第1节 机械振动
[学习目标] 1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。
2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。
3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中______为零的位置。
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向________的力。
②方向：总是指向________。
③性质：属于____力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的____或某个力的____。
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝______，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝____________，其中A代表振幅，2πf 代表简谐运动的快慢，2πf t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝______________________，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝_____________，图像如图乙所示。
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的____和小球相比可以忽略，球的直径和细线的____相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G沿圆弧____方向的分力。
(3)运动规律：____很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝_________。
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在______作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于______的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)____。
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的________时，受迫振动的振幅达到最大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率____固有频率。
③共振的特征：共振时____最大。
④共振曲线：f ＝f 0时，A＝Am，f 与f 0差别越大，物体做受迫振动的振幅____，如图所示。
1．易错易混辨析
(1)简谐运动平衡位置就是质点合力为零的位置。 ( )
(2)周期、频率和振幅都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。 ( )
(3)振幅就是简谐运动物体的位移。 ( )
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。 ( )
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 ( )
(6)简谐运动的图像描述的是振动物体的轨迹。 ( )
(7)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。 ( )
2．(人教版选择性必修第一册改编)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
3．(鲁科版选择性必修第一册改编)正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中( )
A．机器不一定还会发生强烈的振动
B．机器一定不会发生强烈的振动
C．若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时
D．若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0
4．(人教版选择性必修第一册改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f 的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
简谐运动的基本特征
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T或nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内路程s＝4A，个周期内路程s＝2A，但个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
[典例1] 如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中( )
A．动能不断增大，加速度不断减小
B．回复力不断增大，系统机械能守恒
C．弹性势能不断减小，加速度不断增大
D．弹性势能不断增大，加速度不断减小
[听课记录]
[典例2] (多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是( )
A．，3t B．，4t
C．，t D．，t
[听课记录]
简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
[典例3] (2024·福建卷)某简谐运动的y-t图像如图所示，则以下说法正确的是( )
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
[听课记录]
[典例4] (2025·山西吕梁开学检测)质点A做简谐运动的位移—时间关系式为xA＝4sin(50t－0.5π)m，质点B做简谐运动的位移—时间关系式为xB＝4sin (50t＋0.3π)m，下列说法正确的是( )
A．A的相位比B的相位总滞后0.2π
B．A、B的振动频率均为 Hz
C．t＝0时，A的加速度沿负方向最大
D．t＝ s时，B的加速度最小
[听课记录]
单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，F＝mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝。
(4)单摆做简谐运动的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期公式T＝2π的三点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解。
[典例5] (2024·甘肃卷)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
[听课记录]
[典例6] (2025·吉林一中高三模拟)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10sin (2πt) cm
B．单摆的摆长约为10 cm
C．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
[听课记录]
受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f 0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f ＝f 驱 T驱＝T0或f 驱＝f 0
振动能量 振动物体的机械能不变 由驱动力提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机器工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f 0的振动系统做受迫振动时振幅的变化，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A越大；当f ＝f 0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
[典例7] (2024·山东枣庄高三期中)某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f 0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则( )
A．系统振动频率为200 Hz
B．系统振动频率为300 Hz
C．为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小
D．为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板
[听课记录]
[典例8] (人教版选择性必修第一册改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图1所示。该共振筛的共振曲线如图2所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；减少筛子质量，可增大筛子的固有频率。在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。下列说法正确的是( )
A．共振筛的固有周期是0.8 s
B．仅适当增加电压可以增大筛子的振幅
C．仅适当减小筛子的质量可以增大筛子的振幅
D．当前驱动力的周期与地面附近摆长为1 m的单摆周期很接近
[听课记录]
1．(多选)(2021·浙江1月选考)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
2．(2024·河北卷)如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
3．(多选)(2024·贵州卷)如图所示，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1.5T时刻( )
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
4．(2024·北京卷)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
第1节 机械振动
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(2)回复力 (3)平衡位置 平衡位置 效果
合力 分力
2．(1)－kx A sin (2πf t＋φ0) (2)A sin (2πf t)
A sin
3．(1)质量 长度 (2)切线 (3)摆角
(4)2π
4．(1)驱动力 驱动力 无关 (2)固有频率 等于 振幅 越小
激活·基本技能
1．(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×
2．D [振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，选项A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以在两次全振动中通过的路程为40 cm，选项C错误；从B点开始经过3 s，即历经时间 1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，选项D正确。]
3．D [飞轮从以角速度ω0转动到逐渐慢下来，在某一小段时间内机器发生了强烈的振动，说明此过程机器的固有频率与驱动频率相等形成了共振，当飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中，当机器的固有频率与驱动频率相等时，会形成共振的现象，机器还会发生强烈的振动，故A、B错误；当机器的飞轮以角速度ω0匀速转动时，其振动不强烈，则机器若发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0，故C错误，D正确。]
4．B [由共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T＝2π，解得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 A [做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增大，同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C点到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误。]
典例2 BC [作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A点的右侧，则有＋＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＋＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有－＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝4t，故B、C正确，A、D错误。
]
考点2
典例3 B [由题图可知该简谐运动的振幅为1 cm，A错误；由题图可知，振动周期为0.4 s，由 ＝可知，频率为2.5 Hz，B正确；0.1 s时，质点位于平衡位置，此时速度达到最大值，C错误；0.2 s时，质点位于负向最大位移处，加速度方向指向平衡位置，方向竖直向上，D错误。]
典例4 D [A、B的振动频率相同，相位差恒定且为 －0.8π，故A的相位比B的相位总滞后0.8π，故A错误；A、B的振动频率均为 Hz＝ Hz，故B错误；t＝0时，A的位移为负向最大，故加速度为正向最大，故C错误；t＝ s时，B的位移为0，处在平衡位置，故B的加速度最小，故D正确。]
考点3
典例5 C [由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π 得摆长为l＝＝1.6 m，x t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。故选C。]
典例6 D [由题图乙可知，振幅A＝10 cm，单摆周期T＝2 s，则圆频率ω＝＝π rad/s，可得单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10sin (πt) cm，A错误；由单摆的周期公式T＝2π解得单摆的摆长约为100 cm，B错误；由题图乙可知，从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动，所以加速度在减小，回复力在减小，摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则绳子的拉力FT＝G cos θ＋m，此时θ减小，v增大，所以拉力逐渐增大，C错误，D正确。]
考点4
典例7 B [系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f 0＝(SI制)可知，应减小σ或L，故C、D错误。]
典例8 C [根据题图2可知，筛子的固有频率为0.8 Hz，所以固有周期是T＝＝1.25 s，故A错误；在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，驱动力频率f 0＝1 Hz，增加电压，转速增大，驱动力频率增大，远离固有频率，筛子的振幅减小，故B错误；仅适当减小筛子的质量，可以增大固有频率，接近驱动力频率，可以增大筛子的振幅，故C正确；当前驱动力周期为T0＝1 s，周期为1 s的单摆，根据T＝2π得，摆长约为0.25 m，故D错误。]
即时检验·感悟高考
1．AD [ 根据发生共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干按固有频率振动，所以树干的振动频率不一定相同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。]
2．C [由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在 12.5 s 内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。]
3．AC [小球做简谐运动，则小球在t＝1.5T时刻的状态与在t＝0.5T时刻的相同，由题意可知t＝0时，小球的速度为0，位移最大，方向为负，则t＝0.5T时，小球的速度为0，位移最大，方向为正，A正确，B错误；由F＝－kx可知，t＝0.5T时，小球受到的回复力最大，方向为负，由牛顿第二定律可知，此时小球的加速度最大，方向为负，C正确，D错误。]
4．D [由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则圆频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。]
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第七章 机械振动 机械波
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第七章 机械振动 机械波
考情分析 简谐运动、振动图像 2024·甘肃卷·T5、 2024·浙江1月选考·T10、2023·山东卷·T10、2022·河北卷·T16(1)、2022·重庆卷·T16(1)、2022·湖南卷·T16(1)、2021·全国甲卷·T34(2)
第七章 机械振动 机械波
考情分析 机械波 2024·江西卷·T6、2024·江苏卷·T7、2024·湖南卷·T2、2024·山东卷·T9、2024·安徽卷·T3、2024·新课标·T6、2023·湖南卷·T3、2023·新课标卷·T14、2022·北京卷·T6、2022·广东卷·T16(1)
波的 图像 2024·广东卷·T3、2024·全国甲卷·T34(1)、2023·全国甲卷·T34(2)、2022·全国甲卷·T34(1)、 2022·浙江6月选考·T16、2022·辽宁卷·T3
第七章 机械振动 机械波
考情 分析 振动图像和波的图像 2023·全国乙卷·T34(1)、2023·湖北卷·T7、2023·海南卷·T4、 2022·山东卷·T9、2021·辽宁卷·T7、2021·山东卷·T10
波的干涉和反射 2024·浙江1月选考·T15、2023·浙江6月选考·T11、2022·全国乙卷·T34(1)、2022·浙江1月选考·T15、2021·浙江1月选考·T13
第七章 机械振动 机械波
考情分析 多普勒效应 2020·全国卷Ⅰ·T34(1)
实验：用单摆测量重力加速度 2024·湖北卷·T12、 2023·新课标卷·T23
第七章 机械振动 机械波
备考策略 1．掌握简谐运动的规律，理解单摆的周期公式，知道共振的条件及应用。
2．理解振动图像和波的图像，能将二者结合起来分析振动和波动规律。
3．关注生活中有关机械波的现象，如干涉、衍射、多普勒效应等，了解共振筛、地震波、多普勒彩超原理。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，会用单摆测量重力加速度。
第1节
机械振动
[学习目标] 1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。
2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。
3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
链接教材·夯基固本
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中______为零的位置。
回复力
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向________的力。
②方向：总是指向________。
③性质：属于____力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的____或某个力的____。
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝______，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝________________，其中A代表振幅，2πf 代表简谐运动的快慢，2πf t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
－kx
A sin (2πf t＋φ0)
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝__________________，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝________________，图像如图乙所示。
A sin (2πf t)
A sin
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的____和小球相比可以忽略，球的直径和细线的____相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G沿圆弧____方向的分力。
(3)运动规律：____很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝_______。
质量
长度
切线
摆角
2π
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在______作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于______的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)____。
驱动力
驱动力
无关
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的________时，受迫振动的振幅达到最大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率____固有频率。
③共振的特征：共振时____最大。
④共振曲线：f ＝f 0时，A＝Am，f 与f 0差别越大，
物体做受迫振动的振幅____，如图所示。
固有频率
等于
振幅
越小
1．易错易混辨析
(1)简谐运动平衡位置就是质点合力为零的位置。 ( )
(2)周期、频率和振幅都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。 ( )
(3)振幅就是简谐运动物体的位移。 ( )
×
×
×
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。 ( )
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 ( )
(6)简谐运动的图像描述的是振动物体的轨迹。 ( )
(7)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。 ( )
×
√
×
×
2．(人教版选择性必修第一册改编)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
√
D [振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，选项A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以在两次全振动中通过的路程为40 cm，选项C错误；从B点开始经过3 s，即历经时间 1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，选项D正确。]
3．(鲁科版选择性必修第一册改编)正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中( )
A．机器不一定还会发生强烈的振动
B．机器一定不会发生强烈的振动
C．若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时
D．若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0
√
D [飞轮从以角速度ω0转动到逐渐慢下来，在某一小段时间内机器发生了强烈的振动，说明此过程机器的固有频率与驱动频率相等形成了共振，当飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中，当机器的固有频率与驱动频率相等时，会形成共振的现象，机器还会发生强烈的振动，故A、B错误；当机器的飞轮以角速度ω0匀速转动时，其振动不强烈，则机器若发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0，故C错误，D正确。]
4．(人教版选择性必修第一册改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f 的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
√
B [由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T＝2π，解得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 简谐运动的基本特征
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T或nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内路程s＝4A，个周期内路程s＝2A，但个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
[典例1] 如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中( )
A．动能不断增大，加速度不断减小
B．回复力不断增大，系统机械能守恒
C．弹性势能不断减小，加速度不断增大
D．弹性势能不断增大，加速度不断减小
√
A [做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增大，同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C点到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误。]
[典例2] (多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是( )
A．，3t B．，4t
C．，t D．，t
√
√
BC [作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A点的右侧，则有＋＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＋＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有－＝L，解得振幅A＝，质点从A点
到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解
得周期T＝4t，故B、C正确，A、D错误。]
考点2 简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
[典例3] (2024·福建卷)某简谐运动的y-t图像如图所示，则以下说法正确的是( )
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
√
B [由题图可知该简谐运动的振幅为1 cm，A错误；由题图可知，振动周期为0.4 s，由 ＝可知，频率为2.5 Hz，B正确；0.1 s时，质点位于平衡位置，此时速度达到最大值，C错误；0.2 s时，质点位于负向最大位移处，加速度方向指向平衡位置，方向竖直向上，D错误。]
[典例4] (2025·山西吕梁开学检测)质点A做简谐运动的位移—时间关系式为xA＝4sin(50t－0.5π)m，质点B做简谐运动的位移—时间关系式为xB＝4sin (50t＋0.3π)m，下列说法正确的是( )
A．A的相位比B的相位总滞后0.2π
B．A、B的振动频率均为 Hz
C．t＝0时，A的加速度沿负方向最大
D．t＝ s时，B的加速度最小
√
D [A、B的振动频率相同，相位差恒定且为 －0.8π， 故A的相位比B的相位总滞后0.8π，故A错误；A、B的振动频率均为 Hz＝ Hz，故B错误；t＝0时，A的位移为负向最大，故加速度为正向最大，故C错误；t＝ s时，B的位移为0，处在平衡位置，故B的加速度最小，故D正确。]
考点3 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，F＝mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力
F与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝， F向最大，FT＝。
(4)单摆做简谐运动的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期公式T＝2π的三点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解。
[典例5] (2024·甘肃卷)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
√
C [由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π得摆长为l＝＝1.6 m，x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。故选C。]
[典例6] (2025·吉林一中高三模拟)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10sin (2πt) cm
B．单摆的摆长约为10 cm
C．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
√
D [由题图乙可知，振幅A＝10 cm，单摆周期T＝2 s，则圆频率ω＝＝π rad/s，可得单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10sin (πt) cm，A错误；由单摆的周期公式T＝2π解得单摆的摆长约为100 cm，B错误；由题图乙可知，从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动，所以加速度在减小，回复力在减小，摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则绳子的拉力FT＝G cos θ＋m，此时θ减小，v增大，所以拉力逐渐增大，C错误，D正确。]
考点4 受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f 0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f ＝f 驱 T驱＝T0或f 驱＝f 0
自由振动 受迫振动 共振
振动能量 振动物体的机械能不变 由驱动力提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机器工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f 0的振动系统做受迫振动时振幅的变化，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A越大；当f ＝f 0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
[典例7] (2024·山东枣庄高三期中)某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f 0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则( )
A．系统振动频率为200 Hz
B．系统振动频率为300 Hz
C．为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小
D．为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板
√
B [系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为
300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f 0＝(SI制)可知，应减小σ或L，故C、D错误。]
[典例8] (人教版选择性必修第一册改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图1所示。该共振筛的共振曲线如图2所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；减少筛子质量，可增大筛子的固有频率。在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。下列说法正确的是( )
A．共振筛的固有周期是0.8 s
B．仅适当增加电压可以增大筛子的振幅
C．仅适当减小筛子的质量可以增大筛子的振幅
D．当前驱动力的周期与地面附近摆长为1 m的单摆周期很接近
√
C [根据题图2可知，筛子的固有频率为0.8 Hz，所以固有周期是T＝＝1.25 s，故A错误；在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，驱动力频率f 0＝1 Hz，增加电压，转速增大，驱动力频率增大，远离固有频率，筛子的振幅减小，故B错误；仅适当减小筛子的质量，可以增大固有频率，接近驱动力频率，可以增大筛子的振幅，故C正确；当前驱动力周期为T0＝1 s，周期为1 s的单摆，根据T＝2π得，摆长约为0.25 m，故D错误。]
即时检验·感悟高考
1．(多选)(2021·浙江1月选考)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频
率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
√
√
AD [根据发生共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干按固有频率振动，所以树干的振动频率不一定相同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。]
2．(2024·河北卷)如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画
出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖
直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该
振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分
别为( )
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
C [由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在 12.5 s 内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。]
√
3．(多选)(2024·贵州卷)如图所示，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1.5T
时刻( )
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
√
√
AC [小球做简谐运动，则小球在t＝1.5T时刻的状态与在t＝0.5T时刻的相同，由题意可知t＝0时，小球的速度为0，位移最大，方向为负，则t＝0.5T 时，小球的速度为0，位移最大，方向为正，A正确，B错误；由F＝－kx可知，t＝0.5T时，小球受到的回复力最大，方向为负，由牛顿第二定律可知，此时小球的加速度最大，方向为负，C正确，D错误。]
4．(2024·北京卷)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
√
D [由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则圆频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。]
课时数智作业(十八)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
√
D [弹簧振子做简谐运动时，加速度方向与位移方向总是相反，若位移为负值，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，由于速度有两种方向，所以速度大小相同，方向可能不同，故B、C错误；振子每次通过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当小球振动稳定时( )
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C [小球振动的频率与圆盘的转速有关，小球做受迫振动，小球振动的频率等于圆盘转动的频率，圆盘的转速越大，小球振动的频率越大，故A错误，C正确；小球振动的振幅与圆盘转速有关，圆盘转动的频率越接近小球和弹簧组成的系统的固有频率，小球的振幅越大，故B、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则
( )
A．该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B．该振子振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C [由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A错误；频率f ＝＝ Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s0＝4A＝12 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，运动过程中m、M之间无相对滑动。设弹簧的劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍
B．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相同
C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力
D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于kx
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D [设位移为x，对物块与木板组成的系统整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律，有kx＝(m＋M)a，对物块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二定律，有Ff＝ma，所以Ff＝k，故D正确；由上述分析可知，若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
位置对称的位置上，但Δt不一定等于的整数倍，故A错误；若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同，故B错误；由上述分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力提供回复力，故C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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D [以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，故A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影
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子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播，小球在屏上的影子的位置也处于最高点，即影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。]
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6．(2024·广西河池市开学考试)如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则( )
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A．弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．图乙中P点所对应的时刻，振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m
D．弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
√
D [弹簧振子从D点经过O点运动到C点然后再经过O点回到D点为一次全振动，故A错误；题图乙中P点对应的时刻，振子的速度方向沿负方向，加速度方向沿正方向，故B错误；由题图乙知周期为T＝1.0 s，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，则ω＝＝2π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达D点开始计时，t＝0时刻位移为0.1 m，可知初相位为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m，故C错误；弹簧振子在前2.5 s内的路程为s＝2.5×4A＝10A＝1 m，故D正确。]
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7．(多选)两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上
进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆
的共振曲线
B．若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C．若图线Ⅱ表示地球上单摆的共振曲线，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
√
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√
√
ABC [题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率f Ⅰ＝0.2 Hz，f Ⅱ＝0.5 Hz。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f ＝可知，g越大，f 越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则＝＝，所以＝，B正确；f Ⅱ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示地球上单摆的共振曲线， 根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确，D错误。]
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8．如图所示，几个摆长相同的单摆，在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，则关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4
B．T1C．T1D．T1>T2＝T3>T4
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D [根据周期公式T＝2π，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。几个单摆的摆长相同，题图1中沿斜面向下的等效重力加速度为g1＝g sin θ，所以周期T1＝2π；题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为g2＝g，所以周期
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T2＝2π；题图3中的周期T3＝2π；题图4中的等效重力加速度为g4＝g＋a，所以周期T4＝2π，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C错误，D正确。]
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9．(多选)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点以相等的速率依次通过相距0.2 m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t1＝1 s时经过B点，t2＝3 s时也刚好经过B点，则该质点简谐运动的振幅和周期可能是( )
A．0.1 m，1 s
B．0.1 m，0.4 s
C．0.2 m，0.4 s
D．0.2 m， s
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√
√
BCD [由选项，若振幅A＝0.1 m，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT1＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有n′T1＝2 s(n′＝1，2，3，…)，解得T1＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，T1＝0.4 s，故A错误，B正确；若振幅A＝0.2 m，平衡位置是AB的中点，且质点从A向右经过B点，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT2＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间
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内根据简谐运动的周期性有＋nT2＝2 s(n＝0，1，2，…)，解得T2＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，T2＝ s，故D正确；若振幅A＝0.2 m，平衡位置是AB的中点，且质点从A向左先到达最大位移处再向右经过B点，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT3＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有n′T3＝2 s(n′＝1，2，3，…)，解得T3＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，T3＝0.4 s，故C正确。]
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10．(人教版选择性必修第一册)如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2。
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(1)求单摆的振动周期和摆长；
(2)求摆球的质量；
(3)求摆球运动过程中的最大速度。
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[解析] (1)由图乙可知，单摆的振动周期为T＝0.8π s
由单摆周期公式T＝2π可得
单摆的摆长为l＝T2＝1.6 m。
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(2)摆球运动到B点时细线的拉力最大，由题图乙可知最大拉力为Fmax＝0.504 N
在B点，根据牛顿第二定律可得
Fmax－mg＝m ①
在A点和C点时细线的拉力最小，最小拉力为Fmin＝0.498 N
此时有Fmin＝mg cos θ ②
摆球从A到B的过程中机械能守恒，则有
mgl(1－cos θ)＝mv2 ③
联立①②③式解得m＝＝ kg＝0.05 kg。
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(3)摆球在B点时速度最大，由Fmax－mg＝m可得，摆球运动过程中的最大速度为v＝ m/s。
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[答案] (1)0.8π s 1.6 m (2)0.05 kg
(3) m/s
谢 谢 ！课时分层作业(十八)
1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
2．如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当小球振动稳定时( )
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
3．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B．该振子振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
4．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，运动过程中m、M之间无相对滑动。设弹簧的劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍
B．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相同
C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力
D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于kx
5．(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
6．(2024·广西河池市开学考试)如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则( )
A．弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．图乙中P点所对应的时刻，振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m
D．弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
7．(多选)两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C．若图线Ⅱ表示地球上单摆的共振曲线，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
8．如图所示，几个摆长相同的单摆，在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，则关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
9．(多选)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点以相等的速率依次通过相距0.2 m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t1＝1 s时经过B点，t2＝3 s时也刚好经过B点，则该质点简谐运动的振幅和周期可能是( )
A．0.1 m，1 s B．0.1 m，0.4 s
C．0.2 m，0.4 s D．0.2 m， s
10．(人教版选择性必修第一册)如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2。
(1)求单摆的振动周期和摆长；
(2)求摆球的质量；
(3)求摆球运动过程中的最大速度。
课时分层作业(十八)
1．D [弹簧振子做简谐运动时，加速度方向与位移方向总是相反，若位移为负值，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，由于速度有两种方向，所以速度大小相同，方向可能不同，故B、C错误；振子每次通过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正确。]
2．C [小球振动的频率与圆盘的转速有关，小球做受迫振动，小球振动的频率等于圆盘转动的频率，圆盘的转速越大，小球振动的频率越大，故A错误，C正确；小球振动的振幅与圆盘转速有关，圆盘转动的频率越接近小球和弹簧组成的系统的固有频率，小球的振幅越大，故B、D错误。]
3．C [由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A错误；频率f ＝＝ Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s0＝4A＝12 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D错误。]
4．D [设位移为x，对物块与木板组成的系统整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律，有kx＝(m＋M)a，对物块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二定律，有Ff＝ma，所以Ff＝k，故D正确；由上述分析可知，若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但Δt不一定等于的整数倍，故A错误；若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同，故B错误；由上述分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力提供回复力，故C错误。]
5．D [以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，故A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播，小球在屏上的影子的位置也处于最高点，即影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。]
6．D [弹簧振子从D点经过O点运动到C点然后再经过O点回到D点为一次全振动，故A错误；题图乙中P点对应的时刻，振子的速度方向沿负方向，加速度方向沿正方向，故B错误；由题图乙知周期为T＝1.0 s，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，则ω＝＝2π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达D点开始计时，t＝0时刻位移为0.1 m，可知初相位为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m，故C错误；弹簧振子在前2.5 s内的路程为s＝2.5×4A＝10A＝1 m，故D正确。]
7．ABC [题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率f Ⅰ＝0.2 Hz，f Ⅱ＝0.5 Hz。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f ＝可知，g越大，f 越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则＝＝，所以＝，B正确；f Ⅱ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示地球上单摆的共振曲线， 根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确，D错误。]
8．D [根据周期公式T＝2π，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。几个单摆的摆长相同，题图1中沿斜面向下的等效重力加速度为g1＝g sin θ，所以周期T1＝2π；题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为g2＝g，所以周期T2＝2π；题图3中的周期T3＝2π；题图4中的等效重力加速度为g4＝g＋a，所以周期T4＝2π，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C错误，D正确。]
9．BCD [由选项，若振幅A＝0.1 m，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT1＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有n′T1＝2 s(n′＝1，2，3，…)，解得T1＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，T1＝0.4 s，故A错误，B正确；若振幅A＝0.2 m，平衡位置是AB的中点，且质点从A向右经过B点，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT2＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有＋nT2＝2 s(n＝0，1，2，…)，解得T2＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，T2＝ s，故D正确；若振幅A＝0.2 m，平衡位置是AB的中点，且质点从A向左先到达最大位移处再向右经过B点，在0～t1时间内根据简谐运动的周期性有＋nT3＝1 s(n＝0，1，2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有n′T3＝2 s(n′＝1，2，3，…)，解得T3＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，T3＝0.4 s，故C正确。]
10．解析：(1)由图乙可知，单摆的振动周期为T＝0.8π s
由单摆周期公式T＝2π可得
单摆的摆长为l＝T2＝1.6 m。
(2)摆球运动到B点时细线的拉力最大，由题图乙可知最大拉力为Fmax＝0.504 N
在B点，根据牛顿第二定律可得
Fmax－mg＝m ①
在A点和C点时细线的拉力最小，最小拉力为Fmin＝0.498 N
此时有Fmin＝mg cos θ ②
摆球从A到B的过程中机械能守恒，则有
mgl(1－cos θ)＝mv2 ③
联立①②③式解得m＝＝ kg＝0.05 kg。
(3)摆球在B点时速度最大，由Fmax－mg＝m可得，摆球运动过程中的最大速度为v＝ m/s。
答案：(1)0.8π s 1.6 m (2)0.05 kg
(3) m/s
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