服摩擦力所做的功W＝f x＝2 J，B正确；第1.5 s时推力为3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝3×1 W＝3 W，C错误；第2 s内平均速度＝3 W，D错误。]
9．B [汽车原来以功率P0、速度v0匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F0＝f ；t1时刻，功率增大到2P0，由P＝Fv可知，牵引力变为原来的2倍，即2F0，由牛顿第二定律可得2F0－f ＝ma，汽车开始做加速运动，速度增大，使牵引力F＝减小，随着牵引力逐渐减小，加速度减小，当速度增大到2v0时，牵引力减小到与阻力相等，汽车做匀速运动；t2时刻，功率减小到P0，牵引力变为原来的一半，即F0，由牛顿第二定律可得f －F0＝ma，汽车开始做减速运动，速度减小使牵引力F＝增大，随着牵引力逐渐增大，加速度的大小减小，当速度减小到v0时，牵引力增大到与阻力相等，之后维持匀速运动，B正确。]
10．B [动车以恒定功率启动，则由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律有F牵－F＝ma，得动车的加速度逐渐减小，A错误；当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝Fvm，B正确；当动车速度为时，牵引力F′牵＝＝＝3F，根据牛顿第二定律可得F′牵－F＝ma，可得此时其加速度为a1＝，C错误；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－Fx＝，则牵引力所做的功为W＝，D错误。]
11．解析：(1)物体下落的高度为h＝gt2＝×10×0.62 m＝1.8 m
物体做平抛运动过程中重力做的功为WG＝mgh＝18 J。
(2)物体做平抛运动过程中重力做功的平均功率为P＝＝30 W。
(3)物体落地瞬间沿竖直方向的速度为vy＝gt＝6 m/s
物体落地前重力的瞬时功率为PG＝mgvy＝60 W。
答案：(1)18 J (2)30 W (3)60 W
12．解析：(1)由牛顿第二定律得
F－mg sin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
又有v＝at1
解得t1＝7 s。
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，有
Fm＝mg sin 30°＋Ff
则有P＝Fmvm＝(mg sin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s。
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝，在此后到达坡顶的阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mg sin 30°＋Ff)x2＝－mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s。
答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
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