第2节 电场能的性质
[学习目标] 1．知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的概念。2．掌握静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。
3．掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。
4．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与____位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝______，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝________，适用于任何电场。
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的______，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就____多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就____多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3．电势
(1)定义式：φ＝。应用公式时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比______高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4．等势面
(1)定义：电场中____相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力______。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的____。
④等势面不相交。
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最__； 在两电荷连线的中垂线上，中点电势最__
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝__________，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生________。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 ( )
(3)静电力做功与路径无关。 ( )
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。
( )
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 ( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 ( )
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 ( )
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为( )
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
静电力做功、电势和电势能
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种常用方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
3．电势高低的三种常用判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
[典例1] (多选)如图所示，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则( )
A．电场强度的大小E＝200 V/m
B．b点的电势比d点的低5 V
C．将电子从c点移到d点，静电力做正功
D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
[听课记录]
[典例2] (多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有( )
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，静电力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
[听课记录]
[典例3] (多选)(2024·陕西榆林一模)电鳗被称为“水中的高压线”，电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些“电池”串联起来后，电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时电鳗的头和尾的周围空间产生类似于等量异种点电荷(O为两点电荷连线的中点)的强电场。如图所示，虚线为该电场的等势线，实线ABCD是以O点为中心的正方形，点A和D在同一等势线上，点B和C在另一等势线上。则下列说法正确的是( )
A．电鳗的头部带正电，尾部带负电
B．A点与C点的电场强度相同
C．实线ABCD区域内的电场可能是匀强电场
D．带正电的试探电荷沿直线从B点移到C点的过程中，电势能先增大后减小
[听课记录]
匀强电场电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的应用
①在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。
②若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
非匀强电场中的定性应用
[典例4] (2022·福建卷)平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高,则下列说法正确的是( )
A．b、c两点间的电势差Ubc＝0
B．a点电场强度大小大于100 V/m
C．a点电场强度方向水平向右
D．a点的电势低于c点
[听课记录]
等分法的应用
[典例5] 如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是( )
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
[听课记录]
[典例6] (人教版必修第三册)如图所示，在匀强电场中，将电荷量为－6×10-6 C的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做了－2.4×10-5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10-5 J的功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行。
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC分别为多少？
(2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。
[听课记录]
平行结论法的应用
[典例7] (多选)(2024·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
[听课记录]
电场线、等势面及运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线。
(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行。
(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。
[典例8] (2024·福建龙岩一模)一种静电除尘空气净化器，工作原理如图所示。一重力不计的带电尘埃仅在静电力的作用下沿虚线由M点运动到N点，实线为电场线，以放电极中心为圆心的圆交于M、P两点。下列说法正确的是( )
A．带电尘埃带正电
B．M、P两点的电场强度及电势都相同
C．该带电尘埃在M点的动能大于在N点的动能
D．该带电尘埃在M点的电势能大于在N点的电势能
[听课记录]
[典例9] 如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则( )
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点间的电势差大小|UMN|等于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
[听课记录]
1．(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
2．(2024·全国甲卷)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量；多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则( )
A．Q1<0，＝－2 B．Q1>0，＝－2
C．Q1<0，＝－3 D．Q1>0，＝－3
3．(多选)(2023·辽宁卷)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
4．(多选)(2023·全国乙卷)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷静电力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，静电力始终不做功
第2节 电场能的性质
链接教材·夯基固本
梳理·必备知识
1．(1)初始 (2)qEd qUAB
2．(1)减少量 减少 增加
3．(1) (2)零电势
4．(1)电势 (2)不做功 强弱
5．低 高
6．(3)φA－φB
7．(1)定向移动
激活·基本技能
1．(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
(6)× (7)×
2．C [两点间电势差与移动的电荷无关，静电力做功变为W′＝2qU＝2W，C正确。]
3．B [题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝E·d cos α，故B正确，A、C、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 AD [根据Uab＝E·ab cos 60°可得电场强度的大小E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确；沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，B错误；将电子从c点移到d点，因电子所受的静电力方向与位移方向相反，可知静电力做负功，C错误；因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。]
典例2 AC [根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，静电力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。故选AC。]
典例3 BD [根据等量异种点电荷的电场线分布规律及沿电场线方向电势降低，可知，电场方向由电鳗尾部指向电鳗头部，则电鳗头部带负电，尾部带正电，故A错误；A点与C点关于O点对称，A点与C点的电场强度相同，故B正确；由匀强电场的定义可知，实线ABCD区域内的电场不可能是匀强电场，故C错误；带正电的试探电荷沿直线从B点移到C点的过程中，静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。]
考点2
典例4 B [由题图可知，b、c两点间的电势差为Ubc＝200 V－300 V＝－100 V，故A错误；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1 m，电势差等于100 V，根据E＝可知a点电场强度大小大于100 V/m，故B正确；根据电场强度方向垂直于等势面，可知a点的电场强度方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，故D错误。]
典例5 D [由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，故A错误；＝＝＝－3 V，A、P2间的电势差为U＝＝5 V－(－3) V＝8 V，φB＝φA－4U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B错误；A点到B点电势均匀降落，设P1B的中点为P3，该点电势为＝φA－3U＝5 V－3×8 V＝－19 V，而φC＝＝＝－19 V，则P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图虚线P3C所示，由几何关系知，P3C与AB垂直，所以AB为电场线，又因为沿电场线方向电势越来越低，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，电场强度大小为E＝＝ V/cm＝800 V/m，故C错误，D正确。]
典例6 解析：(1)UAB＝＝ V＝4 V
UBC＝＝ V＝－2 V。
(2)φA＝UAB＋φB＝4 V，φC＝φB－UBC＝2 V。
(3)取AB中点D，φD＝＝2 V＝φC
则DC是等势线，过点B作DC的垂线就是电场线，电场线方向指向电势降低的方向，如图所示。
答案：(1)4 V －2 V (2)4 V 2 V (3)见解析
典例7 BD [
找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示，由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO＞φB，故电场强度方向由O指向B，E＝＝ V/m＝100 V/m，故C错误，D正确。]
考点3
典例8 D [由题图可知，根据带电尘埃的运动轨迹可知，带电尘埃在M点处受力方向是向下的，所以带电尘埃是带负电的，故A错误；根据对称性可知M、P两点的电场强度大小及电势都相同，电场方向为该点沿电场线的切线方向，结合题图中电场线方向可知M点的电场强度方向斜向右上方，P点的电场强度方向斜向左下方，故B错误；分析可知N点处等势线与M点所在电场线相交处位于M点下方，沿着电场线电势降低，可知M点的电势小于N点的电势，尘埃带负电，故该带电尘埃在M点的电势能大于在N点的电势能，尘埃只受到静电力作用，电势能与动能之和保持不变，故在M点的动能小于在N点的动能，故C错误，D正确。]
典例9 D [由题图可知，a粒子的轨迹向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度大于NQ段电场强度，所以M、N两点间的电势差大小|UMN|大于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝qU，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。]
即时检验·感悟高考
1．C [等差等势线越密集，电场强度越大，则c点电场强度最大，C正确。]
2．B [根据沿电场线方向电势降低，结合题图可知，Q1>0，Q2<0，A、C错误；设两点电荷间的距离为3L，则有k＋k＝0，解得＝－2，B正确，D错误。]
3．CD [P点电场强度方向沿y轴正方向，沿着电场线方向电势降低，所以P点电势比x轴高，x轴电势比M点的高，所以P点电势比M点的高，A错误；在同一静电场中，等差等势线的疏密程度表示电场强度的大小，M点所在处的等势线比P点所在处等势线密集，则M点电场强度大小比P点的大，B错误；由以上分析可知，x轴上的电势高于M点电势，又电场线与等势线垂直且由高电势指向低电势，所以M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确；垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图相同，说明x轴是一条等势线，所以粒子沿x轴运动，电势能不变，D正确。]
4．BC [在正点电荷形成的电场中，离点电荷越近电势越高，而负电荷在电势越高的地方，电势能越小，在电势越低的地方，电势能越大，因为OP>OM，所以P点电势小于M点电势，小球在P点的电势能大于在M点的电势能，因为OM＝ON，所以小球在M、N两点的电势能相等，故B正确；小球在运动过程中只有静电力和重力做功，机械能与电势能之和守恒，又小球在M、N两点的电势能相等，故小球在M、N两点的机械能相等，故C正确；因为P点在O点右上方，且OP>OM，所以小球开始运动时，静电力做正功，小球的电势能先减少，故A错误；根据题图可知，小球从M到N的过程中先靠近O点再远离O点，故静电力先做正功后做负功，故D错误。]
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第八章 静电场
第2节 电场能的性质
[学习目标] 1．知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的概念。
2．掌握静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。
3．掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。
4．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
链接教材·夯基固本
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与____位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝______，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝________，适用于任何电场。
初始
qEd
qUAB
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的______，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就____多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就____多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
减少量
减少
增加
3．电势
(1)定义式：φ＝。应用公式时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比______高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
零电势
4．等势面
(1)定义：电场中____相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力______。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的____。
④等势面不相交。
电势
不做功
强弱
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
电场 等势面(虚线)图样 特点
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最__；
在两电荷连线的中垂线上，中点电势最__
低
高
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝__________，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
φA－φB
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生________。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
定向移动
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 ( )
(3)静电力做功与路径无关。 ( )
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。 ( )
×
×
√
×
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 ( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 ( )
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 ( )
√
×
×
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
√
C [两点间电势差与移动的电荷无关，静电力做功变为W′＝2qU＝2W，C正确。]
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为( )
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
√
B [题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝E·d cos α，故B正确，A、C、D错误。]
细研考点·突破题型
考点1 静电力做功、电势和电势能
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种常用方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
3．电势高低的三种常用判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
[典例1] (多选)如图所示，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则( )
A．电场强度的大小E＝200 V/m
B．b点的电势比d点的低5 V
C．将电子从c点移到d点，静电力做正功
D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
√
√
AD [根据Uab＝E·ab cos 60°可得电场强度的大小E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确；沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，B错误；将电子从c点移到d点，因电子所受的静电力方向与位移方向相反，可知静电力做负功，C错误；因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。]
[典例2] (多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电
场线上，M点和P点在同一等势面上。
下列说法正确的有( )
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，静电力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
√
√
AC [根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，静电力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。故选AC。]
[典例3] (多选)(2024·陕西榆林一模)电鳗被称为“水中的高压线”，电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些“电池”串联起来后，电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时电鳗的头和尾的周围空间产生类似于等量异种点电荷(O为两点电荷连线的中点)的强电场。如图所示，虚线为该电场的等势线，实线ABCD是以O点为中心的正方形，点A和D在同一等势线上，点B和C在另一等势线上。则下列说法正确的是( )
A．电鳗的头部带正电，尾部带负电
B．A点与C点的电场强度相同
C．实线ABCD区域内的电场可能是匀
强电场
D．带正电的试探电荷沿直线从B点移
到C点的过程中，电势能先增大后减小
√
√
BD [根据等量异种点电荷的电场线分布规律及沿电场线方向电势降低，可知，电场方向由电鳗尾部指向电鳗头部，则电鳗头部带负电，尾部带正电，故A错误；A点与C点关于O点对称，A点与C点的电场强度相同，故B正确；由匀强电场的定义可知，实线ABCD区域内的电场不可能是匀强电场，故C错误；带正电的试探电荷沿直线从B点移到C点的过程中，静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。]
考点2 匀强电场电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的应用
①在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。
②若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
角度1 非匀强电场中的定性应用
[典例4] (2022·福建卷)平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高，则下列说法正确的是( )
A．b、c两点间的电势差Ubc＝0
B．a点电场强度大小大于100 V/m
C．a点电场强度方向水平向右
D．a点的电势低于c点
√
B [由题图可知，b、c两点间的电势差为Ubc＝200 V－300 V＝
－100 V，故A错误；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1 m，电势差等于100 V，根据E＝可知a点电场强度大小大于 100 V/m，故B正确；根据电场强度方向垂直于等势面，可知a点的电场强度方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，故D错误。]
角度2 等分法的应用
[典例5] 如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是( )
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
√
D [由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，故A错误；＝＝＝－3 V，A、P2间的电势差为U＝＝5 V－(－3) V＝8 V，φB＝φA－4U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B错误；A点到B点电势均匀降落，设P1B的中点为P3，该点电势为＝φA－3U＝5 V－3×8 V＝－19 V，而φC＝＝＝－19 V，则P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图虚线P3C所示，由几何关系知，P3C
与AB垂直，所以AB为电场线，又因为沿电场线方向电势越来越低，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，电场强度大小为E＝＝ V/cm＝800 V/m，故C错误，D正确。]
[典例6] (人教版必修第三册)如图所示，在匀强电场中，将电荷量为－6×10-6 C的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做了－2.4×10-5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10-5 J的功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行。
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差
UBC分别为多少？
(2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。
[解析] (1)UAB＝＝ V＝4 V
UBC＝＝ V＝－2 V。
(2)φA＝UAB＋φB＝4 V，φC＝φB－UBC＝2 V。
(3)取AB中点D，φD＝＝2 V＝φC
则DC是等势线，过点B作DC的垂线就是电场线，电场线方向指向电势降低的方向，如图所示。
[答案] (1)4 V －2 V (2)4 V 2 V (3)见解析
角度3 平行结论法的应用
[典例7] (多选)(2024·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为
(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电
势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列
说法正确的是( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
√
√
BD [找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示，由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO＞φB，故
电场强度方向由O指向B，E＝＝
V/m＝100 V/m, 故C错误，D正确。]
考点3 电场线、等势面及运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线。
(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行。
(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。
[典例8] (2024·福建龙岩一模)一种静电除尘空气净化器，工作原理如图所示。一重力不计的带电尘埃仅在静电力的作用下沿虚线由M点运动到N点，实线为电场线，以放电极中心为圆心的圆交于M、P两点。下列说法正确的是( )
A．带电尘埃带正电
B．M、P两点的电场强度及电势都相同
C．该带电尘埃在M点的动能大于在N点的动能
D．该带电尘埃在M点的电势能大于在N点的电势能
√
D [由题图可知，根据带电尘埃的运动轨迹可知，带电尘埃在M点处受力方向是向下的，所以带电尘埃是带负电的，故A错误；根据对称性可知M、P两点的电场强度大小及电势都相同，电场方向为该点沿电场线的切线方向，结合题图中电场线方向可知M点的电场强度方向斜向右上方，P点的电场强度方向斜向左下方，故B错误；分析可知N点处等势线与M点所在电场线相交处位于M点下方，沿着电场线电势降低，可知M点的电势小于N点的电势，尘埃带负电，故该带电尘埃在M点的电势能大于在N点的电势能，尘埃只受到静电力作用，电势能与动能之和保持不变，故在M点的动能小于在N点的动能，故C错误，D正确。]
[典例9] 如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则( )
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点间的电势差大小|UMN|等于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
√
D [由题图可知，a粒子的轨迹向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度大于NQ段电场强度，所以M、N两点间的电势差大小|UMN|大于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝qU，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。]
即时检验·感悟高考
1．(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
√
C [等差等势线越密集，电场强度越大，则c点电场强度最大，C正确。]
2．(2024·全国甲卷)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量；多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则( )
A．Q1<0，＝－2
B．Q1>0，＝－2
C．Q1<0，＝－3
D．Q1>0，＝－3
√
B [根据沿电场线方向电势降低，结合题图可知，Q1>0，Q2<0，A、C错误；设两点电荷间的距离为3L，则有k＋k＝0，解得＝
－2，B正确，D错误。]
3．(多选)(2023·辽宁卷)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
√
√
CD [P点电场强度方向沿y轴正方向，沿着电场线方向电势降低，所以P点电势比x轴高，x轴电势比M点的高，所以P点电势比M点的高，A错误；在同一静电场中，等差等势线的疏密程度表示电场强度的大小，M点所在处的等势线比P点所在处等势线密集，则M点电场强度大小比P点的大，B错误；由以上分析可知，x轴上的电势高于M点电势，又电场线与等势线垂直且由高电势指向低电势，所以M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确；垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图相同，说明x轴是一条等势线，所以粒子沿x轴运动，电势能不变，D正确。]
4．(多选)(2023·全国乙卷)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷静电力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，静电力始终不做功
√
√
BC [在正点电荷形成的电场中，离点电荷越近电势越高，而负电荷在电势越高的地方，电势能越小，在电势越低的地方，电势能越大，因为OP>OM，所以P点电势小于M点电势，小球在P点的电势能大于在M点的电势能，因为OM＝ON，所以小球在M、N两点的电势能相等，故B正确；小球在运动过程中只有静电力和重力做功，机械能与电势能之和守恒，又小球在M、N两点的电势能相等，故小球在M、N两点的机械能相等，故C正确；因为P点在O点右上方，且OP>OM，所以小球开始运动时，静电力做正功，小球的电势能先减少，故A错误；根据题图可知，小球从M到N的过程中先靠近O点再远离O点，故静电力先做正功后做负功，故D错误。]
课时数智作业(二十一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多选)(2024·湖北卷)关于电荷和静电场，下列说法正确的是( )
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
12
√
13
√
AC [电荷只能从一个物体转移给另一个物体，不能被创造，也不能被消灭，所以一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变，A正确；电场线与等势面垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，B错误；点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将沿其所受静电力方向运动，即静电力将做正功，则该点电荷的电势能将减小，C正确；结合C项分析和Δφ＝可知，当q<0时，Δφ>0，当q>0时，Δφ<0，即负点电荷将从低电势的地方向高电势的地方运动，正点电荷将从高电势的地方向低电势的地方运动，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．如图所示为一带正电的金属球，a、b、c、d为过圆心O的同一直线上的点，则( )
A．a点电势比b点的低
B．a点电场强度比b点的大
C．c点电势比d点的低
D．c点电场强度比d点的大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A [由静电平衡可知，带正电的金属球的电荷均匀分布在球的外表面，电场线垂直球面向四周辐射，金属球内部电场强度处处为零，整个金属球为等势体；金属球外部离金属球越远电场强度越小，电势越低，则有Eb>Ea>Ec＝Ed，φc＝φd>φb>φa，故A正确，B、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2024·贵州贵阳一模)如图所示，匀强电场的电场强度为E，方向水平向右。圆弧AB对应的圆心为O。半径为r。OA水平，OB与水平方向成θ＝。则A、B两点间的电势差UAB为( )
A． B．
C． D．2Er
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B [根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知UAB＝E(r＋r cos θ)＝，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(多选)空间存在如图所示的静电场，a、b、c、d为电场中的四个点，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．d点的电势比c点的低
C．质子在d点的电势能比在c点的小
D．将电子从a点移动到b点，静电力做正功
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
AD [根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知a点的电场线比b点的电场线更密，故a点的电场强度比b点的电场强度大，故A正确；根据沿着电场线方向电势不断降低，可知d点的电势比c点的电势高，故B错误；根据正电荷在电势越高的点，电势能越大，可知质子在d点的电势能比在c点的电势能大，故C错误；由题图可知，a点的电势低于b点的电势，而负电荷在电势越低的点电势能越大，故电子在a点的电势能大于在b点的电势能，所以将电子从a点移动到b点，电势能减小，静电力做正功，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
5．(多选)(2024·湖南长沙一模)静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在静电力作用下
从P点运动到R点，在此过程中，下
列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A．P点的电势低于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能增加
D．从P至R的运动过程中，电子的动能一直增大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
AD [电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，由于合力方向指向轨迹的凹侧，电子带负电，所受静电力方向与电场强度方向相反，静电力方向与等势线垂直，可知，电场线方向整体从右指向左，又由于沿电场线方向，电势降低，可知，P点的电势低于Q点的电势，故A正确；由于任意两条相邻等势线间电势差相等，则等势线分布的密集程度能够表示电场的强弱，P点处的等势线分布比R点处的密集，则P点的电场强度大于R点的电场强度，可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误；结合上述可知，从P至R的运动过程中，电子所受静电力做正功，电子的电势能减小，电子的动能增大，故C错误，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
6．如图所示是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的圆周上的三点，O、Q连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势
能减少
C．M、O间的电势差等于O、N间的电势差
D．在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B [过O点和Q点作电场的等势面，如图所示。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且M、O间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可得，M、O间的电势差
大于O、N间的电势差，故C错误；在Q点放一
个正电荷，正电荷所受静电力将沿Q点电场线
的切线方向斜向上，故D错误。]
题号
1
3
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2
4
6
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9
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11
12
13
7．(多选)(2025·内蒙古赤峰联考)图中虚线A、B、C、D、E代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知一电子经过A平面时的动能为7 eV，电子在A平面时的电势能为－4 eV，电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面A上的电势为4 V
B．电场强度的方向由E指向A
C．该电子在电场内的运动轨迹可能与平面E相切
D．该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的倍
√
题号
1
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√
AD [电子在A平面时的电势能为－4 eV，则根据电势能的公式EpA＝－eφA，可得平面A上的电势为φA＝＝ V＝4 V，故A正确；电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV，则可知静电力做负功，电子在该匀强电场中所受静电力的方向与运动的方向相反，而电子在电场中所受静电力的方向与电场强度的方向相反，因此可知电场强度的方向由A指向E，故B错误；电子经过A平面时的动能为7 eV，从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV，则可知电子
题号
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到达平面D时的动能为 1 eV, 由此可知每两个等势面之间的电势差为2 V，若电子要从平面D到达平面E，则需克服静电力做功2 eV，而电子在平面D时的动能为1 eV，故不管电子是做直线运动还是曲线运动都不可能到达平面E，因此该电子在电场内运动的轨迹不可能与平面E相切，故C错误；该电子经过B平面时，由动能定理可得
－eUAB＝EkB－EkA，解得EkB＝5 eV，而该电子经过D平面时的动能为1 eV，则可知该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的倍，故D正确。]
题号
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8．空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点为正电荷。P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间电势差相等，a、b、c、d为电场中的4个点。下列说法正确的是( )
题号
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A．P、Q两点处的电荷带同种电荷
B．c点与d点电场强度方向相同，电势也相同，a点电场强度小于b点电场强度
C．一电子从c点到b点静电力做正功
D．电子在a点的电势能比在b点的电势能大
√
题号
1
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B [由题图可知P、Q两点处的电荷带异种电荷，即Q点为负电荷，故A错误；根据点电荷电场强度决定式E＝以及电场强度的叠加原理可知，c点与d点电场强度方向相同，因为c点与d点在同一等势面上，所以c点与d点电势也相同，又因b点处等差等势面比a点处密集，可知b点电场强度较大，即a点电场强度小于b点电场强度，故B正确；电场线从高电势面指向低电势面，所以c点电势高于b点电势，由Ep＝qφ可知，电子在c点电势能低于在b点电势能，所以一电子从c点到b点静电力做负功，故C错误；因为a点电势高于b点电势，由Ep＝qφ可知，电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故D错误。故选B。]
题号
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9．(多选)(2023·海南卷)如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
A．M、N两点电场强度相同
B．M、N两点电势相同
C．负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D．负电荷在N点的电势能比在O点时要大
√
题号
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√
BC [根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误；M、N两点在A、B的电场中位于同一等势面上，且比O点电势要高，同时M、N两点在C的电场中也是位于同一等势面上，也比O点电势要高，所以M、N两点位于同一等势面上，电势相等，B正确；由于M、N点电势均高于O点电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。]
题号
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10．(多选)(2025·八省联考云南卷)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是( )
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为
＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
√
题号
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√
AD [根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则电场强度方向由c指向a点，电场强度大小E＝＝ V/m＝
1 V/m，A正确；R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，B错误；Q点的电势为φQ＝
题号
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＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝(φP－φQ)(－e)＝－0.5 eV，C错误；将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为WPR＝UPR(－e)＝(φP－φR)(－e)＝＋0.5 eV, D正确。故选AD。]
题号
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11．(2024·山东泰安三模)如图所示，真空中正四面体的四个顶点上分别固定着一个点电荷，其中两个为正点电荷，另外两个为负点电荷，点电荷的电荷量均相等，O为正四面体的中心，a、b、c、d为4条棱的中点。下列说法正确的是( )
A．中心O处的电场强度为0
B．b点和d点的电势相等
C．a点和c点的电场强度相同
D．a点和c点的电势相等
题号
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√
D [将两个正点电荷作为一组等量正点电荷，将两个负点电荷作为一组等量负点电荷，可知两个正点电荷在中心O处的电场强度方向沿O指向d，两个负点电荷在中心O处的电场强度方向也沿O指向d，故中心O的合电场强度一定不为0，A错误；将一个正试探点电荷从b点沿直线移动到d点，两个正点电荷和两个负点电荷均对其做正功，故b点的电势高于d点的电势，B错误；将a点所在棱的两端的点电荷看作一组等量异种点电荷，另外两个点电荷也看作一组等量异种点电荷，a、c两点均在等量异种电荷的中垂线上，故a点和c点的电势相等，D正确；根据电场叠加原理，a点和c点的电场强度大小相同，方向不同，C错误。]
题号
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12．如图所示，真空中电荷量为2q和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心、电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN连线上的一点，S为等势面与直线M、N的交点，T为等势面上的一点。下列说法正确的是( )
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两
个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
题号
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√
B [在直线MN上，左边正电荷在MN之间电场强度水平向右，右边负电荷在MN之间电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，故A错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N点的左侧电场强度不可能为零，设M、N之间的距离为L，在N点右侧与N点距离为d的点电场强度为零，则有＝，可知除无穷远处外，直线MN
题号
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上电场强度为零的点只有一个，故C错误；由A选项分析可知：T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能小于在P点的电势能，将正试探电荷q0从T点移到P点，电势能增加，静电力做负功，故D错误；由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种点电荷的电场线分布情况可知，N、S间电场线方向由S指向N，则φS>φO，由于φT＝φS，则φT>φO，故T点电场强度方向指向O点，故B正确。]
题号
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13．(多选)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，则下列说法正确的是( )
题号
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A．此匀强电场的电场强度方向一定与a、b两点的连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则静电力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的电场强度大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
题号
1
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√
√
BD [根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝，若该粒子从M点移动到N点，则静电力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以电场强度大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Uab＝Ucd，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得UaM－UbN＝0，故D正确。]
题号
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谢 谢 ！课时分层作业(二十一)
1．(多选)(2024·湖北卷)关于电荷和静电场，下列说法正确的是( )
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
2．如图所示为一带正电的金属球，a、b、c、d为过圆心O的同一直线上的点，则( )
A．a点电势比b点的低
B．a点电场强度比b点的大
C．c点电势比d点的低
D．c点电场强度比d点的大
3．(2024·贵州贵阳一模)如图所示，匀强电场的电场强度为E，方向水平向右。圆弧AB对应的圆心为O。半径为r。OA水平，OB与水平方向成θ＝。则A、B两点间的电势差UAB为( )
A． B．
C． D．2Er
4．(多选)空间存在如图所示的静电场，a、b、c、d为电场中的四个点，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．d点的电势比c点的低
C．质子在d点的电势能比在c点的小
D．将电子从a点移动到b点，静电力做正功
5．(多选)(2024·湖南长沙一模)静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的电势低于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能增加
D．从P至R的运动过程中，电子的动能一直增大
6．如图所示是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的圆周上的三点，O、Q连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C．M、O间的电势差等于O、N间的电势差
D．在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
7．(多选)(2025·内蒙古赤峰联考)图中虚线A、B、C、D、E代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知一电子经过A平面时的动能为7 eV，电子在A平面时的电势能为－4 eV，电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面A上的电势为4 V
B．电场强度的方向由E指向A
C．该电子在电场内的运动轨迹可能与平面E相切
D．该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的倍
8．空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点为正电荷。P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间电势差相等，a、b、c、d为电场中的4个点。下列说法正确的是( )
A．P、Q两点处的电荷带同种电荷
B．c点与d点电场强度方向相同，电势也相同，a点电场强度小于b点电场强度
C．一电子从c点到b点静电力做正功
D．电子在a点的电势能比在b点的电势能大
9．(多选)(2023·海南卷)如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
A．M、N两点电场强度相同
B．M、N两点电势相同
C．负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D．负电荷在N点的电势能比在O点时要大
10．(多选)(2025·八省联考云南卷)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是( )
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
11．(2024·山东泰安三模)如图所示，真空中正四面体的四个顶点上分别固定着一个点电荷，其中两个为正点电荷，另外两个为负点电荷，点电荷的电荷量均相等，O为正四面体的中心，a、b、c、d为4条棱的中点。下列说法正确的是( )
A．中心O处的电场强度为0
B．b点和d点的电势相等
C．a点和c点的电场强度相同
D．a点和c点的电势相等
12．如图所示，真空中电荷量为2q和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心、电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN连线上的一点，S为等势面与直线M、N的交点，T为等势面上的一点。下列说法正确的是( )
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
13．(多选)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，则下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的电场强度方向一定与a、b两点的连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则静电力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的电场强度大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
课时分层作业(二十一)
1．AC [电荷只能从一个物体转移给另一个物体，不能被创造，也不能被消灭，所以一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变，A正确；电场线与等势面垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，B错误；点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将沿其所受静电力方向运动，即静电力将做正功，则该点电荷的电势能将减小，C正确；结合C项分析和Δφ＝可知，当q<0时，Δφ>0，当q>0时，Δφ<0，即负点电荷将从低电势的地方向高电势的地方运动，正点电荷将从高电势的地方向低电势的地方运动，D错误。]
2．A [由静电平衡可知，带正电的金属球的电荷均匀分布在球的外表面，电场线垂直球面向四周辐射，金属球内部电场强度处处为零，整个金属球为等势体；金属球外部离金属球越远电场强度越小，电势越低，则有Eb>Ea>Ec＝Ed，φc＝φd>φb>φa，故A正确，B、C、D错误。]
3．B [根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知UAB＝E(r＋r cos θ)＝，故选B。]
4．AD [根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知a点的电场线比b点的电场线更密，故a点的电场强度比b点的电场强度大，故A正确；根据沿着电场线方向电势不断降低，可知d点的电势比c点的电势高，故B错误；根据正电荷在电势越高的点，电势能越大，可知质子在d点的电势能比在c点的电势能大，故C错误；由题图可知，a点的电势低于b点的电势，而负电荷在电势越低的点电势能越大，故电子在a点的电势能大于在b点的电势能，所以将电子从a点移动到b点，电势能减小，静电力做正功，故D正确。]
5．AD [电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，由于合力方向指向轨迹的凹侧，电子带负电，所受静电力方向与电场强度方向相反，静电力方向与等势线垂直，可知，电场线方向整体从右指向左，又由于沿电场线方向，电势降低，可知，P点的电势低于Q点的电势，故A正确；由于任意两条相邻等势线间电势差相等，则等势线分布的密集程度能够表示电场的强弱，P点处的等势线分布比R点处的密集，则P点的电场强度大于R点的电场强度，可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误；结合上述可知，从P至R的运动过程中，电子所受静电力做正功，电子的电势能减小，电子的动能增大，故C错误，D正确。]
6．B [过O点和Q点作电场的等势面，如图所示。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且M、O间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可得，M、O间的电势差大于O、N间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。]
7．AD [电子在A平面时的电势能为－4 eV，则根据电势能的公式EpA＝－eφA，可得平面A上的电势为φA＝＝ V＝4 V，故A正确；电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV，则可知静电力做负功，电子在该匀强电场中所受静电力的方向与运动的方向相反，而电子在电场中所受静电力的方向与电场强度的方向相反，因此可知电场强度的方向由A指向E，故B错误；电子经过A平面时的动能为7 eV，从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV，则可知电子到达平面D时的动能为 1 eV, 由此可知每两个等势面之间的电势差为2 V，若电子要从平面D到达平面E，则需克服静电力做功2 eV，而电子在平面D时的动能为1 eV，故不管电子是做直线运动还是曲线运动都不可能到达平面E，因此该电子在电场内运动的轨迹不可能与平面E相切，故C错误；该电子经过B平面时，由动能定理可得－eUAB＝EkB－EkA，解得EkB＝5 eV，而该电子经过D平面时的动能为1 eV，则可知该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的倍，故D正确。]
8．B [由题图可知P、Q两点处的电荷带异种电荷，即Q点为负电荷，故A错误；根据点电荷电场强度决定式E＝以及电场强度的叠加原理可知，c点与d点电场强度方向相同，因为c点与d点在同一等势面上，所以c点与d点电势也相同，又因b点处等差等势面比a点处密集，可知b点电场强度较大，即a点电场强度小于b点电场强度，故B正确；电场线从高电势面指向低电势面，所以c点电势高于b点电势，由Ep＝qφ可知，电子在c点电势能低于在b点电势能，所以一电子从c点到b点静电力做负功，故C错误；因为a点电势高于b点电势，由Ep＝qφ可知，电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故D错误。故选B。]
9．BC [根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误；M、N两点在A、B的电场中位于同一等势面上，且比O点电势要高，同时M、N两点在C的电场中也是位于同一等势面上，也比O点电势要高，所以M、N两点位于同一等势面上，电势相等，B正确；由于M、N点电势均高于O点电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。]
10．AD [根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则电场强度方向由c指向a点，电场强度大小E＝＝ V/m＝1 V/m，A正确；R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，B错误；Q点的电势为φQ＝＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝(φP－φQ)(－e)＝－0.5 eV，C错误；将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为WPR＝UPR(－e)＝(φP－φR)(－e)＝＋0.5 eV, D正确。故选AD。]
11．D [将两个正点电荷作为一组等量正点电荷，将两个负点电荷作为一组等量负点电荷，可知两个正点电荷在中心O处的电场强度方向沿O指向d，两个负点电荷在中心O处的电场强度方向也沿O指向d，故中心O的合电场强度一定不为0，A错误；将一个正试探点电荷从b点沿直线移动到d点，两个正点电荷和两个负点电荷均对其做正功，故b点的电势高于d点的电势，B错误；将a点所在棱的两端的点电荷看作一组等量异种点电荷，另外两个点电荷也看作一组等量异种点电荷，a、c两点均在等量异种电荷的中垂线上，故a点和c点的电势相等，D正确；根据电场叠加原理，a点和c点的电场强度大小相同，方向不同，C错误。]
12．B [在直线MN上，左边正电荷在MN之间电场强度水平向右，右边负电荷在MN之间电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，故A错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N点的左侧电场强度不可能为零，设M、N之间的距离为L，在N点右侧与N点距离为d的点电场强度为零，则有＝，可知除无穷远处外，直线MN上电场强度为零的点只有一个，故C错误；由A选项分析可知：T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能小于在P点的电势能，将正试探电荷q0从T点移到P点，电势能增加，静电力做负功，故D错误；由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种点电荷的电场线分布情况可知，N、S间电场线方向由S指向N，则φS>φO，由于φT＝φS，则φT>φO，故T点电场强度方向指向O点，故B正确。]
13．BD [根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝，若该粒子从M点移动到N点，则静电力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以电场强度大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Uab＝Ucd，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得UaM－UbN＝0，故D正确。]
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