实验探究课九 用单摆测量重力加速度的大小
[学习目标] 1．知道利用单摆测量重力加速度的原理。2．掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝ 1．做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 2．测摆长 用刻度尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4．改变摆长，重做几次实验。 1．摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。 2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据 处理 1．公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图线应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
误差 分析 1．系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 2．偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
教材原型实验
[典例1] (2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________ cm；
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________。
[听课记录]
[典例2] (2024·福建福州期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)除长约1 m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要(填正确答案的标号)________。
A．停表 B．刻度尺
C．天平 D．弹簧测力计
(2)用停表记录了单摆全振动50次所用的时间(如图)，停表的读数为________ s。
(3)如果实验测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．计算时将摆线长加小球的直径当作摆长
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过早按下
D．实验中误将49次全振动数记为50次
[听课记录]
拓展创新实验
[典例3] 某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验，示意图如图甲所示。
(1)若用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T＝________。
(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝________ s。
(3)在多次改变摆线长度后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2-L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝______，摆球半径r＝________(用k、b、π表示)。
[听课记录]
本题的创新点体现在以下三点：
(1)实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“探究单摆的周期与摆长的关系”，但实验原理不变。
(2)实验器材创新：使用拉力传感器绘制拉力随时间变化的F-t图像。
(3)数据处理创新：由F-t图线分析单摆的周期。
[典例4] 小河同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定地做匀速圆周运动时还可当作“圆锥摆”模型进行处理，手机上装载的软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，手机内的软件可通过拍下的视频分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方向的夹角θ及手机做圆周运动的半径r。有了a、θ、ω、r的实测数据，即可在误差允许范围之内测量当地重力加速度。
(1)小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为g1＝________(用a和θ表示)。
(2)若保持角速度ω不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到a-r图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为g2＝________(用k和h表示)。
(3)根据表格中的数据描绘a-tan θ图像，请在如图所示的坐标纸上描出序号为4的点，并由图像计算重力加速度g＝__________ m/s2。(结果保留三位有效数字)
序号 夹角 θ 夹角正 切tan θ 半径 r/m 角速度ω/ (rad·s-1) 向心加速度 a/(m·s-2)
1 44.90° 0.998 0.403 4.954 9.789
2 47.25° 1.082 0.434 4.941 10.577
3 49.50° 1.111 0.486 4.833 11.348
4 49.90° 1.188 0.466 4.961 11.683
5 53.10° 1.332 0.545 4.912 12.999
[听课记录]
实验探究课九 用单摆测量重力加速度的大小
实验类型全突破
类型1
典例1 解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为l＝
从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A＝l sin 5°
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝·cos 。
答案：(1)摆长 (2)1.06
(3)x＝·cos
典例2 解析：(1)除长约1 m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，还需要用停表测量周期，用刻度尺测量摆长。
(2)停表的读数为90 s＋9.8 s＝99.8 s。
(3)根据T＝2π可知g＝，计算时将摆线长加小球的直径当作摆长，则摆长的测量值偏大，测得的g值偏大，A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了，则计算时使用的摆长偏小，则测得的g值偏小，B正确；开始计时时，停表过早按下，测得的周期T偏大，则测得的g值偏小，C正确；实验中误将49次全振动数记为50次，测得的周期T偏小，则测得的g值偏大，D错误。
答案：(1)AB (2)99.8 (3)BC
类型2
典例3 解析：(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝。
(2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为 1.0 s，故单摆的周期为2.0 s。
(3)根据T＝2π得T2＝l，知图线的斜率k＝，因此g＝；而l＝L＋r，图线拟合得到方程为T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝。
答案：(1) (2)2.0 (3)
典例4 解析：(1)由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为ma＝mg1tan θ，故重力加速度为g1＝。
(2)由题意知ma＝mω2r，所以a＝ω2r，可得斜率k＝ω2，由于mg2tan θ＝mω2r，tan θ＝，故可求得g2＝kh。
(3)序号为4的点如图所示：
由ma＝mg tan θ知a tan θ图线的斜率表示重力加速度，可得重力加速度值约为
9.60 m/s2。
答案：(1) (2)kh (3)见解析图
9．60(9.50～9.70均可)
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第七章 机械振动 机械波
实验探究课九 用单摆测量重力加速度的大小
[学习目标] 1．知道利用单摆测量重力加速度的原理。
2．掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
原理装置图
测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝
实验储备·一览清
实验步骤
1．做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2．测摆长
用刻度尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4．改变摆长，重做几次实验。
注意事项
1．摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。
2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据 处理 1．公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图线应是一条过原点的直线，如图所示，求出图
线的斜率k，即可利用g＝4π2k求
重力加速度。
误差 分析 1．系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。
2．偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
实验类型·全突破
类型1 教材原型实验
[典例1] (2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________ cm；
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________________________。
摆长
1.06
x＝·cos
[解析] (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为l＝
从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A＝l sin 5°
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝·cos 。
[典例2] (2024·福建福州期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)除长约1 m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要(填正确答案的标号)________。
A．停表 B．刻度尺
C．天平 D．弹簧测力计
AB
(2)用停表记录了单摆全振动50次所用的时间(如图)，停表的读数为________ s。
99.8
(3)如果实验测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．计算时将摆线长加小球的直径当作摆长
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过早按下
D．实验中误将49次全振动数记为50次
BC
[解析] (1)除长约1 m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，还需要用停表测量周期，用刻度尺测量摆长。
(2)停表的读数为90 s＋9.8 s＝99.8 s。
(3)根据T＝2π可知g＝，计算时将摆线长加小球的直径当作摆长，则摆长的测量值偏大，测得的g值偏大，A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了，则计算时使用的摆长偏小，则测得的g值偏小，B正确；开始计时时，停表过早按下，测得的周期T偏大，则测得的g值偏小，C正确；实验中误将49次全振动数记为50次，测得的周期T偏小，则测得的g值偏大，D错误。
类型2 拓展创新实验
[典例3] 某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验，示意图如图甲所示。
(1)若用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T＝________。
(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝________ s。
2.0
(3)在多次改变摆线长度后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2-L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝______，摆球半径r＝________(用k、b、π表示)。
[解析] (1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝。
(2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为 1.0 s，故单摆的周期为2.0 s。
(3)根据T＝2π得T2＝l，知图线的斜率k＝，因此g＝；而l＝L＋r，图线拟合得到方程为T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝。
创新点解读 本题的创新点体现在以下三点：
(1)实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“探究单摆的周期与摆长的关系”，但实验原理不变。
(2)实验器材创新：使用拉力传感器绘制拉力随时间变化的F-t图像。
(3)数据处理创新：由F-t图线分析单摆的周期。
[典例4] 小河同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定地做匀速圆周运动时还可当作“圆锥摆”模型进行处理，手机上装载的软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，手机内的软件可通过拍下的视频分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方向的夹角θ及手机做圆周运动的半径r。有了a、θ、ω、r的实测数据，即可在误差允许范围之内测量当地重力加速度。
(1)小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为g1＝________(用a和θ表示)。
(2)若保持角速度ω不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到a-r图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为g2＝
________(用k和h表示)。
kh
(3)根据表格中的数据描绘a-tan θ图像，请在如图所示的坐标纸上描出序号为4的点，并由图像计算重力加速度g＝__________________ m/s2。(结果保留三位有效数字)
序号 夹角θ 夹角正 切tan θ 半径 r/m 角速度ω/ (rad·s-1) 向心加速度
a/(m·s-2)
1 44.90° 0.998 0.403 4.954 9.789
2 47.25° 1.082 0.434 4.941 10.577
3 49.50° 1.111 0.486 4.833 11.348
见解析图
9.60(9.50～9.70均可)
序号 夹角 θ 夹角正 切tan θ 半径 r/m 角速度ω/ (rad·s-1) 向心加速度
a/(m·s-2)
4 49.90° 1.188 0.466 4.961 11.683
5 53.10° 1.332 0.545 4.912 12.999
[解析] (1)由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为ma＝mg1tan θ，故重力加速度为g1＝。
(2)由题意知ma＝mω2r，所以a＝ω2r，可得斜率k＝ω2，由于mg2tan θ＝mω2r，tan θ＝，故可求得g2＝kh。
(3)序号为4的点如图所示：
由ma＝mg tan θ知a-tan θ图线的斜率表示重力加速度，可得重力加速度值约为9.60 m/s2。
实验对点训练(九)
1．小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝________ cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力
加速度g＝____________(用L、d、T表示)。
2.150
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的？________(填对应序号)
③
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出
T2-l图像如图丙所示，则可得月球重力加速度大
小为________ m/s2。
1.6
[解析] (1)游标卡尺的读数为主尺的读数与游标尺读数之和，所以d＝21 mm＋10×0.05 mm＝2.150 cm
根据周期公式T＝2π
可得g＝＝＝。
(2)为防止摆球摇摆及实验过程摆长变化，应该用夹子固定摆线悬点，故选③。
(3)从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆全振动的次数为N＝，则单摆的周期为T＝＝。
(4)根据单摆周期公式T＝2π可得T2＝l
由题图丙可知k＝＝＝
可得g月＝1.6 m/s2。
2．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3.14。回答下列问题：
(1)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是________。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2-L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是线a、b、c中的________(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝______ m/s2(结果保留三位有效数字)，小筒的深度h＝______ m。
BC
a
9.86
0.45
[解析] (1)本实验需要测量时间以求出单摆的周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，则所需要的测量工具是停表和毫米刻度尺，本题选择不需要的测量工具，即为时钟和天平，故选BC。
(2)由题图甲可得，单摆的摆长l＝L＋h，由单摆的周期公式得T＝2π，整理得T2＝L＋，因为>0，所以真正的图像应该是线a。
(3)根据(2)可知，T2-L图像的斜率k＝，纵截距d＝h，由题图乙图线a可知，k＝＝4，d＝1.80，可解得g≈9.86 m/s2，h＝0.45 m。
3．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________________________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为___________________________mm，则摆球的直径为_____________________________mm。
0.006(0.005～0.007均可)
20.035(20.034～20.036均可)
20.029(20.027～20.031均可)
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(选填“大于”或“小于”)。
大于
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)。
82.5
1.82
9.83
[解析] (1)题图(a)中螺旋测微器读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；题图(b)中螺旋测微器读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，则摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)假设将角度盘放置在距离悬点极近的位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。
(3)摆长L＝s＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm≈82.5 cm。从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s，根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝m/s2≈9.83 m/s2。
4．(2023·重庆卷)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________ mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留三位有效数字)。
19.20
9.86
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是
_____________________，原因是________________________________________________________________。
逐渐减小并趋于稳定
随着摆线长度l的增加，则l＋越
接近于l，此时计算得到的Δg越小
[解析] (1)摆球直径
d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
(2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2≈9.86 m/s2。
(3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小并趋于稳定，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。
5．(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、刻度尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有
遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用刻度尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用的时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲
度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝_________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝_____________________m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括________(多选，填标号)。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
l0＋T 2
9.65(9.55～9.75均可)
AB
[解析] (1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝，由题图(b)可知k＝ m/s2，联立解得g≈9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
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1．小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝________ cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝________(用L、d、T表示)。
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的？________(填对应序号)
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2-l图像如图丙所示，则可得月球重力加速度大小为________ m/s2。
2．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3.14。回答下列问题：
(1)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是________。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2-L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是线a、b、c中的________(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝______ m/s2(结果保留三位有效数字)，小筒的深度h＝______ m。
3．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为______mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为______mm，则摆球的直径为________mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)。
4．(2023·重庆卷)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________ mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留三位有效数字)。
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是________________，原因是_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
5．(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、刻度尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用刻度尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用的时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝______m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括________(多选，填标号)。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
实验对点训练(九)
1．解析：(1)游标卡尺的读数为主尺的读数与游标尺读数之和，所以d＝21 mm＋10×0.05 mm＝2.150 cm
根据周期公式T＝2π
可得g＝＝＝。
(2)为防止摆球摇摆及实验过程摆长变化，应该用夹子固定摆线悬点，故选③。
(3)从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆全振动的次数为N＝，则单摆的周期为T＝＝。
(4)根据单摆周期公式T＝2π可得T2＝l
由题图丙可知k＝＝＝
可得g月＝1.6 m/s2。
答案：(1)2.150 (2)③
(3) (4)1.6
2．解析：(1)本实验需要测量时间以求出单摆的周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，则所需要的测量工具是停表和毫米刻度尺，本题选择不需要的测量工具，即为时钟和天平，故选BC。
(2)由题图甲可得，单摆的摆长l＝L＋h，由单摆的周期公式得T＝2π，整理得T2＝L＋，因为>0，所以真正的图像应该是线a。
(3)根据(2)可知，T2-L图像的斜率k＝，纵截距d＝h，由题图乙图线a可知，k＝＝4，d＝1.80，可解得g≈9.86 m/s2，h＝0.45 m。
答案：(1)BC (2)a (3)9.86 0.45
3．解析：(1)题图(a)中螺旋测微器读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；题图(b)中螺旋测微器读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，则摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)假设将角度盘放置在距离悬点极近的位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。
(3)摆长L＝s＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm≈82.5 cm。从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s，根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝m/s2≈9.83 m/s2。
答案：(1)0.006(0.005～0.007均可) 20.035(20.034～20.036均可) 20.029(20.027～20.031均可) (2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
4．解析：(1)摆球直径
d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
(2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2≈9.86 m/s2。
(3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小并趋于稳定，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。
答案：(1)19.20 (2)9.86 (3)逐渐减小并趋于稳定 随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小
5．解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝，由题图(b)可知k＝ m/s2，联立解得g≈9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
答案：(1) (2)l0＋T2 (3)9.65(9.55～9.75均可) (4)AB
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