第1节 库仑定律 静电力的性质
[学习目标] 1．掌握库仑定律的内容及条件，并会用来解决问题。
2．理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度方向。
3．理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
1．元电荷
(1)最小的电荷量：e＝_____________C。
(2)带电体的电荷量只能是元电荷的____倍。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体____到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量________。
(2)三种起电方式：摩擦起电、____起电、接触起电。
(3)物体带电实质：____的转移。
3．库仑定律
(1)点电荷：当带电体本身的____、____及电荷分布状况对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
(2)内容：____中两个静止______之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成____，与它们距离的二次方成____，作用力的方向在它们的连线上。
(3)表达式：F＝_________，式中k＝_____________ N·m2/C2，叫作静电力常量。
(4)适用条件：____中的静止______。
4．电场强度
(1)定义式：E＝。
(2)点电荷电场：E＝_________。
(3)电场叠加：遵从平行四边形定则。
5．电场线
(1)定义：画在电场中的一条条有方向的曲线，每点的____方向与该点电场方向一致。
(2)特点：起始于正电荷或无限远，终止于无限远或负电荷。 不闭合、不相交、____表示电场强弱。
(3)六种典型电场的电场线
1．易错易混辨析
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。 ( )
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。 ( )
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。 ( )
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。 ( )
(5)由E＝知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。
(×)
2．(鲁科版必修第三册改编)两个带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为( )
A．9F B．F
C．F D．12F
3．(人教版必修第三册改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
库仑定律的理解及应用
1．库仑定律的三点说明
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k(如图甲所示)；
②异种电荷：F＞k(如图乙所示)。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．两完全相同带电球体电荷分配规律
(1)如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。
(2)如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量大小分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。
库仑定律的理解
[典例1] 两个半径均为r的相同金属球，球心相距3r，分别带有电荷量－2Q和＋4Q，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，两小球间距离保持不变，则两小球间库仑力的大小( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法确定
[听课记录]
库仑力的叠加
[典例2] 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ac＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为，则( )
A．a、b的电荷同号，＝
B．a、b的电荷异号，＝
C．a、b的电荷同号，＝
D．a、b的电荷异号，＝
[听课记录]
库仑力作用下的平衡问题
[典例3] (2023·海南卷)如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm, OB＝4 cm，在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1 D．4n3∶1
[听课记录]
“四步”解决库仑力作用下的平衡问题
[典例4] (多选)如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
[听课记录]
“三个自由点电荷”平衡问题的条件及规律
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为0或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为0的位置。
(2)规律：
电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
矢量性 电场强度E是表示静电力的性质的物理量，规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它取决于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和(如图所示)
2．电场强度的三个计算公式
点电荷电场强度
[典例5] (2023·湖南卷)如图所示，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为( )
A．Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q
B．Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q
C．Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q
D．Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q
[听课记录]
非点电荷电场强度的求解
[典例6] (2024·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R，静电力常量为k。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
A．－E B．－E
C． ＋E
[听课记录]
[典例7] 如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为( )
A．
C．
[听课记录]
求解非点电荷电场强度的思维方法
方法 条件 示例
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境 一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性 如图所示，均匀带电的圆环在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向
补偿法 将有缺口的带电圆环补全为完整圆环，或将半球面补全为完整球面等 将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2
微元法 将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝
电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低得更快。
2．两种等量点电荷电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小，但不为0 O点为0
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A′、B与B′、C与C′
等大同向 等大反向
[典例8] 如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．右边的点电荷带电荷量为－2q
D．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
[听课记录]
[典例9] (多选)如图所示，A、B两点有等量正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于A、B连线对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受静电力。则点电荷由C到D运动的v-t图像，以下可能正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
1．(2024·贵州卷)如图所示，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于( )
A． B．
C． D．2
2．(2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
3．(2024·新课标卷)如图所示，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
4．(2024·江苏卷)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的电场强度大小关系是( )
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
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在一个点电荷Q的电场中，让x轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.3 m和0.6 m(如图甲)。在A、B两点分别放置试探电荷，其受到的静电力跟试探电荷的电荷量的关系，如图乙中直线a、b所示。
(1)求A点和B点的电场强度的大小和方向；
(2)点电荷Q所在位置的坐标是多少？
第1节 库仑定律 静电力的性质
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梳理·必备知识
1．(1)1.60×10-19 (2)整数
2．(1)转移 保持不变 (2)感应 (3)电子
3．(1)形状 大小 (2)真空 点电荷 正比 反比 (3)k 9.0×109 (4)真空 点电荷
4．(1) (2)k
5．(1)切线 (2)疏密
激活·基本技能
1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．B [两球相距为r时，根据库仑定律得F＝k； 接触后各自带电荷量变为Q′＝＝＋，则此时有F′＝k＝F，故B正确。]
3．C [正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 B [两金属球相距较近且开始时带异种电荷，电荷因吸引靠近，则原来两球间库仑力大小F>k；两球接触后，两球均带正电，电荷量均为Q，电荷因排斥远离，所以接触后两球间的库仑力大小F′典例2 D [
对小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sin α＝k·sin β，故＝＝＝，D正确。]
典例3 C [
如图所示，设∠OPB＝α，∠APO＝β，P点小球受到A、B点的正电荷的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力FN作用，三力平衡，由三角形知识和正弦定理有＝，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球的带电荷量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，C正确。]
典例4 AD [在同一直线上的三个点电荷都处于平衡状态，由两同夹一异知，A正确，B错误；设q2、q3间距离为r，则q1、q2间距离为2r，对q1有k＝k，则q2∶q3＝4∶9，对q2有k＝k，则q1∶q3＝4∶1，综上有q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，C错误，D正确。]
考点2
典例5 D [由题意得P点合电场强度为零，则Q2在P点处的电场强度一定与Q1、Q3两电荷在P点处的合电场强度方向相反、大小相等，则三者的电性关系为“两同夹一异”，A、B错误；设PQ1＝a，则PQ2＝a，PQ3＝2a，则C选项中，根据库仑定律和电场强度与静电力的关系可知，Q1在P点形成电场的电场强度EQ1P＝－k，Q2在P点形成电场的电场强度EQ2P＝k，Q3在P点形成电场的电场强度EQ3P＝－k，EQ1P、EQ2P、EQ3P的合电场强度不为零，C错误；D选项中，E1＝E3＝，二者合电场强度E13＝，恰在PQ2连线上，且与Q2在P点形成电场的电场强度反向，又E2＝，代入数据得E2＋E13＝0，D正确。]
典例6 A [先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E，故A正确。]
典例7 B [把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n＝，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0＝，由几何关系sin 37°＝，可得E0＝。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D错误，B正确。]
考点3
典例8 D [电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的点电荷带负电，但是带电荷量小于左边点电荷的带电荷量，故右边的点电荷带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝k，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝k＋k＝3k，故D正确。]
典例9 BD [由于A、B两点处有等量正点电荷，所以在A、B连线的中垂线上，A、B连线中点的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。]
即时检验·感悟高考
1．B [根据题意，作出C点电场强度的两种情况分别如图1、图2所示
无论哪种情况，均有tan 30°＝＝＝，又tan 30°＝，解得＝tan 30°＝，B对，A、C、D错。]
2．D [由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝(3＋)，D正确。]
3．B [设两小球间的距离为l，绳与竖直方向的夹角为θ，分别对两小球受力分析如图所示，则有－qQE＝mQg tan θ，＋qPE＝mPg tan θ，显然mQg tan θT′，A错误；根据小球Q在O点所在竖直线左边知>EqQ，则>E，但P、Q电荷量之间的大小关系无法确定，C、D错误。
]
4.D [根据E＝可知F q图像斜率表示电场强度的大小，由题图可知Ea>Eb，根据题意无法得出Ea和Eb的数量关系。故选D。]
教考衔接 解析：(1)EA＝ N/C＝40 N/C，EB＝ N/C＝2.5 N/C，方向均沿x轴正方向。
(2)由于EA>EB，且方向均沿x轴正方向，则场源点电荷Q应在A点左侧，设其坐标为x，则有：EA＝k＝40 N/C
EB＝k＝2.5 N/C
联立解得x＝0.2 m。
答案：(1)40 N/C 2.5 N/C 均沿x轴正方向 (2)0.2 m
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第八章 静电场
[教师备选资源]
第八章 静电场
考情分析 库仑定律 2024·山东卷·T10、2023·海南卷·T8、2023·湖南卷·T5、2022·辽宁卷·T10、2021·天津卷·T1
第八章 静电场
考情分析 电场的性质 2024·河北卷·T2、2024·湖北卷·T8 、2024·广东卷·T8、2024·全国甲卷·T5 、2024·江苏卷·T1、2024·湖南卷·T5、2023·湖北卷·T3、
2023·山东卷·T11、2023·湖南卷·T5、2023·全国乙卷·T24、2023·辽宁卷·T9、2023·海南卷·T12、2022·全国乙卷·T19、2022·江苏卷·T9、2022·河北卷·T6、2022·山东卷·T3、2022·湖南卷·T2
第八章 静电场
考情分析 电容器 2024·辽宁卷·T5 、2024·江西卷·T1、2023·浙江6月选考·T12、2022·重庆卷·T2
带电粒子 (带电体)在电场中的运动 2024·辽宁卷·T6、2024·河北卷·T13、2023·全国甲卷·T18、2023·湖北卷·T10、2023·浙江6月选考·T8、2023·新课标卷·
T25、2022·江苏卷·T15、2022·辽宁卷·
T14、2022·湖北卷·T10
第八章 静电场
考情分析 实验：观察电容器的充、放电现象 2024·广西卷·T12、
2024·海南卷·T16、
2024·浙江1月卷·T16(Ⅱ)、
2023·新课标卷·T22、
2023·山东卷·T14
第八章 静电场
备考策略 1．关注库仑定律、电场线及其性质、电场强度、电势能和电势高低的判断、电容器等知识。
2．利用带电粒子在电场中的运动，加强与运动学、牛顿运动定律、功能关系等其他知识结合的计算题的训练。
3．关注与实际生活、科学研究密切联系的新的情境或新的素材等相关习题的训练，如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，掌握电容器充、放电过程。
第1节
库仑定律 静电力的性质
[学习目标] 1．掌握库仑定律的内容及条件，并会用来解决问题。
2．理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度方向。
3．理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
链接教材·夯基固本
1．元电荷
(1)最小的电荷量：e＝_____________ C。
(2)带电体的电荷量只能是元电荷的____倍。
1.60×10-19
整数
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体____到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量________。
(2)三种起电方式：摩擦起电、____起电、接触起电。
(3)物体带电实质：____的转移。
转移
保持不变
感应
电子
3．库仑定律
(1)点电荷：当带电体本身的____、____及电荷分布状况对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
(2)内容：____中两个静止______之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成____，与它们距离的二次方成____，作用力的方向在它们的连线上。
(3)表达式：F＝____，式中k＝_________ N·m2/C2，叫作静电力常量。
(4)适用条件：____中的静止______。
形状
大小
真空
点电荷
正比
反比
k
9.0×109
真空
点电荷
4．电场强度
(1)定义式：E＝__。
(2)点电荷电场：E＝____。
(3)电场叠加：遵从平行四边形定则。
k
5．电场线
(1)定义：画在电场中的一条条有方向的曲线，每点的____方向与该点电场方向一致。
(2)特点：起始于正电荷或无限远，终止于无限远或负电荷。 不闭合、不相交、____表示电场强弱。
切线
疏密
(3)六种典型电场的电场线
1．易错易混辨析
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。 ( )
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。 ( )
×
√
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。 ( )
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。 ( )
(5)由E＝知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。 ( )
×
×
×
2．(鲁科版必修第三册改编)两个带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为( )
A．9F B．F
C．F D．12F
√
B [两球相距为r时，根据库仑定律得F＝k； 接触后各自带电荷量变为Q′＝＝＋，则此时有F′＝k＝F，故B正确。]
3．(人教版必修第三册改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没
有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
√
C [正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 库仑定律的理解及应用
1．库仑定律的三点说明
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k(如图甲所示)；
②异种电荷：F＞k(如图乙所示)。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．两完全相同带电球体电荷分配规律
(1)如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。
(2)如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量大小分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。
角度1 库仑定律的理解
[典例1] 两个半径均为r的相同金属球，球心相距3r，分别带有电荷量－2Q和＋4Q，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，两小球间距离保持不变，则两小球间库仑力的大小( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法确定
√
B [两金属球相距较近且开始时带异种电荷，电荷因吸引靠近，则原来两球间库仑力大小F>k；两球接触后，两球均带正电，电荷量均为Q，电荷因排斥远离，所以接触后两球间的库仑力大小F′角度2 库仑力的叠加
[典例2] 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ac＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为，则( )
A．a、b的电荷同号，＝
B．a、b的电荷异号，＝
C．a、b的电荷同号，＝
D．a、b的电荷异号，＝
√
D [对小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sin α＝k·sin β，故＝＝＝，D正确。]
角度3 库仑力作用下的平衡问题
[典例3] (2023·海南卷)如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm, OB＝4 cm，在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1 D．4n3∶1
√
C [如图所示，设∠OPB＝α，∠APO＝β，P点小球受到A、B点的正电荷的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力FN作用，三力平衡，由三角形知识和正弦定理有＝，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球的带电荷量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，
C正确。]
规律方法 “四步”解决库仑力作用下的平衡问题
[典例4] (多选)如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
√
√
AD [在同一直线上的三个点电荷都处于平衡状态，由两同夹一异知，A正确，B错误；设q2、q3间距离为r，则q1、q2间距离为2r，对q1有k＝k，则q2∶q3＝4∶9，对q2有k＝k，则q1∶q3＝4∶1，综上有q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，C错误，D正确。]
归纳总结 “三个自由点电荷”平衡问题的条件及规律
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为0或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为0的位置。
(2)规律：
考点2 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
矢量性 电场强度E是表示静电力的性质的物理量，规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它取决于形成电场的电荷
(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和(如图所示)
2．电场强度的三个计算公式
角度1 点电荷电场强度
[典例5] (2023·湖南卷)如图所示，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为( )
A．Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q
B．Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q
C．Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q
D．Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q
√
D [由题意得P点合电场强度为零，则Q2在P点处的电场强度一定与Q1、Q3两电荷在P点处的合电场强度方向相反、大小相等，则三者的电性关系为“两同夹一异”，A、B错误；设PQ1＝a，则PQ2＝a，PQ3＝2a，则C选项中，根据库仑定律和电场强度与静电力的关系可知，Q1在P点形成电场的电场强度EQ1P＝－k，Q2在P点形成电场的电场强度EQ2P＝k，Q3在P点形成电场的电场强度EQ3P
＝－k，EQ1P、EQ2P、EQ3P的合电场强度不为零，C错误；D选项中，E1＝E3＝，二者合电场强度E13＝，恰在PQ2连线上，且与Q2在P点形成电场的电场强度反向，又E2＝，代入数据得E2＋E13＝0，D正确。]
角度2 非点电荷电场强度的求解
[典例6] (2024·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R，静电力常量为k。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
A．－E B．－E
C． ＋E
√
A [先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E，故A正确。]
[典例7] 如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为( )
A．
C．
√
B [把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n＝，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0＝，由几何关系sin 37°＝，可得E0＝。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D错误，B正确。]
方法 条件 示例
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境 一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示
规律方法 求解非点电荷电场强度的思维方法
方法 条件 示例
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性 如图所示，均匀带电的圆环在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向
方法 条件 示例
补偿法 将有缺口的带电圆环补全为完整圆环，或将半球面补全为完整球面等 将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2
方法 条件 示例
微元法 将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝
考点3 电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低得更快。
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
电场线分 布图
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小，但不为0 O点为0
2．两种等量点电荷电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A′、B与B′、C与C′
等大同向 等大反向
[典例8] 如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．右边的点电荷带电荷量为－2q
D．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
√
D [电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的点电荷带负电，但是带电荷量小于左边点电荷的带电荷量，故右边的点电荷带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝k，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝k＋k＝3k，故D正确。]
[典例9] (多选)如图所示，A、B两点有等量正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于A、B连线对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受静电力。则点电荷由C到D运动的v-t图像，以下可能正确的是( )
A B
C D
√
√
BD [由于A、B两点处有等量正点电荷，所以在A、B连线的中垂线上，A、B连线中点的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。]
即时检验·感悟高考
1．(2024·贵州卷)如图所示，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于( )
A． B．
C． D．2
√
B [根据题意，作出C点电场强度的两种情况分别如图1、图2所示
无论哪种情况，均有tan 30°＝＝＝，又tan 30°＝，解得＝tan 30°＝，B对，A、C、D错。]
2．(2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
√
D [由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式
和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝(3＋)，D正确。]
3．(2024·新课标卷)如图所示，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
√
B [设两小球间的距离为l，绳与竖直方向的夹角为θ，分别对两小球受力分析如图所示，则有－qQE＝mQg tan θ，＋qPE＝mPg tan θ，显然mQg tan θT′，A错误；根据小球Q在O点所在竖直线左边知>EqQ，则>E，但P、Q电荷量之间的大小关系无法确定，C、D错误。]
4．(2024·江苏卷)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的电场强度大小关系是( )
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
√
D [根据E＝可知F-q图像斜率表示电场强度的大小，由题图可知Ea>Eb，根据题意无法得出Ea和Eb的数量关系。故选D。]
教考衔接·链接人教版必修第三册P24T6
在一个点电荷Q的电场中，让x轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.3 m和0.6 m(如图甲)。在A、B两点分别放置试探电荷，其受到的静电力跟试探电荷的电荷量的关系，如图乙中直线a、b所示。
(1)求A点和B点的电场强度的大小和方向；
(2)点电荷Q所在位置的坐标是多少？
[解析] (1)EA＝ N/C＝40 N/C，EB＝ N/C＝2.5 N/C，方向均沿x轴正方向。
(2)由于EA>EB，且方向均沿x轴正方向，则场源点电荷Q应在A点左侧，设其坐标为x，则有：EA＝k＝40 N/C
EB＝k＝2.5 N/C
联立解得x＝0.2 m。
[答案] (1)40 N/C 2.5 N/C 均沿x轴正方向 (2)0.2 m
课时数智作业(二十)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．小明同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料扁带撕成细丝后，一端打结，做成“章鱼”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC(塑料)管。将
“章鱼”抛向空中，然后把PVC管从下方靠
近它，直到“章鱼”处于悬停状态，则( )
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．PVC管带电方式属于感应起电
B．塑料扁带丝由于带上同种电荷会向四周散开
C．用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带异种电荷
D．PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，两者间相互作用力变小
12
√
B [PVC管带电方式属于摩擦起电，A错误；塑料扁带丝由于带上同种电荷相互排斥而会向四周散开，B正确；用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带同种电荷，C错误；PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，距离减小，两者间相互作用力变大，D错误。]
2．如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
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6
8
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9
10
11
12
√
C [设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝－＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＋＝，所以＝，故C正确。]
题号
1
3
5
2
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11
12
3．某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C [电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷不可能沿电场线运动，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
4．如图为真空中两点电荷A、B形成的电场中的电场线，该电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是( )
A．A、B可能带等量异种电荷
B．A、B可能带不等量的正电荷
C．同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小
相等，方向相反
D．a、b两点处无电场线，故其电场强度为零
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
√
C [由于电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，结合等量异种与等量同种点电荷电场线的分布特点，可知A、B带等量正电荷，故A、B错误；a、b为其连线的中垂线上对称的两点，根据等量正点电荷电场线的分布特点，可知a、b两点位置的电场强度大小相等、方向相反，则同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等、方向相反，故C正确；电场线是为了形象描述看不见、摸不着的电场而人为假想的，其分布的疏密程度表示电场强度的大小，a、b两点处虽然无电场线，但其电场强度不为零，故D错误。]
题号
1
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11
12
5．(人教版必修第三册P24T4改编)如图所示，电荷量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度大小为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
√
D [题图中A点的电场强度为0，表明薄板带负电，且薄板在A点的电场强度大小为EA＝k＝，根据对称性，薄板在B点的电场强度大小与薄板在A点的相等，方向相反，题图中B点的电场强度大小为EB＝k＋k＝，故D正确。]
题号
1
3
5
2
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11
12
6．(2025·福建厦门模拟)如图所示，一带电小球B用绝缘轻质细线悬挂于O点。带电小球A与带电小球B处于同一水平线上，小球B平衡时细线与竖直方向成θ角(θ<45°)。现在同一竖直面内缓慢向下(不是竖直向下)移动带电小球A，使带电小球B能够
保持在原位置不动，直到小球A移动到小球B位置的
正下方。关于此过程下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．小球A、B间的距离越来越小
B．小球B受到的静电力越来越小
C．轻质细线的拉力一直在减小
D．轻质细线的拉力不可能减小为零
题号
1
3
5
2
4
6
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9
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11
12
√
C [带电小球B在重力G、细线拉力T及静电力F作用下处于平衡状态，此三力必可组成一封闭矢量三角形，当带电小球A向下缓慢移动时，带电小球B受力变化情况如图所示，静电力先减小后增大，则小球A、B间的距离先增大后减小，故A、B错误；由受力图可知，轻质细线的拉力一直在减小，故C正确；当小球A处
于小球B的正下方时，轻质细线的拉力一定为零，故
D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
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9
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11
12
7．如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的两小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为( )
A．F B．F
C．F D．F
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B [当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，对A、B两个小球整体有F＝3ma1，对小球A有＝ma1，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，对A、B两个小球整体有F2＝3ma2，对小球B有＝2ma2，联立可得F2＝F，故B正确，A、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(人教版必修第三册改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
AB [虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确；带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷就因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B
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正确；但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误；先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。]
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9．如图所示，电荷量为＋q和－q的点电荷分别位于棱长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为( )
A．0 B．
C．
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B [如图所示，将图中两组对角线上的电荷产生的电场强度合成即为中心O点的电场强度(另外两对角线上的正电荷在O点的合电场强度为零)，则E1＝E2＝＝，由几何关系可知，设两电场强度夹角的一半为θ，则sin θ＝＝，cos θ＝，则O点
合电场强度大小E＝2E1cos θ＝，故选B。]
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10．(2022·山东卷)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝
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C [在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的电场强度为零，而取走的A、B处的电荷的电荷量qA＝qB＝ΔL，qA、qB在O点产生的合电场强度为EAB＝＝，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的电场强度大小为，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点电场强度为零，故q在O点产生的电场强度与qA、qB在O点产生的合电场强度相同，所以q为负电荷，即有k＝k，解得q＝，C项正确。]
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11．如图所示，V形对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则P与M间的动摩擦因数至少为( )
A． B．
C． D．
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D [滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间库仑斥力设为F，两滑块的受力分析如图所示。对滑块Q，在沿着斜面方向有mg cos 30°＝F cos 30°，可得F＝mg，而对滑块P，动摩擦因数最小时有N2＝F＋mg sin 30°，f＝μN2，
f＝mg cos 30°， 联立解得μ＝，故选D。]
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12．(2023·全国乙卷)如图所示，等边三角形ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q。
(1)求B点处点电荷的电荷量的绝对值，并判断3个点
电荷的正负；
(2)求C点处点电荷的电荷量。
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[解析] (1)M处的电场强度方向竖直向下，所以位于A、B两点处的点电荷在M处产生的电场强度等大反向，即A、B两点处的点电荷电性相同，且EAM＝EBM，即＝，
又因为M为AB边的中点，即AM＝BM，所以qB＝q，
分析可知，C点处点电荷在M处产生的电场强度方向竖直向下，所以C点处点电荷为正电荷。
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N处的电场强度方向竖直向上，沿BC方向与垂直BC方向(AN方向)分解，如图所示，
因为C点处为正电荷，ECN沿CB向下，所以B点处点电荷在N处产生的电场强度方向沿BC向上，即B点处点电荷为
正电荷，故A点处点电荷也为正电荷。
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(2)设等边三角形边长为L，由以上分析可知
EBC＝EBN－ECN，＝tan 60°，
联立并根据电场强度与库仑定律的关系得
tan 60°＝－，
解得qC＝q。
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[答案] (1)q A、B、C都为正电荷 (2)q
谢 谢 ！课时分层作业(二十)
1．小明同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料扁带撕成细丝后，一端打结，做成“章鱼”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC(塑料)管。将“章鱼”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“章鱼”处于悬停状态，则( )
A．PVC管带电方式属于感应起电
B．塑料扁带丝由于带上同种电荷会向四周散开
C．用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带异种电荷
D．PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，两者间相互作用力变小
2．如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
A． B．
C． D．
3．某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
4．如图为真空中两点电荷A、B形成的电场中的电场线，该电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是( )
A．A、B可能带等量异种电荷
B．A、B可能带不等量的正电荷
C．同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等，方向相反
D．a、b两点处无电场线，故其电场强度为零
5．(人教版必修第三册P24T4改编)如图所示，电荷量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度大小为( )
A． B．
C． D．
6．(2025·福建厦门模拟)如图所示，一带电小球B用绝缘轻质细线悬挂于O点。带电小球A与带电小球B处于同一水平线上，小球B平衡时细线与竖直方向成θ角(θ<45°)。现在同一竖直面内缓慢向下(不是竖直向下)移动带电小球A，使带电小球B能够保持在原位置不动，直到小球A移动到小球B位置的正下方。关于此过程下列说法正确的是( )
A．小球A、B间的距离越来越小
B．小球B受到的静电力越来越小
C．轻质细线的拉力一直在减小
D．轻质细线的拉力不可能减小为零
7．如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的两小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为( )
A．F B．F
C．F D．F
8．(人教版必修第三册改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
9．如图所示，电荷量为＋q和－q的点电荷分别位于棱长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为( )
A．0 B．
C．
10．(2022·山东卷)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝
11．如图所示，V形对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则P与M间的动摩擦因数至少为( )
A． B．
C． D．
12．(2023·全国乙卷)如图所示，等边三角形ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q。
(1)求B点处点电荷的电荷量的绝对值，并判断3个点电荷的正负；
(2)求C点处点电荷的电荷量。
课时分层作业(二十)
1．B [PVC管带电方式属于摩擦起电，A错误；塑料扁带丝由于带上同种电荷相互排斥而会向四周散开，B正确；用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带同种电荷，C错误；PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，距离减小，两者间相互作用力变大，D错误。]
2．C [设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝－＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＋＝，所以＝，故C正确。]
3．C [电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷不可能沿电场线运动，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。]
4．C [由于电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，结合等量异种与等量同种点电荷电场线的分布特点，可知A、B带等量正电荷，故A、B错误；a、b为其连线的中垂线上对称的两点，根据等量正点电荷电场线的分布特点，可知a、b两点位置的电场强度大小相等、方向相反，则同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等、方向相反，故C正确；电场线是为了形象描述看不见、摸不着的电场而人为假想的，其分布的疏密程度表示电场强度的大小，a、b两点处虽然无电场线，但其电场强度不为零，故D错误。]
5．D [题图中A点的电场强度为0，表明薄板带负电，且薄板在A点的电场强度大小为EA＝k＝，根据对称性，薄板在B点的电场强度大小与薄板在A点的相等，方向相反，题图中B点的电场强度大小为EB＝k＋k＝，故D正确。]
6．C [带电小球B在重力G、细线拉力T及静电力F作用下处于平衡状态，此三力必可组成一封闭矢量三角形，当带电小球A向下缓慢移动时，带电小球B受力变化情况如图所示，静电力先减小后增大，则小球A、B间的距离先增大后减小，故A、B错误；由受力图可知，轻质细线的拉力一直在减小，故C正确；当小球A处于小球B的正下方时，轻质细线的拉力一定为零，故D错误。]
7．B [当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，对A、B两个小球整体有F＝3ma1，对小球A有＝ma1，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，对A、B两个小球整体有F2＝3ma2，对小球B有＝2ma2，联立可得F2＝F，故B正确，A、C、D错误。]
8．AB [虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确；带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷就因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确；但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误；先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。]
9．B [如图所示，将图中两组对角线上的电荷产生的电场强度合成即为中心O点的电场强度(另外两对角线上的正电荷在O点的合电场强度为零)，则E1＝E2＝＝，由几何关系可知，设两电场强度夹角的一半为θ，则sin θ＝＝，cos θ＝，则O点合电场强度大小E＝2E1cos θ＝，故选B。]
10．C [在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的电场强度为零，而取走的A、B处的电荷的电荷量qA＝qB＝ΔL，qA、qB在O点产生的合电场强度为EAB＝＝，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的电场强度大小为，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点电场强度为零，故q在O点产生的电场强度与qA、qB在O点产生的合电场强度相同，所以q为负电荷，即有k＝k，解得q＝，C项正确。]
11．D [滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间库仑斥力设为F，两滑块的受力分析如图所示。对滑块Q，在沿着斜面方向有mg cos 30°＝F cos 30°，可得F＝mg，而对滑块P，动摩擦因数最小时有N2＝F＋mg sin 30°，f＝μN2，f＝mg cos 30°， 联立解得μ＝，故选D。]
12．解析：(1)M处的电场强度方向竖直向下，所以位于A、B两点处的点电荷在M处产生的电场强度等大反向，即A、B两点处的点电荷电性相同，且EAM＝EBM，即＝，
又因为M为AB边的中点，即AM＝BM，所以qB＝q，
分析可知，C点处点电荷在M处产生的电场强度方向竖直向下，所以C点处点电荷为正电荷。
N处的电场强度方向竖直向上，沿BC方向与垂直BC方向(AN方向)分解，如图所示，
因为C点处为正电荷，ECN沿CB向下，所以B点处点电荷在N处产生的电场强度方向沿BC向上，即B点处点电荷为正电荷，故A点处点电荷也为正电荷。
(2)设等边三角形边长为L，由以上分析可知
EBC＝EBN－ECN，＝tan 60°，
联立并根据电场强度与库仑定律的关系得
tan 60°＝－，
解得qC＝q。
答案：(1)q A、B、C都为正电荷 (2)q
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