第3节 电容器 带电粒子在电场中的运动
[学习目标] 1．理解电容的定义及动态变化规律。
2．会利用动力学、功能关系分析带电粒子在电场中的直线运动。
3．掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系。
1．电容器
(1)充、放电
①充电：使电容器两极板上带等量____电荷的过程，电源提供的能量储存在电容器中。
②放电：使电容器两极板电荷____的过程，电容器储存的能量转化为其他形式的能。
(2)电容
①定义式：C＝。
②单位：法拉(F)、 微法(μF)、皮法(pF)
1 F＝___________μF＝_______ pF。
③平行板电容器：C＝。
2．带电粒子在匀强电场中的运动
(1)加速
①匀强电场：W＝qEd＝qU＝。
②非匀强电场：W＝qU＝。
(2)偏转
①运动形式：______运动。
②处理方法：应用运动的____与____。
③基本关系式
ⅰ．运动时间：t＝。
ⅱ．加速度：a＝＝＝。
ⅲ．偏转量：y＝at2＝。
ⅳ．偏转角θ的正切值：tan θ＝＝＝。
3．示波管
(1)构造
①电子枪，②________，③荧光屏。(如图所示)
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的________，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，叫作________。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏____，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和________的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图像。
1．易错易混辨析
(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。 ( )
(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。 ( )
(3)放电后的电容器电荷量为0，电容也为0。 ( )
(4)带电粒子在电场中，只受静电力时，也可以做匀速圆周运动。 ( )
(5)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。 ( )
(6)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。 ( )
2．(鲁科版必修第三册改编)(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，电容器已带电，则下列判断正确的是( )
A．若增大两极板间的距离，则静电计指针张角变大
B．若将A板稍微上移，则静电计指针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若减小两极板间的距离，则静电计指针张角变小
3．(鲁科版必修第三册改编)如图所示，一个带电粒子从粒子源飘入(初速度很小，可忽略不计)电压为U1的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入，A、B板长为L，相距为d，电压为U2。不计粒子重力，则带电粒子能从A、B板间飞出，应该满足的条件是( )
A．＜ B．＜
C．＜ D．＜
平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed分析某点电势变化。
(2)Q不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。
②根据E＝分析电场强度变化。
电容的理解
[典例1] “超级电容器”由于电极中加入了表面积非常大的石墨烯，所以具备超大的容量，适合作为动力电池的助力动力源。“超级电容器”与普通电容器相比较而言( )
A．极板电荷量较大
B．极板间的电场强度较大
C．单位电压容纳的电荷量较大
D．带相同电荷量时电压较大
[听课记录]
电容器的动态分析
[典例2] 如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开。若电容器的正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离x0，则电容器的电容C、极板上带电荷量Q、两极板间电势差U及电场强度E与负极板移动的距离x的关系图像正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
[典例3] (2024·山西重点中学高三期中联考)如图所示，D是一支理想二极管(正向电阻为零，可视为短路；反向电阻无穷大，可视为断路)，C是极板水平放置的平行板电容器，初始时不带电。当S接1且稳定后，处于两极板间P点的一带电油滴能保持静止状态。下列说法正确的是( )
A．保持S接1，减小C两极板的正对面积，油滴会向上运动
B．保持S接1，将C的下极板上移，油滴会向下运动
C．将S从1掷到2，油滴将向下运动
D．将S从1掷到2，同时将下极板上移，油滴将向下运动
[听课记录]
带电粒子在电场中的直线运动
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝，E＝＝2ad。
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
[典例4] (多选)如图所示，一水平放置的平行板电容器其间距为d，两极板分别与电池的两极相连，上极板中央有一小孔，小孔对电场的影响可以忽略不计。开关闭合时，小孔正上方处有一带正电的粒子，粒子由静止开始下落恰好能到达下极板但没有与下极板接触，下列说法正确的是( )
A．保持开关闭合，若将下极板上移，粒子将在距上极板处返回
B．保持开关闭合，若将下极板上移，粒子将在距上极板处返回
C．断开开关，若将下极板上移，粒子将能返回原处
D．断开开关，若将上极板上移，粒子将能返回原处
[听课记录]
[典例5] (人教版必修第三册第44页例1改编)粒子加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107 Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的。质子的比荷取1×108 C/kg。求：
(1)漂移管B的长度；
(2)相邻漂移管间的加速电压。
思路点拨：(1)质子在管B中做匀速直线运动，已知速度，根据题意确定质子在管中运动的时间就可以求出管B的长度。
(2)从管B到管E质子被三次加速，根据动能定理就可以确定加速电压。
[听课记录]
带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法
带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在电场中偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此交点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ的正切值等于位移偏转角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(5)电荷量q不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再经同一电场偏转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y和偏转角θ均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其Uy＝y，指初、末位置间的电势差。
[典例6] 如图所示，正方形ABCD区域内存在竖直向上的匀强电场，质子()和α粒子()先后从A点垂直射入匀强电场，粒子重力不计，质子从BC边中点射出，则( )
A．若初速度相同，α粒子从CD边离开
B．若初速度相同，质子和α粒子经过电场的过程中速度增量之比为1∶2
C．若初动能相同，质子和α粒子经过电场的时间相同
D．若初动能相同，质子和α粒子经过电场的过程中动能增量之比为1∶4
[听课记录]
[典例7] 如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。
[听课记录]
电荷量的测量
1．装置图：如图所示是密立根油滴实验示意图。
2．原理：带负电油滴在重力的作用下通过夹板上的小孔进入了测试设备中。调节两板间的电势差，使带电的油滴悬浮在两板间。此时，油滴所受重力与电场对油滴施加向上的静电力的大小相等，即mg＝qE＝q。因而，悬浮油滴的电荷量为q＝。
[典例8] (2025·广东广州高三检测)19世纪末电子被发现后，美国物理学家密立根进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电荷量。如图所示，用喷雾器将油滴喷入电容器的两块水平的平行电极板之间时，油滴经喷射后，一般都是带电的。设油滴可视为球体，密度为ρ，空气阻力与油滴半径平方、油滴运动速率成正比。实验中观察到，在不加电场的情况下，半径为r的小油滴1以速度v匀速降落；当上下极板间间距为d、加恒定电压U时，该油滴以速度0.5v匀速上升。已知重力加速度为g。
(1)此油滴带什么电？带电荷量多大？
(2)当保持极板间电压不变而把极板间距增大到4d，发现此油滴以另一速度v1匀速下落，求v1与v的比值；
(3)维持极板间距离为d，维持电压U不变，观察到另外一个油滴2，半径仍为r，正以速度0.5v匀速下降，求油滴2与油滴1带电荷量之比。
[听课记录]
1．(2024·辽宁卷)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓度，则( )
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
2．(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
3．(多选)(2023·湖北卷)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是( )
A．L∶d＝2∶1
B．U1∶U2＝1∶1
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
第3节 电容器 带电粒子在电场中的运动
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梳理·必备知识
1．(1)异种 中和 (2) 106 1012
2．(1)mv2－mv (2)类平抛 合成 分解
3．(1)偏转电极 (2)信号电压 扫描电压 中心 信号电压
激活·基本技能
1．(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
2．ABD [电势差U变大(小)，指针张角变大(小)。电容器所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小，再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当两极板间的距离减小时，C变大，U变小，所以选项A、B、D正确。]
3．D [由类平抛运动规律可知y＝at2＝＝＜，即＜，D正确。]
细研考点·突破题型
考点1
典例1 C [由于超级电容器具备超大的容量，即单位电压容纳的电荷量较大，也就是电容C较大，故带相同电荷量时电压较小，C正确，D错误；电容器的容纳能力较大，并不代表实际使用中极板电荷量较大、极板间电场强度较大，也有可能极板电荷量很小、极板间电场强度很小，A、B错误。故选C。]
典例2 D [根据电容的决定式C＝，负极板向右移动，板间距离d增大，电容减小，故A错误；充电后的电容器与电源断开连接后，极板带电荷量Q保持不变，故B错误；由C＝，当Q不变，C减小时，U增大，故C错误；由C＝，C＝，E＝可得E＝，在带电荷量Q一定时，只改变距离d，E不变，故D正确。]
典例3 A [保持S接1，减小C两极板的正对面积，则根据C＝，知电容C减小，又C＝，而存在二极管，使得Q不能减少，故实际过程为Q不变，故U增大，根据U＝Ed及d不变，知E增大，所以油滴受到向上的静电力大于重力，油滴会向上运动，故A正确；保持S接1，将C的下极板上移，根据C＝、C＝知d减小，C增大，U不变，Q增大，可以充电，根据E＝知E增大，油滴向上运动，故B错误；将S从1掷到2，因存在二极管，不能放电，故油滴不动，故C错误；将S从1掷到2，同时将下极板上移，d减小，根据C＝知C增大，Q不变，根据 C＝、U＝Ed，联立知E＝，不变，故油滴不动，故D错误。]
考点2
典例4 BD [下极板移动前，根据动能定理得mg＝qU＝qEd。保持开关闭合，若将下极板向上平移，设运动到距离上极板x1处返回，根据动能定理得mg－qx1＝0－0，解得x1＝，即粒子将在距上极板处返回， A错误，B正确；若断开开关，将下极板上移，两极板间的电场强度E＝不变，设运动到距离上极板x2处返回，由动能定理得mg－qEx2＝0－0，解得x2＝d，即粒子将碰到下极板而不能返回，C错误；将上极板上移，两极板间的电场强度E＝不变，设粒子到达离下极板x3处返回，由动能定理得mg－qE＝0，解得x3＝d，故粒子将能不碰到下极板而返回到原处，D正确。]
典例5 解析：(1)设质子进入漂移管B的速度为vB，电源频率、周期分别为f、T，漂移管B的长度为L，则
T＝ ①
L＝vB· ②
联立①②式并代入数据得L＝0.4 m。 ③
(2)设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，静电力对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E，静电力做功为W′，质子的电荷量为q、质量为m，则W＝qU ④
W′＝3W ⑤
W′＝－ ⑥
联立④⑤⑥式并代入数据得U＝6×104 V。
答案：(1)0.4 m (2)6×104 V
考点3
典例6 D [对任一粒子，设其电荷量为q，质量为m，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有 x＝v0t，竖直方向有y＝at2＝，若初速度相同、水平位移x相同时，由于α粒子的比荷比质子的小，则α粒子的偏转距离y较小，所以α粒子从BC边离开，由t＝知两个粒子在电场中的运动时间相等，由Δv＝at＝t可知Δv∝，则质子和α粒子经过电场的过程中速度增量之比为 2∶1，故A、B错误；粒子经过电场的时间为t＝，若初动能相同，质子的初速度较大，则质子的运动时间较短，故C错误；由y＝，Ek＝可得y＝，若初动能相同，分析可知x相同，α粒子从C点离开，则质子与α粒子竖直位移之比为1∶2，根据动能定理知，经过电场的过程中动能增量ΔEk＝qEy，E相同，则质子和α粒子经过电场的过程中动能增量之比为1∶4，故D正确。]
典例7 解析：(1)电子在加速电场中加速，由动能定理可知：eU1＝
解得：v0＝。
(2)电子在偏转电场中做类平抛运动，
垂直电场方向：L＝v0t
则沿电场方向：e ＝ma
侧移量：y＝at2
联立解得：y＝。
(3)由几何关系可知：＝
得：Y＝。
(4)该示波器的灵敏度D＝
解得：D＝
则增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度。
答案：(1) (2) (3) (4)增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度
微点突破
典例8 解析：(1)由题意得，油滴带负电，m＝ρπr3
不加电场匀速下降，有mg＝kr2v
当油滴以0.5v匀速上升，由平衡条件
mg＋kr2·0.5v＝q1
故q1＝。
(2)d增大到4d，根据平衡条件得
mg＝q1＋f 1，f 1＝kr2v1
解得＝。
(3)设油滴2的电荷量为q2，由平衡条件得
mg＝q2＋kr2·0.5v
解得q2∶q1＝1∶3。
答案：(1)带负电 (2)
(3)1∶3
即时检验·感悟高考
1．B [根据题图(a)可知，降低溶液的浓度时，该不导电溶液的相对介电常量εr增大，结合电容的决定式C＝可知，电容器的电容增大，A错误；电容器一直与恒压电源相连，则电容器两极板之间的电势差不变，C错误；根据电容的定义式C＝结合A、C项分析可知，电容器所带的电荷量Q增大，则溶液浓度降低过程中，电容器充电，电路中的电流方向为N→M，B正确，D错误。]
2．AD [分析可知带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则带电粒子的运动轨迹方程为y＝·，由于带电粒子的初速度相同，带电粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的比荷相同，则带电粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹重合，C错误；当电场方向沿y轴正方向时，带正电的粒子向y轴正方向偏转，带负电的粒子向y轴负方向偏转，则粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹与粒子(－q，m)的运动轨迹关于x轴对称，粒子(＋q，2m)的比荷比粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的小，则x相同时，粒子(＋q，2m)沿y轴方向的偏转量比粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的小，D正确；当电场方向沿y轴负方向时，同理可知A正确，B错误。]
3．BD [
设微粒射入偏转电场的速度为v0，微粒在偏转电场中上升阶段，水平方向做匀速运动，有2L＝v0cos 45°·t，竖直方向做匀减速运动，有d＝t，得L∶d＝1∶1，A错误；微粒在U1中加速，由动能定理得qU1＝－0，微粒从一开始静止到在平行板电容器中的最高点，根据动能定理有qU1－q＝－0，得U1∶U2＝1∶1，B正确；设微粒射出平行板电容器时速度与水平方向间的夹角为θ，从最高点到射出，微粒做类平抛运动，根据平抛运动推论及匀变速直线运动推论，有tan θ＝＝＝，则穿过电容器的偏转角正切值tan (45°＋θ)＝＝3，C错误；以最高点为坐标原点，向左为x轴正方向，向下为y轴正方向建立坐标系，y＝·＝，可得微粒轨迹与质量、电荷量无关，D正确。]
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第八章 静电场
第3节 电容器 带电粒子在电场中的运动
[学习目标] 1．理解电容的定义及动态变化规律。
2．会利用动力学、功能关系分析带电粒子在电场中的直线运动。
3．掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系。
链接教材·夯基固本
1．电容器
(1)充、放电
①充电：使电容器两极板上带等量____电荷的过程，电源提供的能量储存在电容器中。
②放电：使电容器两极板电荷____的过程，电容器储存的能量转化为其他形式的能。
异种
中和
(2)电容
①定义式：C＝__。
②单位：法拉(F)、 微法(μF)、皮法(pF)
1 F＝___ μF＝____ pF。
③平行板电容器：C＝________。
106
1012
2．带电粒子在匀强电场中的运动
(1)加速
①匀强电场：W＝qEd＝qU＝________________。
②非匀强电场：W＝qU＝。
(2)偏转
①运动形式：______运动。
②处理方法：应用运动的____与____。
③基本关系式
ⅰ．运动时间：t＝____。
ⅱ．加速度：a＝＝＝_____。
ⅲ．偏转量：y＝at2＝______。
ⅳ．偏转角θ的正切值：tan θ＝＝＝_______。
类平抛
合成
分解
3．示波管
(1)构造
①电子枪，②________，③荧光屏。(如图所示)
偏转电极
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的________，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，叫作________。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏____，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和________的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图像。
信号电压
扫描电压
中心
信号电压
1．易错易混辨析
(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。 ( )
(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。 ( )
(3)放电后的电容器电荷量为0，电容也为0。 ( )
(4)带电粒子在电场中，只受静电力时，也可以做匀速圆周运动。 ( )
×
×
×
√
(5)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。 ( )
(6)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。 ( )
×
×
2．(鲁科版必修第三册改编)(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，电容器已带电，则下列判断正确的是( )
A．若增大两极板间的距离，则静
电计指针张角变大
B．若将A板稍微上移，则静电计指
针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若减小两极板间的距离，则静电计指针张角变小
√
√
√
ABD [电势差U变大(小)，指针张角变大(小)。电容器所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小，再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当两极板间的距离减小时，C变大，U变小，所以选项A、B、D正确。]
3．(鲁科版必修第三册改编)如图所示，一个带电粒子从粒子源飘入(初速度很小，可忽略不计)电压为U1的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入，A、B板长为L，相距为d，电压为U2。不计粒子重力，则带电粒子能从A、B板间飞出，应该满足的条件是( )
A．＜ B．＜
C．＜ D．＜
√
D [由类平抛运动规律可知y＝at2＝＝＜，即＜，D正确。]
细研考点·突破题型
考点1 平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后
与电源断开，电容器两极板所
带的电荷量Q保持不变。
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed分析某点电势变化。
(2)Q不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。
②根据E＝分析电场强度变化。
角度1 电容的理解
[典例1] “超级电容器”由于电极中加入了表面积非常大的石墨烯，所以具备超大的容量，适合作为动力电池的助力动力源。“超级电容器”与普通电容器相比较而言( )
A．极板电荷量较大
B．极板间的电场强度较大
C．单位电压容纳的电荷量较大
D．带相同电荷量时电压较大
√
C [由于超级电容器具备超大的容量，即单位电压容纳的电荷量较大，也就是电容C较大，故带相同电荷量时电压较小，C正确，D错误；电容器的容纳能力较大，并不代表实际使用中极板电荷量较大、极板间电场强度较大，也有可能极板电荷量很小、极板间电场强度很小，A、B错误。故选C。]
角度2 电容器的动态分析
[典例2] 如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开。若电容器的正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离x0，则电容器的电容C、极板上带电荷量Q、两极板间电势差U及电场强度E与负极板移动的距离x的关系图像正确的是( )
A B
C D
√
D [根据电容的决定式C＝，负极板向右移动，板间距离d增大，电容减小，故A错误；充电后的电容器与电源断开连接后，极板带电荷量Q保持不变，故B错误；由C＝，当Q不变，C减小时，U增大，故C错误；由C＝，C＝，E＝可得E＝，在带电荷量Q一定时，只改变距离d，E不变，故D正确。]
[典例3] (2024·山西重点中学高三期中联考)如图所示，D是一支理想二极管(正向电阻为零，可视为短路；反向电阻无穷大，可视为断路)，C是极板水平放置的平行板电容器，初始时不带电。当S接1且稳定后，处于两极板间P点的一带电油滴能保持静止状态。下列说法正确的是( )
A．保持S接1，减小C两极板的正对面积，油滴会向上运动
B．保持S接1，将C的下极板上移，油滴会向下运动
C．将S从1掷到2，油滴将向下运动
D．将S从1掷到2，同时将下极板上移，油滴将向下运动
√
A [保持S接1，减小C两极板的正对面积，则根据C＝，知电容C减小，又C＝，而存在二极管，使得Q不能减少，故实际过程为Q不变，故U增大，根据U＝Ed及d不变，知E增大，所以油滴受到向上的静电力大于重力，油滴会向上运动，故A正确；保持S接1，将C的下极板上移，根据C＝、C＝知d减小，C增大，U不变，Q增大，可以充电，根据E＝知E增大，油滴向上运动，故B错误；
将S从1掷到2，因存在二极管，不能放电，故油滴不动，故C错误；将S从1掷到2，同时将下极板上移，d减小，根据C＝知C增大，Q不变，根据 C＝、U＝Ed，联立知E＝，不变，故油滴不动，故D错误。]
考点2 带电粒子在电场中的直线运动
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝，E＝＝2ad。
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
[典例4] (多选)如图所示，一水平放置的平行板电容器其间距为d，两极板分别与电池的两极相连，上极板中央有一小孔，小孔对电场的影响可以忽略不计。开关闭合时，小孔正上方处有一带正电的粒子，粒子由静止开始下落恰好能到达下极板但没有与下极板接触，下列说法正确的是( )
A．保持开关闭合，若将下极板上移，粒子将在距上极板处返回
B．保持开关闭合，若将下极板上移，粒子将在距上极板处返回
C．断开开关，若将下极板上移，粒子将能返回原处
D．断开开关，若将上极板上移，粒子将能返回原处
√
√
BD [下极板移动前，根据动能定理得mg＝qU＝qEd。保持开关闭合，若将下极板向上平移，设运动到距离上极板x1处返回，根据动能定理得mg－q x1＝0－0，解得x1＝，即粒子将在距上极板处返回， A错误，B正确；若断开开关，将下极板上移，两极板间的电场强度E＝不变，设运动到距离上极板x2处返回，
由动能定理得mg－qEx2＝0－0，解得x2＝d，即粒子将碰到下极板而不能返回，C错误；将上极板上移，两极板间的电场强度E＝不变，设粒子到达离下极板x3处返回，由动能定理得mg－qE＝0，解得x3＝d，故粒子将能不碰到下极板而返回到原处，D正确。]
[典例5] (人教版必修第三册第44页例1改编)粒子加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107 Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的。质子的比荷取1×
108 C/kg。求：
(1)漂移管B的长度；
(2)相邻漂移管间的加速电压。
思路点拨：(1)质子在管B中做匀速直线运动，已知速度，根据题意确定质子在管中运动的时间就可以求出管B的长度。
(2)从管B到管E质子被三次加速，根据动能定理就可以确定加速电压。
[解析] (1)设质子进入漂移管B的速度为vB，电源频率、周期分别为f、T，漂移管B的长度为L，则
T＝ ①
L＝vB· ②
联立①②式并代入数据得L＝0.4 m。 ③
(2)设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，静电力对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E，静电力做功为W′，质子的电荷量为q、质量为m，则W＝qU ④
W′＝3W ⑤
W′＝ － ⑥
联立④⑤⑥式并代入数据得U＝6×104 V。
[答案] (1)0.4 m (2)6×104 V
规律方法 带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法
考点3 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在电场中偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此交点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ的正切值等于位移偏转角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(5)电荷量q不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再经同一电场偏转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y和偏转角θ均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其Uy＝ y，指初、末位置间的电势差。
[典例6] 如图所示，正方形ABCD区域内存在竖直向上的匀强电场，质子()和α粒子()先后从A点垂直射入匀强电场，粒子重力不计，质子从BC边中点射出，则( )
A．若初速度相同，α粒子从CD边离开
B．若初速度相同，质子和α粒子经过电场的过程中速度增量之比为1∶2
C．若初动能相同，质子和α粒子经过电场的时间相同
D．若初动能相同，质子和α粒子经过电场的过程中动能增量之比为1∶4
√
D [对任一粒子，设其电荷量为q，质量为m，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝at2＝，若初速度相同、水平位移x相同时，由于α粒子的比荷比质子的小，则α粒子的偏转距离y较小，所以α粒子从BC边离开，由t＝知两个粒子在电场中的运动时间相等，由Δv＝at＝t可知Δv∝，则质子和
α粒子经过电场的过程中速度增量之比为2∶1，故A、B错误；粒子经过电场的时间为t＝，若初动能相同，质子的初速度较大，则质子的运动时间较短，故C错误；由y＝，Ek＝可得y＝，若初动能相同，分析可知x相同，α粒子从C点离开，则质子与α粒子竖直位移之比为1∶2，根据动能定理知，经过电场的过程中动能增量ΔEk＝qEy，E相同，则质子和α粒子经过电场的过程中动能增量之比为1∶4，故D正确。]
[典例7] 如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场
的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，
电荷量为e，不计电子重力。
(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。
[解析] (1)电子在加速电场中加速，由动能定理可知：eU1＝
解得：v0＝。
(2)电子在偏转电场中做类平抛运动，
垂直电场方向：L＝v0t
则沿电场方向：e＝ma
侧移量：y＝at2
联立解得：y＝。
(3)由几何关系可知：＝
得：Y＝。
(4)该示波器的灵敏度D＝
解得：D＝
则增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度。
[答案] (1) (2) (3) (4)增加L或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度
微点突破 电荷量的测量
1．装置图：如图所示是密立根油滴实验示意图。
2．原理：带负电油滴在重力的作用下通过夹板上的小孔进入了测试设备中。调节两板间的电势差，使带电的油滴悬浮在两板间。此时，油滴所受重力与电场对油滴施加向上的静电力的大小相等，即mg＝qE＝q。因而，悬浮油滴的电荷量为q＝。
[典例8] (2025·广东广州高三检测)19世纪末电子被发现后，美国物理学家密立根进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电荷量。如图所示，用喷雾器将油滴喷入电容器的两块水平的平行电极板之间时，油滴经喷射后，一般都是带电的。设油滴可视为球体，密度为ρ，空气阻力与油滴半径平方、油滴运动速率成正比。实验中观察到，在不加电场的情况下，半径为r的小油滴1以速度v匀速降落；当上下极板间间距为d、加恒定电压U时，该油滴以速度0.5v匀速上升。已知重力加速度为g。
(1)此油滴带什么电？带电荷量多大？
(2)当保持极板间电压不变而把极板间距增大到4d，发现此油滴以另一速度v1匀速下落，求v1与v的比值；
(3)维持极板间距离为d，维持电压U不变，观察到另外一个油滴2，半径仍为r，正以速度0.5v匀速下降，求油滴2与油滴1带电荷量之比。
[解析] (1)由题意得，油滴带负电，m＝ρπr3
不加电场匀速下降，有mg＝kr2v
当油滴以0.5v匀速上升，由平衡条件
mg＋kr2·0.5v＝q1
故q1＝。
(2)d增大到4d，根据平衡条件得
mg＝q1＋f1，f1＝kr2v1
解得＝。
(3)设油滴2的电荷量为q2，由平衡条件得
mg＝q2＋kr2·0.5v
解得q2∶q1＝1∶3。
[答案] (1)带负电 (2) (3)1∶3
即时检验·感悟高考
1．(2024·辽宁卷)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓度，则( )
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
√
B [根据题图(a)可知，降低溶液的浓度时，该不导电溶液的相对介电常量εr增大，结合电容的决定式C＝可知，电容器的电容增大，A错误；电容器一直与恒压电源相连，则电容器两极板之间的电势差不变，C错误；根据电容的定义式C＝结合A、C项分析可知，电容器所带的电荷量Q增大，则溶液浓度降低过程中，电容器充电，电路中的电流方向为N→M，B正确，D错误。]
2．(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
√
√
AD [分析可知带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则带电粒子的运动轨迹方程为y＝·，由于带电粒子的初速度相同，带电粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的比荷相同，则带电粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹重合，C错误；当电场方向沿y轴正方向时，带正电的粒子向y轴正方向偏转，带负电的粒子向y轴负方向偏转，则粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹与粒子(－q，m)的运动轨
迹关于x轴对称，粒子(＋q，2m)的比荷比粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的小，则x相同时，粒子(＋q，2m)沿y轴方向的偏转量比粒子
(＋q，m)、(＋3q，3m)的小，D正确；当电场方向沿y轴负方向时，同理可知A正确，B错误。]
3．(多选)(2023·湖北卷)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是( )
A．L∶d＝2∶1
B．U1∶U2＝1∶1
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
√
√
BD [设微粒射入偏转电场的速度为v0，微粒在偏转电场中上升阶段，水平方向做匀速运动，有2L＝v0cos 45°·t，竖直方向做匀减速运动，有d＝t，得L∶d＝1∶1，A错误；微粒在U1中加速，由动能定理得qU1＝－0，微粒从一开始静止到在平行板电容器中的最高点，根据动能定理有qU1－q＝m(v0cos 45°)2－0，得U1∶U2＝1∶1，B正确；设微粒射出平行板电容器时速度与水平方
向间的夹角为θ，从最高点到射出，微粒做类平抛运动，根据平抛运动推论及匀变速直线运动推论，有tan θ＝＝＝，则穿过电容器的偏转角正切值tan (45°＋θ)＝＝3，C错误；以最高点为坐标原点，向左为x轴正方向，向下为y轴正方向建立坐
标系，y＝·＝，可得微
粒轨迹与质量、电荷量无关，D正确。]
课时数智作业(二十二)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多选)关于电容器的电容，下列说法正确的是( )
A．根据C＝可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，跟两极板间的电压成反比
B．对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比
C．无论电容器电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量与电压的比值都恒定不变
D．电容器所带电荷量增加2倍，则电容增大2倍
12
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BC [电容是电容器本身的性质，一个确定的电容器的电容是不变的，与所带的电荷量和两极板间的电压无关，故A、D错误；根据Q＝CU，对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比，故B正确；根据电容的定义式C＝可知，电容器所带的电荷量与电压的比值是电容，故C正确。]
12
2．示波管的结构如图所示，Y、Y′接输入电压信号，X、X′接扫描电压信号，若扫描电压信号的周期和输入电压信号的周期相同，且可以在荧光屏上得到输入电压信号周期变化的图像，则下列扫描电压信号的图像可能正确的是( )
题号
1
3
5
2
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6
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11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
A B
C D
√
A [若扫描电压信号如B、C、D选项所示，则在半个周期内，电子沿XX′方向偏转距离相同，荧光屏上在YY′方向呈现一条直线，无法显示输入电压信号随时间周期性变化的具体情况，若扫描电压信号如A选项所示，则电子打在荧光屏上的位置沿XX′方向随时间均匀分布，又扫描电压信号周期与输入电压信号周期相同，可得到输入电压信号周期变化的图像，综上，A项图像正确。]
题号
1
3
5
2
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12
3．(多选)(2025·河南新乡模拟)手机触摸屏多数采用的是电容式触摸屏，其原理可简化为如图所示的电路。平行板电容器的上、下两极板A、B分别接在一恒压直流电源的两端，上极板A为两端固定的可动电极，下极板B为固定电极。当用手指触压屏幕上某个部位时，可动电极的极板会发生形变，从而改变电容器的电容。当压力F增大时( )
题号
1
3
5
2
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6
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11
12
A．电容器所带电荷量不变
B．直流电源对电容器充电
C．极板间的电场强度增大
D．电阻R上有从a到b的电流
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BC [由公式C＝可知，当压力F增大时，两板间距离减小，电容增大，由公式C＝可知，电容器所带电荷量增大，即直流电源对电容器充电，电阻R上有从b到a的电流，由公式E＝可知，极板间的电场强度增大，故选BC。]
题号
1
3
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2
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8
7
9
10
11
12
4．2024第8号台风“悟空”已于8月14日下午在日本本州岛东南方的西北太平洋洋面上减弱为热带低压。小李同学用所学知识设计了一个电容式风力传感器。如图所示，将电容器与静电计组成回路，可动电极在风力作用下向右移动，引起电容的变化，风
力越大，移动距离越大(两电极不接触)。
若极板上电荷量保持不变，在受到风力
作用时，则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．电容器电容变小
B．极板间电场强度变大
C．极板间电压变小
D．静电计指针张角越大，风力越大
题号
1
3
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2
4
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10
11
12
√
C [根据C＝，在受到风力作用时，d减小，则电容器电容变大，A错误；由极板间电场强度E＝＝＝＝可知，极板间电场强度不变，B错误；极板间电压U＝变小，C正确；风力越大，d越小，极板间电压越小，静电计指针张角越小，D错误。]
题号
1
3
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7
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10
11
12
5．如图所示装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为U0，两对极板间偏转电压大小相等，均为U0，电场方向相反。质量为m、电荷量为＋q的粒子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．粒子离开加速器时速度v0＝
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝
C．Δd与2L相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
10
11
12
√
B [根据qU0＝，粒子离开加速器时速度为v0＝，故A错误；粒子在左侧平移器电场中的偏移量为y1＝at2，又q＝ma，L＝v0t，得y1＝，故B正确；根据类平抛运动的特点和对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动，它的轨迹延长线分别过平行板中点，根据几何关系可知Δd＝L，故C错误；由B选项分析可得y1＝
题号
1
3
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11
12
，由A选项分析可知当加速电压增大时，粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误。]
题号
1
3
5
2
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11
12
6．(2024·福建南平三模)如图所示，一对金属板水平放置，间距足够大，极板间的电压为U，在金属板右侧有一竖直屏。一不计重力的带电粒子从两板中央以水平速度v0入射，入射方向的延长线与屏的交点为O点，粒子打在屏上的位置与O点的距离为y。将U变为0.5U，v0变为0.5v0，保持其他条件不变，粒子打在屏上的位置与O
点的距离将变为( )
A．4y B．2y
C．y D．0.5y
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
√
B [带电粒子离开电场时速度v与进入电场时的速度v0夹角的正切值为tan θ＝＝，根据类平抛运动的推论：速度的反向延长线交于水平位移的中点，得偏离O的距离为y＝tan θ＝，当U变为0.5U，v0变为0.5v0，其他保持不变时，y变为原来的2倍，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
7．(2023·浙江6月选考)某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线(等势线)运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
√
A [由题意可知粒子在等势线上移动，说明静电力不做功，且根据功能关系可知，粒子的速度大小不变，即在辐向电场中，静电力提供粒子做匀速圆周运动所需的向心力，有E1q＝m、E2q＝m，联立解得E1R1＝E2R2，则＝，A正确。]
题号
1
3
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12
8．(2024·贵阳高三联考)某同学学习了电容器的充、放电等相关知识后，在老师的引导下，他为了探究电路中连接二极管的电容器充、放电问题，设计了如图所示的电路，平行板电容器与二极管(该二极管可看作理想二极管，正向电阻很小，反向电阻无穷大)、开关、直流电源串联，电源负极接地。闭合开关，电路稳定后，一不计重力的带电油滴位于竖直平面电容器两极板间的P点处，恰好处于静止状态。保持开关闭合，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
A．若上极板略微下移，带电油滴仍保持静止
B．若下极板略微上移，则P点电势保持不变
C．若上极板略微左移与下极板平行错开，则带电油滴仍保持静止
D．若下极板略微右移与上极板平行错开，则带电油滴在P点的电势能降低
题号
1
3
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2
4
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10
11
12
√
D [上极板略微下移，d变小，U不变，E变大，静电力变大，油滴向上运动，故A错误；下极板略微上移，d变小，U不变，E变大，上极板与P点间的电势差增大，上极板电势不变，P点的电势降低，故B错误；不论是上极板略微左移，还是下极板略微右移，根据C＝，S将减小，C变小，U不变，电容器要放电，由于二极管具有单向导电性，电容器不能放电，实际为Q保持不变，C变小，U变大，电场强度E变大，静电力变大，油滴向上运动，P点到下极板的距离不变，E变大，P点与下极板间的电势差增大，下极板的电势恒为0，所以P点的电势升高，该油滴带负电，电势能降低，故C错误，D正确。]
题号
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9．(多选)如图所示，三个同样的带电粒子a、b、c(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹如图。不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
题号
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12
A．当b飞离电场时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动的过程中，c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
题号
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√
√
√
ACD [三个粒子相同，故进入电场后，受到的静电力相等，即加速度相等，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，偏移量y＝at2，所以ta＝tb＞tc，故B错误，A正确；粒子在水平方向上做匀速直线运动，故有v0＝，因为xb＝xc＞xa，ta＝tb＞tc，所以有vc＞vb＞va，故C正确；根据动能定理有qU＝Eqy＝ΔEk，知c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同，故D正确。]
题号
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10．(多选)(2024·辽宁省第二次联考)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板间距离为L，电场强度为E。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直于M板向右的粒子到达N板时速度大小为v0，平行于M板向下的粒子刚好能到达N板下端。不计粒子重力和粒子间的相互作用，利用以上信息可求得( )
A．金属板的长度
B．粒子在两板间的加速度大小
C．两个粒子到N板时的动能
D．两个粒子的电势能的变化量
题号
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√
√
AB [垂直M板向右的粒子做匀加速直线运动，由＝2aL，可得加速度的大小a＝，两个粒子相同，所以它们的加速度大小相同，B选项可求，B正确；平行M板向下的粒子做类平抛运动，水平方向上由L＝at2，可求其运动时间，竖直方向上由y＝v0t，可求竖直位移大小，板长是y的二倍，所以A选项可求，A正确；由于粒子的质量未知，无法求出粒子的动能大小，由于粒子电荷量未知，求不出静电力做的功，也求不出粒子电势能的变化量，所以C、D选项不可求，C、D错误。]
题号
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11．(2025·四川巴蜀高三检测)如图所示，在第一象限0≤x≤2L区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E1(大小未知)；2L题号
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(1)粒子运动至A点的速度大小；
(2)电场强度E2的大小。
题号
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[解析] (1)粒子在电场E1中沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动
x方向2L＝v0t1
y方向L＝t1
在A点处的速度大小为vA＝＝v0。
题号
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(2)粒子在电场E2中沿x轴正方向做初速度不为零的匀加速直线运动，沿y轴正方向做匀速直线运动，y方向
2L－L＝vyt2
x方向4L－2L＝
由牛顿第二定律有qE2＝ma2
联立解得E2＝。
题号
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[答案] (1)v0
12．空间中存在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场(未画出)。一质量为m的带电小球从斜面顶端A水平抛出，落在斜面上的P点。现保持电场强度大小不变，方向改为竖直向上，小球仍从A点以相同的初速度水平抛出，落在斜面上的Q点。已知A、Q的距离是A、P距离的3倍，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
题号
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题号
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(1)小球从A到P和A到Q的运动时间之比；
(2)小球所带电荷量的大小。
[解析] (1)设斜面倾角为θ，则小球从A到P和A到Q的水平位移分别为
xAP＝AP cos θ
xAQ＝AQ cos θ
又因为x＝v0t
所以小球从A到P和A到Q的运动时间之比为t1∶t2＝1∶3。
(2)设小球抛出后加速度为a，下落高度为h，则
h＝at2
tan θ＝
所以＝
又因为＝
所以＝3
题号
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设小球带电荷量为q，则由牛顿第二定律得
mg＋qE＝ma1
mg－qE＝ma2
联立解得q＝。
题号
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[答案] (1)1∶3 (2)
谢 谢 ！课时分层作业(二十二)
1．(多选)关于电容器的电容，下列说法正确的是( )
A．根据C＝可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，跟两极板间的电压成反比
B．对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比
C．无论电容器电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量与电压的比值都恒定不变
D．电容器所带电荷量增加2倍，则电容增大2倍
2．示波管的结构如图所示，Y、Y′接输入电压信号，X、X′接扫描电压信号，若扫描电压信号的周期和输入电压信号的周期相同，且可以在荧光屏上得到输入电压信号周期变化的图像，则下列扫描电压信号的图像可能正确的是( )
A B
C D
3．(多选)(2025·河南新乡模拟)手机触摸屏多数采用的是电容式触摸屏，其原理可简化为如图所示的电路。平行板电容器的上、下两极板A、B分别接在一恒压直流电源的两端，上极板A为两端固定的可动电极，下极板B为固定电极。当用手指触压屏幕上某个部位时，可动电极的极板会发生形变，从而改变电容器的电容。当压力F增大时( )
A．电容器所带电荷量不变
B．直流电源对电容器充电
C．极板间的电场强度增大
D．电阻R上有从a到b的电流
4．2024第8号台风“悟空”已于8月14日下午在日本本州岛东南方的西北太平洋洋面上减弱为热带低压。小李同学用所学知识设计了一个电容式风力传感器。如图所示，将电容器与静电计组成回路，可动电极在风力作用下向右移动，引起电容的变化，风力越大，移动距离越大(两电极不接触)。若极板上电荷量保持不变，在受到风力作用时，则( )
A．电容器电容变小
B．极板间电场强度变大
C．极板间电压变小
D．静电计指针张角越大，风力越大
5．如图所示装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为U0，两对极板间偏转电压大小相等，均为U0，电场方向相反。质量为m、电荷量为＋q的粒子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子离开加速器时速度v0＝
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝
C．Δd与2L相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
6．(2024·福建南平三模)如图所示，一对金属板水平放置，间距足够大，极板间的电压为U，在金属板右侧有一竖直屏。一不计重力的带电粒子从两板中央以水平速度v0入射，入射方向的延长线与屏的交点为O点，粒子打在屏上的位置与O点的距离为y。将U变为0.5U，v0变为0.5v0，保持其他条件不变，粒子打在屏上的位置与O点的距离将变为( )
A．4y B．2y
C．y D．0.5y
7．(2023·浙江6月选考)某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线(等势线)运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
8．(2024·贵阳高三联考)某同学学习了电容器的充、放电等相关知识后，在老师的引导下，他为了探究电路中连接二极管的电容器充、放电问题，设计了如图所示的电路，平行板电容器与二极管(该二极管可看作理想二极管，正向电阻很小，反向电阻无穷大)、开关、直流电源串联，电源负极接地。闭合开关，电路稳定后，一不计重力的带电油滴位于竖直平面电容器两极板间的P点处，恰好处于静止状态。保持开关闭合，下列说法正确的是( )
A．若上极板略微下移，带电油滴仍保持静止
B．若下极板略微上移，则P点电势保持不变
C．若上极板略微左移与下极板平行错开，则带电油滴仍保持静止
D．若下极板略微右移与上极板平行错开，则带电油滴在P点的电势能降低
9．(多选)如图所示，三个同样的带电粒子a、b、c(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹如图。不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．当b飞离电场时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动的过程中，c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
10．(多选)(2024·辽宁省第二次联考)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板间距离为L，电场强度为E。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直于M板向右的粒子到达N板时速度大小为v0，平行于M板向下的粒子刚好能到达N板下端。不计粒子重力和粒子间的相互作用，利用以上信息可求得( )
A．金属板的长度
B．粒子在两板间的加速度大小
C．两个粒子到N板时的动能
D．两个粒子的电势能的变化量
11．(2025·四川巴蜀高三检测)如图所示，在第一象限0≤x≤2L区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E1(大小未知)；2L(1)粒子运动至A点的速度大小；
(2)电场强度E2的大小。
12．空间中存在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场(未画出)。一质量为m的带电小球从斜面顶端A水平抛出，落在斜面上的P点。现保持电场强度大小不变，方向改为竖直向上，小球仍从A点以相同的初速度水平抛出，落在斜面上的Q点。已知A、Q的距离是A、P距离的3倍，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球从A到P和A到Q的运动时间之比；
(2)小球所带电荷量的大小。
课时分层作业(二十二)
1．BC [电容是电容器本身的性质，一个确定的电容器的电容是不变的，与所带的电荷量和两极板间的电压无关，故A、D错误；根据Q＝CU，对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比，故B正确；根据电容的定义式C＝可知，电容器所带的电荷量与电压的比值是电容，故C正确。]
2．A [若扫描电压信号如B、C、D选项所示，则在半个周期内，电子沿XX′方向偏转距离相同，荧光屏上在YY′方向呈现一条直线，无法显示输入电压信号随时间周期性变化的具体情况，若扫描电压信号如A选项所示，则电子打在荧光屏上的位置沿XX′方向随时间均匀分布，又扫描电压信号周期与输入电压信号周期相同，可得到输入电压信号周期变化的图像，综上，A项图像正确。]
3．BC [由公式C＝可知，当压力F增大时，两板间距离减小，电容增大，由公式C＝可知，电容器所带电荷量增大，即直流电源对电容器充电，电阻R上有从b到a的电流，由公式E＝可知，极板间的电场强度增大，故选BC。]
4．C [根据C＝，在受到风力作用时，d减小，则电容器电容变大，A错误；由极板间电场强度E＝＝＝＝可知，极板间电场强度不变，B错误；极板间电压U＝变小，C正确；风力越大，d越小，极板间电压越小，静电计指针张角越小，D错误。]
5．B [根据qU0＝，粒子离开加速器时速度为v0＝，故A错误；粒子在左侧平移器电场中的偏移量为y1＝at2，又q＝ma，L＝v0t，得y1＝，故B正确；根据类平抛运动的特点和对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动，它的轨迹延长线分别过平行板中点，根据几何关系可知Δd＝L，故C错误；由B选项分析可得y1＝，由A选项分析可知当加速电压增大时，粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误。]
6．B [带电粒子离开电场时速度v与进入电场时的速度v0夹角的正切值为tan θ＝＝，根据类平抛运动的推论：速度的反向延长线交于水平位移的中点，得偏离O的距离为y＝tan θ＝，当U变为0.5U，v0变为0.5v0，其他保持不变时，y变为原来的2倍，故选B。]
7．A [由题意可知粒子在等势线上移动，说明静电力不做功，且根据功能关系可知，粒子的速度大小不变，即在辐向电场中，静电力提供粒子做匀速圆周运动所需的向心力，有E1q＝m、E2q＝m，联立解得E1R1＝E2R2，则＝，A正确。]
8．D [上极板略微下移，d变小，U不变，E变大，静电力变大，油滴向上运动，故A错误；下极板略微上移，d变小，U不变，E变大，上极板与P点间的电势差增大，上极板电势不变，P点的电势降低，故B错误；不论是上极板略微左移，还是下极板略微右移，根据C＝，S将减小，C变小，U不变，电容器要放电，由于二极管具有单向导电性，电容器不能放电，实际为Q保持不变，C变小，U变大，电场强度E变大，静电力变大，油滴向上运动，P点到下极板的距离不变，E变大，P点与下极板间的电势差增大，下极板的电势恒为0，所以P点的电势升高，该油滴带负电，电势能降低，故C错误，D正确。]
9．ACD [三个粒子相同，故进入电场后，受到的静电力相等，即加速度相等，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，偏移量y＝at2，所以ta＝tb＞tc，故B错误，A正确；粒子在水平方向上做匀速直线运动，故有v0＝，因为xb＝xc＞xa，ta＝tb＞tc，所以有vc＞vb＞va，故C正确；根据动能定理有qU＝Eqy＝ΔEk，知c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同，故D正确。]
10．AB [垂直M板向右的粒子做匀加速直线运动，由＝2aL，可得加速度的大小a＝，两个粒子相同，所以它们的加速度大小相同，B选项可求，B正确；平行M板向下的粒子做类平抛运动，水平方向上由L＝at2，可求其运动时间，竖直方向上由y＝v0t，可求竖直位移大小，板长是y的二倍，所以A选项可求，A正确；由于粒子的质量未知，无法求出粒子的动能大小，由于粒子电荷量未知，求不出静电力做的功，也求不出粒子电势能的变化量，所以C、D选项不可求，C、D错误。]
11．解析：(1)粒子在电场E1中沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动
x方向2L＝v0t1
y方向L＝t1
在A点处的速度大小为vA＝＝v0。
(2)粒子在电场E2中沿x轴正方向做初速度不为零的匀加速直线运动，沿y轴正方向做匀速直线运动，y方向
2L－L＝vyt2
x方向4L－2L＝
由牛顿第二定律有qE2＝ma2
联立解得E2＝。
答案：(1)v0
12．解析：(1)设斜面倾角为θ，则小球从A到P和A到Q的水平位移分别为
xAP＝AP cos θ
xAQ＝AQ cos θ
又因为x＝v0t
所以小球从A到P和A到Q的运动时间之比为t1∶t2＝1∶3。
(2)设小球抛出后加速度为a，下落高度为h，则
h＝at2
tan θ＝
所以＝
又因为＝
所以＝3
设小球带电荷量为q，则由牛顿第二定律得
mg＋qE＝ma1
mg－qE＝ma2
联立解得q＝。
答案：(1)1∶3 (2)
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