第4节 功能关系 能量守恒定律
[学习目标] 1．掌握几种常见的功能关系，知道能量守恒定律。
2．理解摩擦力做功与能量转化的关系。
3．会应用能量的观点解决综合问题。
1．常见的功能关系
力做功 能的变化 定量关系
合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能____ (2)重力做负功，重力势能____ (3)WG＝－ΔEp＝______________
弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能____ (2)弹力做负功，弹性势能____ (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力做功 机械能______ 机械能守恒，ΔE＝__
除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能____ (1)其他力做多少正功，物体的机械能就____多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就____多少 (3)W其他＝____
一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能____，内能____ (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能____ (2)摩擦生热Q＝__________
安培力做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量 (2)W克安＝ΔE电
电场力做功 电势能变化 (1)电场力做正功，电势能减小 (2)电场力做负功，电势能增加 (3)W电＝－ΔEp
2．能量守恒定律
(1)内容：能量既不会凭空____，也不会凭空消失，它只能从一种形式____为其他形式，或者从一个物体____到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________。
(2)表达式：ΔE减＝______。
1．易错易混辨析
(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。 ( )
(2)一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。 ( )
(3)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。 ( )
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。 ( )
(5)除重力以外的其他力做的功等于物体动能的改变量。 ( )
2．(人教版必修第二册习题改编)某海湾共占面积1.0×107 m2，涨潮时水深20 m，此时关闭水坝闸门可使水位保持20 m不变，退潮时，坝外水位降至18 m。假如利用此水坝建立水力发电站，且重力势能转变为电能的效率是10%，每天有两次涨潮，则该电站一天能发出的电能为多少焦？( g＝10 m/s2 ，ρ水＝1.0×103 kg/m3)
功能关系的理解及应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过力做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度
①不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系。
②做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．功能关系的选用原则
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用静电力做功与电势能变化的关系分析。
功能关系的分析与计算
[典例1] (2024·1月九省联考贵州卷)如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点B(弹簧在弹性限度内)，则物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能的( )
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
[听课记录]
[典例2] (多选)(2024·四川广安二模统考)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。质量为50 kg的人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大小为20 m/s。已知沙坡斜面的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法正确的是( )
A．人的重力势能减少5.0×104 J
B．人的动能增加1.0×104 J
C．人的机械能减少1.5×104 J
D．人克服阻力做功4.0×104 J
[听课记录]
功能关系与图像结合
[典例3] (多选)(2024·湖北武汉高三月考)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和，取地面为零势能参考平面，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2，根据图中数据可知( )
A．物体的质量为2 kg
B．物体上升过程中所受阻力大小为4 N
C．在物体上升至h＝2 m处，物体的动能为40 J
D．在物体上升后返回至h＝2 m处，物体的动能为30 J
[听课记录]
能量守恒定律的理解及应用
1．对能量守恒定律的点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
[典例4] (多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度大小为
[听课记录]
[典例5] (2024·江苏卷)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m的物块，在电动机作用下，从 A点由静止加速至 B点时达到最大速度v，之后做匀速运动至C点，关闭电动机，从 C点又恰好到达最高点D。求：
(1)CD段长x；
(2)BC段电动机的输出功率P；
(3)全过程物块增加的机械能E1和电动机消耗的总电能 E2的比值。
[听课记录]
[典例6] (2024·辽宁沈阳市第五十六中学开学考试)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度大小v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点。已知重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态。求在此过程中：
(1)物体A向下运动到刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能。
[听课记录]
能量守恒问题的几点注意
(1)涉及滑动摩擦力做功的能量问题的解题方法
①当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
②解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
(2)涉及弹簧弹力做功的能量问题的解题关键
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
①能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
②如果系统中每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同，同时弹性势能最大，动能最小。
1．(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中( )
A．弹性势能一直减小
B．重力势能一直减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
2．(2024·山东卷)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(dA．＋μmg(l－d)
B．＋μmg(l－d)
C．＋2μmg(l－d)
D．＋2μmg(l－d)
3．(2024·安徽卷)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为( )
A．
B．
C．
D．
4．(多选)(2022·广东卷)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率 570 W、 速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
第4节 功能关系 能量守恒定律
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．减少 增加 Ep1－Ep2 减少 增加 不变化 0 变化 增加 减少 ΔE 减少 增加 增加 Ff 相对
2．(1)产生 转化 转移 保持不变 (2)ΔE增
激活·基本技能
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．解析：由于坝外面积很大，所以水量变化不影响水位高度，本题相当于让高度为18～20 m的这部分水平铺到坝外高度为18 m的水面上去，这些水的重心只降低了1 m，即从19 m降到18 m，每天涨潮两次，所以产生的电能为
E＝2×mgh＝×1.0×103×1.0×107×2×10× J＝4.0×1010 J。
答案：4.0×1010 J
细研考点·突破题型
考点1
典例1 C [设物块在A点时的动能为Ek，斜面的倾角为θ，物块由A点运动至B点的过程中，对物块由能量守恒有Ek＋mgLABsin θ＝Ep，可知，物块由A点运动至B点的过程中，物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，因此可知，弹簧弹性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，故A、B错误，C正确；显然，物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能最大时，弹簧的弹力等于物块重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，故D错误。]
典例2 BC [人沿沙坡下滑的距离l＝vt＝100 m，重力势能减少ΔEp＝mgl sin 30°＝2.5×104 J，故A错误；动能增量ΔEk＝mv2＝1.0×104 J，故B正确；机械能减少量ΔE＝ΔEp－ΔEk＝1.5×104 J，故C正确；人克服阻力做功Wf＝ΔE＝1.5×104 J，故D错误。]
典例3 AD [根据Ep＝mgh结合题图可得物体的质量为 2 kg，故A正确；根据ΔE＝－f h，解得f ＝ N＝5 N，故B错误；由题图可知，物体初动能为100 J，在物体上升至h＝2 m处，根据动能定理得－f h－mgh＝Ek1－Ek0，解得Ek1＝50 J，故C错误；从地面上升后返回至h＝2 m处，根据动能定理得－f s－mgh＝Ek2－Ek0，又s＝6 m，解得Ek2＝30 J，故D正确。]
考点2
典例4 BC [物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，弹簧弹力最大，物块具有向右的加速度，弹簧弹力大于摩擦力，即Fm>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；从物块将弹簧压缩到最短至物块运动到A点静止的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒定律，在整个过程中，物块的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即＝2μmgs，所以v＝2，D错误。]
典例5 解析：(1)物块在CD段运动过程中，由牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma
由运动学公式0－v2＝－2ax
联立解得x＝。
(2)物块在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为F＝mg sin θ＋μmg cos θ
由P＝Fv得P＝mgv(sin θ＋μcos θ)。
(3)全过程物块增加的机械能为E1＝mgL sin θ
整个过程由能量守恒定律得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知
E2＝E1＋μmg cos θ·L
故可得＝＝。
答案：(1) (2)mgv(sin θ＋μcos θ) (3)
典例6 解析：(1)在物体A向下运动到刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得
μ·2mg cos θ·L＝－×3mv2＋2mgL sin θ－mgL
解得v＝2 m/s。
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至最短后恰好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即×3mv2－0＝μ·2mg cos θ·2x，其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m。
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm，从C点到弹簧被压缩至最短过程中由能量守恒定律可得×3mv2＋2mgx sin θ－mgx＝μ·2mg cos θ·x＋Epm
解得Epm＝6 J。
答案：(1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
即时检验·感悟高考
1．B [游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做自由落体运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值，弹性势能达到最大值，橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；从橡皮绳开始绷紧到最低点，橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，橡皮绳的弹性势能增大，C错误；橡皮绳刚绷紧后的一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客向下运动的速度逐渐增大，游客的动能逐渐增加，当弹力等于重力时，游客向下运动的速度最大，游客的动能最大，游客再向下运动，弹力大于重力，合力向上对游客做负功，游客的动能逐渐减小，D错误。]
2．B [解法一 当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有μmg＝kx0，解得弹性绳的伸长量x0＝，则此时弹性绳的弹性势能为E0＝＝；从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x1＝x0＋l－d，则由功能关系可知该过程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝＋μmg(l－d)，B正确。
解法二 画出外力F与乙所坐的木板的位移x的关系图像如图所示，则外力F做的功W＝μmg(l－d)＋x0＝＋μmg(l－d)，B正确。]
3．B [设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ，根据平抛运动规律v0t＝l，h＝gt2，解得v0＝l，根据功能关系得Ptη＝＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝，故选B。]
4．ABD [小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，代入数据解得F＝40 N，故A正确；依题意，小车从M到N匀速行驶，则小车所受的摩擦力大小为f 1＝F＝40 N，摩擦力做功为W1＝－40×20 J ＝－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔEp＝mgΔh＝500×20×sin 30° J＝5 000 J，故C错误；依题意，小车从P到Q，摩擦力为f 2，有f 2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－f 2s2，s2＝20 m，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确。]
9 / 9(共77张PPT)
第五章 机械能
第4节 功能关系 能量守恒定律
[学习目标] 1．掌握几种常见的功能关系，知道能量守恒定律。
2．理解摩擦力做功与能量转化的关系。
3．会应用能量的观点解决综合问题。
链接教材·夯基固本
1．常见的功能关系
力做功 能的变化 定量关系
合力 的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力 的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能____
(2)重力做负功，重力势能____
(3)WG＝－ΔEp＝____________
减少
增加
Ep1－Ep2
力做功 能的变化 定量关系
弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能____
(2)弹力做负功，弹性势能____
(3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力做功 机械能______ 机械能守恒，ΔE＝___
减少
增加
不变化
0
力做功 能的变化 定量关系
除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能____ (1)其他力做多少正功，物体的机械能就____多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就____多少
(3)W其他＝____
变化
增加
减少
ΔE
力做功 能的变化 定量关系
一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能____，内能____ (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能____
(2)摩擦生热Q＝__________
安培力做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量
(2)W克安＝ΔE电
减少
增加
增加
Ff x相对
力做功 能的变化 定量关系
电场力做功 电势能变化 (1)电场力做正功，电势能减小
(2)电场力做负功，电势能增加
(3)W电＝－ΔEp
2．能量守恒定律
(1)内容：能量既不会凭空____，也不会凭空消失，它只能从一种形式____为其他形式，或者从一个物体____到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________。
(2)表达式：ΔE减＝______。
产生
转化
转移
保持不变
ΔE增
1．易错易混辨析
(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。 ( )
(2)一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。 ( )
(3)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。 ( )
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。 ( )
(5)除重力以外的其他力做的功等于物体动能的改变量。 ( )
×
√
√
√
×
2．(人教版必修第二册习题改编)某海湾共占面积1.0×107 m2，涨潮时水深20 m，此时关闭水坝闸门可使水位保持20 m不变，退潮时，坝外水位降至18 m。假如利用此水坝建立水力发电站，且重力势能转变为电能的效率是10%，每天有两次涨潮，则该电站一天能发出的电能为多少焦？( g＝10 m/s2 ，ρ水＝1.0×103 kg/m3)
[解析] 由于坝外面积很大，所以水量变化不影响水位高度，本题相当于让高度为18～20 m的这部分水平铺到坝外高度为18 m的水面上去，这些水的重心只降低了1 m，即从19 m降到18 m，每天涨潮两次，所以产生的电能为
E＝2×mgh＝×1.0×103×1.0×107×2×10× J＝4.0×1010 J。
[答案] 4.0×1010 J
细研考点·突破题型
考点1 功能关系的理解及应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过力做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度
①不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系。
②做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．功能关系的选用原则
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用静电力做功与电势能变化的关系分析。
角度1 功能关系的分析与计算
[典例1] (2024·1月九省联考贵州卷)如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点B(弹簧在弹性限度内)，则物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能的( )
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
√
C [设物块在A点时的动能为Ek，斜面的倾角为θ，物块由A点运动至B点的过程中，对物块由能量守恒有Ek＋mgLABsin θ＝Ep，可知，物块由A点运动至B点的过程中，物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，因此可知，弹簧弹性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，故A、B错误，C正确；显然，物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能最大时，弹簧的弹力等于物块重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，故D错误。]
[典例2] (多选)(2024·四川广安二模统考)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。质量为50 kg的人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大小为20 m/s。已知沙坡斜面的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法正确的是( )
A．人的重力势能减少5.0×104 J
B．人的动能增加1.0×104 J
C．人的机械能减少1.5×104 J
D．人克服阻力做功4.0×104 J
√
√
BC [人沿沙坡下滑的距离l＝vt＝100 m，重力势能减少ΔEp＝mgl sin 30°＝2.5×104 J，故A错误；动能增量ΔEk＝mv2＝1.0×104 J，故B正确；机械能减少量ΔE＝ΔEp－ΔEk＝1.5×104 J，故C正确；人克服阻力做功Wf＝ΔE＝1.5×104 J，故D错误。]
角度2 功能关系与图像结合
[典例3] (多选)(2024·湖北武汉高三月考)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和，取地面为零势能参考平面，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2，根据图中数据
可知( )
A．物体的质量为2 kg
B．物体上升过程中所受阻力大小为4 N
C．在物体上升至h＝2 m处，物体的动能为40 J
D．在物体上升后返回至h＝2 m处，物体的动能为30 J
√
√
AD [根据Ep＝mgh结合题图可得物体的质量为 2 kg，故A正确；根据ΔE＝－f h，解得f ＝ N＝5 N，故B错误；由题图可知，物体初动能为100 J，在物体上升至h＝2 m处，根据动能定理得－f h－mgh＝Ek1－Ek0，解得Ek1＝50 J，故C错误；从地面上升后返回至h＝
2 m处，根据动能定理得－f s－mgh＝Ek2－Ek0，又s＝6 m，解得Ek2＝30 J，故D正确。]
考点2 能量守恒定律的理解及应用
1．对能量守恒定律的点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
[典例4] (多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中
( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度大小为
√
√
BC [物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，弹簧弹力最大，物块具有向右的加速度，弹簧弹力大于摩擦力，即Fm>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；从物块将弹簧压缩到最短至物块运动到A点静止的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒定律，在整个过程中，物块的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误。]
[典例5] (2024·江苏卷)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m的物块，在电动机作用下，从 A点由静止加速至 B点时达到最大速度v，之后做匀速运动至C点，关闭电动机，从 C点又恰好到达最高点D。求：
(1)CD段长x；
(2)BC段电动机的输出功率P；
(3)全过程物块增加的机械能E1和电动机
消耗的总电能 E2的比值。
[解析] (1)物块在CD段运动过程中，由牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma
由运动学公式0－v2＝－2ax
联立解得x＝。
(2)物块在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为
F＝mg sin θ＋μmg cos θ
由P＝Fv得P＝mgv(sin θ＋μcos θ)。
(3)全过程物块增加的机械能为E1＝mgL sin θ
整个过程由能量守恒定律得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知
E2＝E1＋μmg cos θ·L
故可得＝＝。
[答案] (1) (2)mgv(sin θ＋μcos θ) (3)
[典例6] (2024·辽宁沈阳市第五十六中学开学考试)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度大小v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点。已知重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态。求在此过程中：
(1)物体A向下运动到刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能。
[解析] (1)在物体A向下运动到刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得
μ·2mg cos θ·L＝－×3mv2＋2mgL sin θ－mgL
解得v＝2 m/s。
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至最短后恰好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即×3mv2－0＝μ·2mg cos θ·2x，其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m。
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm，从C点到弹簧被压缩至最短过程中由能量守恒定律可得
×3mv2＋2mgx sin θ－mgx＝μ·2mg cos θ·x＋Epm
解得Epm＝6 J。
[答案] (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
规律总结 能量守恒问题的几点注意
(1)涉及滑动摩擦力做功的能量问题的解题方法
①当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
②解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
(2)涉及弹簧弹力做功的能量问题的解题关键
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
①能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
②如果系统中每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同，同时弹性势能最大，动能最小。
即时检验·感悟高考
1．(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中( )
A．弹性势能一直减小
B．重力势能一直减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
√
B [游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做自由落体运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值，弹性势能达到最大值，橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；从橡皮绳开始绷紧到最低点，橡皮绳对游客做负功，游客
机械能减少，橡皮绳的弹性势能增大，C错误；橡皮绳刚绷紧后的一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客向下运动的速度逐渐增大，游客的动能逐渐增加，当弹力等于重力时，游客向下运动的速度最大，游客的动能最大，游客再向下运动，弹力大于重力，合力向上对游客做负功，游客的动能逐渐减小，D错误。]
2．(2024·山东卷)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(dA．＋μmg(l－d)
B．＋μmg(l－d)
C．＋2μmg(l－d)
D．＋2μmg(l－d)
√
B [解法一 当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有μmg＝kx0，解得弹性绳的伸长量x0＝，则此时弹性绳的弹性势能为E0＝＝；从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x1＝x0＋l－d，则由功能关系可知该过程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝＋μmg(l－d)，B正确。
解法二 画出外力F与乙所坐的木板的位移x的关系图像如图所示，则外力F做的功W＝μmg(l－d)＋x0＝＋μmg(l－d)，B正确。]
3．(2024·安徽卷)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为( )
A．
B．
C．
D．
√
B [设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ，根据平抛运动规律v0t＝l，h＝gt2，解得v0＝l，根据功能关系得Ptη＝＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝，故选B。]
4．(多选)(2022·广东卷)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率 570 W、 速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
√
√
√
ABD [小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，代入数据解得F＝40 N，故A正确；依题意，小车从M到N匀速行驶，则小车所受的摩擦力大小为f1＝F＝40 N，摩擦力做功为W1＝－40×20 J ＝－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔEp＝mgΔh＝500×20×sin 30° J＝5 000 J，故C错误；依题意，小车从P到Q，摩擦力为f 2，有f2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－f2s2，s2＝20 m，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为 700 J，故D正确。]
课时数智作业(十五)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(2024·金华十校二模)如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速
上升距离为h的过程中，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．航天员处于完全失重状态
B．机械能增加了mgh
C．合力不做功，机械能守恒
D．重力做负功，机械能减少
√
B [航天员匀速上升，处于平衡状态，故A错误；根据功能关系，除了重力、弹力外其他力做的功等于机械能的变化量，由题意可知F浮＝mg，浮力做的功W浮＝F浮h＝mgh，则航天员机械能增加了mgh，重力对航天员做的功WG＝－mgh，故B正确，C、D错误。]
2．(2024·江西卷)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为 10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为( )
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
B [发电功率P＝η·P＝P＝ηρQgh，代入数据解得P≈107 W，B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．某同学用如图所示的装置测量一个凹形木块的质量m，弹簧的左端固定在墙上，木块在水平面上紧靠弹簧(不连接)并将其压缩，记下木块右端位置A点，静止释放后，木块右端恰能运动到B1点。在木块槽中加入一个质量m0＝800 g的砝码，再将木块左端紧靠弹簧，木块右端位置仍然在A点，静止释放后木块离开弹簧，右端恰能运动到B2点，测得AB1、AB2长分别为27.0 cm和9.0 cm，则木块的质量m为( )
A．100 g B．200 g
C．300 g D．400 g
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
D [根据能量守恒定律，有μmg·AB1＝Ep，μ(m0＋m)g·AB2＝Ep，联立解得m＝400 g，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．如图所示，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距，重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为( )
A．
C．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
A [由题知PM段绳的机械能不变，MQ段绳的重心升高了Δh＝，则重力势能的增加量为ΔEp＝mg·＝，根据功能关系，在此过程中，外力做的功等于MQ段绳重力势能的增加量，则W＝，故A正确，B、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，重力加速度为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
AB [物体的加速度大小为a＝g＝，解得摩擦力Ff＝mg，机械能损失量等于克服摩擦力做的功，即Ffx＝mg·＝mgh，B正确，D错误；物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，A正确；动能损失量为克服合力做功的大小，动能损失量ΔEk＝F合x＝mg·2h＝mgh，C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．(2024·宁波十校三月联考)DIY手工能够让儿童体验到创造过程中的乐趣和成就感。某款DIY太阳能小车，组装成功后质量约为130 g，太阳直射时行驶速度约为0.25 m/s，行驶过程中阻力约为车重的0.2倍。已知太阳与地球之间的平均距离约为1.5×1011 m，太阳每秒辐射的能量约为3.9×1026 J，太阳光传播到达地面的过程中大约有37%的能量损耗，太阳能电池有效受光面积约为15 cm2，则该车所用太阳能电池将太阳能转化为机械能的效率约为( )
A．5% B．10%
C．20% D．30%
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
A [由题意可知，驱动该太阳能小车正常行驶时所需要的机械功率为P机＝Fv＝f v＝0.2mgv，代入数据可得P机＝0.065 W，该太阳能小车接收太阳的功率为P＝×S×(1－37%)，其中P总＝＝3.9×1026 W，r＝1.5×1011 m，S＝15 cm2＝0.001 5 m2，代入数据解得P≈1.304 W，该车所用太阳能电池将太阳能转化为机械能的效率约为η＝×100%＝×100%≈5%，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
7．(2024·江西重点中学高三联考)弹跳杆运动是一项广受青少年欢迎的运动，弹跳杆的结构如图甲所示，一根弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部，质量为5m的小明站在脚踏板上，当他和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧的压缩量为x0，小明先保持稳定姿态竖直弹跳。某次弹跳中，从弹簧处于最大压缩量为5x0开始计时，如图乙(a)所示；上升到弹簧恢复原长时，小明抓住跳杆，使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度，如图乙(b)所示；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度，如图乙(c)所示。已知全程弹簧始终处于弹性限度内，弹簧弹性势能满足Ep＝kx2，k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量，跳杆的质量为m，重力加速度为g，空气阻力、弹簧和脚踏板的质量以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计。求：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)弹跳杆中弹簧的劲度系数k；
(2)从开始计时至竖直上升到最大高度过程中小明的最大速度vm。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)小明和跳杆处于竖直静止状态时受力平衡，重力与弹簧弹力等大反向，有5mg＝kx0
解得k＝。
(2)小明受到的合力为零时，速度最大，此时弹簧被压缩了x0，小明上升高度为4x0，根据系统能量守恒可知
k(5x0)2＝
解得vm＝4。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] (1) (2)4
8．(多选)(2025·山东聊城高三质检)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿
轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知
AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B
点的过程中( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
CD [小球从P点运动到B点的过程中，重力做的功WG＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝，解得vB＝，则此过程中机械能的减少量为ΔE＝＝mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功
W合＝－0＝mgR，故C正确；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，则W克f＝ΔE＝mgR，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
9．如图甲所示，轻弹簧下端固定在倾角θ＝37°的粗糙斜面底端，质量m＝1 kg的物块从轻弹簧上端上方某位置由静止释放，测得物块的动能Ek与其通过的路程x的关系如图乙所示(弹簧始终处于弹性限度内)，图像中O～x1＝0.4 m之间为直线，其余部分为曲线，x2＝0.6 m时物块的动能达到最大。弹簧的长度为l时，弹性势能Ep＝k(l0－l)2，其中k为弹簧的劲度系数，l0为弹簧的原长。物块可视为质点，不计空气阻力，物块接触弹簧瞬间无能量损失，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.2
B．弹簧的劲度系数k为25 N/m
C．x3的大小为0.8 m
D．物块在斜面上运动的总路程大于x3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
D [物块刚接触弹簧时，mgx1sin θ－μmgx1cos θ＝Ek1，得μ＝0.25，故A错误；由能量守恒定律得mgx2sin θ＝μmgx2cos θ＋Ek2＋k(x2－x1)2，得k＝20 N/m，故B错误；由能量守恒定律得mgx3sin θ＝μmgx3cos θ＋k(x3－x1)2，得x3＝(0.6＋0.2) m，故C错误；物块的路程为x3时，mg sin θ＋μmg cos θ题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．如图所示，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)求小车通过第30个减速带后，经
过每一个减速带时损失的机械能；
(2)求小车通过前30个减速带的过程中
在每一个减速带上平均损失的机械能；
(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)设小车通过第30个减速带后，经过每个减速带损失的机械能为ΔE
对小车从刚通过第30个减速带到刚通过第31个减速带的过程，由动能定理可知
mgd sin θ－ΔE＝0
解得ΔE＝mgd sin θ。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)设为通过前30个减速带时在每一个减速带上平均损失的机械能
mgL sin θ＋49mgd sin θ＝μmgs＋20ΔE＋30
解得＝。
(3)由题意可知＞ΔE，则L＞d＋。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] (1)mgd sin θ (2) (3)L＞d＋
11．如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端挡板位置B点的距离AB＝4 m。当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝
0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点与A点的距离AD＝3 m。挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求(结果保留两位小数)：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，机械能的减少量全部用来克服摩擦力做功，即
＋mgLADsin 37°＝μmg cos 37°(LAB＋2LBC＋LBD)
代入数据解得μ≈0.52。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)物体由A到C的过程中，动能减少量ΔEk＝
重力势能减少量ΔEp＝mgLACsin 37°
摩擦产生的热量Q＝μmg cos 37°·LAC
由能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为Epm＝ΔEk＋ΔEp－Q≈24.46 J。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] (1)0.52 (2)24.46 J
谢 谢 ！课时分层作业(十五)
1．(2024·金华十校二模)如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说法正确的是( )
A．航天员处于完全失重状态
B．机械能增加了mgh
C．合力不做功，机械能守恒
D．重力做负功，机械能减少
2．(2024·江西卷)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为 10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为( )
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
3．某同学用如图所示的装置测量一个凹形木块的质量m，弹簧的左端固定在墙上，木块在水平面上紧靠弹簧(不连接)并将其压缩，记下木块右端位置A点，静止释放后，木块右端恰能运动到B1点。在木块槽中加入一个质量m0＝800 g的砝码，再将木块左端紧靠弹簧，木块右端位置仍然在A点，静止释放后木块离开弹簧，右端恰能运动到B2点，测得AB1、AB2长分别为27.0 cm和9.0 cm，则木块的质量m为( )
A．100 g B．200 g
C．300 g D．400 g
4．如图所示，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距，重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为( )
A．
C．
5．(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，重力加速度为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
6．(2024·宁波十校三月联考)DIY手工能够让儿童体验到创造过程中的乐趣和成就感。某款DIY太阳能小车，组装成功后质量约为130 g，太阳直射时行驶速度约为0.25 m/s，行驶过程中阻力约为车重的0.2倍。已知太阳与地球之间的平均距离约为1.5×1011 m，太阳每秒辐射的能量约为3.9×1026 J，太阳光传播到达地面的过程中大约有37%的能量损耗，太阳能电池有效受光面积约为15 cm2，则该车所用太阳能电池将太阳能转化为机械能的效率约为( )
A．5% B．10%
C．20% D．30%
7．(2024·江西重点中学高三联考)弹跳杆运动是一项广受青少年欢迎的运动，弹跳杆的结构如图甲所示，一根弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部，质量为5m的小明站在脚踏板上，当他和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧的压缩量为x0，小明先保持稳定姿态竖直弹跳。某次弹跳中，从弹簧处于最大压缩量为5x0开始计时，如图乙(a)所示；上升到弹簧恢复原长时，小明抓住跳杆，使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度，如图乙(b)所示；紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度，如图乙(c)所示。已知全程弹簧始终处于弹性限度内，弹簧弹性势能满足Ep＝kx2，k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量，跳杆的质量为m，重力加速度为g，空气阻力、弹簧和脚踏板的质量以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计。求：
(1)弹跳杆中弹簧的劲度系数k；
(2)从开始计时至竖直上升到最大高度过程中小明的最大速度vm。
8．(多选)(2025·山东聊城高三质检)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中( )
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
9．如图甲所示，轻弹簧下端固定在倾角θ＝37°的粗糙斜面底端，质量m＝1 kg的物块从轻弹簧上端上方某位置由静止释放，测得物块的动能Ek与其通过的路程x的关系如图乙所示(弹簧始终处于弹性限度内)，图像中O～x1＝0.4 m之间为直线，其余部分为曲线，x2＝0.6 m时物块的动能达到最大。弹簧的长度为l时，弹性势能Ep＝k(l0－l)2，其中k为弹簧的劲度系数，l0为弹簧的原长。物块可视为质点，不计空气阻力，物块接触弹簧瞬间无能量损失，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.2
B．弹簧的劲度系数k为25 N/m
C．x3的大小为0.8 m
D．物块在斜面上运动的总路程大于x3
10．如图所示，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。
(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？
11．如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端挡板位置B点的距离AB＝4 m。当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点与A点的距离AD＝3 m。挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求(结果保留；两位小数)：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。
课时分层作业(十五)
1．B [航天员匀速上升，处于平衡状态，故A错误；根据功能关系，除了重力、弹力外其他力做的功等于机械能的变化量，由题意可知F浮＝mg，浮力做的功W浮＝F浮h＝mgh，则航天员机械能增加了mgh，重力对航天员做的功WG＝－mgh，故B正确，C、D错误。]
2．B [发电功率P＝η·P＝P＝ηρQgh，代入数据解得P≈107 W，B正确。]
3．D [根据能量守恒定律，有μmg·AB1＝Ep，μ(m0＋m)g·AB2＝Ep，联立解得m＝400 g，D正确。]
4．A [由题知PM段绳的机械能不变，MQ段绳的重心升高了Δh＝，则重力势能的增加量为ΔEp＝mg·＝，根据功能关系，在此过程中，外力做的功等于MQ段绳重力势能的增加量，则W＝，故A正确，B、C、D错误。]
5．AB [物体的加速度大小为a＝g＝，解得摩擦力Ff＝mg，机械能损失量等于克服摩擦力做的功，即Ffx＝mg·＝mgh，B正确，D错误；物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，A正确；动能损失量为克服合力做功的大小，动能损失量ΔEk＝F合x＝mg·2h＝mgh，C错误。]
6．A [由题意可知，驱动该太阳能小车正常行驶时所需要的机械功率为P机＝Fv＝f v＝0.2mgv，代入数据可得P机＝0.065 W，该太阳能小车接收太阳的功率为P＝×S×(1－37%)，其中P总＝＝3.9×1026 W，r＝1.5×1011 m，S＝15 cm2＝0.001 5 m2，代入数据解得P≈1.304 W，该车所用太阳能电池将太阳能转化为机械能的效率约为η＝×100%＝×100%≈5%，故选A。]
7．解析：(1)小明和跳杆处于竖直静止状态时受力平衡，重力与弹簧弹力等大反向，有5mg＝kx0
解得k＝。
(2)小明受到的合力为零时，速度最大，此时弹簧被压缩了x0，小明上升高度为4x0，根据系统能量守恒可知
k(5x0)2＝
解得vm＝4。
答案：(1) (2)4
8．CD [小球从P点运动到B点的过程中，重力做的功WG＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝，解得vB＝，则此过程中机械能的减少量为ΔE＝＝mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功W合＝－0＝mgR，故C正确；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，则W克f＝ΔE＝mgR，故D正确。]
9．D [物块刚接触弹簧时，mgx1sin θ－μmgx1cos θ＝Ek1，得μ＝0.25，故A错误；由能量守恒定律得mgx2sin θ＝μmgx2cos θ＋Ek2＋k(x2－x1)2，得k＝20 N/m，故B错误；由能量守恒定律得mgx3sin θ＝μmgx3cos θ＋k(x3－x1)2，得x3＝(0.6＋0.2) m，故C错误；物块的路程为x3时，mg sin θ＋μmg cos θ10．解析：(1)设小车通过第30个减速带后，经过每个减速带损失的机械能为ΔE
对小车从刚通过第30个减速带到刚通过第31个减速带的过程，由动能定理可知
mgd sin θ－ΔE＝0
解得ΔE＝mgd sin θ。
(2)设为通过前30个减速带时在每一个减速带上平均损失的机械能
mgL sin θ＋49mgd sin θ＝μmgs＋20ΔE＋30
解得＝。
(3)由题意可知＞ΔE，则L＞d＋。
答案：(1)mgd sin θ (2) (3)L＞d＋
11．解析：(1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，机械能的减少量全部用来克服摩擦力做功，即
＋mgLADsin 37°＝μmg cos 37°(LAB＋2LBC＋LBD)
代入数据解得μ≈0.52。
(2)物体由A到C的过程中，动能减少量ΔEk＝
重力势能减少量ΔEp＝mgLACsin 37°
摩擦产生的热量Q＝μmg cos 37°·LAC
由能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为Epm＝ΔEk＋ΔEp－Q≈24.46 J。
答案：(1)0.52 (2)24.46 J
5 / 5
