第3节 机械能守恒定律及其应用
[学习目标] 1．理解重力势能和弹性势能，会根据条件判断机械能是否守恒。 2．理解机械能守恒定律的内容及表达式。
3．会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
1．重力做功的特点
(1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体______的变化。
2．重力势能
(1)表达式Ep＝______。
(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和____所共有的。
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取____，但重力势能的变化量与参考平面的选取____。
(3)ΔEp与WG的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能____；重力对物体做负功，重力势能____。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的____量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
3．弹性势能
(1)定义：发生________的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能____；弹力做负功，弹性势能____。定量表达式为W弹＝－ΔEp。
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，____与____可以互相转化，总的机械能________。
(2)表达式：＝。
(3)守恒条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统______。
③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和____。
1．易错易混辨析
粤教版必修第二册P104“资料活页”：地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境进行判断(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)：
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 ( )
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。( )
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为。 ( )
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 ( )
2．(人教版必修第二册习题改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为
机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为0。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是整个系统的机械能守恒。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)定义法：系统的动能、势能之和不变则守恒。
(2)做功法：即守恒的条件。
(3)能量转化法：系统的能量仅在机械能范围内转化则守恒。
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑固定斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着粗糙斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
[听课记录]
[典例2] (多选)在如图所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丙图中物体A正在压缩弹簧；丁图中不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球机械能守恒
C．丙图中物体A的机械能守恒
D．丁图中A、B组成的系统机械能守恒
[听课记录]
单物体机械能守恒
1．单物体机械能守恒的常用表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。
[典例3] 如图1所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4 m，小球(可视为质点)以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法错误的是( )
A．在最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中x＝25 m2/s2
C．小球在B点受到轨道作用力为10 N
D．小球质量为0.2 kg
[听课记录]
[典例4] (2024·1月九省联考安徽卷节选)为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R，且D、F两点处于同一高度，B、E两点处于另一高度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB上距离水平面BE高度为h(未知量)的地方放置一个质量为m的小球(可视为质点)，让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)当h＝0.6R时，求小球经过最低点C时，路面受到的压力；
(2)若小球一定能沿路面运动到F点，求h的取值范围。
[听课记录]
系统的机械能守恒
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找通过绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常见的三种模型
模型1 轻杆连接系统的机械能守恒
常见情境
三大特点 ①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功时，系统机械能守恒
[典例5] 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则( )
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．OA杆第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
[听课记录]
模型2 轻绳连接系统的机械能守恒
常见情境
三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
[典例6] 如图所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮(可视为质点O)的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B(B靠近定滑轮)，滑轮到杆的距离OC＝h，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为( )
A．
C．
[听课记录]
模型3 轻弹簧连接系统的机械能守恒
常见 情境
模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大
[典例7] 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm的大小。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B受到的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C受到的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量与伸长量相等，弹性势能相同
A球获得最大速度vm A的加速度此时为0
[听课记录]
用机械能守恒定律解决非质点问题
1．特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．处理方法：一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例8] (多选)(2024·四川成都七中校考)如图所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。下列说法中正确的是( )
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
[听课记录]
[典例9] (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开直至两筒水面高度相等，则该过程中( )
A．水柱所受重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
[听课记录]
1．(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球( )
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
2．(多选)(2025·八省联考河南卷)2024年我国研制的“朱雀三号”可重复使用火箭垂直起降飞行试验取得圆满成功。假设火箭在发动机的作用下，从空中某位置匀减速竖直下落，到达地面时速度刚好为零。若在该过程中火箭质量视为不变，则( )
A．火箭的机械能不变
B．火箭所受的合力不变
C．火箭所受的重力做正功
D．火箭的动能随时间均匀减小
3．(2023·全国甲卷)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等，垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
第3节 机械能守恒定律及其应用
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(2)机械能
2．(1)mgh (2)地球 有关 无关 (3)减小 增大 减小
3．(1)弹性形变 (2)减少 增加
4．(1)动能 势能 保持不变 (3)不做功 为零
激活·基本技能
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．AD [从地面到海平面，重力对物体做的功为mgh，故A正确；以地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为，故D正确；物体在海平面上的动能为－(－mgh)＝＋mgh，故C错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 B [电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误。]
典例2 AD [题图甲过程中轻杆对小球不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，故A正确；题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；题图丙中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；题图丁中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
考点2
典例3 C [在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确；由题图2可得，在最高点＝9 m2/s2，由牛顿第二定律有mg＋FC＝，解得小球的质量m＝0.2 kg，故D正确；小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得＝＋mg×2R，解得＝25 m2/s2，故B正确；小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得＝＋mgR，解得＝17 m2/s2，则小球在B点受到轨道作用力FB＝＝8.5 N，C错误。]
典例4 解析：(1)小球从静止释放到运动至C点过程中，根据机械能守恒定律有
mgh＋mg(R－R sin 37°)＝
在C点，由牛顿第二定律有FN－mg＝
联立解得FN＝3mg
由牛顿第三定律得路面受到的压力为F′N＝FN＝3mg，方向竖直向下。
(2)分析可知小球能沿路面到达F点即可通过E点，刚好到达F点时有mg cos 37°＝
根据机械能守恒定律有
mgh′＋mg(R－R cos 37°)＝
联立解得h′＝0.2R
故可知h的范围为0答案：(1)3mg，方向竖直向下 (2)0考点3
典例5 B [根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝(ω·2l)∶(ω·l)＝2∶1，D错误；对于A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2l cos θ－2mg·l(1－sin θ)＝，解得＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为vA＝，A、C错误。]
典例6 D [将A、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，B下落的高度H＝－＝2(－1)h，由A和B组成的系统机械能守恒得mgH＝，A沿细线方向的分速度与B的速度大小相等，则有vB＝vA cos 60°，解得vB＝，故D正确。]
典例7 解析：(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0，则
sin α＝，α＝30°。
(2)设初始时弹簧压缩量为Δx，由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得
4mgx sin α－mgx＝
联立解得vm＝2g。
答案：(1)30° (2)2g
微点突破
典例8 BD [若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒定律可得－·＝－mg·＋mv2，解得链条刚离开桌面时的速度为v＝，故A错误，B正确；若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有Wmin＝·＝，故C错误，D正确。]
典例9 ACD [
从连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水面做正功W左＝p0S，对右筒水面做负功W右＝－p0S，抵消为零，水柱的机械能守恒，故C正确，B错误；重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降，重力做正功，则水柱的动能Ek＝WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故A、D正确。]
即时检验·感悟高考
1．B [由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，从1到2重力势能增加mgh，则从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确； 从2到3，由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，选项C、D错误。]
2．BC [由于火箭匀减速竖直下落，速度减小，动能减小，且重力势能减小，故火箭的机械能减小，故A错误；由于火箭匀减速竖直下落，加速度恒定，由牛顿第二定律可知，火箭所受的合力不变，故B正确；由于火箭的重力势能减小，故火箭所受的重力做正功，故C正确；火箭的动能Ek＝mv2＝m(v0－at)2，故火箭的动能不随时间均匀减小，故D错误。故选BC。]
3．解析：(1)设小球离开桌面时的速度为v0，根据机械能守恒定律有Ep＝
解得v0＝。
(2)设小球第一次落地前瞬间的竖直速度大小为vy，小球第一次与地面碰撞后瞬间的竖直速度大小为v′y，从第一次碰撞后到离开地面到达最高点的过程中，竖直方向根据运动学公式有＝－2gh
根据题意有＝
设小球从离开桌面到第一次与地面碰撞的运动时间为t，水平方向的位移为s，则有
vy＝gt，s＝v0t
联立解得s＝。
答案：(1) (2)
3 / 11(共98张PPT)
第五章 机械能
第3节 机械能守恒定律及其应用
[学习目标] 1．理解重力势能和弹性势能，会根据条件判断机械能是否守恒。
2．理解机械能守恒定律的内容及表达式。
3．会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
链接教材·夯基固本
1．重力做功的特点
(1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体________的变化。
机械能
2．重力势能
(1)表达式Ep＝______。
(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和____所共有的。
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取____，但重力势能的变化量与参考平面的选取____。
mgh
地球
有关
无关
(3)ΔEp与WG的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能____；重力对物体做负功，重力势能____。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的____量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
减小
增大
减小
3．弹性势能
(1)定义：发生________的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能____；弹力做负功，弹性势能____。定量表达式为W弹＝－ΔEp。
弹性形变
减少
增加
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，____与____可以互相转化，总的机械能________。
(2)表达式：＝。
动能
势能
保持不变
(3)守恒条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统______。
③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和____。
不做功
为零
1．易错易混辨析
粤教版必修第二册P104“资料活页”：地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境进行判断(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)：
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 ( )
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。 ( )
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为。 ( )
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 ( )
√
×
×
√
2．(人教版必修第二册习题改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为
√
√
AD [从地面到海平面，重力对物体做的功为mgh，故A正确；以地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为，故D正确；物体在海平面上的动能为－(－mgh)＝＋mgh，故C错误。]
细研考点·突破题型
考点1 机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为0。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是整个系统的机械能守恒。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)定义法：系统的动能、势能之和不变则守恒。
(2)做功法：即守恒的条件。
(3)能量转化法：系统的能量仅在机械能范围内转化则守恒。
[典例1] (人教版必修第二册习题改编)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑固定斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着粗糙斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
√
B [电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误。]
[典例2] (多选)在如图所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丙图中物体A正在压缩弹簧；丁图中不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球机械能守恒
C．丙图中物体A的机械能守恒
D．丁图中A、B组成的系统机械能守恒
√
√
AD [题图甲过程中轻杆对小球不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，故A正确；题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；题图丙中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；题图丁中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
考点2 单物体机械能守恒
1．单物体机械能守恒的常用表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。
[典例3] 如图1所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4 m，小球(可视为质点)以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法错误的是( )
A．在最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中x＝25 m2/s2
C．小球在B点受到轨道作用力为10 N
D．小球质量为0.2 kg
√
C [在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确；由题图2可得，在最高点＝9 m2/s2，由牛顿第二定律有mg＋FC＝，解得小球的质量m＝0.2 kg，故D正确；小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得＝＋mg×2R，解得＝25 m2/s2，故B正确；小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得＝＋mgR，解得＝17 m2/s2，则小球在B点受到轨道作用力FB＝＝8.5 N，C错误。]
[典例4] (2024·1月九省联考安徽卷节选)为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R，且D、F两点处于同一高度，B、E两点处于另一高度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB上距离水平面BE高度为h(未知量)的地方放置一个质量为m的小球(可视为质点)，让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)当h＝0.6R时，求小球经过最低点C时，路面受到的压力；
(2)若小球一定能沿路面运动到F点，求h的取值范围。
[解析] (1)小球从静止释放到运动至C点过程中，根据机械能守恒定律有
mgh＋mg(R－R sin 37°)＝
在C点，由牛顿第二定律有FN－mg＝
联立解得FN＝3mg
由牛顿第三定律得路面受到的压力为F′N＝FN＝3mg，方向竖直向下。
(2)分析可知小球能沿路面到达F点即可通过E点，刚好到达F点时有mg cos 37°＝
根据机械能守恒定律有
mgh′＋mg(R－R cos 37°)＝
联立解得h′＝0.2R
故可知h的范围为0[答案] (1)3mg，方向竖直向下 (2)0考点3 系统的机械能守恒
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找通过绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
常见情境
2．常见的三种模型
模型1 轻杆连接系统的机械能守恒
三大 特点 ①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功时，系统机械能守恒
[典例5] 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则( )
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．OA杆第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
√
B [根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝(ω·2l)∶(ω·l)＝2∶1，D错误；对于A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2l cos θ－2mg·l(1－sin θ)＝，解得＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为vA＝，A、C错误。]
常见情境
模型2 轻绳连接系统的机械能守恒
三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
[典例6] 如图所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮(可视为质点O)的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B(B靠近定滑轮)，滑轮到杆的距离OC＝h，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为( )
A．
C．
√
D [将A、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，B下落的高度H＝－＝2(－1)h，由A和B组成的系统机械能守恒得mgH＝，A沿细线方向的分速度与B的速度大小相等，则有vB＝vA cos 60°，解得vB＝，故D正确。]
常见 情境
模型3 轻弹簧连接系统的机械能守恒
模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大
[典例7] 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm的大小。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B受到的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C受到的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量与伸长量相等，弹性势能相同
A球获得最大速度vm A的加速度此时为0
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0，则
sin α＝，α＝30°。
(2)设初始时弹簧压缩量为Δx，由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得
4mgx sin α－mgx＝
联立解得vm＝2g。
[答案] (1)30° (2)2g
微点突破 用机械能守恒定律解决非质点问题
1．特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．处理方法：一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例8] (多选)(2024·四川成都七中校考)如图所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。下列说法中正确的是( )
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
√
√
BD [若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒定律可得－·＝－mg·＋mv2，解得链条刚离开桌面时的速度为v＝，故A错误，B正确；若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有Wmin＝·＝，故C错误，D正确。]
[典例9] (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开直至两筒水面高度相等，则该过程中( )
A．水柱所受重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
√
√
√
ACD [从连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水面做正功W左＝p0S，对右筒水面做负功W右＝
－p0S，抵消为零，水柱的机械能守恒，故C正确，B错误；重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降，重力做正功，则水柱的动能Ek＝WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故A、D正确。]
即时检验·感悟高考
1．(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球( )
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
√
B [由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，从1到2重力势能增加mgh，则从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确； 从2到3，由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，选项C、D错误。]
2．(多选)(2025·八省联考河南卷)2024年我国研制的“朱雀三号”可重复使用火箭垂直起降飞行试验取得圆满成功。假设火箭在发动机的作用下，从空中某位置匀减速竖直下落，到达地面时速度刚好为零。若在该过程中火箭质量视为不变，则( )
A．火箭的机械能不变
B．火箭所受的合力不变
C．火箭所受的重力做正功
D．火箭的动能随时间均匀减小
√
√
BC [由于火箭匀减速竖直下落，速度减小，动能减小，且重力势能减小，故火箭的机械能减小，故A错误；由于火箭匀减速竖直下落，加速度恒定，由牛顿第二定律可知，火箭所受的合力不变，故B正确；由于火箭的重力势能减小，故火箭所受的重力做正功，故C正确；火箭的动能Ek＝mv2＝m(v0－at)2，故火箭的动能不随时间均匀减小，故D错误。故选BC。]
3．(2023·全国甲卷)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等，垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
[解析] (1)设小球离开桌面时的速度为v0，根据机械能守恒定律有Ep＝
解得v0＝。
(2)设小球第一次落地前瞬间的竖直速度大小为vy，小球第一次与地面碰撞后瞬间的竖直速度大小为v′y，从第一次碰撞后到离开地面到达最高点的过程中，竖直方向根据运动学公式有＝－2gh
根据题意有＝
设小球从离开桌面到第一次与地面碰撞的运动时间为t，水平方向的位移为s，则有
vy＝gt，s＝v0t
联立解得s＝。
[答案] (1) (2)
课时数智作业(十四)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多选)载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
12
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BC [飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受引力作用，引力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有引力做功，势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，机械能减小，故D错误。]
12
2．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BC [当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能减小，不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，则该系统机械能守恒，C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A B C D
√
D [铅球被水平推出后，不考虑空气阻力，则铅球做平抛运动，其在运动过程中仅受重力，则加速度为重力加速度，保持不变，铅球的机械能保持不变，A错误，D正确；设铅球的初速度为v0，运动时间为t，则铅球的速度大小v＝，显然速度大小v与时间t并不是线性关系，B错误；铅球的动能Ek＝＋(gt)2]，动能Ek与时间t为一元二次函数关系，并不是线性关系，C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2024·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为( )
A．11 100 J B．9 150 J
C．7 350 J D．5 400 J
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B [根据题意可知，运动员在C点的机械能为E＝mv2＋mgh2＝
9 150 J，从C点离开后，运动员在空中时只有重力对其做功，机械能守恒，则可知运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为9 150 J，故B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．如图所示，有一条长L＝1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A [设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面为零势能面，链条的机械能E＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＝－mgL，链条全部滑出时，动能E′k＝×2mv2，重力势能E′p＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·山东青岛模拟)如图所示，一轻杆连接两相同的光滑小球，由倾角为75°的斜面滑下，滑到图示位置时小球a到地面高度为L，此时杆与水平地面夹角为45°，b球速度大小为，重力加速度为g，则小球a滑到水平面上时球的速度大小为( )
A．
C．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B [滑到题中图示位置时，两球沿杆方向速度大小相同，如图所示，则va cos 30°＝vb cos 45°，由题中图示位置到a滑到水平面上的过程，根据机械能守恒定律有＋mgL＝(m＋m)v2，联立解得v＝，故B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多选)(2024·山东聊城三模)如图甲所示，半径R＝0.4 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝30°，另一端点D与圆心O等高，点C为轨道的最低点。质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以速度v0水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，物块进入轨道后开始计时，轨道受到的压力F随时间t的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．物块从D点离开轨道时
速度大小为4 m/s
B．F0大小为70 N
C．v0的大小为2 m/s
D．物块在AC段运动过程中重力的瞬时功率一直增大
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
AB [由题图可知，物块从轨道D点飞出轨道到再次回到D点的时间为t＝1.675 s－0.875 s＝0.8 s，则物块从D点离开轨道时速度大小为vD＝g ＝4 m/s，选项A正确；从C到D由机械能守恒可知＝＋mgR，在C点时压力最大，且F′0＝F0，则F′0－mg＝，联立解得F0＝70 N，选项B正确；从B到D由机械能守恒可知
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
＝＋mgR sin 30°，解得vB＝2 m/s，则v0＝vB sin 30°＝ m/s，选项C错误；根据PG＝mgvy，可知，物块在A点时竖直速度为零，则重力的瞬时功率为零，在C点时竖直速度为零，则重力的瞬时功率也为零，可知物块在AC段运动过程中重力的瞬时功率先增大后减小，选项D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(多选)(2023·湖南卷)如图所示，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上
轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说
法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度v0＝
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
AD [小球从B点到C点的过程中，对小球进行受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律有mg cos α－FN＝m，FN＝mg cos α－m，α减小，v减小，FN增大，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力逐渐增大，A正确；小球从A点到B点的过程中，重力功率PG＝mg sin θ·v，v减小，PG减小，B错误；因为小球从A点运动到C点的过程中，只有重力做功，所以小球的机械能守恒，有 mg·2R＝，
解得v0＝2，C错误；若小球初速度v0
增大，过B点时，若，则小
球会从B点脱离轨道，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)(2022·河北卷)如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量mQ＞mP，t＝0时刻将两物体由静止释放，物体Q的加速度大小为。T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度，取t＝0时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．物体P和Q的质量之比为1∶3
B．2T时刻物体Q的机械能为
C．2T时刻物体P重力的功率为
D．2T时刻物体P的速度大小为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
√
BCD [开始释放时物体Q的加速度大小为，则mQg－FT＝mQ·，FT－mPg＝mP·，解得FT＝mQg，＝，A错误；在T时刻，两物体的速度v1＝，P上升的距离h1＝×T2＝，轻绳断后P能上升的高度h2＝＝，可知开始时P、Q竖直距离为h＝h1＋h2＝，由题意知开始时P所处位置为零势能面，则开始时Q的机械能
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
为E＝mQgh＝，从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为WT＝FTh1＝，则此时物体Q的机械能E′＝E－WT＝＝，此后物体Q的机械能守恒，则在2T时刻物体Q的机械能仍为，B正确；在2T时刻，物体P的速度v2＝v1－gT＝－，负号表示方向向下，此时物体P重力的瞬时功率PG＝mPg|v2|＝·＝＝，C、D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(多选)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道
下滑，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变
C．a、b滑到水平轨道上时速度为
D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过
程中轻杆对a球做的功为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BD [由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b两球和轻杆组成的系统机械能守恒，所以A错误，B正确；对a、b系统，由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得v＝，C错误；对a由动能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3 m，OB长为L2＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin 53°＝0.8，
cos 53°＝0.6，g取10 m/s2，不计空气阻力
和摩擦，求：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力大小(结果保留三位有效数字)。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析] (1)从OA水平释放至OB到达水平位置的过程，系统机械能守恒，有
mgL1sin 53°＝MgL2sin 53°
代入数据解得M＝＝0.5 kg。
(2)小球Q从初始位置运动到最低点的过程，系统机械能守恒，有mgL1cos 53°＋MgL2(1－sin 53°)＝
两小球角速度相同，所以
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
v1＝L1ω
v2＝L2ω
代入数据解得ω＝ rad/s
小球Q运动到最低点时，由牛顿第二定律，有
F－Mg＝Mω2L2
代入数据解得F＝ N≈10.3 N。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案] (1)0.5 kg (2)10.3 N
12．如图所示，左侧为一个半径为R的半球形碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑的定滑轮上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1>m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端的A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s；
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为，求。(结果保留两位有效数字)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析] (1)设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2，m2上升的高度为h，如图所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由运动的合成与分解得v1＝v2
对m1、m2组成的系统，由机械能守恒定律得
m1gR－m2gh＝
又h＝R sin 30°
联立以上三式解得
v1＝，v2＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°＝
小球m2沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′
联立并代入v2，解得
s＝R＝R。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)对m1，由机械能守恒定律得
＝m1g·
代入v1解得＝≈1.9。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案] (1)R (2)1.9
谢 谢 ！课时分层作业(十四)
1．(多选)载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
2．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
3．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
A B C D
4．(2024·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为( )
A．11 100 J B．9 150 J
C．7 350 J D．5 400 J
5．如图所示，有一条长L＝1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
6．(2025·山东青岛模拟)如图所示，一轻杆连接两相同的光滑小球，由倾角为75°的斜面滑下，滑到图示位置时小球a到地面高度为L，此时杆与水平地面夹角为45°，b球速度大小为，重力加速度为g，则小球a滑到水平面上时球的速度大小为( )
A．
C．2
7．(多选)(2024·山东聊城三模)如图甲所示，半径R＝0.4 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝30°，另一端点D与圆心O等高，点C为轨道的最低点。质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以速度v0水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，物块进入轨道后开始计时，轨道受到的压力F随时间t的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．物块从D点离开轨道时速度大小为4 m/s
B．F0大小为70 N
C．v0的大小为2 m/s
D．物块在AC段运动过程中重力的瞬时功率一直增大
8．(多选)(2023·湖南卷)如图所示，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是( )
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度v0＝
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
9．(多选)(2022·河北卷)如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量mQ＞mP，t＝0时刻将两物体由静止释放，物体Q的加速度大小为。T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度，取t＝0时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是( )
A．物体P和Q的质量之比为1∶3
B．2T时刻物体Q的机械能为
C．2T时刻物体P重力的功率为
D．2T时刻物体P的速度大小为
10．(多选)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是( )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变
C．a、b滑到水平轨道上时速度为
D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为
11．质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3 m，OB长为L2＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2，不计空气阻力和摩擦，求：
(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力大小(结果保留三位有效数字)。
12．如图所示，左侧为一个半径为R的半球形碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑的定滑轮上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1>m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端的A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s；
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为，求。(结果保留两位有效数字)
课时分层作业(十四)
1．BC [飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受引力作用，引力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有引力做功，势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，机械能减小，故D错误。]
2．BC [当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能减小，不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，则该系统机械能守恒，C正确。]
3．D [铅球被水平推出后，不考虑空气阻力，则铅球做平抛运动，其在运动过程中仅受重力，则加速度为重力加速度，保持不变，铅球的机械能保持不变，A错误，D正确；设铅球的初速度为v0，运动时间为t，则铅球的速度大小v＝，显然速度大小v与时间t并不是线性关系，B错误；铅球的动能Ek＝＋(gt)2]，动能Ek与时间t为一元二次函数关系，并不是线性关系，C错误。]
4．B [根据题意可知，运动员在C点的机械能为E＝mv2＋mgh2＝9 150 J，从C点离开后，运动员在空中时只有重力对其做功，机械能守恒，则可知运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为9 150 J，故B正确。]
5．A [设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面为零势能面，链条的机械能E＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＝－mgL，链条全部滑出时，动能E′k＝×2mv2，重力势能E′p＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
6．B [滑到题中图示位置时，两球沿杆方向速度大小相同，如图所示，则va cos 30°＝vb cos 45°，由题中图示位置到a滑到水平面上的过程，根据机械能守恒定律有＋mgL＝(m＋m)v2，联立解得v＝，故B正确。]
7．AB [由题图可知，物块从轨道D点飞出轨道到再次回到D点的时间为t＝1.675 s－0.875 s＝0.8 s，则物块从D点离开轨道时速度大小为vD＝g ＝4 m/s，选项A正确；从C到D由机械能守恒可知＝＋mgR，在C点时压力最大，且F′0＝F0，则F′0－mg＝，联立解得F0＝70 N，选项B正确；从B到D由机械能守恒可知＝＋mgR sin 30°，解得vB＝2 m/s，则v0＝vB sin 30°＝ m/s，选项C错误；根据PG＝mgvy，可知，物块在A点时竖直速度为零，则重力的瞬时功率为零，在C点时竖直速度为零，则重力的瞬时功率也为零，可知物块在AC段运动过程中重力的瞬时功率先增大后减小，选项D错误。]
8．AD [小球从B点到C点的过程中，对小球进行受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律有mg cos α－FN＝m，FN＝mg cos α－m，α减小，v减小，FN增大，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力逐渐增大，A正确；小球从A点到B点的过程中，重力功率PG＝mg sin θ·v，v减小，PG减小，B错误；因为小球从A点运动到C点的过程中，只有重力做功，所以小球的机械能守恒，有 mg·2R＝，解得v0＝2，C错误；若小球初速度v0增大，过B点时，若，则小球会从B点脱离轨道，D正确。]
9．BCD [开始释放时物体Q的加速度大小为，则mQg－FT＝mQ·，FT－mPg＝mP·，解得FT＝mQg，＝，A错误；在T时刻，两物体的速度v1＝，P上升的距离h1＝×T2＝，轻绳断后P能上升的高度h2＝＝，可知开始时P、Q竖直距离为h＝h1＋h2＝，由题意知开始时P所处位置为零势能面，则开始时Q的机械能为E＝mQgh＝，从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为WT＝FTh1＝，则此时物体Q的机械能E′＝E－WT＝＝，此后物体Q的机械能守恒，则在2T时刻物体Q的机械能仍为，B正确；在2T时刻，物体P的速度v2＝v1－gT＝－，负号表示方向向下，此时物体P重力的瞬时功率PG＝mPg|v2|＝·＝＝，C、D正确。]
10．BD [由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b两球和轻杆组成的系统机械能守恒，所以A错误，B正确；对a、b系统，由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得v＝，C错误；对a由动能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝，D正确。]
11．解析：(1)从OA水平释放至OB到达水平位置的过程，系统机械能守恒，有
mgL1sin 53°＝MgL2sin 53°
代入数据解得M＝＝0.5 kg。
(2)小球Q从初始位置运动到最低点的过程，系统机械能守恒，有mgL1cos 53°＋MgL2(1－sin 53°)＝
两小球角速度相同，所以
v1＝L1ω
v2＝L2ω
代入数据解得ω＝ rad/s
小球Q运动到最低点时，由牛顿第二定律，有
F－Mg＝Mω2L2
代入数据解得F＝ N≈10.3 N。
答案：(1)0.5 kg (2)10.3 N
12．解析：(1)设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2，m2上升的高度为h，如图所示
由运动的合成与分解得v1＝v2
对m1、m2组成的系统，由机械能守恒定律得
m1gR－m2gh＝
又h＝R sin 30°
联立以上三式解得
v1＝，v2＝
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°＝
小球m2沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′
联立并代入v2，解得
s＝R＝R。
(2)对m1，由机械能守恒定律得
＝m1g·
代入v1解得＝≈1.9。
答案：(1)R (2)1.9
4 / 5
